2025年高考數(shù)學一輪復習講義：分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理（原卷版）

專題58分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理（新高考專用）

目錄

【知識梳理】................................................................2

【真題自測】................................................................2

【考點突破】................................................................3

【考點1］分類加法計數(shù)原理的應用............................................3

【考點2】分步乘法計數(shù)原理的應用............................................4

【考點3】兩個計數(shù)原理的綜合應用............................................6

【分層檢測】................................................................8

【基礎篇】..................................................................8

【能力篇】.................................................................10

考試要求：

1.通過實例，了解分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理及其意義.

2.能解決簡單的實際問題.

知識梳理

1.分類加法計數(shù)原理

完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有機種不同的方法，在第2類方案中有〃種不

同的方法.那么完成這件事共有N=m+”種不同的方法.

2.分步乘法計數(shù)原理

完成一件事需要兩個步驟，做第1步有機種不同的方法，做第2步有〃種不同的方法，那么

完成這件事共有N=/nX〃種不同的方法.

3.分類加法和分步乘法計數(shù)原理，區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理針對“分類”問題，其中各種

方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計數(shù)原理針對“分步”問題,

各個步驟中的方法相互依存，只有各個步驟都完成了才算完成這件事.

|常用結論

分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理是解決排列組合問題的基礎，并貫穿其始終.

（1）分類加法計數(shù)原理中，完成一件事的方法屬于其中一類，并且只屬于其中一類.

（2）分步乘法計數(shù)原理中，各個步驟中的方法相互依存，步與步之間“相互獨立，分步完成”.

真題自測

一、單選題

1.（2023?全國?高考真題）現(xiàn)有5名志愿者報名參加公益活動，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從

這5人中安排2人參加公益活動，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（）

A.120B.60C.30D.20

2.（2023?全國?高考真題）甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有

1種相同的選法共有（）

A.30種B.60種C.120種D.240種

3.（2023?全國,高考真題）某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣

調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生,

則不同的抽樣結果共有（）.

A.CQC短種B.C黑°C鼠種

C.OC2種D.C黑°C鼠種

4.（2023?全國?高考真題）某校文藝部有4名學生，其中高一、高二年級各2名.從這4名學生中隨機選2

名組織校文藝匯演，則這2名學生來自不同年級的概率為（）

2

二、填空題

5.（2024?上海?高考真題）設集合A中的元素皆為無重復數(shù)字的三位正整數(shù)，且元素中任意兩個不同元素之

積皆為偶數(shù)，求集合中元素個數(shù)的最大值____.

6.（2023?全國?高考真題）某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這8門課中選修

2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作答）.

考點突破

【考點11分類加法計數(shù)原理的應用

一、單選題

1.（2023?湖南?模擬預測）第19屆亞運會將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，甲、乙等4名杭

州亞運會志愿者到游泳、射擊、體操三個場地進行志愿服務，每名志愿者只去一個場地，每個場地至少一名

志愿者，若甲不去游泳場地，則不同的安排方法共有（）

A.12種B.18種C.24種D.36種

2.（2024?貴州貴陽?模擬預測）2024年3月16日下午3點，在貴州省黔東南苗族侗族自治州榕江縣"村超"

足球場，伴隨平地村足球隊在對陣口寨村足球隊中踢出的第一腳球，2024年第二屆貴州"村超"總決賽階段

的比賽正式拉開帷幕.某校足球社的五位同學準備前往村超球隊所在村寨調(diào)研，將在第一天前往平地村、口

寨村、忠誠村，己知每個村至少有一位同學前往，五位同學都會進行選擇并且每位同學只能選擇其中一個

村，若學生甲和學生乙必須選同一個村，則不同的選法種數(shù)是（）

A.18B.36C.54D.72

二、多選題

3.（2024?重慶,模擬預測）如圖，16枚釘子釘成4x4的正方形板，現(xiàn)用橡皮筋去套釘子，則下列說法正確的

有（不同的圖形指兩個圖形中至少有一個頂點不同）（）

A.可以圍成20個不同的正方形

可以圍成24個不同的長方形（鄰邊不相等）

可以圍成516個不同的三角形

可以圍成16個不同的等邊三角形

3

三、填空題

4.（22-23高三下?浙江杭州?階段練習）在一個圓周上有8個點，用四條既無公共點又無交點的弦連結它們，

則連結方式有種.

5.（2024?黑龍江哈爾濱?一模）有序?qū)崝?shù)組（占,程［*（八6*）稱為〃維向量，同+岡+-.+聞為該向量的

范數(shù)，范數(shù)在度量向量的長度和大小方面有著重要的作用.己知"維向量。=（%,馬，…，斗），其中

%e{0,l,2?=l,2,...,〃.記范數(shù)為奇數(shù)的。的個數(shù)為4,則4=；4向=.（用含"的式子表示）

6.（2024?黑龍江齊齊哈爾?一模）第33屆奧運會于2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉行，某高校

需要選派4名大學生去當志愿者，已知該校現(xiàn)有9名候選人，其中4名男生，5名女生，則志愿者中至少有

2名女生的選法有種（用數(shù)字作答）.

反思提升：

分類標準是運用分類加法計數(shù)原理的難點所在，應抓住題目中的關鍵詞、關鍵元素和關鍵位置.

（1）根據(jù)題目特點恰當選擇一個分類標準.

（2）分類時應注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩

種方法才是不同的方法，不能重復.

（3）分類時除了不能交叉重復外，還不能有遺漏.

【考點2】分步乘法計數(shù)原理的應用

一、單選題

1.（23-24高二上?遼寧?期末）某校高三年級有8名同學計劃高考后前往武當山、黃山、廬山三個景點旅游.已

知8名同學中有4名男生，4名女生.每個景點至少有2名同學前往，每名同學僅選一處景點游玩，其中男

生甲與女生A不去同一處景點游玩，女生B與女生C去同一處景點游玩，則這8名同學游玩行程的方法數(shù)為

（）

A.564B.484C.386D.640

2.（2023?河南開封?模擬預測）有2男2女共4名大學畢業(yè)生被分配到A,民C三個工廠實習，每人必須去一

個工廠且每個工廠至少去1人，且A工廠只接收女生，則不同的分配方法種數(shù)為（）

A.12B.14C.36D.72

二、多選題

3.（23-24高二上?四川?階段練習）有五名志愿者參加社區(qū)服務，共服務周六、周天兩天，每天從中任選兩人

參加服務，則（）

A.只有1人未參加服務的選擇種數(shù)是30種

B.恰有1人連續(xù)參加兩天服務的選擇種數(shù)是40種

C.只有1人未參加服務的選擇種數(shù)是60種

4

D.恰有1人連續(xù)參加兩天服務的選擇種數(shù)是60種

4.（2024?甘肅?一模）下列說法正確的有（）

A.數(shù)據(jù)29,30,39,25,37,41,42,32的第75百分位數(shù)是40

B.若。?N（25,4）,貝i]P（204j425）+P（jN30）=g

C.4名學生選報3門校本選修課，每人只能選其中一門，則總選法數(shù)為C；種

D.（l-x）8展開式中V項的二項式系數(shù)為56

三、填空題

5.（2024?福建廈門?一模）《九章算術》、《數(shù)書九章》、《周髀算經(jīng)》是中國古代數(shù)學著作，甲、乙、丙三名

同學計劃每人從中選擇一種來閱讀，若三人選擇的書不全相同，則不同的選法有種.

6.（2024?山東濰坊?一模）第40屆濰坊國際風箏會期間，某學校派5人參加連續(xù)6天的志愿服務活動，其中

甲連續(xù)參加2天，其他人各參加1天，則不同的安排方法有種.（結果用數(shù)值表示）

一、單選題

1.（23-24高二上?遼寧?期末）某校高三年級有8名同學計劃高考后前往武當山、黃山、廬山三個景點旅游.已

知8名同學中有4名男生，4名女生.每個景點至少有2名同學前往，每名同學僅選一處景點游玩，其中男

生甲與女生A不去同一處景點游玩，女生B與女生C去同一處景點游玩，則這8名同學游玩行程的方法數(shù)為

（）

A.564B.484C.386D.640

2.（2023?河南開封?模擬預測）有2男2女共4名大學畢業(yè)生被分配到A,B,C三個工廠實習，每人必須去一

個工廠且每個工廠至少去1人，且A工廠只接收女生，則不同的分配方法種數(shù)為（）

A.12B.14C.36D.72

二、多選題

3.（23-24高二上?四川?階段練習）有五名志愿者參加社區(qū)服務，共服務周六、周天兩天，每天從中任選兩人

參加服務，則（）

A.只有1人未參加服務的選擇種數(shù)是30種

B.恰有1人連續(xù)參加兩天服務的選擇種數(shù)是40種

C.只有1人未參加服務的選擇種數(shù)是60種

D.恰有1人連續(xù)參加兩天服務的選擇種數(shù)是60種

4.（2024?甘肅?一模）下列說法正確的有（）

A.數(shù)據(jù)29,30,39,25,37,41,42,32的第75百分位數(shù)是40

B.若。?N（25,4）,貝i]P（204j425）+P（jN30）=g

5

c.4名學生選報3門校本選修課，每人只能選其中一門，則總選法數(shù)為C：種

D.（l-x）8展開式中了3項的二項式系數(shù)為56

三、填空題

5.（2024?福建廈門?一模）《九章算術》、《數(shù)書九章》、《周髀算經(jīng)》是中國古代數(shù)學著作，甲、乙、丙三名

同學計劃每人從中選擇一種來閱讀，若三人選擇的書不全相同，則不同的選法有種.

6.（2024?山東濰坊?一模）第40屆濰坊國際風箏會期間，某學校派5人參加連續(xù)6天的志愿服務活動，其中

甲連續(xù)參加2天，其他人各參加1天，則不同的安排方法有種.（結果用數(shù)值表示）

反思提升：

1.利用分步乘法計數(shù)原理解決問題要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的，并

且分步必須滿足：完成一件事的各個步驟是相互依存的，只有各個步驟都完成了，才算完成這

件事.

2.分步必須滿足兩個條件：一是步驟互相獨立，互不干擾；二是步與步確保連續(xù)，逐步完成.

【考點3】兩個計數(shù)原理的綜合應用

一、單選題

1.（23-24高三上?江西南昌?階段練習）某植物園要在如圖所示的5個區(qū)域種植果樹，現(xiàn)有5種不同的果樹

供選擇，要求相鄰區(qū)域不能種同一種果樹，則共有（）種不同的方法.

2.（2024?全國?模擬預測）"142857"這一串數(shù)字被稱為走馬燈數(shù)，是世界上著名的幾個數(shù)之一，當142857

與1至6中任意1個數(shù)字相乘時，乘積仍然由1,4,2,8,5,7這6個數(shù)字組成.若從1,4,2,8,5,7

這6個數(shù)字中任選4個數(shù)字組成無重復數(shù)字的四位數(shù)，則在這些組成的四位數(shù)中，大于5200的偶數(shù)個數(shù)是

（）

A.87B.129C.132D.138

二、多選題

3.（22-23高二下?貴州貴陽?階段練習）甲、乙、丙、丁4人做傳接球訓練，球從甲手中開始，等可能地隨機傳

向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機傳向另外3人中的1人，如此不停地傳下去，假設

傳出的球都能接住.記第〃次傳球之前球在甲手中的概率為與，易知片=1，鳥=。.下列選項正確的是（）

A.

36

6

B.1匕-j為等比數(shù)列

C.設第〃次傳球之前球在乙手中的概率為"",當＜乜2

D.第4次傳球后，球落在乙手中的傳球方式有20種

4.（22-23高二下?山東棗莊?階段練習）現(xiàn)有4個興趣小組，第一、二、三、四組分別有6人、7人、8人、

9人，則下列說法正確的是（）

A.選1人為負責人的選法種數(shù)為30

B.每組選1名組長的選法種數(shù)為3024

C.若推選2人發(fā)言，這2人需來自不同的小組，則不同的選法種數(shù)為335

D.若另有3名學生加入這4個小組，可自由選擇小組，且第一組必有人選，則不同的選法有35種

三、填空題

5.（22-23高二下?湖北?期中）用0~9十個數(shù)字排成三位數(shù)，允許數(shù)字重復，把個位、十位、百位的數(shù)字之和

等于9的三位數(shù)稱為"長久數(shù)"，則"長久數(shù)"一共有個.

6.（2023?陜西寶雞?一模）七巧板是古代勞動人民智慧的結晶.如圖是某同學用木板制作的七巧板，它包括5

個等腰直角三角形、一個正方形和一個平行四邊形.若用四種顏色給各板塊涂色，要求正方形板塊單獨一色,

其余板塊兩塊一種顏色，而且有公共邊的板塊不同色，則不同的涂色方案有種.

反思提升：

L在綜合應用兩個原理解決問題時應注意：

⑴一般是先分類再分步.在分步時可能又用到分類加法計數(shù)原理.（2）對于較復雜的兩個原理綜

合應用的問題，可恰當?shù)亓谐鍪疽鈭D或列出表格，使問題形象化、直觀化.

2.解決涂色問題，可按顏色的種數(shù)分類，也可按不同的區(qū)域分步完成.

分層檢測

【基礎篇】

一、單選題

1.（2023?廣東廣州?模擬預測）小明在某一天中有七個課間休息時段，為準備"小歌手”比賽他想要選出至少

一個課間休息時段來練習唱歌，但他希望任意兩個練習的時間段之間都有至少兩個課間不唱歌讓他休息,

則小明一共有（）種練習的方案.

7

A.31B.18C.21D.33

2.（2023?河北唐山?一模）將英文單詞"mH""中的6個字母重新排列，其中字母6不相鄰的排列方法共有

（）

A.120種B.240種C.480種D.960種

3.（2022?遼寧?二模）重慶九宮格火鍋，是重慶火鍋獨特的烹飪方式.九宮格下面是相通的，實現(xiàn)了"底同

火不同，湯通油不通"它把火鍋分為三個層次，不同的格子代表不同的溫度和不同的牛油濃度，其鍋具抽象

成數(shù)學形狀如圖（同一類格子形狀相同）：

“中間格"火力旺盛，不宜久煮，適合放一些質(zhì)地嫩脆、頃刻即熟的食物；

"十字格”火力稍弱，但火力均勻，適合煮食，長時間加熱以鎖住食材原香；

“四角格"屬文火，火力溫和，適合婀菜，讓食物軟糯入味.現(xiàn)有6種不同食物（足夠量），其中1種適合放

入中間格，3種適合放入十字格，2種適合放入四角格.現(xiàn)將九宮格全部放入食物，且每格只放一種，若同

時可以吃到這六種食物（不考慮位置），則有多少種不同放法（）

4.（2023?云南昆明?模擬預測）如圖所示某城區(qū)的一個街心花園，共有五個區(qū)域，中心區(qū)域E已被設計為代

表城市特點的一個標志性塑像，要求在周圍ABC。四個區(qū)域中種植鮮花，現(xiàn)有四個品種的鮮花可供選擇,

要求每個區(qū)域只種一個品種且相鄰區(qū)域所種品種不同，則不同的種植方法的種數(shù)為（）

二、多選題

5.（2023?湖南?三模）已知一組數(shù)據(jù)：0,1,2,4,則下列各選項正確的是（）

A.該組數(shù)據(jù)的極差，中位數(shù)，平均數(shù)之積為10

B.該組數(shù)據(jù)的方差為2.1875

C.從這4個數(shù)字中任取2個不同的數(shù)字可以組成8個兩位數(shù)

8

7

D.在這4個數(shù)字中任取2個不同的數(shù)字組成兩位數(shù)，從這些兩位數(shù)中任取一數(shù)，取得偶數(shù)的概率為1

三、填空題

6.（2023?河北保定,一模）某校為促進拔尖人才培養(yǎng)開設了數(shù)學、物理、化學、生物、信息學五個學科競賽

課程，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四位同學要報名競賽課程，由于精力和時間限制，每人只能選擇其中一個學科

的競賽課程，則恰有兩位同學選擇數(shù)學競賽課程的報名方法數(shù)為.

7.（22-23高三?廣東汕頭?階段練習）如果一個四位數(shù)的各位數(shù)字互不相同，且各位數(shù)字之和等于10,則稱

此四位數(shù)為“完美四位數(shù)（如1036）,則由數(shù)字0,1,2,3,4,5,6,7構成的“完美四位數(shù)”中，奇數(shù)的個

數(shù)為_.

8.（2023?安徽?模擬預測）數(shù)學課上，老師出了一道智力游戲題.如圖所示，平面直角坐標系中有一個3乘3

方格圖（小正方形邊長為1）,一共有十六個紅色的格點，游戲規(guī)則是每一步可以改變其中一個點的顏色（只

能由紅變綠或綠變紅），如將其中任何一個點由紅色改成綠色，則這個點周圍與之相鄰的點也要從原來的顏

色變成另外一種顏色，比如選擇（L1）變成綠色，則與之相鄰的（0,1）,（1,0）,（1,2）,（2,1）四個點也要變成

綠色，那么最少需要步，才能使得位于直線>=-犬+3上的四個點變成綠色，而其他點都是紅色.

h

【能力篇】

一、單選題

1.（23-24高三上?山西?期末）某小組兩名男生和兩名女生邀請一名老師排成一排合影留念，要求兩名男生

不相鄰，兩名女生也不相鄰，老師不站在兩端，則不同的排法共有（）

A.48種B.32種C.24種D.16種

2.（2023?四川雅安?一模）甲、乙、丙、丁4個學校將分別組織部分學生開展研學活動，現(xiàn)有AB,CAE五

個研學基地供選擇，每個學校只選擇一個基地，則