高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大題考法專題二 概率與統(tǒng)計(原卷版)

大題考法專題二概率與統(tǒng)計一、中檔題保分練例1．(2019·全國卷Ⅲ)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗：將200只小鼠隨機(jī)分成A，B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液．每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同．經(jīng)過一段時間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比．根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P(C)的估計值為0.70.(1)求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值；(2)分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)．例2．(2019·天津高考)設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為eq\f(2,3)，假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨立．(1)用X表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)設(shè)M為事件“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件M發(fā)生的概率．例3．某商店為迎接端午節(jié)，推出花生粽與肉粽兩款粽子．為調(diào)查這兩款粽子的受歡迎程度，店員連續(xù)10天記錄了這兩款粽子的銷售量，用1,2，…，10分別表示第1,2，…，10天，記錄結(jié)果得到頻數(shù)分布表如下所示(其中銷售量單位：個).12345678910花生粽1039398931068687849199肉粽8897989510198103106102112(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)完成如圖所示的莖葉圖：(2)根據(jù)統(tǒng)計學(xué)知識，請判斷哪款粽子更受歡迎；(3)求肉粽銷售量y關(guān)于序號t的線性回歸方程，并預(yù)估第15天肉粽的銷售量．(回歸方程的系數(shù)精確到0.01)參考數(shù)據(jù)：eq\i\su(i＝1,10,)(ti－eq\x\to(t))(yi－eq\x\to(y))＝156.參考公式：回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))t中斜率和截距的最小二乘估計分別為eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(t).二、拔高題滿分練例1．(2019·全國卷Ⅰ)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動物試驗．試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進(jìn)行對比試驗．對于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得－1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得－1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為X.(1)求X的分布列；(2)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，pi(i＝0，1，…，8)表示“甲藥的累計得分為i時，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1,2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假設(shè)α＝0.5，β＝0.8.①證明：{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)為等比數(shù)列；②求p4，并根據(jù)p4的值解釋這種試驗方案的合理性．例2.某省高考改革實施方案指出：該省高考考生總成績將由語文、數(shù)學(xué)、外語3門統(tǒng)一高考成績和3門學(xué)生自主選擇的高中學(xué)業(yè)水平等級性考試科目成績共同構(gòu)成，該省教育廳為了解正在讀高中的學(xué)生家長對高考改革方案所持的態(tài)度，隨機(jī)從中抽取了100名城鄉(xiāng)學(xué)生家長作為樣本進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果顯示樣本中有25人持不贊成意見，如圖是根據(jù)樣本的調(diào)查結(jié)果繪制的等高條形圖．(1)根據(jù)已知條件與等高條形圖完成下面的2×2列聯(lián)表，并判斷我們能否有95%的把握認(rèn)為“贊成高考改革方案與城鄉(xiāng)戶口有關(guān)”？贊成不贊成總計城鎮(zhèn)居民農(nóng)村居民總計附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.100.05k02.7063.841(2)用樣本的頻率估計概率，若隨機(jī)在全省不贊成高考改革的家長中抽取3人，記這3個家長中是城鎮(zhèn)戶口的人數(shù)為X，試求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．例3．為響應(yīng)綠色出行，某市在推出共享單車后，又推出新能源分時租賃汽車．其中一款新能源分時租賃汽車，每次租車收費的標(biāo)準(zhǔn)由兩部分組成：①根據(jù)行駛里程數(shù)按1元/公里計費；②行駛時間不超過40分鐘時按0.12元/分計費，超過40分鐘時，超出部分按0.20元/分計費．已知張先生家離上班地點15公里，每天租用該款汽車上、下班各一次．由于堵車、紅綠燈等因素，每次路上開車花費的時間t(單位：分)是一個隨機(jī)變量．現(xiàn)統(tǒng)計了張先生50次路上開車花費的時間，在各時間段內(nèi)的頻數(shù)分布情況如下表所示.時間t/分(20,30](30,40](40,50](50,60]頻數(shù)2182010將頻率視為概率，每次路上開車花費的時間視為用車時間．(1)寫出張先生一次租車費用y(單位：元)與用車時間t(單位：分)的函數(shù)關(guān)系式；(2)若張先生一次開車時間不超過40分為“路段暢通”，設(shè)ξ表示3