浙江省南太湖聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)學(xué)科試題 含解析

2024學(xué)年第一學(xué)期“南太湖”聯(lián)盟第一次聯(lián)考高一數(shù)學(xué)學(xué)科試題卷命題學(xué)校：吳興高中審核學(xué)校：金陵高中一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合的交集運(yùn)算，可得答案.【詳解】由題意可得.故選：B.2.已知命題，，則命題p的否定是（）A， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】根據(jù)特稱命題的否定，可得答案.【詳解】由題意可得命題的否定為，.故選：C.3.集合的真子集個數(shù)為（）A.63 B.64 C.32 D.31【答案】A【解析】【分析】解不等式，又，可得集合，共6個元素，所以集合的真子集有個.【詳解】由，得，所以，又，所以，共6個元素，所以集合的真子集個數(shù)為.故選：.4.已知集合，，則中的元素個數(shù)為（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】A【解析】【分析】采用列舉法，分別計(jì)算出的值，結(jié)合集合的互異性，可得集合，從而知集合中的元素個數(shù).【詳解】當(dāng)，分別為時，可得分別為；當(dāng)，分別時，可得分別為；當(dāng)，分別為時，可得分別為.根據(jù)集合的互異性，可知，共有5個元素.故選：.5.設(shè)a,b,c分別是的三條邊，則“為直角三角形”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)勾股定理與反例，，結(jié)合必要不充分的概念，可得答案.【詳解】當(dāng)時，易知是直角三角形，但，所以充分性不滿足；根據(jù)勾股定理，由，則是直角三角形，所以必要性可證.故選：B.6.下列不等式成立的是（）A.若，則 B.若，則C.若，，則 D.若，則【答案】D【解析】【分析】特殊值驗(yàn)證A，B；由不等式性質(zhì)驗(yàn)證C，D.【詳解】對于A，若，則，此時不成立，故A錯誤；對于B，若，則，此時不成立，故B錯誤；對于C，因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，故，故C錯誤；對于D，因?yàn)?，，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，故D正確.故選：D7.已知正實(shí)數(shù)，滿足，則下列說法錯誤的是（）A.有最大值 B.有最小值C.有最大值 D.有最小值【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式判斷A，B，C；利用二次函數(shù)判斷D.【詳解】對于A，因?yàn)檎龑?shí)數(shù)，滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取到最大值，故A正確；對于B，因，為正實(shí)數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時，取到最小時，故B正確；對于C，因?yàn)?，所以，故，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，由于，所以取不到等號，故C錯誤；對于D，因?yàn)?，所以，故，所以，所以?dāng)時取到最小值.故正確故選：C8.已知集合，，若集合中恰好只有兩個整數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.或 B.或C.或 D.或【答案】A【解析】【分析】首先解一元二次不等式求出集合、，再分中的兩個整數(shù)是、和中的兩個整數(shù)是、兩種情況討論，分別得到不等式組，計(jì)算可得.【詳解】由，即，解得，所以；由，即，解得，所以，若集合中的兩個整數(shù)是、，則，解得；若集合中的兩個整數(shù)是、，則，解得；綜上可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是或.故選：A二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.下列命題中，是存在量詞命題且是真命題的是（）A.有些菱形是正方形 B.若x>2，則C， D.，【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)特稱命題的定義，逐項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)，可得答案.【詳解】對于A，命題等價(jià)于存在一個菱形是正方形，顯然正方形都滿足該條件，故A正確；對于B，等價(jià)于，則，這不是存在量詞命題，故B錯誤；對于C，對x=1有，故C正確；對于D，對x=0有，故D正確.故選：ACD.10.命題“，”為假命題的充分不必要條件可以是（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】【分析】由題意可得為真命題，由判別式得出再根據(jù)充分不必要條件的定義得出選項(xiàng).【詳解】由題意，命題的否定為為真命題，，解得，所以的充分不必要條件可以是或.故選：CD.11.下列說法正確的是（）A.不等式的解集是B.若，則的最小值為C.若，，則D.已知正數(shù)，滿足，則的最小值為2【答案】ABD【解析】【分析】解分式不等式判斷A，利用基本不等式判斷B、D，利用不等式的性質(zhì)判斷C.【詳解】對于A：不等式，即，解得，即不等式的解集是，故A正確；對于B：因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為，故B正確；對于C：令，所以，解得，所以，因?yàn)?，，所以，，所以，即，故C錯誤；對于D：因?yàn)檎龜?shù)，滿足，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為，故D正確.故選：ABD三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.12.已知集合，且，則的值為________.【答案】3或2【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用元素與集合的關(guān)系，結(jié)合集合元素的性質(zhì)求解即得.【詳解】由，且，得或，解得或，當(dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，，不符合元素的互異性，舍；所以的值為3或2.故答案為：3或213.已知集合或，，若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】解出集合，由得到實(shí)數(shù)m的取值范圍.【詳解】解得，即，∵，∴故答案為：14.已知正實(shí)數(shù)，滿足，若不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】利用“1”的代換及基本不等式求出的最小值，即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)，滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，所以的最小值為，因?yàn)椴坏仁接薪?，所以，即?shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.設(shè)全集，，，.求：，，.【答案】，，【解析】【分析】根據(jù)交集、并集、補(bǔ)集的定義計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，，，所以，，，?6.設(shè)命題p：實(shí)數(shù)滿足，命題q：實(shí)數(shù)滿足.（1）若，且命題p和q都是真命題，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；（2）若命題p是q成立的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分別解出命題p和q對應(yīng)的集合，再求交集即可；（2）分別解出命題p和q對應(yīng)的集合，由必要不充分條件得到兩個集合間的包含關(guān)系，列出不等式求得實(shí)數(shù)a的取值范圍.小問1詳解】當(dāng)時，解得，即命題p：，解得，即命題q：，當(dāng)命題p和q都是真命題時，，∴【小問2詳解】由（1）知：命題q：，解得，即命題p：，由題意可知，即，∴∴17.已知集合，.（1）若，求及；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）首先表示出集合，再根據(jù)集合的運(yùn)算法則計(jì)算可得；（2）分和兩種情況討論，分別求出參數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】當(dāng)時，，又，所以，，所以；【小問2詳解】因?yàn)?，?dāng)，即時，滿足；當(dāng)時，要使，則或，解得或；綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍為.18.在國家大力推廣新能源汽車的背景下，各大車企紛紛加大對新能源汽車的研發(fā)投入，某車企研發(fā)部有100名研發(fā)人員，原年人均投入40萬元，現(xiàn)準(zhǔn)備將這100名研發(fā)人員分成兩部分：燃油車研發(fā)部和新能源車研發(fā)部，其中燃油車研發(fā)部有x名研究人員，調(diào)整后新能源車研發(fā)部的年人均投入比原來增加，而燃油車研發(fā)部的年人均投入調(diào)整為萬元.（1）若要使新能源車研發(fā)部的年總投入不低于調(diào)整前原100名研發(fā)人員的年總投入，求調(diào)整后新能源車研發(fā)人員最少為多少人？（2）若要使新能源車研發(fā)部的年總投入始終不低于燃油車研發(fā)部的年總投入，求正整數(shù)m的最大值.【答案】（1）34（2）6【解析】【分析】（1）列出新能源車研發(fā)部的年總投表達(dá)式，建立不等式，求得的最大值，即可得到調(diào)整后新能源車研發(fā)人員最少人數(shù)；（2）列出燃油車研發(fā)部的年總投入，令恒大于0，求出m的取值范圍，從而找到最大值.【小問1詳解】令新能源車研發(fā)部的年總投入，則，令，則，∵，∴，故調(diào)整后新能源車研發(fā)人員最少為34人【小問2詳解】令燃油車研發(fā)部的年總投入則，即在恒成立.令，即在上恒成立，，是開口向上的二次函數(shù)，∵①對稱軸時，即，時在上恒成立；②當(dāng)對稱軸時，即，，解得綜上所述：∴的最大值為：6.19.已知關(guān)于x的不等式的解集為.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求關(guān)于的不等式的解集；（3）若對任意的實(shí)數(shù)，恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）（2）答案見解析（3）【解析】【分析】（1）由的兩根為-1和2，代入方程即可求解；（2）結(jié)合（1）通過和，兩類情況討論即可；（3）通過參變分類求最值即可求解.【小問1詳解】由題意可得：的兩根為-1和2，所以，解得：.【小問2詳解】由（1）知：可化為：，即：