建筑力學(xué)課件：變形計算

變形計算7.1軸向拉（壓）桿的變形胡克定律7.2彎曲變形7.3梁的剛度條件7.4虛功原理和單位荷載法7.5圖乘法7.6靜定結(jié)構(gòu)由于支座位移和溫度變化所

引起的位移計算7.7互等定理1、等內(nèi)力拉壓桿的彈性定律

2、變內(nèi)力拉壓桿的彈性定律

內(nèi)力在n段中分別為常量時

EA稱為桿的抗拉壓剛度。

PPFN(x)dxx§7.1軸向拉（壓）桿的變形胡克定律3、單向應(yīng)力狀態(tài)下的胡克定律

4、泊松比（或橫向變形系數(shù)）

[例]如圖a)所示的階梯桿，已知橫截面面積AAB＝ABC＝400mm2，ACD＝200mm2，彈性模量E＝200GPa，受力情況為FP1＝30kN，F(xiàn)P2＝10kN，各段長度如圖a)所示。試求桿的總變形。

解(1)作軸力圖桿的軸力圖如圖b)所示。

(2) 計算桿的變形應(yīng)用胡克定律分別求出各段桿的變形桿的總變形等于各段變形之和計算結(jié)果為負，說明桿的總變形為縮短。

§7.2彎曲變形研究目的：①對梁作剛度校核；②解超靜定梁（為變形幾何條件提供補充方程）。1.撓度：橫截面形心沿垂直于軸線方向的線位移。用ω表示。與ω軸同向為正，反之為負。

7.2.1彎曲變形與位移的基本概念2.轉(zhuǎn)角：橫截面繞其中性軸轉(zhuǎn)動的角度。用

表示，順時針轉(zhuǎn)動為正，反之為負。3、撓曲線：變形后，軸線變?yōu)楣饣€，該曲線稱為撓曲線。其方程為：ω=ω(x)4、轉(zhuǎn)角與撓曲線的關(guān)系：小變形PxωCqC1ω一、撓曲線近似微分方程式（2）就是撓曲線近似微分方程。小變形ωxM>0ωxM<0(1)7.2.2小撓度微分方程及其積分對于等截面直梁，撓曲線近似微分方程可寫成如下形式：二、用積分法求梁的變形1.微分方程的積分2.位移邊界條件PABCPD討論：①適用于小變形情況下、線彈性材料、細長構(gòu)件的平面彎曲。②可應(yīng)用于求解承受各種載荷的等截面或變截面梁的位移。③積分常數(shù)由撓曲線變形的幾何相容條件（邊界條件、連續(xù)條件）確定。④優(yōu)點：使用范圍廣，直接求出較精確；缺點：計算較繁。（1）

支點位移條件：（2）

連續(xù)條件：（3）光滑條件：[例]

求下列各等截面直梁的彈性曲線、最大撓度及最大轉(zhuǎn)角。

建立坐標系并寫出彎矩方程

寫出微分方程并積分

應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)解：PLxω

寫出彈性曲線方程并畫出曲線

最大撓度及最大轉(zhuǎn)角xωPL解：

建立坐標系并寫出彎矩方程

寫出微分方程并積分xωPLa[例]求下列各等截面直梁的彈性曲線、最大撓度及最大轉(zhuǎn)角。

應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)PLaxω

寫出彈性曲線方程并畫出曲線

最大撓度及最大轉(zhuǎn)角PLaxω1、載荷疊加

多個載荷同時作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形等于每個載荷單獨作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形的代數(shù)和。2、結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法）7.2.3疊加法求梁的變形一、疊加法求梁的變形

[例]按疊加原理求A點轉(zhuǎn)角和C點撓度。解、①載荷分解如圖②

由梁的簡單載荷變形表，查簡單載荷引起的變形。qqPP=+AAABBB

Caa

③疊加qqPP=+AAABBBCaa一、梁的剛度條件其中[]稱為許用轉(zhuǎn)角；[ω/L]稱為許用撓跨比。通常依此條件進行如下三種剛度計算：

、校核剛度：

、設(shè)計截面尺寸：

、設(shè)計載荷：(對于土建工程，強度常處于主要地位，剛度常處于從屬地位。特殊構(gòu)件例外）§7.3梁的剛度條件

[例]

圖示木梁的右端由鋼拉桿支承。已知梁的橫截面為邊長a=200mm的正方形，均布載荷集度，彈性模量E1=10GPa，鋼拉桿的橫截面面積A=250mm2，彈性模量E2=210GPa，試求拉桿的伸長量及梁跨中點D處沿鉛垂方向的位移。

解：靜力分析，求出支座A點的約束反力及拉桿BC所受的力。列平衡方程：本題既可用積分法，也可用疊加法求圖示梁D截面的撓度。積分法：拉桿BC的伸長為梁AB的彎矩方程為撓曲線的近似微分方程積分得：

邊界條件：當時，；當時，代入上式得故當時，。疊加法：

說明：AB梁不變形，BC桿變形后引起AB梁中點的位移，與BC不變形，AB梁變形后引起AB梁中點的位移疊加。

7.4.1虛功原理根據(jù)變形體在外力做功時力與位移是否存在直接關(guān)系，將外力所做的功分為外力實功和外力虛功；根據(jù)內(nèi)力在變形上做功（產(chǎn)生應(yīng)變能）時內(nèi)力與變形是否存在直接關(guān)系，將內(nèi)力所做的功分為內(nèi)力實功和內(nèi)力虛功。上節(jié)內(nèi)容介紹彈性體應(yīng)變能和余能計算，實際上是功能原理在外力和內(nèi)力做實功時的具體應(yīng)用，概括為實功原理。為了能普遍解決桿件或者桿系上任何一點沿任何方向的位移計算問題，以功能原理為前提，進一步來討論變形體系的虛功原理。一、虛功原理的概念如圖所示簡支梁，設(shè)第一組荷載F1先作用在梁上達到第一次平衡（虛線1），然后在第一組荷載作用的基礎(chǔ)上加上第二組荷載F2達到第二次平衡（虛線2）?！?.4虛功原理和單位荷載法圖中△11是由于F1的作用沿F1方向產(chǎn)生的位移，△22是由于F2的作用沿F2方向產(chǎn)生的位移，△12是由于的F2作用在F1方向上產(chǎn)生的位移。位移的腳標解釋為：第一個腳標表示位移發(fā)生的地點和方向；第二個腳標表示引起位移的原因。圖12-10

F1在△11上做的功用W11表示，F(xiàn)2在△22上做的功用W22表示，F(xiàn)1在，△12上做的功用W12表示。W11、W22是外力實功；W12不是F1在本身引起的位移上做的功，而是F2引起的在F1位移方向上做的功，W12是外力虛功。根據(jù)功能原理，外力做功的同時，內(nèi)力也做功（產(chǎn)生應(yīng)變能），F(xiàn)1引起的內(nèi)力在相應(yīng)的變形上做的功用Vε11表示，F(xiàn)2引起的內(nèi)力在相應(yīng)的變形上做的功用Vε22表示，F(xiàn)1引起的內(nèi)力在F2引起的內(nèi)力及其相應(yīng)變形上做的功用Vε12表示。同理、是內(nèi)Vε11Vε22力實功，Vε12是內(nèi)力虛功。根據(jù)功能原理，梁在兩組外力先后作用下，外力所作的總功全部轉(zhuǎn)變?yōu)閮?nèi)力的應(yīng)變能（內(nèi)力做的功），表達式為

因為,，所以可得

上式稱為虛功原理，也稱為虛功方程。它表明：第一組外力在第二組外力所引起的位移上所做的外力虛功，等于第一組內(nèi)力在第二組內(nèi)力所引起的變形上所做得的功。在虛功原理中，做功的外力（或者內(nèi)力）和位移（或者變形）可以是彼此獨立無關(guān)的，而且兩者之一可以是虛設(shè)的。如果是實功，對于一個給定的平衡力系，只有一種給定的平衡狀態(tài)；而虛功，對應(yīng)于某一個給定的平衡力系，可以選取多種變形狀態(tài)，或者對應(yīng)于某一個給定的變形狀態(tài)，可以選取多種平衡力系。虛功原理的應(yīng)用范圍很普遍，適用于線彈性體，非線彈性體，彈塑性體和塑性體等變形體系。二、虛功原理的應(yīng)用形式1.虛功原理求未知力——虛位移原理在理論力學(xué)中我們知道，在某瞬時，質(zhì)點系在約束所允許的條件下，可能實現(xiàn)的任何無限小的位移稱為虛位移。虛位移可以是線位移，也可以是角位移。任何一個桿件可看成質(zhì)點系。應(yīng)用虛功原理時，當力為實際狀態(tài)，位移為虛設(shè)狀態(tài)，此時虛功原理稱為虛位移原理。

如圖（a）所示一根外伸梁，在C點作用一個主動力F,梁在主動力和支座反力的作用下處于平衡狀態(tài)，此時為實際狀態(tài)，要求計算支座反力。

（a）(b)應(yīng)用虛位移原理求解步驟如下：（1）撤除與相應(yīng)的鏈桿，使梁發(fā)生位移狀態(tài)，如圖(b)所示。（2）實際力在虛設(shè)位移狀態(tài)上作虛功，虛功方程式為

公式中力與相應(yīng)的虛位移方向一致取正號虛功，力與相應(yīng)的虛位移方向相反取負號虛功。（3）根據(jù)圖（b）所示的幾何關(guān)系，可得

將上式代入式,可得

所以可求出支座反力：

從這個簡單的例子可看出，虛功方程式實際上是實際受力狀態(tài)的力矩平衡方程，應(yīng)用虛位移原理可以將一個力的平衡問題轉(zhuǎn)化為一個分析虛位移狀態(tài)中的幾何關(guān)系問題。

2．應(yīng)用虛功原理求位移——虛力原理應(yīng)用虛功原理求某一體系的未知位移時，以桿系的實際位移狀態(tài)作為虛功原理的位移狀態(tài)，再根據(jù)所要求的未知位移適當?shù)倪x擇虛力狀態(tài)，此時的虛功原理稱為虛力原理。如圖(a)所示一外伸梁，已知支座A下沉了，如虛線所示，這是實際位移狀態(tài)?，F(xiàn)用虛力原理求外伸梁C的位移。

（a）(b)求解步驟如下：（1）在所求位移的位置和方向上，虛設(shè)荷載F作用，作為虛設(shè)狀態(tài)。F在所求位移上做虛功。虛功方程式如下：

（2）由圖12-12（b）所示，列平衡方程,可得：

將代入式（12-25a）后，得：

由此求得：

若要確定在實際荷載作用下桿件上某一截面沿某一指定方向或轉(zhuǎn)向的位移，可依據(jù)單位力法來求解。具體方法法如下。在所求位移點處施加一個相應(yīng)的單位力，由單位力所引起的桿件任意截面上的內(nèi)力為、、、。于是，單位力法計算桿件位移的一般表達式，即

(7-1)

此式是將實際荷載所引起的位移當作虛位移，而將虛設(shè)的單位力當作荷載。對于線彈性桿件，由實際荷載引起的微段兩端橫截面間的變形位移分別為：

7.4.2單位力法

(7-2a)

(7-2b)

(7-2c)

(2-2d)

以上式中的、、、為桿件橫截面上實際荷載引起的內(nèi)力。將以上四個公式代入式（12-29）即得

(7-3)此式即為用單位力法求線彈性體位移的計算公式。如果是非圓截面桿，上式中IP的換為It。在應(yīng)用單位力法求解實際荷載作用下的位移應(yīng)注意：（1）單位力是所求位移相應(yīng)的廣義力。如果△是線位移，則單位力即為施加于該處沿所求線位移方向的力；如果△是轉(zhuǎn)角位移，則單位力為施加于該截面處的彎曲力偶或扭轉(zhuǎn)力偶。（2）根據(jù)實際荷載引起的內(nèi)力，公式（7-3）右端的組成項視具體情況而定。

（3）若所求位移的結(jié)果為正值，則表示其指向與單位力指向一致；若為負值，則表示其指向與單位力指向相反。從公式（7-3）可看出，單位力法實際上是卡氏第二定理的簡化方法?？ㄊ系诙ɡ碇械姆謩e等于單獨作用時產(chǎn)生的內(nèi)力、、、。

在桿件數(shù)量多的情況下,不方便.下面介紹計算位移的圖乘法.剛架與梁的位移計算公式為：§7.5圖乘法一、圖乘法(對于等截面桿)(對于直桿)圖乘法求位移公式為:圖乘法的適用條件是什么?A面積矩例.試求圖示梁B端轉(zhuǎn)角.解:MPMi1、應(yīng)用條件：桿段應(yīng)是等截面直桿段，兩個圖形中至少應(yīng)有一個直線圖形，標距y0應(yīng)取自直線圖中。2、正負規(guī)定：面積A與標距y0在桿的同一邊時，乘積A

y0應(yīng)取正；A與標距y0在桿的不同邊時取負號。圖（

）圖BAq例:求圖示梁(EI=常數(shù),跨長為l)B截面轉(zhuǎn)角解:例.試求圖示結(jié)構(gòu)B點豎向位移.解:MP二、幾種常見圖形的面積和形心位置的確定方法Ch二次拋物線A三、圖形分解求MP三、圖形分解求MP

當兩個圖形均為直線圖形時,取哪個圖形的面積均可.MP三、圖形分解求

取

yc的圖形必須是直線,不能是曲線或折線.能用

圖面積乘MP圖豎標嗎?三、圖形分解求MP三、圖乘法小結(jié)1.圖乘法的應(yīng)用條件：（1）等截面直桿，EI為常數(shù)；（2）兩個M圖中應(yīng)有一個是直線；（3）應(yīng)取自直線圖中。2.若與在桿件的同側(cè)，取正值；反之，取負值。3.如圖形較復(fù)雜，可分解為簡單圖形.三、圖形分解求MP三、圖形分解求C截面豎向位移MP

例1.圖示梁EI

為常數(shù)，求C點豎向位移。三、應(yīng)用舉例l/2ql/2MP三、應(yīng)用舉例l/2ql/2MP

例.圖示梁EI

為常數(shù)，求C點豎向位移。l/2ql/2MP

例.已知EI

為常數(shù)，求鉸C兩側(cè)截面相對轉(zhuǎn)角。三、應(yīng)用舉例解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖lqllqMP靜定結(jié)構(gòu)由于支座移動并不產(chǎn)生內(nèi)力，材料（桿件）也不產(chǎn)生變形，只發(fā)生剛體位移。