2024年湖南省長(zhǎng)沙市中考數(shù)學(xué)試題（含解析）

2024年長(zhǎng)沙市初中學(xué)業(yè)水平考試試卷數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答題前，請(qǐng)考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，并認(rèn)真核對(duì)條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考室和座位號(hào)；2．必須在答題卡上答題，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效；3．答題時(shí)，請(qǐng)考生注意各大題題號(hào)后面的答題提示；4．請(qǐng)勿折疊答題卡，保持字體工整、筆跡清晰、卡面清潔；5．答題卡上不得使用涂改液、涂改膠和貼紙；6．本學(xué)科試卷共25個(gè)小題，考試時(shí)量120分鐘，滿分120分．一、選擇題（在下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題的．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡中填涂符合題意的選項(xiàng)．本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分）1.下列圖形中，既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A. B. C. D.2.我國(guó)近年來(lái)大力推進(jìn)國(guó)家教育數(shù)字化戰(zhàn)略行動(dòng)，截至2024年6月上旬，上線慕課數(shù)量超過(guò)7.8萬(wàn)門(mén)，學(xué)習(xí)人次達(dá)1290000000建設(shè)和應(yīng)用規(guī)模居世界第一．用科學(xué)記數(shù)法將數(shù)據(jù)1290000000表示為（）A. B. C. D.3.“玉兔號(hào)”是我國(guó)首輛月球車(chē)，它和著陸器共同組成“嫦娥三號(hào)”探測(cè)器．“玉兔號(hào)”月球車(chē)能夠耐受月球表面的最低溫度是、最高溫度是，則它能夠耐受的溫差是（）A. B. C. D.4.下列計(jì)算正確是（）A. B. C. D.5.為慶祝五四青年節(jié)，某學(xué)校舉辦班級(jí)合唱比賽，甲班演唱后七位評(píng)委給出的分?jǐn)?shù)為：9.5，9.2，9.6，9.4，9.5，8.8，9.4，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A.9.2 B.9.4 C.9.5 D.9.66.在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后得到點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.7.對(duì)于一次函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A.它的圖象與y軸交于點(diǎn) B.y隨x的增大而減小C.當(dāng)時(shí)， D.它的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限8.如圖，在中，，，．則的度數(shù)為（）A. B. C. D.9.如圖，在中，弦的長(zhǎng)為8，圓心O到的距離，則的半徑長(zhǎng)為（）A.4 B. C.5 D.10.如圖，在菱形中，，，點(diǎn)E是邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接，，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)P．設(shè)，，則y與x之間的函數(shù)解析式為（不考慮自變量x的取值范圍）（）A. B. C. D.二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）11.為了比較甲、乙、丙三種水稻秋苗的長(zhǎng)勢(shì)，每種秧苗各隨機(jī)抽取40株，分別量出每株高度，計(jì)算發(fā)現(xiàn)三組秧苗的平均高度一樣，并且得到甲、乙、丙三組秧苗高度的方差分別是3.6，10.8，15.8，由此可知____種秧苗長(zhǎng)勢(shì)更整齊（填“甲”、“乙”或“丙”）．12.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)組織“新農(nóng)村，新氣象”春節(jié)聯(lián)歡晚會(huì)，進(jìn)入抽獎(jiǎng)環(huán)節(jié)．抽獎(jiǎng)方案如下：不透明箱子里裝有紅、黃、藍(lán)三種顏色的球（除顏色外其余都相同），其中紅球有2個(gè)，黃球有3個(gè)，藍(lán)球有5個(gè)，每次搖勻后從中隨機(jī)摸一個(gè)球，摸到紅球獲一等獎(jiǎng)，摸到黃球獲二等獎(jiǎng)，摸到藍(lán)球獲三等獎(jiǎng)，每個(gè)家庭有且只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，小明家參與抽獎(jiǎng)，獲得一等獎(jiǎng)的概率為_(kāi)_____．13.要使分式有意義，則x需滿足的條件是______．14.半徑為4，圓心角為的扇形的面積為_(kāi)_____（結(jié)果保留）．15.如圖，在中，點(diǎn)D，E分別是的中點(diǎn)，連接．若，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．16.為慶祝中國(guó)改革開(kāi)放46周年，某中學(xué)舉辦了一場(chǎng)精彩紛呈的慶?；顒?dòng)，現(xiàn)場(chǎng)參與者均為在校中學(xué)生，其中有一個(gè)活動(dòng)項(xiàng)目是“選數(shù)字猜出生年份”，該活動(dòng)項(xiàng)目主持人要求參與者從1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)數(shù)字，先乘以10，再加上4.6，將此時(shí)的運(yùn)算結(jié)果再乘以10，然后加上1978，最后減去參與者的出生年份（注：出生年份是一個(gè)四位數(shù)，比如2010年對(duì)應(yīng)的四位數(shù)是2010），得到最終的運(yùn)算結(jié)果．只要參與者報(bào)出最終的運(yùn)算結(jié)果，主持人立馬就知道參與者的出生年份．若某位參與者報(bào)出的最終的運(yùn)算結(jié)果是915，則這位參與者的出生年份是______．三、解答題（本大題共9個(gè)小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題8分，第22、23題每小題9分，第24、25題每小題10分，共72分解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.計(jì)算：．18.先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．19.如圖，在中，，，，分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧分別交于點(diǎn)M和N，作直線分別交于點(diǎn)D，E，連接（1）求的長(zhǎng)；（2）求的周長(zhǎng)．20.中國(guó)新能源產(chǎn)業(yè)異軍突起．中國(guó)車(chē)企在政策引導(dǎo)和支持下，瞄準(zhǔn)純電、混動(dòng)和氫燃料等多元技術(shù)路線，加大研發(fā)投入形成了領(lǐng)先的技術(shù)優(yōu)勢(shì)，2023年，中國(guó)新能源汽車(chē)產(chǎn)銷(xiāo)量均突破900萬(wàn)輛，連續(xù)9年位居全球第一．在某次汽車(chē)展覽會(huì)上，工作人員隨機(jī)抽取了部分參展人員進(jìn)行了“我最喜歡的汽車(chē)類(lèi)型”的調(diào)查活動(dòng)（每人限選其中一種類(lèi)型），并將數(shù)據(jù)整理后，繪制成下面有待完成的統(tǒng)計(jì)表、條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖類(lèi)型人數(shù)百分比純電m混動(dòng)n氫燃料3油車(chē)5請(qǐng)根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：（1）本次調(diào)查活動(dòng)隨機(jī)抽取了_____人；表中______，______；（2）請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）請(qǐng)計(jì)算扇形統(tǒng)計(jì)圖中“混動(dòng)”類(lèi)所在扇形的圓心角的度數(shù)；（4）若此次汽車(chē)展覽會(huì)的參展人員共有4000人，請(qǐng)你估計(jì)喜歡新能源（純電、混動(dòng)、氫燃料）汽車(chē)的有多少人？21.如圖，點(diǎn)C在線段上，，，．（1）求證：；（2）若，求的度數(shù)．22.刺繡是我國(guó)民間傳統(tǒng)手工藝．湘繡作為中國(guó)四大刺繡之一，聞名中外，在巴黎奧運(yùn)會(huì)倒計(jì)時(shí)50天之際，某國(guó)際旅游公司計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)A、B兩種奧運(yùn)主題湘繡作品作為紀(jì)念品．已知購(gòu)買(mǎi)1件A種湘繡作品與2件B種湘繡作品共需要700元，購(gòu)買(mǎi)2件A種湘繡作品與3件B種湘繡作品共需要1200元．（1）求A種湘繡作品和B種湘繡作品的單價(jià)分別為多少元？（2）該國(guó)際旅游公司計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)A種湘繡作品和B種湘繡作品共200件，總費(fèi)用不超過(guò)50000元，那么最多能購(gòu)買(mǎi)A種湘繡作品多少件？23.如圖，在中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，．（1）求證：；（2）點(diǎn)E在邊上，滿足．若，，求的長(zhǎng)及的值．24.對(duì)于凸四邊形，根據(jù)它有無(wú)外接圓（四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上）與內(nèi)切圓（四條邊都與同一個(gè)圓相切），可分為四種類(lèi)型，我們不妨約定：既無(wú)外接圓，又無(wú)內(nèi)切圓的四邊形稱(chēng)為“平凡型無(wú)圓”四邊形；只有外接圓，而無(wú)內(nèi)切圓的四邊形稱(chēng)為“外接型單圓”四邊形；只有內(nèi)接圓，而無(wú)外接圓四邊形稱(chēng)為“內(nèi)切型單圓”四邊形；既有外接圓，又有內(nèi)切圓的四邊形稱(chēng)為“完美型雙圓”四邊形．請(qǐng)你根據(jù)該約定，解答下列問(wèn)題：（1）請(qǐng)你判斷下列說(shuō)法是否正確（在題后相應(yīng)的括號(hào)中，正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”，①平行四邊形一定不是“平凡型無(wú)圓”四邊形；（）②內(nèi)角不等于的菱形一定是“內(nèi)切型單圓”四邊形；（）③若“完美型雙圓”四邊形的外接圓圓心與內(nèi)切圓圓心重合，外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，則有．（）（2）如圖1，已知四邊形內(nèi)接于，四條邊長(zhǎng)滿足：．①該四邊形是“______”四邊形（從約定的四種類(lèi)型中選一種填入）；②若平分線交于點(diǎn)E，的平分線交于點(diǎn)F，連接．求證：是的直徑．（3）已知四邊形是“完美型雙圓”四邊形，它的內(nèi)切圓與分別相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H．①如圖2．連接交于點(diǎn)P．求證：．②如圖3，連接，若，，，求內(nèi)切圓的半徑r及的長(zhǎng)．25.已知四個(gè)不同的點(diǎn)，，，都在關(guān)于x的函數(shù)（a，b，c是常數(shù)，）的圖象上．（1）當(dāng)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，時(shí)，求代數(shù)式的值；（2）當(dāng)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足時(shí)，請(qǐng)你判斷此函數(shù)圖象與x軸的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；（3）當(dāng)時(shí)，該函數(shù)圖象與x軸交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且A，B，C，D四點(diǎn)的坐標(biāo)滿足：，．請(qǐng)問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)，使得，，這三條線段組成一個(gè)三角形，且該三角形的三個(gè)內(nèi)角的大小之比為？若存在，求出m的值和此時(shí)函數(shù)的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由（注：表示一條長(zhǎng)度等于的m倍的線段）．參考答案一、選擇題（在下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題的．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡中填涂符合題意的選項(xiàng)．本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分）1.【答案】B【解析】解：A中圖形軸對(duì)稱(chēng)圖形，不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；B中圖形既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)符合題意；C中圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；D中圖形不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)不符合題意，故選：B．2.【答案】C【解析】解：用科學(xué)記數(shù)法將數(shù)據(jù)1290000000表示為，故選：C．3.【答案】D【解析】解：能夠耐受的溫差是，故答案為：D．4.【答案】A【解析】解：A、，計(jì)算正確；B、不能合并，原計(jì)算錯(cuò)誤；C、，原計(jì)算錯(cuò)誤；D、，原計(jì)算錯(cuò)誤；故選A．5.【答案】B【解析】解：甲班演唱后七位評(píng)委給出的分?jǐn)?shù)為：8.8，9.2，9.4，9.4，9.5，9.5，9.6，∴中位數(shù)為：9.4，故選B．6.【答案】D【解析】解：在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后得到點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，故選：D．7.【答案】A【解析】解：A.當(dāng)時(shí)，，即一次函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)，說(shuō)法正確；B.一次函數(shù)圖象y隨x增大而增大，原說(shuō)法錯(cuò)誤；C.當(dāng)時(shí)，，原說(shuō)法錯(cuò)誤；D.一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，原說(shuō)法錯(cuò)誤；故選A．8.【答案】C【解析】解：∵在中，，，∴,∵，∴．故選：C．9.【答案】B【解析】解：∵在中，弦的長(zhǎng)為8，圓心O到的距離，∴，，在中，，故選：B．10.【答案】C【解析】解：如圖，過(guò)D作，交延長(zhǎng)線于H，則，∵在菱形中，，，∴，，，∴，，在中，，∵，∴，又，∴，∴，∵，，∴，∴，故選：C．二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）11.【答案】甲【解析】解：∵，∴甲種秧苗長(zhǎng)勢(shì)更整齊，故答案為：甲．12.【答案】##【解析】解：小明家參與抽獎(jiǎng)，獲得一等獎(jiǎng)的概率為，故答案為：．13.【答案】【解析】解：∵分式有意義，∴，解得，故答案為：．14.【答案】【解析】解：由題意，半徑為4，圓心角為的扇形的面積為，故答案為：．15.【答案】24【解析】解：∵D，E分別是，的中點(diǎn)，∴是的中點(diǎn)，∴，故答案為：．16.【答案】2009【解析】解：設(shè)這位參與者的出生年份是x，從九個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)數(shù)字為a，根據(jù)題意，得，整理，得∴，∵a是從1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)數(shù)字，∴x的值可能為1209，1309，1409，1509，1609，1709，1809，1909，2009，∵是為慶祝中國(guó)改革開(kāi)放46周年，且參與者均為在校中學(xué)生，∴x只能是2009，故答案為：2009．三、解答題（本大題共9個(gè)小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題8分，第22、23題每小題9分，第24、25題每小題10分，共72分解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.【答案】【解析】解：原式．18.【答案】；【解析】解：．當(dāng)時(shí)，原式．19.【答案】（1）（2）【解析】【小問(wèn)1詳解】解：由作圖可知，是線段的垂直平分線，∴在中，點(diǎn)D是斜邊的中點(diǎn)．∴．【小問(wèn)2詳解】解：在中，．∵是線段的垂直平分線，∴．∴的周長(zhǎng)．20.【答案】（1）50；30，6（2）見(jiàn)解析（3）（4）人【解析】【小問(wèn)1詳解】解：本次調(diào)查活動(dòng)隨機(jī)抽取人數(shù)為（人），，則，，則，故答案為：50；30，6；【小問(wèn)2詳解】解：∵，∴補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示：【小問(wèn)3詳解】解：扇形統(tǒng)計(jì)圖中“混動(dòng)”類(lèi)所在扇形的圓心角的度數(shù)為；【小問(wèn)4詳解】解：（人）．答：估計(jì)喜歡新能源（純電、混動(dòng)、氫燃料）汽車(chē)的有3600人．21.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】【小問(wèn)1詳解】證明：在與中，，所以；【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)?，，所以，，所以是等邊三角形．所以?2.【答案】（1）A種湘繡作品的單價(jià)為300元，B種湘繡作品的單價(jià)為200元（2）最多能購(gòu)買(mǎi)100件A種湘繡作品【解析】【小問(wèn)1詳解】設(shè)A種湘繡作品的單價(jià)為x元，B種湘繡作品的單價(jià)為y元．根據(jù)題意，得，解得答：A種湘繡作品的單價(jià)為300元，B種湘繡作品的單價(jià)為200元．【小問(wèn)2詳解】設(shè)購(gòu)買(mǎi)A種湘繡作品a件，則購(gòu)買(mǎi)B種湘繡作品件．根據(jù)題意，得，解得．答：最多能購(gòu)買(mǎi)100件A種湘繡作品．23.【答案】（1）見(jiàn)解析（2），【解析】【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，且，所以四邊形是矩形．所以；【小?wèn)2詳解】解：在中，，，所以，因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，所以，．因?yàn)椋裕^(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)F，則，所以，在中，，所以．24.【答案】（1）①×；②√；③√（2）①外接型單圓；②見(jiàn)解析（3），，【解析】【小問(wèn)1詳解】解：由題干條件可得：有外接圓的四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；有內(nèi)切圓的四邊形的對(duì)邊之和相等，所以①當(dāng)平行四邊形對(duì)角不互補(bǔ)，對(duì)邊之和也不相等時(shí)，該平行四邊形無(wú)外接圓，也無(wú)內(nèi)切圓，∴該平行四邊形是“平凡型無(wú)圓”四邊形，故①錯(cuò)誤；②∵內(nèi)角不等于的菱形的對(duì)角不互補(bǔ)，∴該菱形無(wú)外接圓，∵菱形的四條邊都相等，∴該菱形的對(duì)邊之和相等，∴該菱形有內(nèi)切圓，∴內(nèi)角不等于90°的菱形一定是“內(nèi)切型單圓”四邊形，故②正確；③由題意，外接圓圓心與內(nèi)切圓圓心重合的“完美型雙圓”四邊形是正方形，如圖，則，，，，∴為等腰直角三角形，∴，即；故③正確，故答案為：①×；②√；③√；【小問(wèn)2詳解】解：①∵四邊形中，，∴四邊形無(wú)內(nèi)切圓，又該四邊形有外接圓，∴該四邊形是“外接型單圓”四邊形，故答案為：外接型單圓；②∵的平分線交于點(diǎn)E，的平分線交于點(diǎn)F，∴，，∴，，∴，∴，即和均為半圓，∴是的直徑．【小問(wèn)3詳解】①證明：如圖，連接、、、、，∵是四邊形的內(nèi)切圓，∴，，，，∴，在四邊形中，，同理可證，，∵四邊形是“完美型雙圓”四邊形，∴該四邊形有外接圓，則，∴，則，∵，，∴，∴，∴；②如圖，連接、、、，∵四邊形是“完美型雙圓”四邊形，它的內(nèi)切圓與分別相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，∴∴，，，，，∴，，，∴，∵，∴，又，∴，∴，∵，，∴，則，在中，由得，解得；在中，，∴，同理可證，∴，∴，∴．25.【答案】（1）（2）此函數(shù)圖象與x軸的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為兩個(gè)，理由見(jiàn)解析（3）存在兩個(gè)m的值符合題意；當(dāng)時(shí)，此時(shí)該函數(shù)的最小值為；當(dāng)時(shí)，此時(shí)該函數(shù)的最小值為【解析】【小問(wèn)1詳解】將，代入得，②-①得，即．所以．【小問(wèn)2詳解】此函數(shù)圖象與x軸的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為兩個(gè)．方法1：由，得．可得或．當(dāng)時(shí)，，此拋物線開(kāi)口向上，而A，B兩點(diǎn)之中至少有一個(gè)