河南省頂級(jí)名校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月檢測試題數(shù)學(xué)試題含答案

河南省頂級(jí)名校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月檢測試題數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和座位號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡的相應(yīng)位置上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。選擇題（共8小題，每小題5分，共40分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1．廡殿（圖1）是中國古代傳統(tǒng)建筑中的一種屋頂形式，多用于宮殿、壇廟、重要門樓等高級(jí)建筑上，廡殿的基本結(jié)構(gòu)包括四個(gè)坡面，坡面相交處形成5根屋脊，故又稱“四阿殿”或“五脊殿”．圖2是根據(jù)廡殿頂構(gòu)造的多面體模型，底面是矩形，且四個(gè)側(cè)面與底面的夾角均相等，則（

）．

A．B．C．D．2．如圖，平行六面體中，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且，，若，則（

）A． B． C． D．3．如圖，兩個(gè)相同的正四棱臺(tái)密閉容器內(nèi)裝有純凈水，，圖1中水面高度恰好為棱臺(tái)高度的，圖2中水面高度為棱臺(tái)高度的，若圖1和圖2中純凈水的體積分別為，則（

）A． B． C． D．4．若直線在軸?軸上的截距相等，且直線將圓的周長平分，則直線的方程為（

）A．B．C．或 D．或5．正五角星是一個(gè)非常優(yōu)美的幾何圖形，且與黃金分割有著密切的聯(lián)系.在如圖所示的正五角星中，是該正五角星的中心，則（

）

A． B． C．12 D．186．已知橢圓內(nèi)有一點(diǎn)，過的兩條直線、分別與橢圓交于、和、兩點(diǎn)，且滿足，（其中且），若變化時(shí)直線的斜率總為，則橢圓的離心率為A． B． C． D．7．已知點(diǎn)A（1，2）在圓C：外，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A．B．C．D．8．如圖，水平桌面上放置一個(gè)棱長為4的正方體水槽，水面高度恰為正方體棱長的一半，在該正方體側(cè)面上有一個(gè)小孔，點(diǎn)到的距離為3，若該正方體水槽繞傾斜（始終在桌面上），則當(dāng)水恰好流出時(shí)，側(cè)面與桌面所成角的正切值為（

）A． B． C． D．2二．多選題（共3小題，每題6分，共18分。在每題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得3分，有選錯(cuò)的得0分。）9．古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A、B的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知，，點(diǎn)P滿足，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為圓C，下列結(jié)論正確的是（

）A．圓C的方程是B．過點(diǎn)A且斜率為的直線被圓C截得的弦長為C．圓C與圓有四條公切線D．過點(diǎn)A作直線l，若圓C上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線l距離為，該直線斜率為10．已知直線，則（

）A．的傾斜角為B．與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為C．原點(diǎn)到的距離為1D．原點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為11．下列說法正確的是（

）A．若直線的方向向量為，直線的方向向量為，則與垂直B．已知點(diǎn)，，在平面內(nèi)，向量是平面的法向量，則C．對(duì)空間任意一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)A，B，C，若，則P，A，B，C四點(diǎn)共面D．若為空間的一個(gè)基底，則構(gòu)成空間的另一個(gè)基底三．填空題（共3小題，每題5分，共15分。）12．在平面直角坐標(biāo)系中，若圓上存在點(diǎn)，且點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在圓上，則的取值范圍是．13．已知圓是以點(diǎn)和點(diǎn)為直徑的圓，點(diǎn)P為圓C上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)，點(diǎn)，則的最大值為14．球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圓叫做球冠的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直徑被截下的線段長叫做球缺的高，球缺是旋轉(zhuǎn)體，可以看做是球冠和其底所在的圓面所圍成的幾何體.如圖1，一個(gè)球面的半徑為，球冠的高是，球冠的表面積公式是.如圖2，已知是以為直徑的圓上的兩點(diǎn)，，扇形的面積為，則扇形繞直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的表面積為.四．解答題（共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）（14分）15．如圖，某公司出產(chǎn)了一款美觀實(shí)用的筷子籠，是由與圓柱底面成一定角度的截面截圓柱所得．如果從截面的最底端到最高端部分還原圓柱，如下圖所示，，分別為圓柱底面直徑，，為圓柱的母線，，過的平面截圓柱且與底面所在平面交于直線，且．

(1)證明：；(2)若底面有一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)在圓上運(yùn)動(dòng)一周，過動(dòng)點(diǎn)的母線與截面交于點(diǎn)，設(shè)，，求與的函數(shù)關(guān)系．（14分）16．已知圓M過C(1，﹣1)，D(﹣1，1)兩點(diǎn)，且圓心M在x+y﹣2=0上.（1）求圓M的方程；（2）設(shè)P是直線3x+4y+8=0上的動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓M的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，求四邊形PAMB面積的最小值.（15分）17．如圖，已知四棱錐的底面是菱形，對(duì)角線，交于點(diǎn)，，，，底面，設(shè)點(diǎn)是的中點(diǎn)．

(1)直線與平面所成角的正弦值；(2)點(diǎn)到平面的距離.（16分）18．已知圓的圓心在軸上，且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求線段的垂直平分線方程；(2)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(3)若過點(diǎn)的直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程．（18分）19．如圖，在四面體中，為等邊三角形，為以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，.，，，分別是線段，，，上的動(dòng)點(diǎn)，且四邊形為平行四邊形.

(1)求證：平面；(2)設(shè)多面體的體積為，多面體的體積為，若，求的值.數(shù)學(xué)答案1．A【詳解】如圖所示，設(shè)點(diǎn)在底面上的射影為，作，，垂足分別為，．則為側(cè)面與底面的夾角，為側(cè)面與底面的夾角，設(shè)四個(gè)側(cè)面與底面的夾角為，則在和中，，

又為公共邊，所以，即，整理得．2．A【詳解】，故，，，.3．D【詳解】設(shè)四棱臺(tái)的高度為h，在圖1中，中間液面四邊形的邊長為5，在圖2中，中間液面四邊形的邊長為6，則，所以.4．C【詳解】由已知圓，直線將圓平分，則直線經(jīng)過圓心，直線方程為，或，將點(diǎn)代入上式，解得直線的方程為或.5．A【詳解】如圖，交于點(diǎn)，則是中點(diǎn)且，由題意可得.故選：A．

6．D【詳解】設(shè),由可得：，據(jù)此可得：，同理可得：，則：，將點(diǎn)A,B的坐標(biāo)代入橢圓方程做差可得：，即：，同理可得：，兩式相加可得，故：，據(jù)此可得：.7．A【詳解】由題意，表示圓故，即或點(diǎn)A（1，2）在圓C：外故，即故實(shí)數(shù)m的取值范圍為或即8．D【詳解】由題意知，水的體積為，如圖所示，設(shè)正方體水槽繞傾斜后，水面分別與棱交于由題意知，水的體積為，即，在平面內(nèi)，過點(diǎn)作交于，則四邊形是平行四邊形，且又側(cè)面與桌面所成的角即側(cè)面與水面所成的角，即側(cè)面與平面所成的角,其平面角為,在直角三角形中，.9．BD【詳解】對(duì)A，設(shè)，由可得，即，化簡可得，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，過點(diǎn)A且斜率為的直線方程為，即，則圓的圓心到的距離為，故所求弦長為，故B正確；對(duì)C，圓圓心到圓心的距離為，又兩圓的半徑和為，故兩圓相交，有兩條公切線，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，當(dāng)直線斜率為0時(shí)，圓C上有四個(gè)點(diǎn)到直線l距離為不合題意，設(shè)直線，則由題意C到的距離等于，即，解得，故斜率直線斜率為，故D正確；10．BCD【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)橹本€的斜率為，所以其傾斜角為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)橹本€與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為，所以與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為；對(duì)于選項(xiàng)C：原點(diǎn)到的距離，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：設(shè)原點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，所以原點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，故D正確；11．BD【詳解】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，且向量是平面的法向量，所以，即，即，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以則P，A，B，C四點(diǎn)不共面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)闉榭臻g的一個(gè)基底，所以不共面，假設(shè)共面，則存在唯一實(shí)數(shù)，使，所以，無解，故不共面，故D正確；12．【詳解】圓的圓心為，半徑為，它關(guān)于直線的對(duì)稱圓的圓心為，半徑仍然為，圓的圓心為，半徑為，，由題意得，解得.13．【詳解】根據(jù)題意得，，所以圓的半徑為4，圓的方程為，如圖，，則，所以，即，故，所以，在中，，當(dāng)、、共線時(shí)最大，最大為.14．【詳解】因?yàn)?，所以，設(shè)圓的半徑為，又，解得（負(fù)值舍去），過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則，所以，同理可得，將扇形繞直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體為一個(gè)半徑的球中，上下截去兩個(gè)球缺所剩余部分再挖去兩個(gè)圓錐，其中上面球缺的高，上面圓錐的底面半徑，高為，下面球缺的高，下面圓錐的底面半徑，高為，則上面球冠的表面積，下面球冠的表面積，球的表面積，上面圓錐的側(cè)面積，下面圓錐的側(cè)面積，所以幾何體的表面積.15．(1)證明見解析；(2)，.【詳解】（1）由題意，，∵為圓柱的母線，則垂直圓柱下底面圓O，∴直線l是平面與底面交線∴，又因?yàn)?，平面∴平面，而平面，則.（2）因?yàn)榍遥詾槠矫媾c底面二面角的平面角又因?yàn)?，所?過點(diǎn)M做MF垂直于直線l垂足為F，連接NF，則，作ME垂直于直徑AB垂足為E.四邊形AFME為矩形，∵，則底面圓O半徑又因?yàn)?，所以，，，又∵，∴，∴?6．（1）；（2）.【詳解】解：（1）設(shè)圓的方程為：，根據(jù)題意得，故所求圓M的方程為：；（2）如圖，四邊形的面積為，即又，所以，而，即.因此要求的最小值，只需求的最小值即可，的最小值即為點(diǎn)到直線的距離所以，四邊形面積的最小值為.17．(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以，又面，故以為軸，為軸，為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，如圖，

因?yàn)椋?，，且為中點(diǎn)，則，，，，，，故，，，設(shè)面的法向量為，則，令，則，，故，所以，故直線與平面所成角的正弦值為；（2）由（1）可知，面的一個(gè)法向量為，所以點(diǎn)到平面的距離，故點(diǎn)到平面的距離為．18．(1)(2)(3)或【詳解】（1）設(shè)的中點(diǎn)為，則．由圓的性質(zhì)，得，所以，得.所以線段的垂直平分線的方程是.（2）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其中，半徑為，由（1）得直線的方程為，由圓的性質(zhì)，圓心在直線上，化簡得，所以圓心，，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（3）由（1）設(shè)為中點(diǎn)，則，得，圓心到直線的距離，