2024年高考數(shù)學最后沖刺訓練《五大類圓錐曲線題型》含答案解析

專題05五類圓錐曲線題型-2024年高考數(shù)學大題秒

殺技巧及專項訓練(原卷版)

c高考大題題型歸納;I)

【題型1圓錐曲線中的軌跡方程問題】

【題型2圓錐曲線中齊次化處理斜率乘積問題】

【題型3圓錐曲線中的三角形(四邊形)面積問題】

【題型4圓錐曲線中的定點、定值、定直線問題】

【題型5圓錐曲線中的極點與極線】

題型1圓錐曲線中的軌跡方程問題

模型一曲線方程的定義

一般地，如果曲線C與方程尸(x,y)=0之間有以下兩個關(guān)系:

①曲線C上的點的坐標都是方程F(X,y)=0的解；

②以方程尸(x，V)=0的解為坐標的點都是曲線。上的點.

此時，把方程/0/)=0叫做曲線C的方程，曲線C叫做方程/(x/)=0的曲線.

模型二求曲線方程的一般步驟:

(1)建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?如果已給出，本步驟省略)；

(2)設(shè)曲線上任意一點的坐標為(x,y)；

(3)根據(jù)曲線上點所適合的條件寫出等式；

(4)用坐標％、V表示這個等式，并化簡；

(5)確定化簡后的式子中點的范圍.

上述五個步驟可簡記為：求軌跡方程的步驟：建系、設(shè)點、列式、化簡、確定點的范圍.

模型三求軌跡方程的方法:

方法一■定義法:

如果動點尸的運動規(guī)律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義,

則可先設(shè)出軌跡方程，再根據(jù)已知條件，待定方程中的常數(shù)，即可得到軌跡方程。

方法二直接法:

如果動點尸的運動規(guī)律是否合乎我們熟知的某些曲線的定義難以判斷，但點尸滿足的等量

關(guān)系易于建立，則可以先表示出點尸所滿足的幾何上的等量關(guān)系，再用點尸的坐標（XJ）

表示該等量關(guān)系式，即可得到軌跡方程。

方法三代入法（相關(guān)點法）：

如果動點尸的運動是由另外某一點P的運動引發(fā)的，而該點的運動規(guī)律已知，（該點坐標

滿足某已知曲線方程），則可以設(shè)出尸（X/）,用（X,y）表示出相關(guān)點P的坐標，然后把P

的坐標代入已知曲線方程，即可得到動點尸的軌跡方程。

方法四點差法:

圓錐曲線中與弦的中點有關(guān)的軌跡問題可用點差法，其基本方法是把弦的兩端點

2（士,%）,8（々,%）的坐標代入圓錐曲線方程，然而相減，利用平方差公式可得再+超，

必+為，x1-x2,必一%等關(guān)系式，由于弦48的中點尸（X/）的坐標滿足2X=M+/，

2y=X+%且直線AB的斜率為三￡，由此可求得弦AB中點的軌跡方程.

模型演煉

已知雙曲線二-『1（。>0,6>0）與直線4：k依+加心±9］有唯一的公共點過點”

abvaJ

且與4垂直的直線4分別交X軸，了軸于/（x,0）,3（0））兩點，點尸坐標為（XJ）,當“點

坐標為（2,3）時，尸點坐標為（8,4）.

（1）求雙曲線的標準方程;

⑵當點”運動時，求P點的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線.

1模型演煉

已知8（1,0）,直線NN,8M相交于且直線的斜率之積為2.

⑴求動點M的軌跡方程；

⑵設(shè)尸,。是點M軌跡上不同的兩點且都在了軸的右側(cè)，直線/P/。在了軸上的截距之比

為1:2,求證：直線PO經(jīng)過一個定點，并求出該定點坐標.

模型演煉

在平面直角坐標系xOy中，已知點片卜6,0卜耳（石,0）,|龍陰|+|〃工|=4,點W的軌跡為

C.

⑴求C的方程；

⑵設(shè)點P在直線X=s（同＞2）上，48為C的左右頂點，直線上4交C于點E（異于42）,

直線尸B交C于點尸（異于42）,EF交4B于G,過G作x軸的垂線分別交尸9、肥于

氏7,問是否存在常數(shù)2,使得忸G|=X|TG|.

OZONEFINEDAY

專項滿分必刷

1.又是一個動點，匐⑶與直線垂直，垂足位于第一象限，與直線

），=-Ylx垂直，垂足位于第四象限，且必心?而心=獸.

281

⑴求動點”的軌跡方程E;

⑵設(shè)4（-2,0）,4（2,0）,過點（3,0）的直線/與曲線￡交于a2兩點（點/在X軸上方），P

為直線//，48的交點，當點尸的縱坐標為生叵時，求直線/的方程.

2

2.在平面直角坐標系xQv中，已知雙曲線M:二--=1經(jīng)過點”（2,1）,點8與點A關(guān)于原

m

點對稱，C為“上一動點，且C異于42兩點.

⑴求M的離心率；

（2）若4867的重心為人，點。（8,4）,求口力的最小值；

（3）若△8CT的垂心為A,求動點T的軌跡方程.

3.已知長為2后的線段尸。的中點為原點。，圓T經(jīng)過R。兩點且與直線F+2=0相切，圓

心T的軌跡為曲線C.

⑴求曲線C的方程；

⑵過點。（1㈤且互相垂直的直線分別與曲線C交于點ER和點MN,且|￡0=。印,

四邊形MEN”的面積為15遍，求實數(shù)6的值.

22.

4.已知橢圓C:鼻+方=1(。>6>0)的離心率為了，長軸長為4,48是其左、右頂點，F(xiàn)

是其右焦點.

(1)求橢圓C的標準方程；

⑵設(shè)尸(%,%)(%>0)是橢圓C上一點，4W吆的角平分線與直線/尸交于點

①求點T的軌跡方程；

9

②若△中尸面積為a，求為.

5.已知點尸(-1,0)和直線mx=2,點尸到加的距離d=4-&|PF|.

(1)求點尸的軌跡方程；

⑵不經(jīng)過圓點O的直線/與點尸的軌跡交于A,8兩點.設(shè)直線的斜率分別為勺,

記W=t,是否存在f值使得的面積為定值，若存在，求出，的值；若不存在,

說明理由.

6.已知動圓過定點力(2,0),且截了軸所得的弦長為4.

(1)求動圓圓心C的軌跡方程；

(2)若點尸(1,0),過點P(5,-4)的直線交C的軌跡于兩點，求|四卜|網(wǎng)|的最小值.

7.在中，已知8（T0）,C（l,0）,設(shè)G,H,少分別是的重心、垂心、外心，且

存在XeR使麗二力數(shù).

⑴求點A的軌跡「的方程；

（2）求“8C的外心少的縱坐標加的取值范圍；

（3）設(shè)直線/少與「的另一個交點為記△/少G與AMGH的面積分別為E.S”是否存在

實數(shù)/使”==？若存在，求出入的值；若不存在，請說明理由.

,2

8.已知/（2,0）,8（—2,0）,P為平面上的一個動點.設(shè)直線NP,8P的斜率分別為勺，修，且

3

滿足勺石=-j記尸的軌跡為曲線r.

（1）求r的軌跡方程；

（2）直線尸/,P8分別交動直線X=t于點C,。，過點C作尸B的垂線交X軸于點”.麻.而是

否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，說明理由.

題型2圓錐曲線中齊次化處理斜率乘積問題

模型一

已知點尸（飛,為）是橢圓與+5=1（。>6>0）上的一個定點，48是橢圓上的兩個動點。

ab

、

2,則直線N5過定點且定點為與—斗,一與要—%；當4=0時,

若直線kpi+kpB

AAa,

%0

kAB為定值^2；

證明：重新建系將橢圓。上的尸（X。,％）成為新的坐標原點按

（X/）一（，，/）x-xr=x-0X=x'+xx'+x)2

Q,°n得橢圓c,：0

Go/o）一（0,0）n.—2

y-y=7-°a

0y=y+y0

又點尸（飛,%）在橢圓5+4=1上，22

所以與+*=1,代入上式可得

abab2

工。罕

I’?V2xf2yo…,……①

橢圓。上的定點p（xo,%）和動點48分別對應橢圓G上的定點。和動點4,瓦，設(shè)直線

4名的方程為mx'+ny'=l,代入①得＜+與+(與x'+當了)(加x'+ny')=

0。當x'w0

abab

f

時，兩邊除以x’2得.1+2產(chǎn)y2+（-2xQn2yomy1+2x0m

-------1------F因為點用的

2z-)----2=0,4,

b2x'2aXa

坐標滿足這個方程，所以ko「koB是這個關(guān)于工的方程的兩個根.

UA\UD\Y，

A

若kpa+kpB=入，由平移斜率不變可知kOAi+kOBi=A,故

2

-2b\n-2ay0m當彳=。時,

八k丁4八k所以—26,0〃-2。2為機=o,由此得

a-(l+2y0n)

m=笆。所以Z5的斜率為定值笆,女”為定值笆;

卜仲1

nyoayoa%。

22222y

即-2bxn-2aym=Aa+2a2yo"------0-m-一2%n=l,由此知點

Qo1

4、^a7

一2%在直線：加工'+町?'=1上，從而直線48過定點

/、

2-o2b/

。丁一丁-y（）?

7

模型二

已知點尸（%,九）是平面內(nèi)一個定點，橢圓C：A+==l（a〉b〉O）上有兩動點48

ab

若直線七4+如B=X，則直線45過定點.

證明：重新建系將橢圓。上的尸（玉,為）成為新的坐標原點按

\x,y）^（x',y'）[x-x'=xo-O[x=x'+x0（才+工丫（/y

,?=>5,橢圓a：----：—H----；—=1

仇，為—（0,0）卜一>=%-0卜=7+為a-b-

2

TT/曰

巨x"y'2x0,2y0，x；,八

展開得：一7+白+―》'+-_/+號+等—1=0.

a2b2a2b2"a2b2

平面內(nèi)的定點尸（%,%）和橢圓c上的動點/、5分別對應橢圓G上的定點。和動點4、

B1,設(shè)直線幺圈的方程為mx'+ny'=\,代入展開式得

/+￡+〔作x'+%v]（"x'+"，'）+—1]（相x'+〃/）2=。，構(gòu)造齊次式）,

當x'wO時，兩邊同時除以X”整理得，

（封|（〃％+1）2_〃2忖+（2mn*+2%“?2加〃1+2%加_^V++

2-m2=0

2/J21口2J/

[axb2

因為點4、耳的坐標滿足這個方程，所以七4和左明是關(guān)于予的方程的兩根.若

kPA+kPB=2,由平移斜率不變可知左04+左％=X所以

2m碣+2/〃+2mn/+2%1m_2mH

4b?___________

左。4+koB1=一=2整理可得到機和〃的關(guān)系，從而

〃F（犯o+U2

b2—

可知直線4名過定點，由平移規(guī)律可得直線48過定點.

模型演練

22

已知橢圓C：二+與=1（。〉6〉0）的左、右焦點分別為片，F(xiàn)2,點河（0,2）是橢圓的一

ab

個頂點，△片〃區(qū)是等腰直角三角形.

（1）求橢圓C的方程;

（2）設(shè)點尸是橢圓C上一動點，求線段EW的中點。的軌跡方程；

（3）過點M分別作直線M4,M3交橢圓于3兩點，設(shè)兩直線的斜率分別為勺，k2,

且占+e=8,探究：直線48是否過定點，并說明理由.

）模型演煉

22

已知橢圓0+學=1（。〉6〉0）的左、右焦點分別是耳，F(xiàn)2,點尸（0,1）在橢圓上，且

所庵=-2.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過點0（2,-1）且不過點尸的直線/交橢圓于4,B兩點,求證：直線尸/與P8的斜

率之和為定值.

模型演煉

如圖，橢圓￡：衛(wèi)+（=1伍〉6〉0）經(jīng)過點2（0,—1）,且離心率為Y2.

ab2

（1）求橢圓E的方程;

(2)若經(jīng)過點(1,1),且斜率為A的直線與橢圓E交于不同的兩點尸，Q(均異于點N),

證明：直線NP與4。的斜率之和為定值.

02ONEFINEDAY

專項滿分必刷)

22(5

1.已知橢圓C:J+4=l(a>6>0)經(jīng)過點B，下頂點A為拋物線/=-4y的焦

abI2,

點.

(1)求橢圓。的方程；

⑵若點P(西,必),。(尤2，%)(%>%)均在橢圓C上，且滿足直線NP與4。的斜率之積為:，

(i)求證：直線P。過定點；

(ii)當赤〃而時，求直線尸。的方程.

22

2.已知橢圓￡：—+^-=1(a>/>>0)中，點A,C分別是￡的左、上頂點，

a"b~

\AC\=45,且E的焦距為2vL

(1)求￡的方程和離心率；

(2)過點(1,0)且斜率不為零的直線交橢圓于&,S兩點，設(shè)直線火S,CR,CS的斜率分別為

k,左，左2，若左+左2=—3,求％的值.

22

3.已知橢圓氏=+2=1(°>6>0)經(jīng)過點(2,a),右焦點為尸(2,0),4,8分別為橢圓E

ab

的上頂點和下頂點.

⑴求橢圓E的標準方程；

⑵己知過(0,1)且斜率存在的直線/與橢圓￡交于C、。兩點，直線8D與直線NC的斜率分

別為島和無，求3的值.

4.在平面直角坐標系xQy中，重新定義兩點/(國,弘),8(%,%)之間的“距離”為

陽=艮-再W我們把到兩定點耳(-c,。),居(c,0)(c>0)的“距離”之和為常數(shù)

2a(a>c)的點的軌跡叫“橢圓”.

⑴求“橢圓”的方程；

⑵根據(jù)“橢圓”的方程，研究“橢圓”的范圍、對稱性，并說明理由；

(3)設(shè)c=l,a=2,作出“橢圓”的圖形，設(shè)此“橢圓”的外接橢圓為C,C的左頂點為A,過用作

直線交C于”,N兩點，的外心為0,求證：直線。。與的斜率之積為定值.

5.焦點在x軸上的橢圓3+%=1的左頂點為M,/(%,必)，B(x2,y2),C1,名)為橢圓

上不同三點，且當?shù)Z=彳歷時，直線"3和直線的斜率之積為

4

⑴求6的值；

⑵若&OAB的面積為1,求x；+x；和療+貨的值；

⑶在(2)的條件下，設(shè)N3的中點為。，求|。必但卻的最大值.

22

6.已知耳，耳分別是橢圓C:[+勺=1(“>6>0)的左、右焦點，左頂點為4則上頂點

ab

為B、,且/用的方程為gx-2y+2百=0.

(1)求橢圓C的標準方程；

⑵若尸是直線x=3上一點，過點尸的兩條不同直線分別交C于點。，E和點"，N,且

PD\PM\

—=求證：直線OE的斜率與直線MN的斜率之和為定值?

PN\PE\

22

7.已知橢圓C:J+二=l(a>6>0)的左、右焦點分別為耳，耳，上頂點為A,右頂點為

ab

IT

B,△/期的面積為20+2，/月/鳥=萬.

(1)求橢圓C的標準方程；

⑵過點片且斜率大于0的直線/交橢圓C于M,N兩點，線段的中點為。，若

0°,當’求直線尸。與直線/的斜率之積的最小值.

8.已知P為圓f+j?=4上任意一點，過點尸作x軸的垂線，垂足為0,M為P0的中點.M

的軌跡曲線E

(1)求曲線E的軌跡方程；

⑵曲線E交x軸正半軸于點/,交y軸正半軸于點R直線/與曲線E交于C,。兩點，若直

線///直線48,設(shè)直線NC,8。的斜率分別為七做證明：左心為定值.

題型3圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問題

弦長公式

\AB|=/再―》2>+（%—8）2

M8|=/l+k2）（X1—乙了

=J1+左2kl_X2|

=J1+片）[（再+工2）2—4XJ%2]（最常用公式，使用頻率最高）

=jl+*+為>-4乂%

三角形面積問題

氏o-％+同

直線48方程：y=kx+md=\PH\=

J1+42

_VA|fcr0-y0+m\

2⑷

模型三焦點三角形的面積

直線AB過焦點月,18￡的面積為

S

MBFl=；陽月卜回一刃=。|必一%|=有

2

22^ab^a^+b-B--C}\C\

^OB=^\AB\d=^A+B2222

aA+bB=2+§2

ab&a2A2—B?七2

a2A2+b2B2

注意：4為聯(lián)立消去x后關(guān)于了的一元二次方程的二次項系數(shù)

模型四平行四邊形的面積

直線AB為y=kx+5,直線CDy=kx+m2

同=J1+左2|西-X2|=Jl+/+/)2_4匹馬=J1+F?_￡)2_4,￡=Jl+F4

V=i明.小衍￡」工|=石加「初

u口ABCD11⑷TiTF

注意：A'為直線與橢圓聯(lián)立后消去>后的一元二次方程的系數(shù).

模型五范圍問題

應用均值不等式求解最值時，應注意“一正二定三相等”

圓錐曲線經(jīng)常用到的均值不等式形式列舉：

\。=---2-t-=---2--

（1）r+64^64（注意分y0,/>0,/<0三種情況討論）

t

I,D|2212kz212/212

/、\1AB\1=3-1—--------=3H-------；---<3H--------

⑵9/+6/+121：2x3+6

yKH—T-+o

當且僅當配=，時，等號成立

325.警+9.崇―4霽25K、9g:64

(3)閡

25"

當且僅當25?薯=9?蕓時等號成立.

9/25%

22

112/2c、1ITm-m+8

(4)2^2m(一加+8^-22X2=V2

當且僅當加2=—相+8時，等號成立

⑸

________________________2左2—加；+1+加;

I向〒三工品=4?叵

當且僅當2F+1=2叫2時等號成立.

模型演演

雙曲線，最早由門奈赫莫斯發(fā)現(xiàn)，后來阿波羅尼茲進行了總結(jié)和完善.在他的著作中，雙曲

22

線也被稱作“超曲線”.已知雙曲線C：A-A=l(a,6>0)的實半軸長為2,左、右頂點分別

ab

為44,經(jīng)過點8(4,0)的直線/與C的右支分別交于N兩點，其中點"在x軸上方.

k

⑴若軸時，|MN|=2迷，設(shè)直線朋4幅2的斜率分別為即k2,求或的值；

⑵若ZBA2N=2NBA、M,求的面積.

Ei模型演演

設(shè)拋物線方程為/=2x,過點尸的直線尸4P8分別與拋物線相切于48兩點，且點A在x

軸下方，點B在x軸上方.

⑴當點尸的坐標為(-1,-2)時，求|4耳；

(2)點C在拋物線上，且在x軸下方，直線交x軸于點N,直線N5交x軸于點且

s

3MM<2忸M.若"BC的重心在X軸上，求—的最大值.(注：S表示三角形的面積)

3△BMN

模型演煉

22/y

已知橢圓C：=+彳=1(。>6>0)過點N(2,夜)，且C的離心率為注.

ab2

(1)求C的方程；

⑵設(shè)直線/交C于不同于點N的M,N兩點，直線⑷V的傾斜角分別為a,P,若

COSCL

----=-1,求面積的最大值.

cosp

03ONEFINEDA^'\

專項滿分必刷）

2

1.設(shè)點片(-c,0)、芭(c,。)分別是橢圓C:j+F=l的左、右焦點，尸為橢圓C上任意一點,

a

且麗?麗的最小值為-2.

(1)求橢圓C的方程；

(2)求橢圓C的外切矩形/BCD的面積S的最大值.

22

2.在橢圓C:上+乙=1上任取一點尸，過點尸作x軸的垂線段P￡),。為垂足，點M在線

42

段PO上，且滿足=

⑴當點P在橢圓C上運動時，求點M的軌跡￡的方程;

（2）若曲線E與x,丁軸的正半軸分別交于點A,B,點N是E上第三象限內(nèi)一點，線段/N

與了軸交于點線段2N與x軸交于點G,求四邊形43G〃的面積.

3.在橢圓（雙曲線）中，任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，該圓的圓心是橢

圓（雙曲線）的中心，半徑等于橢圓（雙曲線）長半軸（實半軸）與短半軸（虛半軸）平方和（差）的算

22

術(shù)平方根，則這個圓叫蒙日圓.已知橢圓￡：3+2=1（°>6>0）的蒙日圓的面積為13兀，該

ab

橢圓的上頂點和下頂點分別為月出，且|片司=2,設(shè)過點0（0,的直線4與橢圓E交于43

兩點（不與4,5兩點重合）且直線/2：x+2y-6=0.

⑴證明：/耳，臺月的交點P在直線歹=2上；

⑵求直線明，如，圍成的三角形面積的最小值.

4.已知橢圓C的方程￡+4=l（a>b>0）,右焦點為尸（1,0）,且離心率為:

ab2

（1）求橢圓C的方程；

⑵設(shè)48是橢圓C的左、右頂點，過尸的直線/交C于。，E兩點（其中。點在X軸上方）,

求ADBF與AAEF的面積之比的取值范圍.

5.已知橢圓…）的左、右焦點分別為不離心率為*點”

直線x=-3（j主0）上運動,且直線MF、的斜率與直線MF2的斜率之商為2.

⑴求C的方程;

(2)若點/、2在橢圓C上，。為坐標原點，且。4,02,求力08面積的最小值.

22

6.已知橢圓C:J+==l(a>6>0)的下、上頂點分別為烏,與，左、右頂點分別為4,4,

ab

四邊形%的面積為6石，若橢圓c上的點到右焦點距離的最大值和最小值之和為6.(i)

求橢圓c的方程；

⑵過點(-1,。)且斜率不為o的直線/與c交于RO(異于4,4)兩點，設(shè)直線4尸與直線

4。交于點探究三角形片82M的面積是否為定值，請說明理由.

7.已知橢圓E:g+《=l(a>0,b>0)經(jīng)過PW],兩點.

abIZ)\2J

(1)求￡的方程；

(2)若圓/+丁=1的兩條相互垂直的切線4%均不與坐標軸垂直，且直線分別與￡相交

于點N,C和8,D,求四邊形/BCD面積的最小值.

22

8.已知橢圓C的方程為5+彳=1(“>6>0),由其3個頂點確定的三角形的面積為4,點

ab

尸(2,1)在C上，48為直線x=4上關(guān)于x軸對稱的兩個動點，直線N尸,3尸與C的另一個交

點分別為

(1)求C的標準方程；

⑵證明：直線經(jīng)過定點；

(3)0為坐標原點，求△MCW面積的最大值.

題型4圓錐曲線中的定點、定值、定直線問題

模型一定點問題

1.求解（或證明）直線和曲線過定點的基本思路是把直線或曲線方程中的變量》,＞視作常

數(shù)，把方程一邊化為零，既然是過定點，那么這個方程就是對任意參數(shù)都成立，這時參數(shù)的

系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個關(guān)于工,丁的方程組，這個方程組的解所確定的點就

是直線或曲線所過的定點.

2.常用方法一是引進參數(shù)法，引進動點的坐標或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變

化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，找到定點二是特殊到一般法，根據(jù)動點或動線的特殊情況探

索出定點，再證明該定點與變量無關(guān).

模型二定值問題

1.解析幾何中的定值問題是指某些幾何量（線段的長度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線的斜

率等）的大小或某些代數(shù)表達式的值等和題目中的參數(shù)無關(guān)，不依參數(shù)的變化而變化，而始

終是一個確定的值.常見定值問題的處理方法：

（1）確定一個（或兩個）變量為核心變量，其余量均利用條件用核心變量進行表示

（2）將所求表達式用核心變量進行表示，然后進行化簡，看能否得到一個常數(shù).

2.定值問題的處理技巧：

（1）對于較為復雜的問題，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直線等）求出定值，進

而給后面一般情況的處理提供一個方向.

（2）在運算過程中，盡量減少所求表達式中變量的個數(shù)，以便于向定值靠攏

（3）巧妙利用變量間的關(guān)系，例如點的坐標符合曲線方程等，盡量做到整體代入，簡化運

算

模型三定直線問題

定直線問題是證明動點在定直線上，其實質(zhì)是求動點的軌跡方程，所以所用的方法即為求

軌跡方程的方法，如定義法、消參法、交軌法等.

/模型演煉

已知拋物線C：V=2px(p>0),M是其準線與a軸的交點，過點M的直線/與拋物線C交

于42兩點，當點/的坐標為(4,y°)時，有|人必|=|氏4|.

(1)求拋物線C的方程；

(2)設(shè)點N關(guān)于x軸的對稱點為點P,證明：直線5尸過定點，并求出該定點坐標.

模型演族

已知斜率為百的直線/與拋物線C：/=4x相交于P,。兩點.

(1)求線段中點縱坐標的值；

⑵已知點7(6,0),直線TP,TQ分別與拋物線相交于N兩點(異于P,0).求證直線

恒過定點，并求出該定點的坐標.

01模型演煉

丫2

已知雙曲線。：3-丁=1，點A是雙曲線C的左頂點，點尸坐標為（4,0）.

⑴過點P作C的兩條漸近線的平行線分別交雙曲線C于&,S兩點.求直線RS的方程；

⑵過點尸作直線/與橢圓一+/=1交于點。，E,直線AD,NE與雙曲線C的另一個交

4

點分別是點“，N.試問：直線兒W是否過定點，若是，請求出該定點坐標；若不過定點,

請說明理由.

04ONEFINEDAY

專項滿分必刷）

22

1.已知橢圓C:=+斗=1（q>6>0）的左、右焦點分別為耳，鳥,c過點5（-2,3）,且C的長軸

ab

長為8.

（1）求C的方程.

（2）設(shè)C的右頂點為點A,過點。（4,6）的直線/與C交于尸，。兩點（異于8）,直線/P,/。

與了軸分別交于點M,N,試問線段九W的中點是否為定點？若是，求出該定點的坐標；若

不是，請說明理由.

22

2.已知橢圓。:鼻+彳=1（0>6>0）的上下頂點分別為鳥,鳥，左右頂點分別為4,4,四邊

ab

形444與的面積為6VL若橢圓c上的點到右焦點距離的最大值和最小值之和為6.（1）求橢

圓c的方程；

⑵過點（T,o）且斜率不為o的直線/與c交于P,。（異于44）兩點，設(shè)直線4尸與直線

40交于點"，證明：點”在定直線上.

22

3.如圖，已知橢圓「的短軸長為4,焦點與雙曲線三-?=1的焦點重合.點尸（4,0）,斜

（1）求常數(shù)f的取值范圍，并求橢圓「的方程.

（2）（本題可以使用解析幾何的方法，也可以利用下面材料所給的結(jié)論進行解答）

極點與極線是法國數(shù)學家吉拉德?迪沙格于1639年在射影幾何學的奠基之作《圓錐曲線論稿》

中正式闡述的.對于橢圓「:]+，=1,極點尸（%,%）（不是原點）對應的極線為

）：誓+萼=1,且若極點尸在x軸上，則過點尸作橢圓的割線交「于點4,耳，則對于"上

ab

任意一點。，均有％4+%與=2⑥°（當斜率均存在時）.已知點。是直線4上的一點，且點。

的橫坐標為2.連接尸。交V軸于點E.連接PA,PB分別交橢圓「于M,N兩點.

①設(shè)直線48、血W分別交V軸于點。、點T,證明：點￡為。、T的中點；

②證明直線：兒加恒過定點，并求出定點的坐標.

22

4.已知橢圓C:1r+%=1(。>6>0)的左、右焦點分別為耳匕C過點8(-2,3),且

降+而|=|陽.

(1)求C的方程.

(2)設(shè)C的右頂點為點A,過點。(4,6)的直線/與C交于尸，。兩點(異于3),直線/尸,/。

與了軸分別交于點”,N,試問線段MN的中點是否為定點？若是，求出該定點的坐標；若

不是，請說明理由.

22

5.已知橢圓U1+2=1(。>6>0)的離心率為且經(jīng)過點(1,|；

ab

(1)求橢圓C的方程；

⑵設(shè)過點P(O,I)且不與坐標軸垂直的直線/與橢圓c交于42兩點，過42分別作y軸的垂

線，垂足為點求證：直線NN與即/的交點在某條定直線上，并求該定直線的方程.

22

6.已知橢圓工:、+4=1(“>%>0)的左頂點4-3,0)和下頂點焦距為4vL直線/交橢

ab

圓/于C,D(不同于橢圓的頂點)兩點，直線AD交y軸于直線8c交x軸于N,且

直線MN交I于P.

(1)求橢圓心的標準方程；

(2)若直線AD,8C的斜率相等，證明：點P在一條定直線上運動.

7.在平面直角坐標系xQy中，動點M到點尸(1,0)的距離與到直線x=4的距離之比為

⑴求動點M軌跡少的方程；

⑵過點尸的兩條直線分別交少于4,2兩點和C,。兩點，線段AB,CD的中點分別為尸,

Q.設(shè)直線N3,8的斜率分別為左，k2,且《+；=1,試判斷直線尸。是否過定點.若

是，求出定點的坐標；若不是，請說明理由.

8.已知動圓V經(jīng)過定點片卜6,0),且與圓巴：+_/=16內(nèi)切.

(1)求動圓圓心”的軌跡C的方程；

⑵設(shè)軌跡C與X軸從左到右的交點為A,3,點尸為軌跡C上異于A,8的動點，設(shè)P3交

直線x=4于點7,連接NT交軌跡C于點。，直線/尸，/。的斜率分別為3.，k4s.

①求證：七"3。為定值；

②證明：直線尸0經(jīng)過x軸上的定點，并求出該定點的坐標.

題型5圓錐曲線中的極點與極線

圓錐曲線的極點與極線

22

已知橢圓C：W+彳=1(a>b>0),則稱點P(x。,％)和直線算+繆=1為橢圓的一對極點

a2b2a2b1

和極線.極點和極線是成對出現(xiàn)的.

我們先從幾何的角度來研究圓錐曲線的極點與極線.

從幾何角度看極點與極線

如圖，設(shè)尸是不在圓錐曲線上的一點，過尸點引兩條割線依次交圓錐曲線于四點E,F,

G,H,連接E〃，F(xiàn)G交于N,連接EG,FH交于M,則直線為點尸對應的極線.

若P為圓錐曲線上的點，則過P點的切線即為極線.

由圖同理可知，尸用■為點N對應的極線，PN為點M所對應的極線.因而將△MvP稱為自

極三點形.

設(shè)直線交圓錐曲線于點A,B兩點,則PN,尸8恰為圓錐曲線的兩條切線.

定理：（1）當P在圓錐曲線「上時，則點尸的極線是曲線「在P點處的切線；

（2）當尸在「外時，過點尸作「的兩條切線，設(shè)其切點分別為A,B,則點尸的極線是直

線AB（即切點弦所在的直線）；

（3）當尸在「內(nèi)時，過點P任作一割線交「于A,B,設(shè)「在A,3處的切線交于點。，

則點尸的極線是動點。的軌跡.

4^/模型演演

己知拋物線C：V=2px（0>O）的焦點為尸，且尸與圓川:/+（了+4）2=1上的點的距離的最

小值4.

⑴求。；

⑵若點尸在圓”上，是C的兩條切線，48是切點，求AP/2面積的最大值.

模型演煉

已知尸為拋物線c：x?=2抄5>0)的焦點，直線/：y=2x+l與C交于/,2兩點且

|/尸|+15F|=20.

(1)求C的方程.

(2)若直線〃?：y=2x+f(/wl)與C交于M,N兩點，且與BN相交于點7,證明：點

T在定直線上.

模型演煉

若雙曲線x2-y2=9與橢圓c:￡+《=l(a>6>0)共頂點，且它們的離心率之積為工

ab3

(I)求橢圓C的標準方程；

(2)若橢圓c的左、右頂點分別為4,4,直線/與橢圓c交于P、。兩點，設(shè)直線4尸

與4。的斜率分別為勺，k2,且勺一g魚=o.試問，直線/是否過定點？若是，求出定點的

坐標；若不是，請說明理由.

05oNEFINEDAY"

專項滿分必刷

1.設(shè)4,4分別是橢圓「4+/=1(。>1)的左、右頂點，點8為橢圓的上頂點.

a

（1）若4%.￡S=-4，求橢圓r的方程；

（2）設(shè)鳥是橢圓的右焦點，點。是橢圓第二象限部分上一點，若線段招。的中點

〃■在y軸上，求△月8。的面積.

（3）設(shè)。=3,點尸是直線尤=6上的動點，點C和。是橢圓上異于左右頂點的兩點，且C,

。分別在直線尸4和尸4上，求證：直線CD恒過一定點.

2

2.已知A,B分別是雙曲線￡:彳2-乙=1的左，右頂點，直線/（不與坐標軸垂直）過點

4

N（2,0）,且與雙曲線E交于C,。兩點.

（1）若函=3而，求直線/的方程；

（2）若直線NC與AD相交于點P,求證：點P在定直線上.

22

3.已知橢圓C章+方=1（。>0,6>0）與了軸的交點48（點/位于點B的上方），尸為左

焦點，原點。到直線反4的距離為在人

2

（1）求橢圓C的離心率；

（2）設(shè)6=2,直線>=米+4與橢圓C交于不同的兩點求證：直線8M與直線/N

的交點G在定直線上.

4.已知橢圓C的離心率6=號,長軸的左、右端點分別為4(-2,0),4(2,0)

⑴求橢圓C的方程；

(2)設(shè)直線工=叼+1與橢圓C交于尸，。兩點，直線4P與4。交于點S,試問：當〃7變化

時，點S是否恒在一條直線上？若是，請寫出這條直線的方程，并證明你的結(jié)論；若不是,

請說明理由.

5.已知橢圓C：[+，=1(。>6>0)經(jīng)過點/1,辛，其長半軸長為2.

(1)求橢圓C的方程：

⑵設(shè)經(jīng)過點3(7,0)的直線/與橢圓C相交于。，E兩點，點E關(guān)于x軸的對稱點為尸，直

線。下與x軸相交于點G,求△DEG的面積S的取值范圍.

6.已知橢圓C:，+1=l(a>0)的焦距為2,48分別為橢圓C的左、右頂點，為橢圓

C上的兩點(異于48),連結(jié)AM,BN,MN,且BN斜率是斜率的3倍.

(1)求橢圓C的方程；

(2)證明:直線次W恒過定點.

22

7.橢圓c：金+與=1僅>0)的左、右頂點分別為4，4,上頂點為3,點。(1,0),線BD

的傾斜角為135。.

(1)求橢圓C的方程；

(2)過。且斜率存在的動直線與橢圓C交于M、N兩點，直線4M與4N交于尸，求證:

P在定直線上.

8.已知橢圓C:J+，=l(a>6>0)的離心率為，且點［1,一"在橢圓上.

(1)求橢圓C的標準方程;

(2)如圖，橢圓C的左、右頂點分別為/,B,點、M,N是橢圓上異于/,2的不同兩點,

直線8N的斜率為左(左/0),直線的斜率為北，求證：直線過定點.

專題05五類圓錐曲線題型-2024年高考數(shù)學大題秒

殺技巧及專項訓練(解析版)

c高考大題題型歸納;I)

【題型1圓錐曲線中的軌跡方程問題】

【題型2圓錐曲線中齊次化處理斜率乘積問題】

【題型3圓錐曲線中的三角形(四邊形)面積問題】

【題型4圓錐曲線中的定點、定值、定直線問題】

【題型5圓錐曲線中的極點與極線】

題型1圓錐曲線中的軌跡方程問題

模型一曲線