湖南省2024屆高三“一起考”大聯(lián)考下學(xué)期模擬考試數(shù)學(xué)試題（四）

湖南省2024屆高三“一起考”大聯(lián)考下學(xué)期模擬考試數(shù)學(xué)試題（四）姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二四總分評(píng)分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知集合A={x|2x>4}，B={y|A．(2,+∞) B．(?4,4) C．2．已知復(fù)數(shù)z滿足|z+2i|=|z|，且z?1是純虛數(shù)，則zzA．1 B．2 C．3 D．43．已知λ∈R，平面向量a=(λ,?1)，bA．322 B．3 C．2 4．已知點(diǎn)P是直線x+y+3=0上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓C:(x+1)2+A．23 B．22 C．25．趙佶所作《瑞鶴圖》中房殿頂?shù)脑O(shè)計(jì)體現(xiàn)了古人的智慧，如下圖，分別以O(shè)A，OB為x軸、y軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，屋頂剖面的曲線與x軸、y軸均相切，A，B兩點(diǎn)間的曲線可近似看成函數(shù)f(x)的圖象，f(x)有導(dǎo)函數(shù)f'(xA．a(chǎn)>0，b>0 B．a(chǎn)>0，b<0 C．a(chǎn)<0，b>0 D．a(chǎn)<0，b<06．一種動(dòng)物的后代數(shù)y（單位：只）在一定范圍內(nèi)與溫度x（單位：℃）有關(guān)，測(cè)得一組數(shù)據(jù)(xi,yi)（i=1,2,???,20）可用模型A．e?1 B．e?2 C．e?37．已知α，β∈(0,π2)，A．23 B．25 C．268．已知八面體PABCDQ由兩個(gè)正四棱錐P?ABCD和Q?ABCD組成.若該八面體的外接球半徑為3，且平面PAB⊥平面PCD，則該八面體的體積為（）A．28 B．32 C．36 D．40二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．若隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，P(X>a)=0.A．a(chǎn)>0 B．a(chǎn)<0C．P(|X|<a)=0.6 10．已知?π2<α<0，sinA．(?π3,π3) B．(11．已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(x)的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱，且f(x+1)為奇函數(shù)，則（）A．f(f(x))=x B．f(x)+f(?x)=2C．f(x)?f(x+2)=4 D．f(2024)=?2023三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分，12．已知橢圓x2a2+y13．在△ABC中，∠BAC=120°，AB=1，BC=3，則△ABC14．已知數(shù)列{an}滿足an=2n，在an和an+1四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟15．已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列{an}滿足：a2+（1）求a3的值，并求數(shù)列{（2）若bn=anlo16．如圖，在三棱錐P?ABC中，AB⊥BC，PA=PB=PC=AC=4，（1）證明：PO⊥平面ABC；（2）若點(diǎn)M在棱BC上，BM=12MC，且AB=BC17．已知雙曲線C：ax2?y2（1）求雙曲線C的方程；（2）已知點(diǎn)A(1,1)，點(diǎn)D，E在雙曲線C的左支上，滿足AD?（3）在（2）的條件下，求點(diǎn)A到直線DE距離的最大值.18．已知函數(shù)f(x)=ax2，g(x)=lnx，函數(shù)f(x)，g(x)有兩條不同的公切線（與f(x)，g(x)均相切的直線）（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）記l1，l2在y軸上的截距分別為d1，d19．五一小長(zhǎng)假到來(lái)，多地迎來(lái)旅游高峰期，各大旅游景點(diǎn)都推出了種種新奇活動(dòng)以吸引游客，小明去成都某熊貓基地游玩時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)趣味游戲，游戲規(guī)則為：在一個(gè)足夠長(zhǎng)的直線軌道的中心處有一個(gè)會(huì)走路的機(jī)器人，游客可以設(shè)定機(jī)器人總共行走的步數(shù)，機(jī)器人每一步會(huì)隨機(jī)選擇向前行走或向后行走，且每一步的距離均相等，若機(jī)器人走完這些步數(shù)后，恰好回到初始位置，則視為勝利.（1）若小明設(shè)定機(jī)器人一共行走4步，記機(jī)器人的最終位置與初始位置的距離為X步，求X的分布列和期望；（2）記pi(i∈N*)為設(shè)定機(jī)器人一共行走2i（3）該基地臨時(shí)修改了游戲規(guī)則，要求機(jī)器人走完設(shè)定的步數(shù)后，恰好第一次回到初始位置，才視為勝利.小明發(fā)現(xiàn)，利用現(xiàn)有的知識(shí)無(wú)法推斷設(shè)定多少步時(shí)獲得勝利的概率最大，于是求助正在讀大學(xué)的哥哥，哥哥告訴他，“卡特蘭數(shù)”可以幫助他解決上面的疑惑：將n個(gè)0和n個(gè)1排成一排，若對(duì)任意的1≤k≤2n，在前k個(gè)數(shù)中，0的個(gè)數(shù)都不少于1的個(gè)數(shù)，則滿足條件的排列方式共有C2nn?C2nn?1種，其中，C2nn

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：由2x>4=22，可得由y2<16，可得?4<y<4，所以所以A∩B=(2,故答案為：C.【分析】本題考查集合的交集運(yùn)算.先利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出集合A，再解一元二次不等式求出集合B，利用集合的交集運(yùn)算可求出A∩B.2．【答案】B【解析】【解答】解：設(shè)z=a+bi，其中a，b是實(shí)數(shù)，則由|z+2i|=|z|，得a2所以b=?1，則z?1=a?1?i，又因?yàn)閦?1是純虛數(shù)，所以a?1=0，解得a=1，即z=1?i，所以zz故答案為：B【分析】本題考查復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式，共軛復(fù)數(shù)，純虛數(shù)，復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算.先設(shè)z=a+bi，其中a，b是實(shí)數(shù)，又知|z+2i|=|z|利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可求出b，再求出z?1，根據(jù)純虛數(shù)的概念可求出a，據(jù)此可得出z，z3．【答案】A【解析】【解答】解：易知a，故|=2λ2+2λ+5=2(λ+1此時(shí)由二次函數(shù)性質(zhì)得|a+b故|a+b故答案為：A【分析】本題考查平面向量的模長(zhǎng).先利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出a+b=(λ+2,λ?1)4．【答案】D【解析】【解答】解：圓C:(x+1)2+由題意可得PA⊥AC，則|PA|=|PC|則當(dāng)|PC|取得最小值時(shí)，線段PA長(zhǎng)度的最小，|PC|min所以|PA|min故答案為：D.【分析】本題考查直線與圓的位置關(guān)系.利用圓的切線的性質(zhì)可得|PA|=|PC|2?r2，則當(dāng)|PC|取得最小值時(shí)，線段PA5．【答案】D【解析】【解答】解：觀察圖象知，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，即f而函數(shù)圖象與y軸相切，則x從大于0的方向趨于0時(shí)，f'也即1+bf(0)趨于0，又f所以a<0，b<0.故答案為：D【分析】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.先利用函數(shù)圖象推出函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可得f'(x)<0，據(jù)此可得a<0；再結(jié)合曲線與y6．【答案】B【解析】【解答】解：y=c1ec2由題意，x=30，z所以回歸方程z=0.3x+a的圖象經(jīng)過(guò)(30,7)，

從而故答案為：B【分析】本題考查線性回歸方程的應(yīng)用.先經(jīng)過(guò)z=lny變換后將非線性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性問(wèn)題可得：z=c2x+7．【答案】C【解析】【解答】解：由3cos得2cos因?yàn)棣?，β?0,π2)，所以tan(α+β)=當(dāng)且僅當(dāng)tanα=故答案為：C.【分析】本題考查兩角和的余弦公式，兩角和的正切公式，利用基本不等式求最值.先利用兩角和的余弦公式進(jìn)行展開(kāi)式化簡(jiǎn)可得tanαtanβ8．【答案】B【解析】【解答】解：如圖，取AC的中點(diǎn)O，作PH⊥CD，PG⊥AB垂足分別為H，G，連接GH，GQ，HQ，OP，OQ，平面PAB⊥平面PCD，所以∠GPH是直角，易知PQ為外接球直徑，點(diǎn)A在球上，所以∠PAQ為直角，PQ=6.在Rt△PAQ中，OA在Rt△PGH中，OP2=O所以O(shè)P=2，OQ=4，AB=4，八面體的體積V=1故答案為：B【分析】本題考查棱錐的體積公式．根據(jù)題意作出圖形，利用二面角的定義可推出∠GPH是直角，∠PAQ為直角，利用射影定理建立方程，可推出OP=12OQ，進(jìn)而求出OP，OQ9．【答案】A,D【解析】【解答】解：A和B，因?yàn)镻(X>a)=0.3<P(X>0)=0.C和D由對(duì)稱性有P(|X|>a)=2P(X>a)=0.6，所以故答案為：AD.【分析】本題考查正態(tài)分布的對(duì)稱性.因?yàn)檎植紴闃?biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，所以P(X>0)=0.5，據(jù)此可得P(X>a)=0.3<P(X>0)=0.5，所以10．【答案】B,C【解析】【解答】解：因?yàn)?π2<α<0，sinf(x)的單調(diào)區(qū)間為(kπ?π2?αA，?πB，?πC，π2D，3π2故答案為：BC【分析】本題考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì).先根據(jù)sinα的值推出角α取值范圍，再利用正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出f(x)的單調(diào)區(qū)間為(kπ?π211．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A，點(diǎn)(x,f(x))關(guān)于y=x的對(duì)稱點(diǎn)是因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱，該點(diǎn)在函數(shù)f(x)的圖象上，所以f(f(x))=x，A正確.B，因?yàn)閒(x+1)為奇函數(shù)，所以f(x+1)+f(?x+1)=0，將x替換為1?f(x)有f(2?f(x))+f(f(x))=0，則f(2?f(x))=?x.又f(x)的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱，所以2?f(x)=f(?x)，則f(x)+f(?x)=2，B正確.C，在f(x+1)+f(?x+1)=0中將x替換為x+1有f(x+2)+f(?x)=0，由B知，f(x)+f(?x)=2，兩式相減得到f(x)?f(x+2)=2，C錯(cuò)誤.D.因?yàn)閒(x+1)為奇函數(shù)，所以f(1)=0，又f(x)的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱，從而f(0)=1，故由C得f(2024)=f(2022)?2=f(2020)?4=???=f(0)?2024=?2023，D正確.故答案為：ABD【分析】本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用.根據(jù)題意可得：點(diǎn)(x,f(x))關(guān)于y=x的對(duì)稱點(diǎn)(f(x),x)在函數(shù)f(x)的圖象上可推出f(f(x))=x，據(jù)此可判斷A選項(xiàng)；由奇函數(shù)有f(x+1)+f(?x+1)=0，將x替換為1?f(x)，再結(jié)合f(f(x))=x和f(x)的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱可推出f(x)+f(?x)=2，判斷B選項(xiàng)；在f(x+1)+f(?x+1)=0中將x替換為x+1，再結(jié)合f(x)+f(?x)=2可推出f(x)?f(x+2)=2，判斷C選項(xiàng)；利用奇函數(shù)的性質(zhì)可得：f(1)=0，再根據(jù)對(duì)稱性可得f(0)=1，結(jié)合12．【答案】2【解析】【解答】解：易知b=c，所以a=b2+故答案為：2【分析】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).根據(jù)橢圓短軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正方形，可推出b=c，利用橢圓的關(guān)系式可推出a=213．【答案】3【解析】【解答】解：由余弦定理可知cos∠BAC=即1+AC2?3所以△ABC的面積為S=1故答案為：3【分析】本題考查利用余弦定理解三角形.先利用余弦定理可列出方程，解方程可求出AC=1，再利用三角形的面積計(jì)算公式可求出答案.14．【答案】77【解析】【解答】解：在an,an+1之間插入所以共有n+[1+2+?+(n?1)]=n+(n?1)(1+n?1)當(dāng)n=5時(shí)，12×(52+5)=15由于an=2故答案為：77.【分析】本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.先構(gòu)成數(shù)列{bn}:a1,1,15．【答案】（1）等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a依題意有2(a3+2)代入a2+a∴a1q2=8∴數(shù)列{an}（2）∵an∴b∴S2Sn由②?①得，S=2由Sn+n?2n+1>50易知：當(dāng)n≤4時(shí)，2n+1≤25=32<52故使Sn+n?2n+1>50【解析】【分析】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，錯(cuò)位相減求數(shù)列的和.

（1）利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)列出方程，代入a2+a3+a4（2）由（1）和題意可求出bn，利用錯(cuò)位相減法、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可求出Sn，代入Sn16．【答案】（1）證明：因?yàn)镻A=PC，且O為AC中點(diǎn)，所以PO⊥AC因?yàn)锳B⊥BC，且O為AC中點(diǎn)，所以O(shè)B=1因?yàn)镻A=PC=AC=4，且O為AC中點(diǎn)，所以PO=23因?yàn)镻B=4，OB=2，PO=23OB∩AC=O，所以PO⊥平面ABC.（2）解：因?yàn)锳B=BC，且O為AC中點(diǎn)，所以AC⊥OB，從而OB，如圖，建立以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)B，OC，易知A(0，設(shè)M(x，y，z)，由BM=1所以PA=(0不妨設(shè)平面PAM的一個(gè)法向量為n=(x，y即?2y?23令z=1，則x=23，y=?取平面PAC的一個(gè)法向量為m=(1所以cos?m所以二面角M?PA?C的大小為30【解析】【分析】（1）主要考查線面垂直的判定定理，只需找到PO垂直平面內(nèi)兩條相交直線即可.

（2）以AC中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)B為x軸，以O(shè)C為y軸，以O(shè)P為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算出兩平面的法向量即可求出答案.17．【答案】（1）雙曲線C與雙曲線3y所以a1=a2+23，即所以雙曲線C的方程為2x（2）顯然直線DE不與x軸平行，可設(shè)其方程為x=my+t，由x=my+t2x2設(shè)D(x1,y1)，因?yàn)锳D?AE=0即(m整理得3m2+4mt+而顯然直線DE不經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,1)，所以m+t?1≠0，故直線DE經(jīng)過(guò)定點(diǎn)G(?3,（3）設(shè)點(diǎn)A在直線DE上的投影為H，由（2）知直線DE經(jīng)過(guò)定點(diǎn)G(?3,所以當(dāng)H與點(diǎn)G重合，即直線AG⊥直線DE時(shí)，點(diǎn)A到直線DE距離的最大值，此時(shí)|AG|=(1+3)2+(1?3)2=25【解析】【分析】本題考查雙曲線方程，直線與雙曲線的位置關(guān)系.

（1）根據(jù)雙曲線C與雙曲線3y2?(a2（2）可設(shè)其方程為x=my+t，與雙曲線方程聯(lián)立，設(shè)D(x1,y1)，E(x2,y2（3）設(shè)點(diǎn)A在直線DE上的投影為H，當(dāng)H與點(diǎn)G重合，即直線AG⊥直線DE時(shí)，點(diǎn)A到直線DE距離的最值，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出|AG|，據(jù)此可求出點(diǎn)A到直線DE距離的最大值..18．【答案】（1）設(shè)直線l：y=kx+b同時(shí)與f(x)，g(x)的圖象相切，切點(diǎn)分別為(m,n)，由f(x)=ax2，g(x)=lnx知，f'(x)=2ax，則l可同時(shí)表示為f(x)在(m,n)的切線方程和g(x)在即y=2am(x?m)+am2和所以k=2am=1p①，b=?am2=?1+lnp②設(shè)h(p)=p2(1?lnp)從而h(p)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(可作出y=h(x)的大致圖象如下，

它與y=14a有兩個(gè)交點(diǎn)，所以0<14a所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(1（2）設(shè)l1，l2與g(x)的切點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1,則由（1）知d1+d要證明?2+lnx1（方法一）因?yàn)閤12(1?lnx1)=則lnt1t12只需要證明lnt1t設(shè)t(x)=lnx?x2?1所以t(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，t(x)>t(1)=0，則lnt故d1（方法二）h(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(要證明x1x2<e,即x1<故由h(x)的單調(diào)性，只要證明h(e即(ex2設(shè)r(x)=lnx?x4x從而r(x)在x>e時(shí)單調(diào)遞增，所以r(x2故d1【解析】【分析】本題考查曲線的切線方程，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)