2025年高考數(shù)學二輪復習 專題一 函數(shù)與導數(shù) 第9講　零點問題原卷版

第9講零點問題（新高考專用）目錄目錄【真題自測】 2【考點突破】 3【考點一】零點問題 3【專題精練】 5真題自測真題自測一、單選題1．（2023·全國·高考真題）函數(shù)存在3個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題2．（2024·全國·高考真題）設函數(shù)，則（

）A．當時，有三個零點B．當時，是的極大值點C．存在a，b，使得為曲線的對稱軸D．存在a，使得點為曲線的對稱中心三、解答題3．（2024·北京·高考真題）設函數(shù)，直線是曲線在點處的切線．(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間.(2)求證：不經(jīng)過點.(3)當時，設點，，，為與軸的交點，與分別表示與的面積．是否存在點使得成立？若存在，這樣的點有幾個？（參考數(shù)據(jù)：，，）4．（2022·天津·高考真題）已知，函數(shù)(1)求曲線y=fx在處的切線方程；(2)若曲線y=fx和y=g（i）當時，求的取值范圍；（ii）求證：．5．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)．(1)當時，求的最大值；(2)若恰有一個零點，求a的取值范圍．6．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)．(1)若，求a的取值范圍；(2)證明：若有兩個零點，則．7．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)若在區(qū)間各恰有一個零點，求a的取值范圍．8．（2021·全國·高考真題）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）從下面兩個條件中選一個，證明：只有一個零點①；②．考點突破考點突破【考點一】零點問題一、單選題1．（2024·浙江杭州·模擬預測）若函數(shù)有且僅有兩個零點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2023·山東濟南·一模）函數(shù)（且）的零點個數(shù)為（

）A． B． C． D．3．（2023·河南洛陽·一模）已知函數(shù)的圖象上存在點，函數(shù)的圖象上存在點，且，關(guān)于軸對稱，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題4．（2024·湖北·一模）已知函數(shù)存在兩個極值點，且，．設的零點個數(shù)為，方程的實根個數(shù)為，則（

）A．當時， B．當時，C．一定能被3整除 D．的取值集合為5．（2024·云南昆明·模擬預測）已知函數(shù)（

）A．在上單調(diào)遞增 B．在上單調(diào)遞增C．在上有唯一零點 D．在上有最小值為6．（2024·山西臨汾·一模）已知函數(shù)在上可導且，其導函數(shù)滿足：，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)有且僅有兩個零點B．函數(shù)有且僅有三個零點C．當時，不等式恒成立D．在上的值域為三、填空題7．（2024·福建龍巖·三模）已知函數(shù)有且只有一個零點，則ab的取值范圍為.8．（2024·陜西西安·一模）若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為.9．（2024·山東濟寧·一模）已知函數(shù)（且）恰有一個零點，則實數(shù)的取值范圍為．四、解答題10．（2024·廣東汕頭·三模）已知函數(shù).(1)若曲線在處的切線與軸垂直，求的極值.(2)若在只有一個零點，求.11．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)．(1)求曲線在處的切線方程；(2)若，討論曲線與曲線的交點個數(shù)．12．（2023·山西·模擬預測）已知函數(shù).(1)若，求實數(shù)的取值范圍；(2)若有2個不同的零點（），求證：.規(guī)律方法：(1)求解函數(shù)零點(方程根)個數(shù)問題的步驟①將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題，進而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與x軸(或直線y＝k)在該區(qū)間上的交點問題．②利用導數(shù)研究該函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性、極值(最值)、端點值等性質(zhì)．③結(jié)合圖象求解．(2)已知零點求參數(shù)的取值范圍①結(jié)合圖象與單調(diào)性，分析函數(shù)的極值點．②依據(jù)零點確定極值的范圍．③對于參數(shù)選擇恰當?shù)姆诸悩藴蔬M行討論．專題精練專題精練一、單選題1．（23-24高三上·湖北荊門·階段練習）的零點的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．32．（23-24高三上·全國·階段練習）已知函數(shù)在上有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．3．（2023·四川成都·一模）已知函數(shù)有三個零點、、且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2024·廣西·模擬預測）若函數(shù)在上有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（2024·四川·模擬預測）已知函數(shù)若函數(shù)有5個不同的零點，則的取值范圍是（

）A． B． C．1,4 D．1,+∞6．（23-24高三下·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·開學考試）若函數(shù)存在零點，則的最小值為（

）A． B． C． D．7．（2024·北京房山·一模）若函數(shù)，則函數(shù)零點的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．1或2 D．1或38．（2023·四川內(nèi)江·一模）已知函數(shù)有兩個零點，則的最小整數(shù)值為（

）A．3 B．2 C．1 D．0二、多選題9．（23-24高二下·湖南岳陽·開學考試）關(guān)于函數(shù)，，下列說法正確的是（

）A．若過點可以作曲線的兩條切線，則B．若在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍為C．若在上恒成立，則D．若函數(shù)有且只有一個零點，則實數(shù)的范圍為10．（23-24高二下·重慶·階段練習）定義：設是的導函數(shù)，是函數(shù)的導數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”且“拐點”就是三次函數(shù)圖象的對稱中心.已知函數(shù)圖象的對稱中心為，則下列說法中正確的有（

）A．， B．函數(shù)的極大值與極小值之和為6C．函數(shù)有三個零點 D．函數(shù)在區(qū)間上的最小值為111．（22-23高二下·重慶·期中）小明熱愛數(shù)學，《九章算術(shù)》《幾何原本》《數(shù)學家的眼光》《奧賽經(jīng)典》《高等數(shù)學》都是他的案頭讀物．一日，正翻閱《高等數(shù)學》，一條關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)映入他的眼簾：函數(shù)在區(qū)間有定義，且對，，，若恒有，則稱函數(shù)在區(qū)間上“嚴格下凸”；若恒有，則稱函數(shù)在區(qū)間上“嚴格上凸”．現(xiàn)已知函數(shù)，為的導函數(shù)，下列說法正確的是（

）注：為自然對數(shù)的底數(shù)，，．A．有最小值，且最小值為整數(shù)B．存在常數(shù)，使得在“嚴格下凸”，在“嚴格上凸”C．恰有兩個極值點D．恰有三個零點三、填空題12．（2024·河南信陽·模擬預測）若過點僅可作曲線的兩條切線，則的取值范圍是.13．（23-24高三上·河南焦作·期末）若函數(shù)在上沒有零點，則實數(shù)的取值范圍為．14．（23-24高三上·天津南開·階段練習），若有且只有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是．四、解答題15．（2024·廣東·二模）已知.(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)函數(shù)的圖象上是否存在兩點（其中），使得直線與函數(shù)的圖象在處的切線平行？若存在，請求出直線；若不存在，請說明理由.16．（2023·北京西城·模擬預測）已知函數(shù).(1)若，求在處切線方程；(2)求的極大值與極小值；(3)證明：存在實數(shù)，當時，函數(shù)有三個零點.17．（2024·河南鄭州·三模）已知函數(shù).(1)若，求