數(shù)學(xué)課堂探究：向量數(shù)量積的坐標運算與度量公式

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一向量數(shù)量積的坐標運算已知向量的坐標，直接用公式來計算數(shù)量積、模和夾角等問題;若向量的坐標是未知的，一般考慮用定義和運算律進行轉(zhuǎn)化．【例1】已知向量a＝e1－e2,b＝4e1＋3e2,其中e1＝（1,0），e2＝（0，1）．（1)試計算a·b及｜a＋b|的值；（2）求向量a與b夾角的余弦值．解：(1）a＝e1－e2＝（1,0)－（0,1）＝（1，－1），b＝4e1＋3e2＝4（1,0)＋3（0,1)＝(4,3)，所以a·b＝4×1＋3×(－1)＝1，a＋b＝(5，2)，所以｜a＋b｜＝．(2)設(shè)向量a與b的夾角為x，則cos＝＝＝＝．探究二向量的模、夾角的坐標表示1．若a＝(x1，y1)，b＝（x2，y2）,a≠0，則向量a與b垂直?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0．2．向量垂直的坐標表示x1x2＋y1y2＝0與向量共線的坐標表示x1y2－x2y1＝0很容易混淆，應(yīng)仔細比較并熟記、當(dāng)難以區(qū)分時，要從意義上鑒別,垂直是a·b＝0,而共線是方向相同或相反．【例2】已知向量a＝(－2,－1)，a·b＝10，|a－b｜＝,則|b|＝()A．B．C．20D．40解析:設(shè)b＝(x，y），由a＝（－2，－1)，a·b＝10,可得－2x－y＝10．①a－b＝(－2－x，－1－y），所以｜a－b|＝＝．②由①②可得x＝－4，y＝－2．所以b＝（－4，－2），|b|＝＝．答案：A反思本題是利用公式|a|＝(其中a＝（a1，a2））求解．【例3】在△ABC中,＝(2,3)，＝(1,k),且△ABC的一個內(nèi)角為直角，求k的值．分析：要對△ABC的三個內(nèi)角分別討論,并利用坐標反映垂直關(guān)系．解:當(dāng)A＝90°時，·＝0,所以2×1＋3×k＝0．所以k＝－．當(dāng)B＝90°時，·＝0，＝－＝(1－2,k－3)＝(－1，k－3）,所以2×（－1)＋3×(k－3)＝0．所以k＝．當(dāng)C＝90°時，·＝0,所以－1＋k(k－3）＝0，所以k＝．因此，當(dāng)k＝－，或k＝,或k＝時，△ABC的一個內(nèi)角為直角．探究三數(shù)量積的坐標表示在幾何中的應(yīng)用用向量法解決幾何問題的關(guān)鍵是把有關(guān)的邊賦予向量，然后把幾何圖形中的夾角、垂直、長度等問題都統(tǒng)一為向量的坐標運算即可,最后再回歸到原始幾何圖形中進行說明．【例4】以原點O和點A（5,2）為兩個頂點作等腰直角△ABO，B為直角頂點，試求的坐標．解:設(shè)B(x，y），則＝（x,y），＝（x－5，y－2）．因為△ABO是等腰直角三角形，故⊥,且｜｜＝｜|，所以解得或所以＝或＝．【例5】已知a＝（，－1)，b＝，且存在實數(shù)k和t使得x＝a＋（t2－3）b，y＝－ka＋tb,且x⊥y，試求的最小值．解：由題意有|a|＝2，|b｜＝1．因為a·b＝×－1×＝0，所以a⊥b．因為x·y＝0，所以[a＋（t2－3)b］·（－ka＋tb）＝0,化簡得k＝eq\f(t3－3t,4），所以＝eq\f（1，4)（t2＋4t－3)＝（t＋2)2－．當(dāng)t＝－2時，有最小值為－．反思本題的關(guān)鍵是注意到a⊥b，以此來化簡x·y＝0．探究四易錯辨析易錯點：因a·b〈0理解不完全而致誤【例6】設(shè)平面向量a＝（－2，1），b＝（λ，－1)(λ∈R）,若a與b的夾角為鈍角，則λ的取值范圍是(）A．∪（2，＋∞)B．（2，＋∞）C．D．錯解：由a與b的夾角為鈍角，得a·b〈0,即－2λ－1〈0,解得λ〉－．錯因分析：a·b〈0?a與b的夾角為鈍角或平角．因此上述解法中需要對結(jié)論進行檢驗，把a與b的夾角為平角的情況舍去．正解：a·b〈0?（－2,1）·（λ，－1)