2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題六 解析幾何 第5講　定點(diǎn)(定直線)問(wèn)題原卷版

第5講定點(diǎn)(定直線)問(wèn)題（新高考專(zhuān)用）目錄目錄【真題自測(cè)】 2【考點(diǎn)突破】 2【考點(diǎn)一】定點(diǎn)(定直線)問(wèn)題 2【專(zhuān)題精練】 4考情分析：解析幾何中的定點(diǎn)問(wèn)題是高考考查的熱點(diǎn)，難度較大，是高考的壓軸題，其類(lèi)型一般為直線過(guò)定點(diǎn)與圓過(guò)定點(diǎn)等.真題自測(cè)真題自測(cè)一、解答題1．（2023·全國(guó)·高考真題）已知橢圓的離心率是，點(diǎn)在上．(1)求的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)分別為，證明：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)．2．（2022·全國(guó)·高考真題）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為x軸、y軸，且過(guò)兩點(diǎn)．(1)求E的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過(guò)M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿(mǎn)足．證明：直線HN過(guò)定點(diǎn)．考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)一】定點(diǎn)(定直線)問(wèn)題一、單選題1．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)橢圓的離心率等于，拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，A、B分別是橢圓的左右頂點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)P、Q為橢圓上異于A、B兩點(diǎn)，設(shè)直線、的斜率分別為，且．則（

）A．的斜率可能不存在，且不為0B．點(diǎn)縱坐標(biāo)為C．直線的斜率D．直線過(guò)定點(diǎn)2．（2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線：，過(guò)直線：上的動(dòng)點(diǎn)可作的兩條切線，記切點(diǎn)為，則直線（

）A．斜率為2 B．斜率為 C．恒過(guò)點(diǎn) D．恒過(guò)點(diǎn)二、多選題3．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l過(guò)拋物線C：的焦點(diǎn)F且與C交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），，l為C的準(zhǔn)線，，垂足為M，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．的最小值為C．若，則D．x軸上存在一點(diǎn)N，使為定值4．（2024·安徽安慶·二模）拋物線的焦點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)A、點(diǎn)B作拋物線C的切線，兩切線相交于點(diǎn)E，則（

）A．當(dāng)時(shí)，B．面積的最大值為2C．點(diǎn)E在一條定直線上D．設(shè)直線傾斜角為，為定值三、解答題5．（2024·浙江杭州·二模）已知是橢圓的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)與橢圓上的點(diǎn)的距離的最小值為1.(1)求點(diǎn)的坐標(biāo).(2)過(guò)點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)（與不重合），連接，交于點(diǎn).（?。┳C明：點(diǎn)在定直線上；（ⅱ）是否存在點(diǎn)使得，若存在，求出直線的斜率；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.6．（2024·浙江·二模）已知雙曲線左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線上，且點(diǎn)到雙曲線兩條漸近線的距離乘積為，過(guò)分別作兩條斜率存在且互相垂直的直線，，已知與雙曲線左支交于，兩點(diǎn)，與左右兩支分別交于，兩點(diǎn).(1)求雙曲線的方程；(2)若線段，的中點(diǎn)分別為，，求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).7．（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知雙曲線G的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為，左、右頂點(diǎn)分別為A-4,0，B4,0(1)求的方程；(2)過(guò)右焦點(diǎn)的直線l與G的右支交于M，N兩點(diǎn)，若直線與交于點(diǎn)．（i）證明：點(diǎn)在定直線上：（ii）若直線與交于點(diǎn)，求證：PF2⊥QF8．（23-24高二上·遼寧大連·期末）已知雙曲線，點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)M的直線交雙曲線C于不同的兩點(diǎn)A、B，過(guò)點(diǎn)A，B分別作雙曲線C的切線，兩切線交于點(diǎn)E．（二次曲線在曲線上某點(diǎn)處的切線方程為）(1)求證：點(diǎn)E恒在一條定直線L上；(2)若兩直線與L交于點(diǎn)N，，求的值；(3)若點(diǎn)A、B都在雙曲線C的右支上，過(guò)點(diǎn)A、B分別作直線L的垂線，垂足分別為P、Q，記，，的面積分別為，問(wèn)：是否存在常數(shù)m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．規(guī)律方法：動(dòng)線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的兩大類(lèi)型及解法(1)動(dòng)直線l過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，解法：設(shè)動(dòng)直線方程(斜率存在)為y＝kx＋t，由題設(shè)條件將t用k表示為t＝mk，得y＝k(x＋m)，故動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)(－m,0)．(2)動(dòng)曲線C過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對(duì)參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點(diǎn)．專(zhuān)題精練專(zhuān)題精練一、單選題1．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)是橢圓上異于的點(diǎn)，為平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線與直線交于點(diǎn)，則（

）A．12 B．16 C．24 D．322．（2024·甘肅定西·一模）已知橢圓的離心率為是上任意一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，到軸的距離為，則（

）A．為定值 B．為定值C．為定值 D．為定值3．（2024·湖北黃石·三模）已知為雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，，，直線：與雙曲線的兩條漸近線交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），與在同一條漸近線上，則的最小值為（

）A． B． C．0 D．4．（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線，過(guò)動(dòng)點(diǎn)作兩條相互垂直的直線，分別與拋物線相切于點(diǎn)，則面積的最小值是（

）A．6 B．9 C．12 D．185．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)點(diǎn)，，是拋物線上3個(gè)不同的點(diǎn)，且，若拋物線上存在點(diǎn)，使得線段總被直線平分，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題6．（2024·河北滄州·三模）已知橢圓的上頂點(diǎn)、左頂點(diǎn)為為橢圓上異于點(diǎn)的兩個(gè)不同點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若直線的斜率之和為，則直線恒過(guò)定點(diǎn)B．若直線的斜率之積為，則直線恒過(guò)定點(diǎn)C．若直線的斜率之和為，則直線恒過(guò)定點(diǎn)D．若直線的斜率之積為.則直線恒過(guò)定點(diǎn)7．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)M，N在直線：上，且，線段，分別交C于P，Q兩點(diǎn)，過(guò)P作的垂線，垂足為.設(shè)的面積為，的面積為，則（

）A．的最小值為 B．C．為定值 D．的最小值為8．（2024·廣西南寧·一模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)作兩條互相垂直的直線，與交于、Q兩點(diǎn)，與交于、N兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為，則（

）A．當(dāng)時(shí)， B．的最小值為18C．直線過(guò)定點(diǎn) D．的面積的最小值為4三、填空題9．（2024·安徽合肥·三模）已知曲線的方程為，過(guò)作直線與曲線分別交于兩點(diǎn)．過(guò)作曲線的切線，設(shè)切線的交點(diǎn)為．則的最小值為．10．（23-24高三上·云南昆明·階段練習(xí)）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在的左支上，，，延長(zhǎng)交的右支于點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線上任意一點(diǎn)（異于兩點(diǎn)），則直線與的斜率之積.四、解答題11．（23-24高二上·上海浦東新·期中）如圖，D為圓O：上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D分別作x軸，y軸的垂線，垂足分別為A，B，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)W，使得，點(diǎn)W的軌跡記為曲線．(1)求曲線C的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)的兩條直線，分別交曲線C于M，N兩點(diǎn)，且，求證：直線MN過(guò)定點(diǎn)；(3)若曲線C交y軸正半軸于點(diǎn)S，直線與曲線C交于不同的兩點(diǎn)G，H，直線SH，SG分別交x軸于P，Q兩點(diǎn)．請(qǐng)?zhí)骄浚簓軸上是否存在點(diǎn)R，使得？若存在，求出點(diǎn)R坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．12．（2024·廣東韶關(guān)·二模）已知橢圓的離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，是其左、右頂點(diǎn)，是其右焦點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，的角平分線與直線交于點(diǎn)．①求點(diǎn)的軌跡方程；②若面積為，求．13．（2024·貴州貴陽(yáng)·一模）已知雙曲線的方程為，虛軸長(zhǎng)為2，點(diǎn)在上.(1)求雙曲線的方程；(2)過(guò)原點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，已知直線和直線的斜率存在，證明：直線和直線的斜率之積為定值；(3)過(guò)點(diǎn)的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)分別為，求證：的中點(diǎn)為定點(diǎn).14．（2023·湖北·二模）已知雙曲線C：的離心率為，過(guò)點(diǎn)的直線l與C左右兩支分別交于M，N兩個(gè)不同的點(diǎn)（異于頂點(diǎn)）．(1)若點(diǎn)P為線段MN的中點(diǎn)，求直線OP與直線MN斜率之積（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；(2)若A，B為雙曲線的左右頂點(diǎn)，且，試判斷直線AN與直線BM的交點(diǎn)G是否在定直線上，若是，求出該定直線，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由15．（23-24高二下·四川瀘州·階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，且.(1)求的方程；(2)過(guò)點(diǎn)且斜率存在的直線與交于不