備戰(zhàn)2025年高考二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)題型專項(xiàng)練11　中低檔大題規(guī)范練(e)

題型專項(xiàng)練11中低檔大題規(guī)范練(E)(分值:43分)學(xué)生用書P2351.(13分)(2024遼寧葫蘆島一模)為了培養(yǎng)具有創(chuàng)新潛質(zhì)的學(xué)生,某高校決定選拔優(yōu)秀的中學(xué)生參加人工智能夏令營.選拔考試分為“Python編程語言”和“數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)算法”兩個(gè)科目,考生兩個(gè)科目考試的順序自選,若第一科考試不合格,則直接淘汰;若第一科考試合格,則進(jìn)行第二科考試,無論第二科考試是否合格,考試都結(jié)束.“Python編程語言”考試合格得4分,不合格得0分;“數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)算法”考試合格得6分,不合格得0分.已知甲同學(xué)參加“Python編程語言”考試合格的概率為0.8,參加“數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)算法”考試合格的概率為0.7.(1)若甲同學(xué)先進(jìn)行“Python編程語言”考試,記X為甲同學(xué)的累計(jì)得分,求X的分布列;(2)為使累計(jì)得分的期望值最大,甲同學(xué)應(yīng)選擇先參加哪一科考試?說明理由.解(1)由題意知,X的可能取值為0,4,10,所以P(X=0)=1-0.8=0.2,P(X=4)=0.8×(1-0.7)=0.24,P(X=10)=0.8×0.7=0.56,所以X的分布列為X0410P0.20.240.56(2)甲同學(xué)選擇先參加“Python編程語言”考試,理由如下:由(1)可知E(X)=0×0.2+4×0.24+10×0.56=6.56.記Y為甲同學(xué)先參加“數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)算法”考試的累計(jì)得分,則Y的可能取值為0,6,10,P(Y=0)=1-0.7=0.3,P(Y=6)=0.7×(1-0.8)=0.14,P(Y=10)=0.7×0.8=0.56,所以Y的分布列為Y0610P0.30.140.56E(Y)=0×0.3+6×0.14+10×0.56=6.44<6.56,即E(Y)<E(X),所以甲同學(xué)應(yīng)選擇先參加“Python編程語言”考試.2.(15分)如圖,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面為平行四邊形,M,N分別為AB,DD1的中點(diǎn).(1)證明:DM∥平面A1BN;(2)若底面ABCD為矩形,AB=4,AD=2,異面直線DM與A1N所成角的余弦值為105,求點(diǎn)D到平面A1BN的距離(1)證明如圖,設(shè)E為A1B的中點(diǎn),連接NE,ME,因?yàn)镸為AB的中點(diǎn),所以ME∥AA1,且ME=12AA1,因?yàn)镹為DD1的中點(diǎn),所以DN∥AA1,且DN=12AA所以ME∥DN,且ME=DN,所以四邊形EMDN為平行四邊形,所以EN∥DM,又因?yàn)镈M?平面A1BN,EN?平面A1BN,所以DM∥平面A1BN.(2)解若直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD為矩形,則AB,AD,AA1兩兩垂直,以A為原點(diǎn),AB,AD,AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AA1=2t(t>0),則A(0,0,0),B(4,0,0),D(0,2,0),A1(0,0,2t),M(2,0,0),N(0,2,t),B1(4,0,2t),DM=(2,-2,0),A1N=(0,2,-t設(shè)異面直線DM與A1N所成的角為θ,則cosθ=|cos<DM,A1N>|=|DM·A1N||DM||則A1B=(4,0,-2),A1N=(0,2,-1),設(shè)平面A1BN的法向量為n=(x,y,z),點(diǎn)D到平面A1BN的距離為d,則A1B·n=0,A1所以d=|DN即點(diǎn)D到平面A1BN的距離為633.(15分)(2024湖南長沙模擬)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c,已知tanC+3=tanB(3tanC-1).(1)求A;(2)若a=3,△ABC所在平面內(nèi)有一點(diǎn)D滿足∠BDC=2π3,且BC平分∠ABD,求△ACD解(1)由tanC+3=tanB(3tanC-1),得tanB+tanC=-3(1-tanBtanC),當(dāng)1-tanBtanC=0時(shí),tanB+tanC=0,聯(lián)立方程,得tan2B=tan2C=-1,無解,故1-tanBtanC≠0.所以tan(B+C)=tanB+tanC所以tan(π-A)=-3,所以tanA=3,又A∈(0,π),所以A=π3(2)由(1)知∠BAC=π3設(shè)∠ABC=∠CBD=x,在△BCD中,∠BDC=2π3,故x∈0,π3,則∠ACD=2π-π3-2π3-由正弦定理得BCsin∠BAC=ACsinx,故△ACD的面積S△ACD=12AC·CD·sin∠ACD=12(2sinx)2·sin(π-2x)=4sin3xcosx,令φ(x)=4sin3xcos則φ'(x)=12sin2xcos2x-4sin4x=4sin2x·(3cosx+sin