數(shù)學(xué)課堂探究：6微積分基本定理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一利用微積分基本定理計(jì)算定積分1．求函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間上的定積分時(shí)，要注意:(1)掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，正確求解導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)的原函數(shù)．當(dāng)這個(gè)原函數(shù)不易求時(shí)，可將被積函數(shù)適當(dāng)變形后再求解．具體方法是能化簡(jiǎn)的化簡(jiǎn)，不能化簡(jiǎn)的變?yōu)閮绾瘮?shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及常數(shù)的和或差．(2）精確定位積分區(qū)間,分清積分上限與積分下限．2．常見函數(shù)的定積分公式（1）Cdx＝Cx(C為常數(shù))．（2）xndx＝eq\f(1,n＋1)xn＋1(n≠－1）．（3)sinxdx＝－cosx。(4)cosxdx＝sinx。(5)eq\f（1，x)dx＝lnx(b＞a＞0)．（6)exdx＝ex。(7)axdx＝eq\f（ax,lna)(a＞0且a≠1)．【典型例題1】計(jì)算下列定積分:(1）(x2＋2x＋3)dx;（2）（cosx－ex）dx；（3）eq\f(1，x)dx；(4)eq\f（2x3－1，x2）dx.思路分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)與積分的關(guān)系，求定積分要先找到一個(gè)導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)的原函數(shù),再根據(jù)牛頓—萊布尼茨公式寫出答案，找原函數(shù)可結(jié)合導(dǎo)數(shù)公式表．解:(1)∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1，3)x3＋x2＋3x)）′＝x2＋2x＋3，∴（x2＋2x＋3)dx＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1，3）x3＋x2＋3x))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（8，3）＋4＋6））－eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1，3）＋1＋3））＝eq\f（25，3).(2)∵（sinx）′＝cosx，（ex）′＝ex,∴(cosx－ex)dx＝(sinx－ex)＝（sin0－e0）－［sin（－π）－e－π］＝eq\f（1,eπ）－1。(3)∵(lnx)′＝eq\f(1,x），∴eq\f（1，x）dx＝lnx＝lne－ln1＝1.(4）∵eq\f（2x3－1，x2)＝2x－eq\f(1,x2)且eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（x2＋\f（1，x）))′＝2x－eq\f（1,x2),∴eq\f（2x3－1，x2)＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1，x）)）＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（9＋\f（1，3））)－2＝eq\f(22,3)。探究二分段函數(shù)與復(fù)合函數(shù)定積分的求解1．在求定積分時(shí)，會(huì)遇到被積函數(shù)是分段函數(shù)或絕對(duì)值函數(shù)的情況，這時(shí)我們就要根據(jù)不同的情況把分段函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的積分分成幾段積分和的形式．分段的標(biāo)準(zhǔn)是：使每段上的函數(shù)表達(dá)式確定，按照原來函數(shù)分段的情況分段即可．2．當(dāng)被積函數(shù)的原函數(shù)是一個(gè)復(fù)合函數(shù)時(shí)，要特別注意原函數(shù)的求解與復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)區(qū)分開來．例如：對(duì)于被積函數(shù)y＝sin3x，其原函數(shù)應(yīng)為y＝－eq\f(1，3）cos3x，而其導(dǎo)數(shù)應(yīng)為y′＝3cos3x?！镜湫屠}2】計(jì)算下列定積分:（1）|x－3|dx；（2)若f(x）＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x2，x≤0，，cosx－1，x〉0，））求f（x)dx；(3)e2xdx；（4）eq\f（2,2x＋1)dx.思路分析：(1)（2)寫成分段函數(shù),利用定積分性質(zhì)求解;（3）(4)利用復(fù)合函數(shù)求定積分．解：（1)∵|x－3|＝∴|x－3|dx＝|x－3｜dx＋｜x－3｜dx＝（3－x)dx＋（x－3)dx＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(3x－\f（1,2)x2)）＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1,2)x2－3x)）＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(9－\f(1，2）×9－6＋2))＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（25，2)－15－\f(9,2)＋9))＝eq\f(5,2）。（2）由已知f(x）dx＝x2dx＋(cosx－1)dx＝eq\f（1,3)x3＋(sinx－x）＝eq\f(1，3)＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(1－\f(π,2))）＝eq\f(4，3）－eq\f(π，2）.(3)∵eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1，2）e2x)）′＝e2x，∴e2xdx＝eq\f(1，2)e2x＝eq\f(1，2）e－eq\f（1，2）。（4）∵［ln(2x＋1)]′＝eq\f(2,2x＋1）,∴eq\f(2，2x＋1）dx＝ln（2x＋1）＝ln3－ln1＝ln3。探究三微積分基本定理的應(yīng)用定積分的應(yīng)用體現(xiàn)了定積分與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，可以通過定積分構(gòu)造新的函數(shù)，進(jìn)而可利用該函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)的值．也可對(duì)這一函數(shù)進(jìn)行性質(zhì)、最值等方面的考查，解題過程中通常應(yīng)用轉(zhuǎn)化的思想方法．【典型例題3】設(shè)f(x）＝ax＋b，且［f(x）］2dx＝1，求f（a）的取值范圍．思路分析：由定積分求出a，b的關(guān)系，消元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的值域問題．解：由[f（x）]2dx＝1可得,（ax＋b）2dx＝(a2x2＋2abx＋b2）dx＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(a2,3)x3＋abx2＋b2x)）＝1，即2a2＋6b2＝3，且b2＝eq\f(3－2a2,6)≤eq\f(3，6)＝eq\f(1,2）,即－eq\f(\r(2),2)≤b≤eq\f（\r（2），2).于是f(a)＝a2＋b＝－3b2＋b＋eq\f(3,2）＝－3eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(b－\f（1,6）)）2＋eq\f(19，12），所以－eq\f(\r（2），2）≤f（a）≤eq\f（19,12）。探究四易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)微積分定理記憶不準(zhǔn)確而導(dǎo)致運(yùn)算錯(cuò)誤【典型例題4】計(jì)算eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(x＋\f（1,x))）2dx.錯(cuò)解：eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1，x）））2dx＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(x2＋2＋\f(1，x2）))dx＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,3）x3－\f（1，x)＋2x))＝eq\f（1,3)x3－eq\f(1,x）＋2x＝eq\f(1,3)（13－23）－eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（1－\f(1,2）))＋2（1－2）＝eq\f(1,3)×(－7)－eq\f（1，2）－2＝－eq\f（29,6）.錯(cuò)因分析：本題產(chǎn)生錯(cuò)誤的主要原因是對(duì)微積分基本定理記憶不準(zhǔn),定理中的式子應(yīng)為f(x)dx＝F(x）＝F(b）－F(a)，而非f(x）dx＝F（a)－F(b）．正解：eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f（1，x)))2dx＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋2＋\f(1，x2）))dx＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,3)x3－\f(1,x)＋2x)）＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1,3）×23－\