廣東省廣州市重點高中2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)試題含答案

2024-2025學(xué)年聯(lián)考數(shù)學(xué)試題全卷滿分150分考試用時120分鐘本試卷共4頁，19題.注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（

）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)并集的定義，即可求解.【詳解】集合，，則.故選：D2.若A、B是全集I的真子集，則下列四個命題：①；②；③；④；⑤是的必要不充分條件．其中與命題等價的有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】B【解析】【分析】根據(jù)韋恩圖和集合的交、并、補運算的定義逐一判斷可得選項．【詳解】解：由得韋恩圖：對于①等價于，故①正確；對于②等價于，故②不正確；對于③等價于，故③正確；對于④與A、B是全集I的真子集相矛盾，故④不正確；對于⑤是的必要不充分條件等價于AB，故⑤不正確，所以與命題等價的有①③，共2個，故選：B.3.已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，再借助集合的包含關(guān)系求解即可.【詳解】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，依題意，，則，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：C4.已知函數(shù)是(－∞，＋∞)上的減函數(shù)，則a的取值范圍是（）A.(0，3) B.(0，3] C.(0，2) D.(0，2]【答案】D【解析】【分析】直接由兩段函數(shù)分別為減函數(shù)以及端點值的大小關(guān)系解不等式組即可.【詳解】由函數(shù)是(－∞，＋∞)上的減函數(shù)可得解得.故選：D.5.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求得的定義域，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合二次函數(shù)單調(diào)性可得答案.【詳解】函數(shù)中，，解得，又的開口向下，對稱軸方程為，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又在上單調(diào)遞增，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間是.故選：A6.函數(shù)的定義域是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函數(shù)有意義，列出不等式并求解即得.【詳解】函數(shù)有意義，則，解得或，所以函數(shù)的定義域是.故選：D7.函數(shù)（）的圖象大致為A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由奇偶性排除選項；由,可排除選項,從而可得結(jié)果.【詳解】因為，所以函數(shù)是偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，可排除選項；因為,可排除選項,故選A.【點睛】本題通過對多個圖象的選擇考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點是綜合性較強、考查知識點較多，但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點以及時函數(shù)圖象的變化趨勢，利用排除法，將不合題意的選項一一排除.8.若函數(shù)是冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則（）A. B. C.2 D.4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，列式求出，進而求出函數(shù)值.【詳解】由冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，得，解得，因此，.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.（多選）下列選項正確的是（）A.若，則的最小值為2B.若正實數(shù)x，y滿足，則的最小值為8C.的最小值為2D.函數(shù)（）的最大值是0【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合基本不等式的公式，即可依次求解．【詳解】對于A，當時，，故A錯誤，對于B，∵，，，則，當且僅當，即，時等號成立，故的最小值為8，故B正確，對于C，令，，在上單調(diào)遞增，則y的最小值為，故C錯誤，對于D，當時，，當且僅當，即時，等號成立，故，即函數(shù)y最大值為0，故D正確．故選：BD．10.下列函數(shù)中，對任意，，，滿足條件的有（）．A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】結(jié)合已知條件，根據(jù)函數(shù)的凸凹性即可求解.【詳解】由題意可知，在上是下凸函數(shù)，由指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)可知，AB正確；由冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)可知，C錯誤，D正確.故選：ABD.11.已知，，且，下列結(jié)論中正確的是（）A.的最大值是 B.的最小值是2C.的最小值是9 D.的最小值是【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題意，利用題設(shè)條件，結(jié)合基本不等式，逐項判定，即可求解.【詳解】因為，，且，對于A，由，解得，當且僅當時等號成立，則的最大值為，故A正確；對于B，由，當且僅當時等號成立，所以的最小值為，故B錯誤；對于C，，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值是9，故C正確；對于D，由，得，當且僅當時等號成立，則的最小值是，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.計算：__________.【答案】##【解析】【分析】應(yīng)用指數(shù)冪運算化簡求值.【詳解】.故答案為：13.若“”為假命題，則實數(shù)a的取值范圍為___________.【答案】【解析】【分析】由原命題為假，其否定為真得到在上恒成立，結(jié)合對應(yīng)函數(shù)單調(diào)性求右側(cè)的最大值，即可得參數(shù)范圍.【詳解】由題設(shè)命題為假，則為真，所以，即在上恒成立，又在上遞增，故，所以.故答案為：14.若函數(shù)滿足在定義域內(nèi)的某個集合A上，對任意，都有是一個常數(shù)a，則稱在A上具有M性質(zhì)．設(shè)是在區(qū)間上具有M性質(zhì)的函數(shù)，且對于任意，都有成立，則a的取值范圍為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，由條件可得在區(qū)間上單調(diào)遞增，根據(jù)a的符號分類討論研究函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】由得，由題意知在區(qū)間上單調(diào)遞增.①時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，符合題意；②時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，即對恒成立，所以成立，故，即；③時，對恒成立，此時，函數(shù)由，復(fù)合而成，在上單調(diào)遞增且，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，若在上單調(diào)遞增，則，即.綜合①②③可知a的取值范圍為.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：本題主要考查了復(fù)合函數(shù)的增減性問題，難度較大，解答本題的關(guān)鍵在于分類討論以及結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”法則判斷，從而求解.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知集合，，（1）求，；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）化簡集合，，根據(jù)集合的交、并、補的定義計算即可.（2）由題意可知，，分情況討論即可.【小問1詳解】由已知得，,，，；【小問2詳解】因為“”是“”的充分不必要條件，所以，若，即時，，符合題意；若，即時，，所以，所以；若，即時，，所以，所以綜上，16.已知函數(shù).（1）證明：函數(shù)是奇函數(shù)；（2）用定義證明：函數(shù)在0,+∞上是增函數(shù).【答案】（1）證明見詳解（2）證明見詳解【解析】【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義證明即可；（2）根據(jù)增函數(shù)的定義證明即可.【小問1詳解】由函數(shù),可得其定義域為R，關(guān)于原點對稱,又由,所以函數(shù)為定義域R上的奇函數(shù).【小問2詳解】當時,,任取,且,可得因為,且，可得,所以，即.所以函數(shù)在上是增函數(shù).17.隨著城市地鐵建設(shè)持續(xù)推進，市民的出行也越來越便利，根據(jù)大數(shù)據(jù)統(tǒng)計，某條地鐵線路運行時，發(fā)車時間間隔（單位：分鐘）滿足:，平均每班地鐵的載客人數(shù)（單位：人）與發(fā)車時間間隔近似地滿足函數(shù)關(guān)系：，（1）若平均每班地鐵的載客人數(shù)不超過1560人，試求發(fā)車時間間隔的取值范圍；（2）若平均每班地鐵每分鐘的凈收益為（單位：元），則當發(fā)車時間間隔為多少時，平均每班地鐵每分鐘的凈收益最大？并求出最大凈收益.【答案】（1）；（2），最大值為260元.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意即求解不等式；（2）根據(jù)題意求出的解析式，利用函數(shù)單調(diào)性或基本不等式求最值.【詳解】（1）當，超過1560，所以不滿足題意；當，載客人數(shù)不超過1560，即，解得或，由于所以；（2）根據(jù)題意，則根據(jù)基本不等式，，當且僅當，即時取得等號，所以，即當時，平均利潤的最大值為260元，當時，單調(diào)遞減，，綜上所述，最大值為260元.【點睛】此題考查函數(shù)模型的應(yīng)用，關(guān)鍵在于根據(jù)題目所給模型，準確求解不等式，或根據(jù)函數(shù)關(guān)系求出最值，基本不等式求最值注意等號成立的條件.18.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且（1）求、的值及的解析式；（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義證明；（3）若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1），；（2）單調(diào)遞增，證明見解析；（3）.【解析】【分析】（1）由求出、的值并驗證，進而求出的解析式.（2）借助指數(shù)函數(shù)單調(diào)性判斷單調(diào)性，再利用增函數(shù)的定義證明即可.（3）由奇函數(shù)化不等式為，再利用單調(diào)性和定義域列出關(guān)于的不等式求解.【小問1詳解】由函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，得，由，得，解得，，，函數(shù)是在上的奇函數(shù)，所以，.【小問2詳解】由（1）知，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則，由，得，則，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.【小問3詳解】不等式恒成立，即，而函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.19.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.（1）求，的值；（2）判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明；（3）設(shè)，若對任意的，總存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1），；（2）單調(diào)遞增，證明見解析（3）【解析】【分析】（1）由題可得圖象過點結(jié)合可得，的值；（2）由單調(diào)性證明步驟可證得結(jié)論；（3）