2025版一輪高考總復習數(shù)學第九章第六節(jié)　二項分布、超幾何分布與正態(tài)分布

第六節(jié)二項分布、超幾何分布與正態(tài)分布1.通過具體實例，了解伯努利試驗，掌握二項分布及其數(shù)字特征，并能解決簡單的實際問題.2.通過具體實例，了解超幾何分布及其均值，并能解決簡單的實際問題.3.通過誤差模型，了解服從正態(tài)分布的隨機變量；通過具體實例，借助頻率直方圖的幾何直觀，了解正態(tài)分布的特征；了解正態(tài)分布的均值、方差及其含義.1.伯努利試驗與二項分布（1）伯努利試驗：只包含可能結果的試驗叫做伯努利試驗；將一個伯努利試驗獨立地重復進行n次所組成的隨機試驗稱為；（2）二項分布：一般地，在n重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p（0＜p＜1），用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P（X＝k）＝，k＝0，1，2，…，n.如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作.2.超幾何分布一般地，假設一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P（X＝k）＝CMkCN－Mn－kCNn，k＝其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}.如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量X服從超幾何分布.提醒超幾何分布中的隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù).主要特征為：①考察對象分兩類；②已知各類對象的個數(shù)；③從中抽取若干個個體，考查某類個體數(shù)X的概率分布.超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實質是古典概型.3.正態(tài)分布若隨機變量X服從正態(tài)分布，記為X～N（μ，σ2），其中E（X）＝μ，D（X）＝σ2，其正態(tài)密度函數(shù)為f（x）＝1σ2πe－（x－μ）22（1）正態(tài)曲線的特點①曲線位于x軸，與x軸不相交；②曲線是單峰的，它關于直線對稱；③曲線在x＝μ處達到峰值；④曲線與x軸之間的面積為；⑤當σ一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；⑥當μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散.（2）正態(tài)分布的三個常用數(shù)據(jù)①P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.6827；②P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.9545；③P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈0.9973.1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）（1）n重伯努利試驗中各次試驗的結果相互獨立.（）（2）若X表示n次重復拋擲1枚骰子出現(xiàn)點數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù)，則X服從二項分布.（）（3）超幾何分布的總體里只有兩類物品.（）（4）正態(tài)曲線是單峰的，其與x軸圍成的面積是隨參數(shù)μ，σ的變化而變化的.（）（5）正態(tài)分布是對連續(xù)型隨機變量而言的.（）2.已知隨機變量X服從二項分布X～B（6，13），則P（X＝2）＝（A.80243 B.C.4243 D.3.（2024·南京六校聯(lián)考）某校高三年級有1000人參加期末考試，經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)數(shù)學成績近似服從正態(tài)分布N（100，σ2），且成績不低于110分的人數(shù)為200，則此次考試數(shù)學成績高于90分的人數(shù)約為（）A.700 B.800C.900 D.9504.甲、乙兩羽毛球運動員之間的訓練，要進行三場比賽，且這三場比賽可看作三次伯努利試驗，若甲至少取勝一次的概率為6364，則甲恰好取勝一次的概率為（A.14 B.C.964 D.5.某產(chǎn)品有5件正品和3件次品混在了一起（產(chǎn)品外觀上看不出有任何區(qū)別），現(xiàn)從這8件產(chǎn)品中隨機抽取3件，則取出的3件產(chǎn)品中恰有1件是次品的概率為.1.對于二項分布X～B（n，p），E（X）＝np，D（X）＝np（1－p）.2.對于超幾何分布X～H（n，M，N），則E（X）＝nMN，D（X）＝nMN·（1－MN3.對于正態(tài)分布X～N（μ，σ2），E（X）＝μ，D（X）＝σ2.1.已知一盒子中有棋子10粒，其中7粒黑子，3粒白子.任意取出2粒，若X表示取得白子的個數(shù)，則X的均值E（X）＝，方差D（X）＝.2.在一次招聘中，主考官要求應聘者從6道備選題中一次性隨機抽取3道題，并獨立完成所抽取的3道題.乙能正確完成每道題的概率為23，且每道題完成與否互不影響.記乙能答對的題數(shù)為Y，則E（Y）＝，D（Y）＝n重伯努利試驗與二項分布考向1n重伯努利試驗【例1】（1）下列事件是n重伯努利試驗的是（）A.運動員甲射擊一次，“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”B.甲、乙兩運動員各射擊一次，“甲射中10環(huán)”與“乙射中9環(huán)”C.甲、乙兩運動員各射擊一次，“甲、乙都射中目標”與“甲、乙都沒射中目標”D.在相同的條件下，甲射擊10次，5次擊中目標（2）在4重伯努利試驗中，若事件A至少發(fā)生1次的概率為6581，則事件A在1次試驗中發(fā)生的概率為聽課記錄解題技法n重伯努利試驗的判斷及相應概率的求解策略（1）符合n重伯努利試驗必須滿足的兩個特征：①每次試驗的條件完全相同，有關事件的概率保持不變；②各次試驗的結果互不影響，即各次試驗相互獨立；（2）在求n重伯努利試驗中事件恰好發(fā)生k次的概率時，首先要確定好n，p和k的值，再準確利用公式P（X＝k）＝Cnkpk（1－p）n－k，k＝0，1，2，…，n考向2二項分布【例2】設甲、乙兩位同學上學期間，每天7：30之前到校的概率均為23，假定甲、乙兩位同學到校情況互不影響，且任一同學每天到校情況相互獨立（1）用X表示甲同學上學期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機變量X的分布列和期望；（2）設M為事件“上學期間的三天中，甲同學在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件M發(fā)生的概率.解題技法二項分布的期望與方差的求解策略（1）如果ξ～B（n，p），則用公式E（ξ）＝np，D（ξ）＝np（1－p）求解，可大大減少計算量；（2）有些隨機變量雖不服從二項分布，但與之具有線性關系的另一隨機變量服從二項分布，這時，可以綜合應用E（aξ＋b）＝aE（ξ）＋b以及E（ξ）＝np求出E（aξ＋b），同樣還可求出D（aξ＋b）.1.位于坐標原點的一個質點P按下述規(guī)則移動：質點每次移動一個單位，移動的方向為向上或向右，并且向上、向右移動的概率都是12.則質點P移動五次后位于點（2，3）的概率是2.為貫徹“不忘立德樹人初心，牢記為黨育人、為國育才使命”的要求，某省推出的高考新方案是“3＋1＋2”模式，“3”是語文、外語、數(shù)學三科必考，“1”是在物理與歷史兩科中選擇一科，“2”是在化學、生物、政治、地理四科中選擇兩科作為高考科目.某學校為做好選課走班教學，給出三種可供選擇的組合進行模擬選課，其中A組合：物理、化學、生物，B組合：歷史、政治、地理，C組合：物理、化學、地理，根據(jù)選課數(shù)據(jù)得到，選擇A組合的概率為35，選擇B組合的概率為15，選擇C組合的概率為15（1）求這三位同學恰好選擇互不相同的組合的概率；（2）記η表示這三人中選擇含地理的組合的人數(shù)，求η的分布列及均值.超幾何分布【例3】某大學志愿者協(xié)會有6名男同學，4名女同學.在這10名同學中，3名同學來自數(shù)學學院，其余7名同學來自物理、化學等其他互不相同的七個學院.現(xiàn)從這10名同學中隨機選取3名同學，到希望小學進行支教活動（每位同學被選到的可能性相同）.（1）求選出的3名同學是來自互不相同的學院的概率；（2）設X為選出的3名同學中女同學的人數(shù)，求隨機變量X的分布列及期望.解題技法求超幾何分布的分布列的3個步驟（1）驗證隨機變量服從超幾何分布，并確定參數(shù)N，M，n的值；（2）根據(jù)超幾何分布的概率計算公式計算出隨機變量取每一個值時的概率；（3）用表格的形式列出分布列.為營造濃厚的全國文明城市創(chuàng)建氛圍，積極響應創(chuàng)建全國文明城市號召，提高對創(chuàng)城行動的責任感和參與度，學校號召師生利用周末參與創(chuàng)城志愿活動.高二（1）班某小組有男生4人，女生2人，現(xiàn)從中隨機選取2人作為志愿者參加活動.（1）求在有女生參加活動的條件下，恰有一名女生參加活動的概率；（2）記參加活動的女生人數(shù)為X，求X的分布列及期望E（X），方差D（X）.正態(tài)分布【例4】（2021·新高考Ⅱ卷6題）某物理量的測量結果服從正態(tài)分布N（10，σ2），下列結論中不正確的是（）A.σ越小，該物理量在一次測量中在（9.9，10.1）的概率越大B.σ越小，該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5C.σ越小，該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等D.σ越小，該物理量在一次測量中落在（9.9，10.2）與落在（10，10.3）的概率相等聽課記錄解題技法解決正態(tài)分布問題有三個關鍵點：（1）對稱軸x＝μ；（2）標準差σ；（3）分布區(qū)間.利用對稱性可求指定范圍內的概率值；由μ，σ，分布區(qū)間的特征進行轉化，使分布區(qū)間轉化為3σ特殊區(qū)間，從而求出所求概率.注意只有在標準正態(tài)分布下對稱軸才為x＝0.1.若隨機變量X～B（3，p），Y～N（2，σ2），若P（X≥1）＝0.657，P（0＜Y＜2）＝p，則P（Y＞4）＝（）A.0.2 B.0.3