2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：定點(diǎn)問(wèn)題（解析版）

專題51定點(diǎn)問(wèn)題（新高考專用）

2

5

【考點(diǎn)1】直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題....................................................5

【考點(diǎn)2］其它曲線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題...............................................16

【分層檢測(cè)】...............................................................28

【基礎(chǔ)篇】.................................................................28

【能力篇】.................................................................42

【培優(yōu)篇】.................................................................48

真題自測(cè)

一、解答題

1.（2022?全國(guó)?高考真題）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸、y軸，且過(guò)

A（0,-2）,唱-11兩點(diǎn).

⑴求E的方程；

⑵設(shè)過(guò)點(diǎn)尸。,-2）的直線交E于M,N兩點(diǎn),過(guò)M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T,

點(diǎn)、H滿足MT=TH.證明：直線"N過(guò)定點(diǎn).

22

2.（202”全國(guó)?高考真題）已知橢圓C的方程為二+斗=1（。＞6＞0）,右焦點(diǎn)為尸（虛,0）,

ab

且離心率為逅.

3

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)N是橢圓C上的兩點(diǎn)，直線與曲線/+9=62（尤＞0）相切.證明：乂,N,

廠三點(diǎn)共線的充要條件是IMN|=V3.

參考答案:

1.(1)21+—=1

43

(2)(0,-2)

【分析】（1）將給定點(diǎn)代入設(shè)出的方程求解即可;

（2）設(shè)出直線方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，分情況討論斜率是否存在，即可得解.

【詳解】（1）解：設(shè)橢圓E的方程為加2+?2=1,過(guò)4(0,-2),2(|,-1

4n=1

則＜91，解得根=:，幾=2,

14

22

所以橢圓E的方程為：匕+土=1.

43

32

（2）A（0,-2）,B（-,-l）,所以AB:y+2=§尤，

①若過(guò)點(diǎn)尸（1，-2）的直線斜率不存在，直線％=1.代入：+￡=1,

可得知（1,-孚），N（l,平），代入方程y=gx-2,可得

7（+3,-寺），由MT=7W得到"（一2"+5,-孚）.求得HN方程:

＞=（2+地）無(wú)一2,過(guò)點(diǎn)（0,-2）.

②若過(guò)點(diǎn)尸（L-2）的直線斜率存在，設(shè)履-y-（k+2）=0,M（%％）,N（%,%）.

2

"_y_（左+2）=0

聯(lián)立《了22，得（3兀？+4）尤2—6左（2+左）尤+3左（左+4）=0,

——+—=1

I34

6人（2+%）一8（2+左）

x,+x2=——-----

123公+4

可得

3%（4+無(wú)）4（4+4k-2k2）'

%%=3r+4

口-24k…、

且％%+WX=3左2+J）

y=y3

聯(lián)立2c，可得T（T+3,%）,"（3%+6-玉,%）.

y=-x-22

3

可求得此時(shí)"M'f=3y*二-

將（0,-2）,代入整理得2（%+々）-6（%+%）+%1y2+尤2%-3%%-12=。,

X等（*）代入，得24k+nk2+96+48左-24k-48-48左+24^2-36k2-48=0,

顯然成立，

綜上，可得直線HN過(guò)定點(diǎn)（0,-2）.

【點(diǎn)睛】求定點(diǎn)、定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種：

①?gòu)奶厥馊胧?，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；

②直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值.

2.（1）—+/=1；（2）證明見(jiàn)解析.

3-

【分析】（1）由離心率公式可得0=進(jìn)而可得及，即可得解；

（2）必要性：由三點(diǎn)共線及直線與圓相切可得直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程可證|政V|=6；

充分性：設(shè)直線=，（加<0）,由直線與圓相切得病=人?十］,聯(lián)立直線與橢圓

方程結(jié)合弦長(zhǎng)公式可得VTTI7.叵￡=百，進(jìn)而可得左=±1,即可得解.

【詳解】（1）由題意，橢圓半焦距c=夜且e=￡=亞，所以°=力,

a3

^b2=a2-c2=l,所以橢圓方程為《+尸=1；

3'

（2）由（1）得，曲線為尤2+>=i（x>o）,

當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，直線MN:x=l,不合題意；

3

當(dāng)直線肱V的斜率存在時(shí)，設(shè)M（冷X）,N（%2，%）,

必要性：

若M,N,尸三點(diǎn)共線，可設(shè)直線施V：y=Mx-&）即日一y-回=0,

由直線肱V與曲線/+y2=i（x>0）相切可得^1=1，解得及=±1,

>=±卜-@

3y_3

聯(lián)立i2可得4/一6\/5%+3=0，所以％+W=三一，芯F

X,-

—+y2=14

L3-

所\MN\=Vl+l-J（及+%2）~-4占?尤2=6，

所以必要性成立;

充分性：設(shè)直線MN:y=fcr+m,（萬(wàn)九<0）即kx-y+m=0,

由直線肱V與曲線無(wú)2+y2=l（x>0）相切可得7^=1,所以■=r+1,

42+1

y=kx+m

2

聯(lián)立x2可得（1+3左2）/+6^7nx+3m2一3=°,

丁'-

6km3療一3

所以玉+超=—l+3k2，X,'X2~l+3k2

22

26km1,3m-3

所以|MN]|=\Jl+k-J（陽(yáng)+xj-4xj-x

21+3左2

1+3公

化簡(jiǎn)得3（如-1）2=0,所以人士1,

k=1k=-l_

所以_或V廠，所以直線MN:y=x—0或y=-冗+0,

m=一四m=yJ2

所以直線MN過(guò)點(diǎn)尸（形,0）,M,N,尸三點(diǎn)共線，充分性成立;

所以M,N,尸三點(diǎn)共線的充要條件是|MN|=道.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：

解決本題的關(guān)鍵是直線方程與橢圓方程聯(lián)立及韋達(dá)定理的應(yīng)用，注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性是解題的

重中之重.

4

M考點(diǎn)突破

【考點(diǎn)1】直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題

一、解答題

2

1.(2024,湖南邵陽(yáng)?三模)已知橢圓C：1/+方v=1(。＞6＞0)的離心率為1右頂點(diǎn)。與C

的上，下頂點(diǎn)所圍成的三角形面積為26.

(1)求C的方程.

(2)不過(guò)點(diǎn)。的動(dòng)直線/與C交于A,3兩點(diǎn)，直線QA與。B的斜率之積恒為;.

(i)證明：直線/過(guò)定點(diǎn)；

(ii)求—面積的最大值.

2.(2024?陜西?模擬預(yù)測(cè))已知?jiǎng)訄AM經(jīng)過(guò)定點(diǎn)耳(-6,0),1M與圓為:(x-6)2+/=16內(nèi)

切.

(1)求動(dòng)圓圓心M的軌跡C的方程；

⑵設(shè)軌跡C與無(wú)軸從左到右的交點(diǎn)為點(diǎn)42,點(diǎn)尸為軌跡C上異于A,B的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線

交直線x=4于點(diǎn)T,連接AT交軌跡C于點(diǎn)Q直線AP,AQ的斜率分別為七戶，kAQ.

(i)求證:以p,一。為定值;

(ii)設(shè)直線尸。：無(wú)="+〃，證明：直線尸。過(guò)定點(diǎn).

3.(2024?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè))已知4(-1,0),3(1,0),平面上有動(dòng)點(diǎn)P,且直線釬的斜率

與直線3P的斜率之積為1.

(1)求動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡。的方程.

⑵過(guò)點(diǎn)A的直線與。交于點(diǎn)M在第一象限)，過(guò)點(diǎn)8的直線與O交于點(diǎn)N(N在第三

象限)，記直線AM,3N的斜率分別為％,k2,且左=4七.試判斷..AAW與二的面積

之比是否為定值，若為定值，請(qǐng)求出該定值；若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.

4.(2024?江西宜春?三模)已知以點(diǎn)/為圓心的動(dòng)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)耳(-3,0),且與圓心為工的圓

(x-3)2+9=12相切，記點(diǎn)M的軌跡為曲線C.

⑴求曲線C的方程；

⑵若動(dòng)直線/與曲線C交于A?,%),3(3,%)兩點(diǎn)(其中弘％＞。)，點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱的

點(diǎn)為A',且直線54經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-L,0).

5

(0)求證：直線/過(guò)定點(diǎn)；

(0)若IPAI+I尸8|=4上，求直線/的方程.

5.(23-24高二下?福建泉州?期中)已知拋物線C：V=2px(0<p<3),其焦點(diǎn)為廠，點(diǎn)

。向,2力)在拋物線C上，且|。叫=4.

(1)求拋物線C的方程；

⑵。為坐標(biāo)原點(diǎn)，A2為拋物線上不同的兩點(diǎn)，且。4_LO3,

(i)求證直線A3過(guò)定點(diǎn)；

(ii)求VAFO與二ABO面積之和的最小值.

6.(2024?江蘇鹽城?模擬預(yù)測(cè))已知拋物線C：d=2Q(p>0),動(dòng)直線/與拋物線C交于A,

B兩點(diǎn),分別過(guò)點(diǎn)A、點(diǎn)3作拋物線C的切線人和心直線4與x軸交于點(diǎn)直線4與無(wú)軸

交于點(diǎn)N4和4相交于點(diǎn)。.當(dāng)點(diǎn)。為寸，△MNQ的外接圓的面積是47r.

⑴求拋物線C的方程；

3

⑵若直線/的方程是y=x+],點(diǎn)尸是拋物線C上在A,8兩點(diǎn)之間的動(dòng)點(diǎn)(異于點(diǎn)A,B),

求尸4尸2的取值范圍；

⑶設(shè)廠為拋物線C的焦點(diǎn)，證明：若|凡2|=]〃叫恒成立，則直線/過(guò)定點(diǎn)

反思提升：

圓錐曲線中定點(diǎn)問(wèn)題的兩種解法

(1)引進(jìn)參數(shù)法：引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化

的量與參數(shù)何時(shí)沒(méi)有關(guān)系，找到定點(diǎn).

⑵特殊到一般法：根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變

量無(wú)關(guān).

參考答案:

(2)⑴證明見(jiàn)解析…)

【分析】(1)根據(jù)橢圓的離心率及三角形面積，列出方程組求解即得.

(2)(i)設(shè)出直線/的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用斜率坐標(biāo)公式，結(jié)合韋達(dá)定理推理即得;

(ii)由(i)的信息，借助三角形面積建立函數(shù)關(guān)系，再求出最大值.

6

1-21C1

【詳解】（1）令橢圓C:二+與=1的半焦距為C,由離心率為:，得上=；，解得

ab2a2

a—2c,b—yc^—c*23=\f3c，

由三角形面積為2括，得ab=,則c=l，a=2,b=邪,

所以C的方程是二+M=1.

43

（2）（i）由（1）知，點(diǎn)。（2,0）,設(shè)直線/的方程為x=2y+〃，設(shè)A（X],%）,8（孫為）,

x=my+n

由消去得:(3m2+4)y2+6mny+3??2—12=0,

3尤2+4y2=12X

6mn3n2-12

則%+%=--9—，y%=——；—

3m2+4123m2+4

%

直線QA與QB的斜率分別為kQA=皆^,kQB

X2-2

于是

k°A"^QB22

(myl+n-2)(my2+〃-2)m^j2+m(n-2)(%+%)+(〃-2)

3萬(wàn)—12

3加2+4

蘇?一—/(〃-〉

26mn+(〃-2『

3m2+4173m2+4

??r~12=-,整理得1+2"_8=0,解得“=-4或〃=2,

4/-16〃+164

當(dāng)〃=2時(shí)，直線％=切＞+2過(guò)點(diǎn)。，不符合題意，因此〃=—4,

直線/：%4恒過(guò)定點(diǎn)尸(T,0).

zx.x,24m36

(ii)由⑴知，-+%=&=&2：，

3m+43m+4

576加2_144_12，/一4

(3m2+4)23m2+43m2+4

36y/m2—436

sp

因此?AB的面積QAB=-\Q\\yl-y21=

3(Vm2-4)2+163J療-4+、

{m2—4

二景除當(dāng)且僅當(dāng)3E=3'即心土率時(shí)取等號(hào)'

7

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：圓錐曲線中的幾何圖形面積范圍或最值問(wèn)題，可以以直線的斜率、橫（縱）

截距、圖形上動(dòng)點(diǎn)的橫（縱）坐標(biāo)為變量，建立函數(shù)關(guān)系求解作答.

2.嗚+9=1;

（2）（i）證明見(jiàn)解析；（ii）證明見(jiàn)解析.

【分析】（1）根據(jù)給定條件，結(jié)合橢圓的定義求出軌跡C的方程.

（2）（i）設(shè)出點(diǎn)P,Q,T的坐標(biāo)，利用斜率坐標(biāo)公式計(jì)算即得；（ii）聯(lián)立直線PQ與軌跡C的

方程，利用韋達(dá)定理結(jié)合（i）的結(jié)論計(jì)算即得.

【詳解】（1）設(shè)動(dòng)圓的半徑為廣，圓B：（x—6）2+/=16的圓心片（相,0）,半徑R=4,

顯然點(diǎn)E（-指,0）在圓F?內(nèi)，貝（叫卜氏一「=4—|崢

于是|肛|+|血耳|=4>2點(diǎn)=|百巴

因此動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C是以弓，F(xiàn)?為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓,

長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a=2,半焦距c=g,則短半軸長(zhǎng)6二/=1，

所以軌跡C的方程為反+/=1.

4

(2)(i)設(shè)尸(為,%)，Q(x2,y2),T(4,m),由(1)知A(-2,0),8(2,0),

m-0mm2yl

4-(-2)-6'而二"BT一。

xx—2

y機(jī)_必又.+y；=l,即犬=:（4一X；）,

玉+26石+23(玉-2)3(%；-4)'

所以1,為定值.

^AP-Ml。3(x；-4)-12

x=ty+n

(ii)由消去x得(?+4)y2+2tny+?2-4=0,

A=4t2n2-4(r2+4)(/-4)=16(？+4-n2)>0,

8

由（i）得%+%=一言1，%%又上",&。=一：

r十今IIT-工乙

nM.%=________2122________=_____________義______________

人再+2x2+2{tyx+n+2)(Zy2+n+2)+("+2)(%+%)+(〃+2)2

n2-4

?+4n2-4一］，解得〃=1,滿足A＞。,

2n2-42/〃(〃+2)4/+16〃+16

+(〃+2『

y+4〃+4

因此直線PQ的方程為x=ty+1,

所以直線尸。過(guò)定點(diǎn)（1,0）.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題常用方法如下：

①''特殊探路，一般證明J即先通過(guò)特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般

性證明；

②〃一般推理，特殊求解〃：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或

曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐

標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn);

③求證直線過(guò)定點(diǎn)（為,%）,常利用直線的點(diǎn)斜式方程y-yQ=k（x-x^或截距式y(tǒng)=kx+b

來(lái)證明.

3.（l）x2-/=l（x^±l）

（2）是，定值為;

【分析】（1）設(shè)P（x,y）,根據(jù)題意結(jié)合斜率公式分析運(yùn)算即可；

（2）分析可知kBN-kBM^,設(shè)直線MN和相關(guān)點(diǎn)，聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理分析可得直線MN

過(guò)定點(diǎn)進(jìn)而可得面積之比.

【詳解】（1）設(shè)P（x,y）,x^+1,

2

由題意可得：Z"?原.=上?上=1^=1，整理得尤2-產(chǎn)=1,

APBPx+lx-lx2-l

故求動(dòng)點(diǎn)p的軌跡方程為X?-y2=i（x豐±1）.

（2）由題意可知：-^BM=1，且^AM=41CBN,可得kBN-kBM=~,

9

顯然直線MN的斜率不為0,設(shè)直線MN的方程為尤=叩+/。*±1),M(xi，%),yV(x2,y2),

聯(lián)立方程，;2個(gè)：；，消去x得(m2-1)/+2機(jī)少+產(chǎn)一1=0,

2mt

x+%=--r—r

則Wwl,A>O,可得2，

t-1

Im-1

則^BMx2-\項(xiàng)一1(mjj+r-l)(mj2+r-l)4'

整理可得"_4)y%+加(I)?+%)+(I)2=0，

則回二曰一四也』+(.1)2=0,

m2-lm2-lI)

因?yàn)榱?,則/IwO,可得(〃;一4)(r+l)_2mlt+(f_i)=0,

m2—1m2—1

3

整理可得，=-g,

所以直線MN方程為x=my-|,即直線MN過(guò)定點(diǎn)T,g,O)

3232

則|47|=-1+1=],|37|=1+(=(,

此時(shí)SAMN=—yj，SBMN=—-\yM-|,

q一后AT=；為定值.

所以

、BMNBT

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：

<1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（玉,丹）,（々，%）；

（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x（或V）的一元二次方程，注意△的判斷;

（3）列出韋達(dá)定理；

（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為西+尤2、%%（或乂+%、％%）的形式；

10

（5）代入韋達(dá)定理求解.

4.(Dy-f=1

(2)(0)證明見(jiàn)解析；(0)x土y+3=0

【分析】（1）根據(jù)動(dòng)圓M與圓尸?相切，由Ilf|-|噌||=26<|百居|=6,利用雙曲線的定

義求解；

22

（2）（團(tuán)）設(shè)直線/的方程為冗=玫尸/（顯然/與x軸不平行），與土-乙=1聯(lián)立，由

36

12Hz12

L+L=°求解；（0）由（團(tuán)）知，當(dāng)/=一3時(shí)，%+%=c2,，X%=c,,>°，然

2m-12m-1

后由|%|+|尸3旨同'|+|尸3=|43|求解.

【詳解】（1）圓（尤-31+）=12的圓心坐標(biāo)為每（3,0）,半徑“2石.

動(dòng)圓M與圓F?相切有兩種情況，即內(nèi)切或外切，

所以||岬|一|摩||=2指<|耳耳|=6,

所以點(diǎn)M在以與，罵為焦點(diǎn)的雙曲線上，且該雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2a=2百，2c=6,

所以/二寸—[2=6,

r2v2

所以曲線C的方程是上-2=1.

36

（2）（團(tuán)）設(shè)直線/的方程為x=加>+/（顯然/與了軸不平行），

22

與^--匕=1聯(lián)立，（2m2-l）y2+4mty+2r2-6=0,

36

由題意知，|相|〉受，A=16m2t2-（8m2-4）（2?-6）>0,即6/3>0,

2

士士、曰-4mr2t2-6八

由韋達(dá)定理得%+%=丁丁7，%%=c2?

2m-12m-1

因?yàn)辄c(diǎn)A與4關(guān)于1軸對(duì)稱，不妨設(shè)A,8分別在第一、二象限，如圖所示.

%,%_%(m%+，+1)+%(M%+，+1)

即nnI——u

西+1x2+1(myx+/+l)(my2+。+1)

化為2my1%+Q+1)(%+%)=0，

即2〃??二---HQ+1）----——=0,化為一3根=;加，

2m—2m*2-*1

當(dāng)機(jī)變化時(shí)，該式恒成立，

所以7=-3,故直線/過(guò)定點(diǎn)（-3,0）.

（0）由（回）知，當(dāng)，=-3時(shí)，%+%=

2m-12m-

^\PA\^\PB\=\PA,\-^\PB\=\A,B\,

=-%2)2+(一%一%)2,

=J(沖?-3-my?+3)2+(%+%了，

2r,12m.12、，12m“r—

m-[(---x)2-4x---]+(---)x2=4.15,

2m2-12m2-12m2-1

化為19m4-24m2+5=0,解得m2=1或m2=—<（舍去）,

19

故〃i=±l,

此時(shí)直線/的方程為x土y+3=0.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題（回）的關(guān)鍵是由直線84經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（T,0）,結(jié)合點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)

稱的點(diǎn)為A',得到1PAi=|PA］，從而將|PA|+|PB|=4岳，轉(zhuǎn)化為

\PA\+\PB\=\PA'\+\PB|=|A'B\,結(jié)合韋達(dá)定理而得解.

5.(l)y2=4x

（2）（i）證明見(jiàn)解析；（ii）8A/5

【分析】（1）利用焦半徑公式建立方程，解出參數(shù)，得到拋物線方程即可.

（2）（i）設(shè)出x=q+t,利用給定條件建立方程求出t=4,最后得到定點(diǎn)即可.

（ii）利用三角形面積公式寫出面積和的解析式，再利用基本不等式求最小值即可.

【詳解】（1）拋物線C:y2=2px（0<p<3）,

其焦點(diǎn)為pg。］,準(zhǔn)線方程為》=，，

可得尸|=加+5=4,且2"?=12,

解得。=2（另一個(gè)根舍去），m=3,

12

則拋物線的方程為/=4x；

(2)

如圖，設(shè)A3的方程為*=$'+，，A（X]，M）,8（物%）,

[x=sy+tc

聯(lián)立,:，可得/一4sy-4f=0,

[y=4x

則16s2+16/>0,又「=（?%）=產(chǎn)，

16

由。4_LOB,可得占％+%/=產(chǎn)-書(shū)=0,解得/=4（另一個(gè)根舍去）,

所以直線A3恒過(guò)定點(diǎn)N（4,0）；

（ii）由上小問(wèn)可得%%<0,不妨設(shè)必<。，%>。，

則VAFO與ABO面積之和為S=1|y1|-|OF|+1|y1-y2|-|ON|,

=_/M+2（%-%）=2y2_萬(wàn)/22y/-5yiy2=2,20t=8下,

當(dāng)且僅當(dāng)必=-乎，%=2.時(shí)，上式取得等號(hào)，

則Y4FO與面積之和的最小值為86.

6.(1)x2=2y

27八

⑵二°

⑶證明見(jiàn)解析

【分析】（1）設(shè)△MN0外接圓的半徑為R,ZNMQ=0,由己知可得R=2,在△MN。中

可得tan26=7,設(shè)直線4：y=缶-（，與拋物線方程聯(lián)立根據(jù)直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)即

13

可求解；

(2)直線/的方程與拋物線方程聯(lián)立可得A,3坐標(biāo)，設(shè)P(x,y),-l<x<3,可得P4PB，

TS^(X)=X3-3X-2=(X+1)2(X-2)(-1<X<3),通過(guò)求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性求最值即可求

解；

(3)設(shè)4BO2,%)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得4，4的方程，聯(lián)立可得。的坐標(biāo)，由

叫=|M2V|得占％=T,設(shè)直線/的方程為廣質(zhì)+6,與f=2y聯(lián)立得%苫2=-26,即可求

解.

貝(1兀尺2=4,R=2,

在△MNQ中有A/Q=^—,=2R=4,MQ=NQ,

2sin6sin。

77

則贏T*sin/、即—kQM=士幣>

設(shè)直線Z[:y=y/lx~^,與x。=2py聯(lián)立得x?-2\/7px+1p=0,

令A(yù)=28p2—28p=0,又p>0,得P=L

所以拋物線方程為-=2y；

3

y—xH—

(2)聯(lián)立2,整理得_?一2苫-3=0,解得x=3或-1,

無(wú)2=2y

不妨設(shè)

設(shè)P(%,y),-l<x<3,貝!jPA=1—l-x,g-y"=3"|-y,

所以尸AJ3=(x+l)(x-3)+1y-；

433

又爐=2>,PAPB=-r----尤2-2*――，-1<<3,

-424%

14

4

r3

設(shè)夕（耳=彳一］/—1vxv3,

則0'(x)=x3-3x-2=(x+l)~(x-2)(-l<x<3),

故0（x）在（-1,2）上單調(diào)遞減，在（2,3）上單調(diào)遞增,

故。（x）min=。（2）=一］，而。（—1）="（3）=0,

故尸4尸8的取值范圍是一.，q；

（3）由y=J元2得y'=x,設(shè)4（>i，yi）,B（x2,y2^

直線4：y-y=%（%—玉），M=5'即/=百工一］，

令y=。，得與=5,同理，4=三,

所以MN=玉戶,

*一百+,

直線4：y=-1與直線4：y=-［兩方程聯(lián)立解得<一2

以

-2

得《安

又尸卜力，由川=［跖v［得］弋上［+二］=［五千

得=-1，

設(shè)直線/的方程為>"與-=2y聯(lián)立得f―2日-2人=0,

則xxx2=-2b,

所以6=；,則直線/過(guò)定點(diǎn)（0,g］.

X1+x

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問(wèn)的關(guān)鍵利用導(dǎo)數(shù)得到切線方程，從而求出。2

2

再計(jì)算出占％=-1,再設(shè)直線方程，將其與拋物線聯(lián)立，得到不％=-26,從而解出6值,

得到定點(diǎn)坐標(biāo).

【考點(diǎn)2】其它曲線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題

一、解答題

1.（2024?西藏拉薩?二模）已知拋物線C:x2=2py5>0）上的兩點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo)分別為

15

-4,8,|AB|=6石.

（1）求拋物線c的方程；

（2）若過(guò)點(diǎn)Q（0,8）的直線/與拋物線C交于點(diǎn)MN,問(wèn)：以MN為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)？若

過(guò)定點(diǎn)，求出這個(gè)定點(diǎn)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2.（2024?山東泰安?模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線E:x2=2py（p>0）,焦點(diǎn)為尸,點(diǎn)C（2,l）在石上，

直線/聞》=區(qū)+1（上40）與E相交于兩點(diǎn)，過(guò)A2分別向E的準(zhǔn)線/作垂線，垂足分別為

A，%

⑴設(shè)碼庫(kù).E4A，”期的面積分別為席邑，邑，求證：S^=4S2-S3；

（2）若直線AC,分別與/相交于試證明以MN為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)P,并求出點(diǎn)尸的

坐標(biāo).

3.（2024?新疆喀什?三模）已知雙曲線￡：V—3丁=3的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,A是直

線/：y=-=x（其中〃是實(shí)半軸長(zhǎng)，。是半焦距）上不同于原點(diǎn)。的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，斜率為匕的

a

直線4月與雙曲線E交于N兩點(diǎn)，斜率為網(wǎng)的直線AE與雙曲線E交于P,。兩點(diǎn).

11

（1）求丁+廠的值；

⑵若直線OM,ON,OP,。。的斜率分別為kOM，G，kop,女°。，問(wèn)是否存在點(diǎn)A,滿

足自M+%ON++%OQ=。，若存在，求出A點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

22

4.（2024?福建泉州?模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C:斗-A=l（。>0,b>0）的實(shí)軸長(zhǎng)為2,離心率

ab

為2,右焦點(diǎn)為F,P為C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

（1）若點(diǎn)P在雙曲線C右支上，在無(wú)軸的負(fù)半軸上是否存在定點(diǎn)M.使得=

若存在，求出點(diǎn)”的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）過(guò)尸作圓（?:/+/=；的兩條切線4、4,若切線卜4分別與C相交于另外的兩點(diǎn)E、G,

證明：E、。、G三點(diǎn)共線.

221

5.（2024?福建福州?模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓卬云+齊=1伍”>0）的離心率為-,且過(guò)點(diǎn)（2,0）.

（1）求W的方程；

（2）直線X-沖+1=0（"?W0）交W于A2兩點(diǎn).

16

(i)點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為C,直線BC的斜率為后，證明：上為定值；

m

(ii)若W上存在點(diǎn)尸使得AP,PB在AB上的投影向量相等，且」PLB的重心在V軸上，求直

線AB的方程.

22

6.(2024?天津和平?二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓1r+%=l(a>b>0)的右焦點(diǎn)為

點(diǎn)、F,橢圓上頂點(diǎn)為點(diǎn)a,右頂點(diǎn)為點(diǎn)8,且滿足

(1)求橢圓的離心率；

(2)是否存在過(guò)原點(diǎn)。的直線/,使得直線/與橢圓在第三象限的交點(diǎn)為點(diǎn)C,且與直線AF

交于點(diǎn)D,滿足3Gl陽(yáng)|=2|cqsin/￡)O3,若存在，求出直線/的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

參考答案:

1.(l)x2=8y

⑵過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)為原點(diǎn)

【分析】(1)設(shè)出兩點(diǎn)，運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式構(gòu)造方程求解即可；

(2)過(guò)點(diǎn)。(0,8)的直線/的方程為y=Ax+8,直線0MoN的斜率分別為心”,心可.聯(lián)立拋

物線，運(yùn)用韋達(dá)定理，得到/”京.=-1,則OMLON,即可證明.

【詳解】(1)因?yàn)辄c(diǎn)42的橫坐標(biāo)分別為T8,所以4卜4,皆,?8,￡),

貝1J|AB卜1(-4-8)2+|^--—=6A/5，解得P=4,

所以拋物線C的方程為無(wú)z=8%

(2)由題意，知直線/的斜率存在，設(shè)/&,%)小(%,%)，過(guò)點(diǎn)Q(。,8)的直線/的方程為

y=kx+8,直線OM,ON的斜率分別為生”,無(wú)w.

當(dāng)％=0時(shí)，Af(―8,8),N(8,8),

因?yàn)?心N=T，所以以"N為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)。.

17

以下證明當(dāng)上wo時(shí)，以MN為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)O.

[%2=8

由《,消去V,得尤2—8日-64=0,A>0,

[y="+8

由根與系數(shù)的關(guān)系，得%+%2=弘,石%2=-64,

_必%_（-+8）（5+8）

KOM'KON==

Wx2xrx2

—左2%％2+8左（玉+々）+64_72,8MM+z）（64_,2,8k￥k_64

——KI=K-\I

占尤2%尤2-64-64

所以O(shè)MLON,所以以MN為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)0.

綜上，以為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)。.

2.①證明見(jiàn)解析

（2）證明見(jiàn)解析,尸（0,1）和尸（0,-3）

【分析】（1）將點(diǎn)C（2,D代入得拋物線方程為V=4y,設(shè)（4T），&（龍2，-1），

聯(lián)立直線與拋物線方程，韋達(dá)定理，然后用坐標(biāo)表示三個(gè)三角形的面積，化簡(jiǎn)即可證明.

（2）先求出直線AC的方程，令>=-1得點(diǎn)”的坐標(biāo)，同理得點(diǎn)N的坐標(biāo)，從而求出以MN

為直徑的圓，令x=0得圓恒過(guò)的定點(diǎn).

【詳解】（1）將。（2,1）代入/=2外（0>0）,得。=2,所以拋物線方程為-=4y,

由題意知?（0,1）,設(shè)4（再,％）,3（%,%）,A（尤1，T），4（%,T）,

由｛常；得,d-46一4=0,A=（-W+16>0,

所以玉+%=4%,玉%2=-4,

所以上_I；…臼=4（…）2=4—

S2-S31（％+1內(nèi)，（、2+1）同（%+1）（%+1）1無(wú)￡（何+2）（5+2）|xW

18

2

4［（X1+X2）-4V2］4（161+16）即$2=4S$

二［小々+2g+々）+4張司一4（H+8作+丁「23-

看-1

（2）直線AC的斜率％JT_4__%+2,

ACXl-2Xl-24

故直線AC的方程為＞-1='］（＞2）,令y=T,得x=2一.，

所以點(diǎn)〃的坐標(biāo)為（2——^-,-11同理，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2--^-,-1

1%+2JI%+2J

1QO

設(shè)線段跖V的中點(diǎn)為（尤0，-1）,則%=彳2——-+2-------

2（石+2x2+2J

=24（x+a+4）=?4（番+/+4）4（4%+4）_2

（玉+2）伍+2）+2（$+%）+4]—4+2x4k+4k

8（再一九2）

xxx2+2（芯+%）+4

8，（占+馬）2-4為尤28m6r+164?、1

,犬2+2（玉+X2）+4|8閡岡

所以以MN為直徑的圓為卜+gj

449

即“+1工+產(chǎn)+（y+D令x=0得y=l或y=-3,

故以MN為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)（0,1）和（0,-3）,

64

⑵存在，A或

A555

【分析】（1）設(shè)利用斜率公式求解;

（2）設(shè)知（%,％）,N（孫％），*￡，%），Q（4%），直線方程為丫=乂》+2）,與雙曲線方程

19

_,2k2k11

聯(lián)U,結(jié)t合A韋達(dá)定理得到自M+k0N=d心2干},kOP+k0Q=T7T.77結(jié)合7+廠=-3求解.

/1/vjI1/1/VQ-?1K‘?K-)

【詳解】(1)由題可得雙曲線氏—

3

則/=3,Z?2=1,c2=/+5?=4,.，.c=2,

回左、右焦點(diǎn)分別為耳（-2,0）,耳（2,0）,直線/的方程為：y=-jx

設(shè)人［人-不）。力°）,

--t-0

2t,同理可得k2=~

3(r+2)

1,1-3?+2)3(-2)_&_

Irl1--------------------------——3?

勺左22i2tIt

（2）設(shè)"（石,yJ,N（X2，%）,P（忍,%），。（%4乂），如圖，

直線入片方程為y=《（x+2）,

代入雙曲線方程可得：（1-3k；）x2-l2片尤一12好一3=0,

匕…126-12將一3

所以玉+%="——77，則nl％1%2=

13左]1-36‘

則—&=

玉x2玉冗2

kx(x,+2尼+K(%2+2)%

2勺%/+2kl+玉)

%工2

2k]

46+1,

772b

同理左OP+kOQ=2-

/1IVIX

22kl,2k

?二°,

即—TG

20

即（q+左2）（4勺左2+1）-0,

J_

團(tuán)K+左2=?；騥k=-

x24

若匕+左2=。.無(wú)解，舍去.

%=-！，

回左*2=—“解得"1=—W，%2=1,或勺=1，

171

若勺=—7，攵2=1,由A在直線AK上可得，—§/=—z（'+2），

0?=1此時(shí)4V1

12

若尤=1,勾=啖,由A在直線A耳上可得，一?"+2,

EU=_g止匕時(shí)A

OM

7兩足％+k0N+k0p+k0Q=0.

4.（1）

存在，M（-l,0）.

（2）

證明見(jiàn)解析.

【分析】（1）先求出雙曲線的方程，將角度關(guān)系轉(zhuǎn)化為直線的斜率關(guān)系，從而列出不等式,

斜率不存在的情況單獨(dú)討論，即可求出M點(diǎn)的坐標(biāo).

（2）先根據(jù)尸點(diǎn)的位置判斷能否作出切線,再將切線分為斜率存在和不存在兩種情況討論,

表達(dá)