《數(shù)字信號(hào)處理》課件第6章

第6章有限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)6.1線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)6.2用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器6.3用頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR濾波器6.4等波紋線性相位濾波器

6.5FIR濾波器和IIR濾波器的比較6.6數(shù)字濾波器的應(yīng)用6.1線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)

如果FIR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)是實(shí)數(shù)序列，而且滿足偶對(duì)稱或奇對(duì)稱的條件，即h(n)=h(N-1-n)

或h(n)=-h(N-1-n)

則濾波器就具有嚴(yán)格的線性相位特點(diǎn)。6.1.1線性相位特性先看h(n)偶對(duì)稱的情況:h(n)=h(N-1-n) 0≤n≤N-1（6-1）其系統(tǒng)函數(shù)為將m=N-1-n代入即上式改寫(xiě)成（6-2）（6-3）濾波器的頻率響應(yīng)為（6-4）我們可以看到，上式的Σ以內(nèi)全部是標(biāo)量，如果我們將頻率響應(yīng)用相位函數(shù)θ(ω)及幅度函數(shù)H(ω)表示（6-5）那么有：（6-6）（6-7）式(6-6)的幅度函數(shù)H(ω)是標(biāo)量函數(shù)，可以包括正值、負(fù)值和零，而且是ω的偶對(duì)稱函數(shù)和周期函數(shù);而|H(ejω)|取值大于等于零,兩者在某些ω值上相位相差π。式(6-7)的相位函數(shù)θ(ω)具有嚴(yán)格的線性相位，如圖6-1所示。圖6-1h(n)偶對(duì)稱時(shí)線性相位特性數(shù)字濾波器的群延遲τ(ω)定義為（6-8）式中，grd(group

delay)為群延遲函數(shù)。由式（6-8）可知，當(dāng)h(n)滿足偶對(duì)稱時(shí)，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器具有(N-1)/2個(gè)采樣的延時(shí)，它等于單位脈沖響應(yīng)h(n)長(zhǎng)度的一半。也就是說(shuō)，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器的輸出響應(yīng)整體相對(duì)于輸入延時(shí)了(N-1)/2個(gè)采樣周期。再看h(n)奇對(duì)稱的情況:h(n)=-h(N-1-n)0≤n≤N-1（6-9）其系統(tǒng)函數(shù)為因此H(z)=-z-(N-1)H(z-1)（6-10）同樣可以改寫(xiě)成（6-11）其頻率響應(yīng)為（6-12）所以有:（6-13）（6-14）

幅度函數(shù)H(ω)可以包括正值、負(fù)值和零，而且是ω的奇對(duì)稱函數(shù)和周期函數(shù)。相位函數(shù)既是線性相位，又包括π/2的相移，如圖6-2所示?？梢钥闯?，當(dāng)h(n)為奇對(duì)稱時(shí)，F(xiàn)IR濾波器不僅有(N-1)/2個(gè)采樣的延時(shí)，還產(chǎn)生一個(gè)90°的相移。這種使所有頻率的相移皆為90°的網(wǎng)絡(luò)，稱為９０°移相器，或稱正交變換網(wǎng)絡(luò)。它和理想低通濾波器、理想微分器一樣，有著極重要的理論和實(shí)際意義。當(dāng)h(n)為奇對(duì)稱時(shí)，F(xiàn)IR濾波器將是一個(gè)具有準(zhǔn)確的線性相位的正交變換網(wǎng)絡(luò)。圖6-2h(n)奇對(duì)稱時(shí)線性相位特性6.1.2幅度響應(yīng)特性1.第一種類型：

h(n)為偶對(duì)稱，N為奇數(shù)從h(n)偶對(duì)稱的幅度函數(shù)式（6-6）可以看出，不但h(n)對(duì)于(N-1)/2呈偶對(duì)稱，而且 也對(duì)(N-1)/2呈偶對(duì)稱，即:因此，可以將Σ內(nèi)兩兩相等的項(xiàng)合并，例如n=0項(xiàng)與n=N-1項(xiàng)合并，n=1項(xiàng)與n=N-2項(xiàng)合并，等等。但是，由于N是奇數(shù)，兩兩合并的結(jié)果必然還剩下一項(xiàng)，即n=(N-1)/2項(xiàng)是單項(xiàng)，無(wú)法和其他項(xiàng)合并，這樣，幅度函數(shù)就可以表示為再進(jìn)行一次換元，即令 ，則上式可改寫(xiě)為可表示為（6-15）式中:（6-16a）n=1,2,3,…,(N-1)/2（6-16b）

按照式（6-15），由于式中cos(ωn)項(xiàng)對(duì)ω=0,π,2π皆為偶對(duì)稱，因此幅度函數(shù)H(ω)對(duì)于ω=0,π，2π也呈偶對(duì)稱。

2.第二種類型：h(n)為偶對(duì)稱，N為偶數(shù)推導(dǎo)過(guò)程和前面N為奇數(shù)相似，不同點(diǎn)是由于N為偶數(shù)，因此式（6-6）中無(wú)單獨(dú)項(xiàng)，全部可以兩兩合并得令 ，代入上式可得因此（6-17）式中:n=1,2,3,…,N/2（6-18）按照式（6-17），當(dāng)ω=π時(shí)， ，余弦項(xiàng)對(duì)ω=π呈奇對(duì)稱，因此H(π)=0，即H(z)在z=ejπ=-1處必然有一個(gè)零點(diǎn)，而且H(ω)對(duì)ω=π呈奇對(duì)稱。當(dāng)ω=0或2π時(shí)， 或-1，余弦項(xiàng)對(duì)ω=0,2π為偶對(duì)稱，幅度函數(shù)H(ω)對(duì)于ω=0,2π也呈偶對(duì)稱。如果數(shù)字濾波器在ω=π處不為零，例如高通濾波器、帶阻濾波器，則不能用這類數(shù)字濾波器來(lái)設(shè)計(jì)。3.第三種類型：h(n)為奇對(duì)稱，N為奇數(shù)將h(n)奇對(duì)稱的幅度函數(shù)式（6-13）重寫(xiě)如下：

由于h(n)對(duì)于(N-1)/2呈奇對(duì)稱，即h(n)=-h(N-1-n)，當(dāng)n=(N-1)/2時(shí)，因此， ,即h(n)奇對(duì)稱時(shí)，中間項(xiàng)一定為零。此外，在幅度函數(shù)式（6-13）中， 也對(duì)(N-1)/2呈奇對(duì)稱。因此，在Σ中第n項(xiàng)和第(N-1-n)項(xiàng)是相等的，將這兩兩相等的項(xiàng)合并，共合并為(N-1)/2，即令 ，則上式可改寫(xiě)為即式中:n=1,2,3,…,(N-1)/2（6-20）（6-19）由于sin(ωn)在ω=0,π,2π處都為零，并對(duì)這些點(diǎn)呈奇對(duì)稱，因此幅度函數(shù)H(ω)在ω=0,π,2π處為零，即H(z)在z=±1上都有零點(diǎn)，且H(ω)對(duì)于ω=0,π,2π也呈奇對(duì)稱。如果數(shù)字濾波器在ω=0,π,2π處不為零，例如低通濾波器、高通濾波器、帶阻濾波器，則不能用這類數(shù)字濾波器來(lái)設(shè)計(jì)，除非不考慮這些頻率點(diǎn)上的值。

4.第四種類型：h(n)為奇對(duì)稱，N為偶數(shù)和前面情況3推導(dǎo)類似，不同點(diǎn)是由于N為偶數(shù)，因此式（6-13）中無(wú)單獨(dú)項(xiàng)，全部可以兩兩合并得令 ，則有因此式中:（6-22）（6-21）由式（6-21），當(dāng)ω=0,2π時(shí)， ，且對(duì)ω=0,2π呈奇對(duì)稱，因此H(ω)在ω=0,2π處為零，即H(z)在z=1處有一個(gè)零點(diǎn)，且H(ω)對(duì)ω=0,2π也呈奇對(duì)稱。

當(dāng)ω=π時(shí)， 或1，則 對(duì)ω=π呈偶對(duì)稱，幅度函數(shù)H(ω)對(duì)于ω=π也呈偶對(duì)稱。如果數(shù)字濾波器在ω=0,2π處不為零，例如低通濾波器、帶阻濾波器，則不能用這類數(shù)字濾波器來(lái)設(shè)計(jì)。最后,將這四種線性相位FIR濾波器的特性示于表6-1中。表6-1四種線性相位濾波器表6-1四種線性相位濾波器6.1.3線性相位FIR濾波器的零點(diǎn)位置由式（6-2）與式（6-10）可以看到，線性相位FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)有以下特點(diǎn)：H(z)=±z-(N-1)H(z-1)（6-23）因此，若z=zi是H(z)的零點(diǎn)，即H(zi)=0，則它的倒數(shù)z=1/zi=zi-1也一定是H(z)的零點(diǎn)，因?yàn)镠(zi-1)=±zi

(N-1)

H(zi)=0;而且當(dāng)h(n)是實(shí)數(shù)時(shí)，H(z)的零點(diǎn)必成共軛對(duì)出現(xiàn)，所以z=zi*及z=(z*i)-1也一定是H(z)的零點(diǎn)，因而線性相位FIR濾波器的零點(diǎn)必是互為倒數(shù)的共軛對(duì)。這種互為倒數(shù)的共軛對(duì)有四種可能性：(1)zi既不在實(shí)軸上，也不在單位圓上，則零點(diǎn)是互為倒數(shù)的兩組共軛對(duì)，如圖6-3(a)所示。

(2)zi不在實(shí)軸上，但是在單位圓上，則共軛對(duì)的倒數(shù)是它們本身，故此時(shí)零點(diǎn)是一組共軛對(duì)，如圖6-3(b)所示。

(3)zi在實(shí)軸上但不在單位圓上，只有倒數(shù)部分，無(wú)復(fù)共軛部分。故零點(diǎn)對(duì)如圖6-3(c)所示。

(4)zi既在實(shí)軸上又在單位圓上，此時(shí)只有一個(gè)零點(diǎn)，有兩種可能，或位于z=1，或位于z=-1，如圖6-3(d)、(e)所示。圖6-3線性相位FIR濾波器的零點(diǎn)位置圖

由幅度響應(yīng)的討論可知，第二種類型的線性相位濾波器由于H(π)=0，因此必然有單根z=-1。第四種類型的線性相位濾波器由于H(0)=0,因此必然有單根z=1。而第三種類型的線性相位濾波器由于H(0)=H(π）=0，因此這兩種單根z=±1都必須有。了解了線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)，便可根據(jù)實(shí)際需要選擇合適類型的FIR濾波器，同時(shí)設(shè)計(jì)時(shí)需遵循有關(guān)的約束條件。下面討論線性相位FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法時(shí)，都要用到這些特點(diǎn)。6.1.4舉例

例6-1

如果系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為0≤n≤4其他n顯然，這是第一種類型的線性相位FIR數(shù)字濾波器。該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為該系統(tǒng)的振幅、相位和群延遲示于圖6-4中。因?yàn)閔(n)的長(zhǎng)度N=5，群延遲也是整數(shù)，τ(ω)=(N-1)/2=2。圖6-4例6-1系統(tǒng)的頻率響應(yīng)（a）振幅特性;(b)相位;(c)群延遲圖6-5例6-2系統(tǒng)的頻率響應(yīng)(a）振幅特性;(b)相位;(c)群延遲例6-2

系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為0≤n≤5其他n

h(n)為偶對(duì)稱且長(zhǎng)度N=6，因此，這是第二種類型的線性相位FIR數(shù)字濾波器。該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為該系統(tǒng)的振幅、相位和群延遲示于圖6-5中。

例6-3

系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為h(n)=δ(n)-δ(n-2)

h(n)為奇對(duì)稱且長(zhǎng)度N=3，因此，這是第三種類型的線性相位FIR數(shù)字濾波器。該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為該系統(tǒng)的振幅、相位和群延遲示于圖6-6中。圖6-6例6-3系統(tǒng)的頻率響應(yīng)（a）振幅特性;(b)相位;(c)群延遲圖6-7例6-4系統(tǒng)的頻率響應(yīng)（a）振幅特性;(b)相位;(c)群延遲

例6-4

系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為

h(n)=δ(n)-δ(n-1)

h(n)為奇對(duì)稱且長(zhǎng)度N=2，這是第四種類型的線性相位FIR數(shù)字濾波器。該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為該系統(tǒng)的振幅、相位和群延遲示于圖6-7中。[例6-5]

一個(gè)FIR線性相位濾波器的單位脈沖響應(yīng)是實(shí)數(shù)的，且n<0和n>6時(shí)h(n)=0。如果h(0)=1且系統(tǒng)函數(shù)在z=0.5ejπ/3和z=3各有一個(gè)零點(diǎn)，H(z)的表達(dá)式是什么？

解因?yàn)閚<0和n>6時(shí)h(n)=0，且h(n)是實(shí)值，所以當(dāng)H(z)在z=0.5ejπ/3

有一個(gè)復(fù)零點(diǎn)時(shí)，則在它的共軛位置z=0.5e-jπ/3

處一定有另一個(gè)零點(diǎn)。這個(gè)零點(diǎn)共軛對(duì)產(chǎn)生如下的二階因子：H1(z)=(1-0.5ejπ/3

z-1)(1-0.5e-jπ/3z-1)=1-0.5z-1+0.25z-2

線性相位的約束條件需要在這兩個(gè)零點(diǎn)的倒數(shù)位置上有零點(diǎn)，所以H(z)同樣必須包括如下的有關(guān)因子：

系統(tǒng)函數(shù)還包含一個(gè)z=3的零點(diǎn)，同樣線性相位的約束條件需要在z=1/3也有一個(gè)零點(diǎn)。于是，H(z)還具有如下因子：由此，我們有最后，多項(xiàng)式中零階項(xiàng)的系數(shù)為A，為使h(0)=1，必定有：A=1。6.2用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器6.2.1設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器最簡(jiǎn)單的方法是窗函數(shù)法。這種方法一般是先給定所要求的理想濾波器的頻率響應(yīng)Hd(ejω)，要求設(shè)計(jì)一個(gè)FIR濾波器頻率響應(yīng) ,去逼近理想的頻率響應(yīng)Hd(ejω)。然而，窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器是在時(shí)域進(jìn)行的，因此，必須首先由理想頻率響應(yīng)Hd(ejω)的傅里葉反變換推導(dǎo)出對(duì)應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)hd(n)（6-24）

由于許多理想化的系統(tǒng)均用分段恒定的或分段函數(shù)表示的頻率響應(yīng)來(lái)定義，因此這種系統(tǒng)具有非因果的和無(wú)限長(zhǎng)的脈沖響應(yīng)，即hd(n)一定是無(wú)限長(zhǎng)的序列，且是非因果的。而我們要設(shè)計(jì)的是FIR濾波器，其h(n)必定是有限長(zhǎng)的，所以要用有限長(zhǎng)的h(n)來(lái)逼近無(wú)限長(zhǎng)的hd(n)，最簡(jiǎn)單且最有效的方法是截?cái)鄅d(n)0≤n≤N-1其他通常，我們可以把h(n)表示為所需單位脈沖響應(yīng)與一個(gè)有限長(zhǎng)的窗口函數(shù)序列w(n)的乘積，即h(n)=hd(n)w(n)（6-26）（6-25）式中，如果采用如式（6-25）的簡(jiǎn)單截取，則窗函數(shù)為矩形窗。0≤n≤N-1其他（6-27）矩形窗的波形如圖6-8（b）所示。例如，要求設(shè)計(jì)一個(gè)FIR低通數(shù)字濾波器，假設(shè)理想低通濾波器的頻率響應(yīng)為|ω|≤ωc

ωc<|ω|≤π（6-28）相應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)hd(n)為（6-29）

這是一個(gè)中心點(diǎn)在a的偶對(duì)稱、無(wú)限長(zhǎng)、非因果序列，hd(n)的波形如圖6-8（a）所示。為了構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)度為N的線性相位濾波器，只有將hd(n)截取一段，并保證截取的一段對(duì)(N-1)/2對(duì)稱，故中心點(diǎn)a必須取a=(N-1)/2。設(shè)截取的一段用h(n)表示，如式（6-26）所示，h(n)的波形如圖6-8（c）所示。圖6-8理想低通的單位脈沖響應(yīng)及矩形窗

由復(fù)卷積定理可知，時(shí)域相乘，頻域是周期卷積，故h(n)的頻率特性為（6-30）

H(ejω)能否逼近Hd(ejω)取決于窗函數(shù)的頻譜特性W(ejω)這里選用矩形窗RN(n)，其頻譜特性為（6-31）幅頻特性和相頻特性為（6-32）式中：其中，WR(ω)是周期函數(shù)，如圖6-9（b）所示。主瓣寬度為4π/N，兩側(cè)有許多衰減振蕩的旁瓣。通常主瓣定義為原點(diǎn)兩邊第一個(gè)過(guò)零點(diǎn)之間的區(qū)域。（6-33）圖6-9矩形窗對(duì)理想低通幅頻特性的影響若將理想濾波器的頻率響應(yīng)也寫(xiě)成（6-34）則其幅頻特性（6-35）

將式（6-32）和式（6-34）代入式（6-30），就可以得到實(shí)際設(shè)計(jì)的FIR濾波器頻率響應(yīng)H(ejω)（6-36）設(shè)（6-37）則實(shí)際設(shè)計(jì)的FIR濾波器的幅頻特性為（6-38）

顯然，對(duì)實(shí)際FIR濾波器的幅頻特性H(ω)有影響的只是窗函數(shù)的幅頻特性WR(ω)。實(shí)際FIR濾波器的幅頻特性是理想低通濾波器的幅頻特性與窗函數(shù)的幅頻特性的復(fù)卷積。

復(fù)卷積過(guò)程可用圖6-9說(shuō)明。為了觀察到復(fù)卷積給H(ω)帶來(lái)的過(guò)沖和波動(dòng)，只看幾個(gè)特殊的頻率點(diǎn)。（1）ω=0時(shí)的響應(yīng)H(0)，根據(jù)式（6-38），響應(yīng)應(yīng)該是圖6-9中（a）和(b)兩個(gè)函數(shù)乘積的積分，即H(0)等于WR(θ)在θ=-ωc到θ=+ωc一段的積分面積。通常ωc>>2π/N，H(0)實(shí)際上近似等于WR(θ)的全部積分（θ=-π到θ=+π）面積。（2）ω=ωc時(shí)的響應(yīng)H(ωc)，Hd(θ)剛好與WR(ω-θ)的一半重疊，如圖6-9（c）。因此卷積值剛好是H(0)的一半，即H(ωc)/H(0)=1/2，如圖6-9（f）。

（3）ω=ωc-2π/N時(shí)的響應(yīng)H(ωc-2π/N)，WR(ω-θ)的全部主瓣都在Hd(θ)的通帶（|ω|≤ωc）之內(nèi)，如圖6-9（d）。因此卷積結(jié)果有最大值，即H(ωc-2π/N)為最大值，頻響出現(xiàn)正肩峰。（4）ω=ωc+2π／Ｎ時(shí)的響應(yīng)H(ωc+2π/N)，WR(ω-θ)的全部主瓣都在Hd(θ)的通帶（|ω|≤ωc）之外，如圖6-9（e）。而通帶內(nèi)的旁瓣負(fù)的面積大于正的面積，因而卷積結(jié)果達(dá)到最負(fù)值，頻響出現(xiàn)負(fù)肩峰。

（5）當(dāng)ω>ωc+2π/N

當(dāng)時(shí)，隨著ω的繼續(xù)增大，卷積值將隨著WR(ω-θ)的旁瓣在Hd(θ)的通帶內(nèi)面積的變化而變化，H(ω)將圍繞著零值波動(dòng)。當(dāng)ω由ωc-2π/N向通帶內(nèi)減小時(shí)，WR(ω-θ)的右旁瓣進(jìn)入Hd(θ)的通帶，使得H(ω)值圍繞H(0)值而波動(dòng)。H(ω)值如圖6-9（f）所示。

綜上所述，加窗函數(shù)處理后，對(duì)理想頻率響應(yīng)產(chǎn)生以下幾點(diǎn)影響：（1）H(ω)將Hd(ω)在截止頻率處的間斷點(diǎn)變成了連續(xù)曲線，使理想頻率特性不連續(xù)點(diǎn)處邊沿加寬，形成一個(gè)過(guò)渡帶，過(guò)渡帶的寬度等于窗的頻率響應(yīng)WR(ω)的主瓣寬度Δω=4π/N，即正肩峰與負(fù)肩峰的間隔為4π/N。窗函數(shù)的主瓣越寬，過(guò)渡帶也越寬。（2）在截止頻率ωc的兩邊即ω=ωc±(2π/N)的地方，H(ω)出現(xiàn)最大的肩峰值，肩峰的兩側(cè)形成起伏振蕩，其振蕩幅度取決于旁瓣的相對(duì)幅度，而振蕩的多少，則取決于旁瓣的多少。

（3）改變N，只能改變窗譜函數(shù)的主瓣寬度，改變?chǔ)氐淖鴺?biāo)比例以及改變WR(ω)的絕對(duì)值大小。例如，在矩形窗情況下，式中，x=ωN/2。

當(dāng)截取長(zhǎng)度N增加時(shí)，只會(huì)減小過(guò)渡帶寬度（4π/N），但不能改變主瓣與旁瓣幅值的相對(duì)比例;同樣，也不會(huì)改變肩峰的相對(duì)值。這個(gè)相對(duì)比例是由窗函數(shù)形狀決定的，與N無(wú)關(guān)。換句話說(shuō)，增加截取窗函數(shù)的長(zhǎng)度N只能相應(yīng)的減少過(guò)渡帶，而不能改變肩峰值。

由于肩峰值的大小直接影響通帶特性和阻帶衰減，所以對(duì)濾波器的性能影響較大。例如,在矩形窗情況下，最大相對(duì)肩峰值為8.95%，N增加時(shí)，2π/N減小，起伏振蕩變密，最大相對(duì)肩峰值則總是8.95%，這種現(xiàn)象稱為吉布斯效應(yīng)。6.2.2各種窗函數(shù)

矩形窗截?cái)嘣斐傻募绶逯禐?.95%，則阻帶最小衰減為20lg(8.95%)=-21dB,這個(gè)衰減量在工程上常常是不夠大的。為了加大阻帶衰減，只能改變窗函數(shù)的形狀。只有當(dāng)窗譜逼近沖激函數(shù)時(shí)，也就是絕大部分能量集中于頻譜中點(diǎn)時(shí)，H(ω)才會(huì)逼近Hd(ω)。這相當(dāng)于窗的寬度為無(wú)限長(zhǎng)，等于不加窗口截?cái)?，這沒(méi)有實(shí)際意義。從以上討論中看出，窗函數(shù)序列的形狀及長(zhǎng)度的選擇很關(guān)鍵，一般希望窗函數(shù)滿足兩項(xiàng)要求：

（1）窗譜主瓣盡可能地窄，以獲取較陡的過(guò)渡帶。（2）盡量減少窗譜的最大旁瓣的相對(duì)幅度。也就是能量盡量集中于主瓣，這樣使肩峰和波紋減小，就可增大阻帶的衰減。但是這兩項(xiàng)要求是不能同時(shí)都滿足的。當(dāng)選用主瓣寬度較窄時(shí)，雖然得到較陡的過(guò)渡帶，但通帶和阻帶的波動(dòng)明顯增加；當(dāng)選用最小的旁瓣幅度時(shí)，雖能得到平坦的幅度響應(yīng)和較小的阻帶波紋，但過(guò)渡帶加寬，也即主瓣會(huì)加寬。因此,實(shí)際所選用的窗函數(shù)往往是它們的折衷。在保證主瓣寬度達(dá)到一定要求的前提下，適當(dāng)犧牲主瓣寬度以換取相對(duì)旁瓣的抑制。以上是從幅頻特性的改善對(duì)窗函數(shù)提出的要求。實(shí)際上設(shè)計(jì)的FIR濾波器往往要求具有線性相位，h(n)=hd(n)w(n)

因此，除了要求hd(n)滿足線性相位條件外，對(duì)w(n)也要求長(zhǎng)度N有限，且以(N-1)/2為其對(duì)稱中心，即w(n)=w(N-1-n)6-39）綜上所述，窗函數(shù)不僅起截?cái)嘧饔茫€能起平滑作用，在很多領(lǐng)域都得到廣泛應(yīng)用。因此,設(shè)計(jì)一個(gè)特性良好的窗函數(shù)有著重要的實(shí)際意義。設(shè)計(jì)FIR濾波器常用的窗函數(shù)有：1.矩形窗0≤n≤N-1其他2.三角形（Bartlett）窗w(n)的傅里葉變換為（6-40）(6-41)

近似結(jié)果在N>>1時(shí)成立。此時(shí)，主瓣寬度為8π/N,比矩形窗主瓣寬度增加一倍，但旁瓣卻小很多。3.漢寧（Hanning）窗

漢寧窗又稱升余弦窗。(6-42)利用傅里葉變換特性，可得(6-43)當(dāng)N>>1時(shí)，N-1≈N,所以窗函數(shù)的幅頻函數(shù)為（6-44）

這三部分之和，使旁瓣互相抵消，能量更集中在主瓣，它的最大旁瓣值比主瓣值約低31dB。但是代價(jià)是主瓣寬度比矩形窗的主瓣寬度增加一倍，即為8π/N。4.海明（Hamming）窗海明窗又稱改進(jìn)的升余弦窗。把升余弦窗加以改進(jìn)，可以得到旁瓣更小的效果，窗形式為(6-45)w(n)的頻率響應(yīng)的幅度特性為(6-46)

與漢寧窗相比，主瓣寬度相同，為8π/N，但旁瓣又被進(jìn)一步壓低，結(jié)果可將99.963%的能量集中在窗譜的主瓣內(nèi)，它的最大旁瓣值比主瓣值約低41dB。

5.布拉克曼（Blackman）窗布拉克曼窗又稱二階升余弦窗。為了進(jìn)一步抑制旁瓣，對(duì)升余弦窗函數(shù)再加上一個(gè)二次諧波的余弦分量，變成布拉克曼窗，故又稱二階升余弦窗。(6-47)w(n)的頻率響應(yīng)的幅度特性為(6-48)圖6-10五種常用的窗函數(shù)圖6-11圖6-10的各種窗函數(shù)的傅里葉變換（N=51），A=20lg|W(ω)/W(θ)|(a)矩形窗;(b)巴特利特窗（三角形窗）;(c)漢寧窗;(d)海明窗;(e)布拉克曼窗圖6-12理想低通濾波器加窗后的幅度響應(yīng)（N=51）,A=20lg|H(ω)/H(0)|(a)矩形窗;(b)巴特利特窗（三角形窗）;(c)漢寧窗;(d)海明窗;(e)布拉克曼窗6.凱塞（Kaiser）窗這是一種適應(yīng)性較強(qiáng)的窗，其窗函數(shù)的表示式為0≤n≤N-1（6-49）式中，I0(x)是第一類變形零階貝塞爾函數(shù)，β是一個(gè)可自由選擇的參數(shù)。

零階貝塞爾函數(shù)的曲線如圖6-13所示。圖6-13零階貝塞爾函數(shù)圖6-14凱塞窗函數(shù)表6-2凱塞窗的性能

雖然凱塞窗看上去沒(méi)有初等函數(shù)的解析表達(dá)式。但是，在設(shè)計(jì)凱塞窗時(shí)，對(duì)零階變形貝塞爾函數(shù)可采用無(wú)窮級(jí)數(shù)來(lái)表達(dá)（6-50）這個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)，可用有限項(xiàng)級(jí)數(shù)去近似，項(xiàng)數(shù)多少由要求的精度來(lái)確定。因而采用計(jì)算機(jī)是很容易求解的。表6-3六種窗函數(shù)基本參數(shù)的比較下面將窗函數(shù)法的設(shè)計(jì)步驟歸納如下：（1）給定希望逼近的頻率響應(yīng)函數(shù)Hd(ejω)。（2）根據(jù)式（6-24）求單位脈沖響應(yīng)hd(n)。

如果Hd(ejω)很復(fù)雜或不能直接計(jì)算積分，則必須用求和代替積分，以便在計(jì)算機(jī)上計(jì)算，也就是要計(jì)算離散傅里葉反變換，一般都采用FFT來(lái)計(jì)算。將積分限分成M段，也就是令采樣頻率為ωk=2πk/M，k=0,1,2,…,M-1，則有（6-51）頻域的采樣，造成時(shí)域序列的周期延拓，延拓周期是M，即（6-52）

由于hd(n)有可能是無(wú)限長(zhǎng)的序列，因此嚴(yán)格說(shuō)，必須當(dāng)M→∞時(shí)，hＭ(n)才能等于hd(n)而不產(chǎn)生混疊現(xiàn)象，即 。實(shí)際上，由于hd(n)隨n的增加衰減很快，一般只要M足夠大，即M>>N，近似就足夠了。

（3）由過(guò)渡帶寬及阻帶最小衰減的要求，可選定窗形狀，并估計(jì)窗口長(zhǎng)度N。設(shè)待求濾波器的過(guò)渡帶用Δω表示，它近似等于窗函數(shù)主瓣寬度。因過(guò)渡帶Δω近似與窗口長(zhǎng)度成反比，N≈A/Δω，A決定于窗口形式。例如，矩形窗A=4π，海明窗A=8π等，A參數(shù)選擇參考表6-3。按照過(guò)渡帶及阻帶衰減情況，選擇窗函數(shù)形式。原則是在保證阻帶衰減滿足要求的情況下，盡量選擇主瓣窄的窗函數(shù)。（4）最后，計(jì)算所設(shè)計(jì)的FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)。h(n)=hd(n)w(n)0≤n≤N-1（5）由h(n)求FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)

通常整個(gè)設(shè)計(jì)過(guò)程可利用計(jì)算機(jī)編程來(lái)實(shí)現(xiàn)，可多選擇幾種窗函數(shù)來(lái)試探，從而設(shè)計(jì)出性能良好的FIR濾波器。例6-6

用矩形窗設(shè)計(jì)一個(gè)線性相位帶通濾波器-ωc≤ω-ω0≤ωc

０≤ω<ω0-ωc,ω0+ωc<ω≤π（1）設(shè)計(jì)N為奇數(shù)時(shí)的h(n)。（2）設(shè)計(jì)N為偶數(shù)時(shí)的h(n)。（3）若改用海明窗設(shè)計(jì)，求以上兩種形式的h(n)表達(dá)式。解根據(jù)該線性相位帶通濾波器的相位可知該濾波器只能是h(n)=h(N-1-n)即h(n)偶對(duì)稱的情況，h(n)偶對(duì)稱時(shí)，可為第一類和第二類濾波器，其頻響

（1）當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，h(n)=h(N-1-n)，可知H(ejω)為第一類線性相位濾波器，H(ω)關(guān)于ω=0,π,2π有偶對(duì)稱結(jié)構(gòu)。題目中僅給出了Hd(ejω)在0～π上的取值，但用傅里葉反變換求hd(n)時(shí)，需要Hd(ejω)在一個(gè)周期［-π,π］或［0,2π］上的值，因此,Hd(ejω)需根據(jù)第一類線性相位濾波器的要求進(jìn)行擴(kuò)展，擴(kuò)展結(jié)果為ω0-ωc≤ω≤ω0+ωc,-ω0-ωc≤ω≤-ω0+ωc

-ω0+ωc<ω<ω0-ωc,-π≤ω<-ω0-ωc,ω0+ωc<ω≤π則

h(n)=hd(n)RＮ(n)(2)N

為偶數(shù)時(shí)，H(ejω)為第二類線性相位濾波器，H(ω)關(guān)于ω=0呈偶對(duì)稱。所以,Hd(ejω)在［-π,π］之間的擴(kuò)展同上，則hd(n)也同上，即:(3)若改用海明窗則N為奇數(shù)時(shí)N為偶數(shù)時(shí)

上面兩個(gè)表達(dá)式形式雖然完全一樣，但由于N為奇數(shù)時(shí)，對(duì)稱中心點(diǎn)α=(N-1)/2為整數(shù)，N為偶數(shù)時(shí)，α為非整數(shù)，因此N在奇數(shù)和偶數(shù)情況下，濾波器的單位脈沖響應(yīng)的對(duì)稱中心不同，在0≤n≤N-1上的取值也完全不同。

例6-7

根據(jù)下列技術(shù)指標(biāo)，設(shè)計(jì)一個(gè)FIR低通濾波器。通帶截止頻率ωp=0.2π，通帶允許波動(dòng)Ap=0.25dB；阻帶截止頻率ωs=0.3π，阻帶衰減As=50dB。

解查表6-3可知，海明窗和布拉克曼窗均可提供大于50dB的衰減。但海明窗具有較小的過(guò)渡帶從而具有較小的長(zhǎng)度N。根據(jù)題意，所要設(shè)計(jì)的濾波器的過(guò)渡帶為

由表6-3可知，利用海明窗設(shè)計(jì)的濾波器的過(guò)渡帶寬Δω=8π/N，所以低通濾波器單位脈沖響應(yīng)的長(zhǎng)度為3dB通帶截止頻率為

由式（6-29）可知，理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)為海明窗為則所設(shè)計(jì)的濾波器的單位脈沖響應(yīng)為N=80所設(shè)計(jì)的濾波器的頻率響應(yīng)為

利用計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)，結(jié)果如圖6-15所示。圖6-15（a）是理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)hd(n);圖6-15(b)是海明窗函數(shù);圖6-15(c)是實(shí)際低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n);圖6-15(d)是實(shí)際低通濾波器的幅頻特性|H(ejω)|，以dB為單位。濾波器長(zhǎng)N=80，實(shí)際阻帶衰減為As=53dB，通帶波動(dòng)為Ap=0.0316dB，均滿足設(shè)計(jì)要求。圖6-15例6-7中低通濾波器設(shè)計(jì)結(jié)果

窗口法設(shè)計(jì)的主要優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單，使用方便。窗口函數(shù)大多有封閉的公式可循，性能、參數(shù)都已有表格、資料可供參考，計(jì)算程序簡(jiǎn)便，所以很實(shí)用。缺點(diǎn)是通帶和阻帶的截止頻率不易控制。6.3用頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR濾波器

頻率采樣法是從頻域出發(fā)，把給定的理想頻率響應(yīng)Hd(ejω)以等間隔采樣（6-53）以此Hd(k)作為實(shí)際FIR數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)的采樣值H(k)，即令

H(k)=Hd(k)=Hd(ejω)|ω=2πk/N

k=0,1,2,…,N-1（6-54）知道H(k)后,由IDFT定義,可以用這N個(gè)采樣值H(k)來(lái)惟一確定有限長(zhǎng)序列h(n)，即n=0,1,2,…,N-1(6-55）式中，h(n)為待設(shè)計(jì)的濾波器的單位脈沖響應(yīng)。其系統(tǒng)函數(shù)H(z)為(6-56）

以上就是頻率采樣法設(shè)計(jì)濾波器的基本原理。此外，由頻域內(nèi)插公式知道，利用這N個(gè)頻域采樣值H(k)同樣可求得FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)(6-57）6.3.1線性相位的約束如果我們?cè)O(shè)計(jì)的是線性相位的FIR濾波器，則其采樣值H(k)的幅度和相位一定要滿足前面所討論的四類線性相位濾波器的約束條件。（1）對(duì)于第一類線性相位濾波器，即h(n)偶對(duì)稱，長(zhǎng)度N為奇數(shù)時(shí)，

H(ejω)=H(ω)ejθ(ω)

（6-58）式中：（6-59）

第一類線性相位濾波器幅度函數(shù)H(ω)關(guān)于ω=0,π,2π為偶對(duì)稱，即（6-60）如果采樣值H(k)=H(ej2πk/N)也用幅值Hk（純標(biāo)量）與相角θk表示，即（6-61）并在ω=0～2π之間等間隔采樣N點(diǎn)k=0,1,2,…,N-1將ω=ωk代入式（6-59）與式（6-60)中，并寫(xiě)成k的函數(shù),有：（6-62）（6-63）由式（6-63）可知，Hk滿足偶對(duì)稱要求。

（2）對(duì)于第二類線性相位FIR濾波器，即h(n)偶對(duì)稱，N為偶數(shù)，則其H(ejω)的表達(dá)式仍為但是，其幅度函數(shù)H(ω)關(guān)于ω=π是奇對(duì)稱的，關(guān)于ω=0,2π為偶對(duì)稱，H(ω)=-H(2π-ω)（6-64）所以，這時(shí)的Hk也應(yīng)滿足奇對(duì)稱要求Hk=-HN-k

（6-65）

（3）對(duì)于第三類線性相位FIR濾波器，即h(n)奇對(duì)稱，N為奇數(shù)，時(shí)，

H(ejω)=H(ω)ejθ(ω)

式中：

第三類線性相位濾波器幅度函數(shù)H(ω)關(guān)于ω=0,π,2π為奇對(duì)稱，即（6-66）（6-67）將ω=ωk=2πk/N代入式（6-66）與式（6-67）中，并寫(xiě)成k的函數(shù)，得:（6-68）（6-69）即Hk滿足奇對(duì)稱要求。

（4）對(duì)于第四類線性相位FIR濾波器，即h(n)奇對(duì)稱，N為偶數(shù)，則其H(ejω)的表達(dá)式仍為但是，其幅度函數(shù)H(ω)關(guān)于ω=π是偶對(duì)稱的，關(guān)于ω=0,2π為奇對(duì)稱，即（6-70）所以，這時(shí)的Hk也應(yīng)滿足偶對(duì)稱要求而θk則與前面公式式（6-68）相同。（6-71）6.3.2逼近誤差及其改進(jìn)措施頻率采樣法是比較簡(jiǎn)單的，但是我們還應(yīng)該進(jìn)一步考察，用這種頻率采樣所得到的系統(tǒng)函數(shù)究竟逼近效果如何？如此設(shè)計(jì)所得到的頻響H(ejω)與要求的理想頻響Hd(ejω)會(huì)有怎樣的差別？在第2章中，我們已經(jīng)知道，利用N個(gè)頻域采樣值H(k)可求得FIR濾波器的頻率響應(yīng)H(ejω)，即（6-72）式中,Φ(ω)是內(nèi)插函數(shù)（6-73）

上式表明,在各頻率采樣點(diǎn)ω=2πk/N，k=0,1,2,…,N-1上,Φ(ω-2πk/N)=1，因此，采樣點(diǎn)上濾波器的實(shí)際頻率響應(yīng)是嚴(yán)格地和理想頻率響應(yīng)數(shù)值相等的。但是在采樣點(diǎn)之間的頻響則是由各采樣點(diǎn)的加權(quán)內(nèi)插函數(shù)的延伸疊加而成的,因而有一定的逼近誤差，誤差大小取決于理想頻率響應(yīng)曲線形狀。理想頻率響應(yīng)特性變化越平緩，則內(nèi)插值越接近理想值，逼近誤差越小。例如,圖6-16(b)中的理想特性是一梯形響應(yīng)，變化很緩和，因而采樣后逼近效果就較好。反之，如果采樣點(diǎn)之間的理想頻率特性變化越陡，則內(nèi)插值與理想值的誤差就越大，因而在理想頻率特性的不連續(xù)點(diǎn)附近，就會(huì)產(chǎn)生肩峰和起伏。例如,圖6-16(a)中是一個(gè)矩形的理想特性，它在頻率采樣后出現(xiàn)的肩峰和起伏就比梯形特性大得多。圖6-16頻率采樣的響應(yīng)圖6-17加過(guò)渡帶（a）一點(diǎn)過(guò)渡帶;(b)二點(diǎn)過(guò)渡帶;(c)三點(diǎn)過(guò)渡帶

如圖6-17所示，在頻率響應(yīng)的過(guò)渡帶內(nèi)插入一個(gè)（Hc1）或兩個(gè)（Hc1，Hc2）或三個(gè)（Hc1，Hc2，Hc3）采樣點(diǎn)，這些點(diǎn)上采樣最佳值由計(jì)算機(jī)算出。這樣就增加了過(guò)渡帶，減小了頻帶邊緣的突變，減小了通帶和阻帶的波動(dòng)，因而增大了阻帶最小衰減。這些采樣點(diǎn)上的取值不同，效果也就不同，從式（6-72）可看出，每一個(gè)頻率采樣值都要產(chǎn)生一個(gè)與內(nèi)插函數(shù)sin(Nω/2)/sin(ω/2)成正比并且在頻率上位移2πk/N的頻率響應(yīng)，而FIR濾波器的頻率響應(yīng)就是H(k)與內(nèi)插函數(shù)的線性組合。如果精心設(shè)計(jì)過(guò)渡帶的采樣值，就有可能使它的相鄰頻帶波動(dòng)得以減小從而設(shè)計(jì)出較好的濾波器。一般過(guò)渡帶取一，二，三點(diǎn)采樣值即可得到滿意結(jié)果，在低通設(shè)計(jì)中，不加過(guò)渡采樣點(diǎn)時(shí)，阻帶最小衰減為-20dB，一點(diǎn)過(guò)渡采樣的最優(yōu)化設(shè)計(jì)阻帶最小衰減可提高到-44dB到-54dB左右，二點(diǎn)過(guò)渡采樣的最優(yōu)化設(shè)計(jì)可達(dá)-65dB到-75dB左右，而加三點(diǎn)過(guò)渡采樣的最優(yōu)化設(shè)計(jì)則可達(dá)-85dB到-95dB左右。

例6-8

用頻率采樣法設(shè)計(jì)一線性相位濾波器，N=15，幅度采樣值為試設(shè)計(jì)采樣值的相位θk，并求h(n)及H(ejω)的表達(dá)式。

解因本題所給N=15，且Ｈk=HN-k滿足偶對(duì)稱條件，H0=1，由表6-1可知，這是第一類線性相位濾波器。相位 ，因此有：0≤k≤140≤n≤14

例6-9

利用頻率采樣法，設(shè)計(jì)一個(gè)線性相位低通FIR數(shù)字濾波器，其理想頻率特性是矩形的0≤ω≤ωc

其他已知ωc=0.5π，采樣點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)N=33。試求各采樣點(diǎn)的幅值Hk及相位θk，也即求采樣值H(k)。

解

N=33,且低通濾波器幅度特性H(0)=1。由表6-1可知，這屬于第一類線性相位濾波器。第一類線性相位濾波器的幅度特性H(ω)關(guān)于ω=π為偶對(duì)稱，即

且有：則Hk滿足偶對(duì)稱特性，因而有：0≤k≤32又故0≤k≤8,25≤k≤329≤k≤240≤k≤32例6-9也可用MATLAB編程來(lái)實(shí)現(xiàn)。程序如下：clearall;N=33;wc=0.5*pi;k=0:N-1;phase=-pi*k*(N-1)/N;M=floor(wc/(2*pi/N));HK=[ones(1,M+1),zeros(1,N-2*M-1),ones(1,M)];%HK1=HK.*exp(j*phase);hn=ifft(HK1,N);freqz(hn,1,512);圖6-18FIR低通濾波器的幅頻和相頻特性圖此時(shí)是不設(shè)過(guò)渡點(diǎn)的情況，如果要加一個(gè)過(guò)渡點(diǎn)H=0.5，那么程序只需改動(dòng)一個(gè)地方：把

HK=[ones(1,M+1),zeros(1,N-2*M-1),ones(1,M)];改為

HK=[ones(1,M+1),0.5,zeros(1,N-2*M-3),0.5,ones(1,M)];即可。

頻率采樣法的優(yōu)點(diǎn)是可以在頻域直接設(shè)計(jì)，并且適合最優(yōu)化設(shè)計(jì);缺點(diǎn)是采樣頻率只能等于2π/N的整數(shù)倍，因而不能確保截止頻率ωc的自由取值，要想實(shí)現(xiàn)自由地選擇截止頻率，必須增加采樣點(diǎn)數(shù)N，但這又使計(jì)算量加大。6.4等波紋線性相位濾波器

采用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器方法簡(jiǎn)單，通常會(huì)得到一個(gè)性能相對(duì)很好的濾波器。但是在以下兩個(gè)方面的問(wèn)題，這些濾波器的設(shè)計(jì)還不是最優(yōu)的：（1）通帶和阻帶的波動(dòng)基本上相等，雖然一般需要δ2小于δ1，但是在窗函數(shù)法中不能分別控制這些參數(shù)。所以，窗函數(shù)法需要在通帶內(nèi)對(duì)濾波器“過(guò)設(shè)計(jì)”（即通帶內(nèi)的技術(shù)指標(biāo)超過(guò)所要求的技術(shù)指標(biāo)），這樣才能滿足阻帶的嚴(yán)格要求。

（2）對(duì)于大部分窗函數(shù)來(lái)說(shuō)，通帶內(nèi)或阻帶內(nèi)的波動(dòng)不是均勻的，通常離開(kāi)過(guò)渡帶時(shí)會(huì)減小。若允許波動(dòng)在整個(gè)通帶內(nèi)均勻分布，那么就會(huì)產(chǎn)生較小的峰值波動(dòng)。另一方面，對(duì)于一個(gè)給定的濾波器階數(shù)M（M=N-1），在所有頻帶內(nèi)波動(dòng)的幅度最小。在這個(gè)意義上說(shuō)，等波紋線性相位濾波器是最優(yōu)的。所以，等波紋線性相位濾波器設(shè)計(jì)法又稱為等波紋最佳一致逼近設(shè)計(jì)法。一個(gè)FIR線性相位濾波器的頻率響應(yīng)可以寫(xiě)成（6-74）式中，幅度H(ω)是ω的實(shí)值函數(shù)。對(duì)于第一類線性相位濾波器h(n)=h(N-1-n)式中，N是奇數(shù)。利用h(n)的對(duì)稱性可以將頻率相應(yīng)表示為（6-75）式中，L=(N-1)/2，且有：Hd(ω)是期望的幅度;W(ω)是一個(gè)正的誤差加權(quán)函數(shù)，它是為在通帶或阻帶要求不同的逼近精度而設(shè)計(jì)的。一般地，在要求逼近精度高的頻帶，W(ω)取值大;要求逼近精度低的頻帶,W(ω)的取值小。設(shè)計(jì)過(guò)程中W(ω)為已知函數(shù)。設(shè)E(ω)=W(ω)［Hd(ω)-H(ω)］是一個(gè)加權(quán)逼近誤差。等波紋濾波器設(shè)計(jì)問(wèn)題就是求系數(shù)a(k)，要求在一組頻率F上使E(ω)的最大絕對(duì)值最小，

例如，為了設(shè)計(jì)一個(gè)低通濾波器，頻率組F可以是通帶［0,ωp］和阻帶［ωs,π］內(nèi)的頻率，如圖6-18所示。過(guò)渡帶［ωp,ωs］是不關(guān)心的區(qū)域，求加權(quán)誤差最小時(shí)不作考慮，此時(shí)可以采用交錯(cuò)定理求這個(gè)最優(yōu)化問(wèn)題。圖6-19等波紋濾波器設(shè)計(jì)中的頻率組，包括通帶［0,ωp］和阻帶［ωs,π］過(guò)渡帶［ωp,ωs］是不關(guān)心的區(qū)域

交錯(cuò)定理：設(shè)F是［0,π］區(qū)間內(nèi)封閉子集的并集，對(duì)于一個(gè)正的加權(quán)函數(shù)W(ω)，在F上，H(ω)能成為惟一使加權(quán)誤差|E(ω)|最大值最小的函數(shù)。其充要條件是：在F上E(ω)至少有L+2個(gè)交錯(cuò)值。也就是說(shuō)，在F上必須至少有L+2個(gè)極值頻率，ω0<ω1<…<ωL+1

這樣E(ωk)=-E(ωk+1)k=0,1,…,L

且k=0,1,…,L+1

交錯(cuò)定理說(shuō)明最優(yōu)濾波器是等波紋的。雖然交錯(cuò)定理確定了最優(yōu)濾波器必須有的極值頻率（或波動(dòng)）最少數(shù)目，但是可以有更多的數(shù)目。例如，一個(gè)低通濾波器可以有L+2個(gè)或L+3個(gè)極值頻率，有L+3個(gè)極值頻率的低通濾波器稱作超波紋濾波器。由交錯(cuò)定理可以得到：W(ωk)［Hd(ωk)-H(ωk)］=(-1)kε

k=0,1,…,L+1式中，是最大的加權(quán)誤差絕對(duì)值，這些關(guān)于未知數(shù)a(0),…,a(L)以及ε的方程可以寫(xiě)成下面矩陣的形式：

給定了極值頻率，就可以解關(guān)于a(0),…,a(L)以及ε的方程。為了求極值頻率，可以采用一種高效的迭代過(guò)程，稱作帕克斯-麥克萊倫（ParksMcClellan）算法。（更詳細(xì)的內(nèi)容，可參考文獻(xiàn)［1］。）具體步驟如下：①估計(jì)一組初始極值頻率（可任選）。②解方程（6-76）求ε，可以證明ε的值為式中：③利用拉格朗日插值公式在極值頻率之間插值，計(jì)算F上的加權(quán)誤差函數(shù)。④先選擇使插值函數(shù)最大的L+2個(gè)頻率，然后再選擇一組新的極值頻率。⑤如果極值頻率改變了，從步驟②開(kāi)始重復(fù)迭代過(guò)程。

一個(gè)設(shè)計(jì)公式可以用來(lái)計(jì)算一個(gè)低通濾波器的等波紋濾波器階數(shù)，過(guò)渡帶寬度為Δf，通帶波動(dòng)為δ1，阻帶波動(dòng)為δ2，該公式為(6-77)[例6-10]

設(shè)計(jì)一個(gè)等波紋低通濾波器，通帶截止頻率ωp=0.3π，阻帶截止頻率ωs=0.3π，通帶波動(dòng)δ1=0.01，阻帶波動(dòng)δ2=0.001。

解利用式（6-77）計(jì)算濾波器階數(shù)，求

由于我們希望阻帶內(nèi)的波動(dòng)比通帶內(nèi)的波動(dòng)小10倍，所以必須采用加權(quán)函數(shù)對(duì)誤差加權(quán)：0≤|ω|≤0.3π0.35π≤|ω|≤π圖6-20

實(shí)際中，一般調(diào)用MATLAB信號(hào)處理工具箱函數(shù)remezord來(lái)計(jì)算等波紋濾波器階數(shù)N和加權(quán)函數(shù)W(ω)，調(diào)用函數(shù)remezord直接求濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)。6.5FIR濾波器和IIR濾波器的比較

首先，從性能上說(shuō)，IIR濾波器可以用較少的階數(shù)獲得很高的選擇特性，這樣一來(lái)，所用存儲(chǔ)單元少，運(yùn)算次數(shù)少，較為經(jīng)濟(jì)而且效率高。但是這個(gè)高效率的代價(jià)是以相位的非線性得來(lái)的。選擇性越好，非線性越嚴(yán)重。相反，F(xiàn)IR濾波器可以得到嚴(yán)格的線性相位。但是，如果需要獲得一定的選擇性，則要用較多的存儲(chǔ)器和較多的運(yùn)算，成本比較高，信號(hào)延時(shí)也較大。然而，