三角函數(shù)線課件

三角函數(shù)線2021/6/271初中銳角三角函數(shù)是如何定義的？OMPα

sinα=cosα=tanα=當(dāng)OP=1時(shí)，sinα=MP

cosα=OM┍復(fù)習(xí)引入2021/6/272設(shè)P（x,y)是α終邊上任一點(diǎn),線段0P的長度為r復(fù)習(xí)：任意角三角函數(shù)的定義①比值叫做的正弦，記作，即．②比值叫做的余弦，記作，即．③比值叫做的正切，記作，即．xOP(x,y)y.

角α的終邊2021/6/2731.設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x，y），角α的三角函數(shù)是怎樣定義的？2.三角函數(shù)在各象限的函數(shù)值符號分別如何？一全正，二正弦，三正切，四余弦.3.公式，， ().其數(shù)學(xué)意義如何？終邊相同的角的同名三角函數(shù)值相等.4.角是一個(gè)幾何概念，同時(shí)角的大小也具有數(shù)量特征.我們從數(shù)的觀點(diǎn)定義了三角函數(shù)，如果能從圖形上找出三角函數(shù)的幾何意義，就能實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的完美統(tǒng)一.可以用何種幾何元素表示任意角三角函數(shù)值？

2021/6/274新課講授一、單位圓：

1、定義：一般地，我們把半徑為1的圓稱為單位圓。oyxPMNα2、單位圓與x軸的交點(diǎn)：單位圓與y軸的交點(diǎn)：

（1，0）和（-1，0）（0，1）和（0，-1）3、正射影：過P作PM垂直X軸于點(diǎn)M，

PN垂直Y軸于點(diǎn)N，則點(diǎn)M、N分別是點(diǎn)P在X軸、Y軸上的正射影

AT2021/6/275正弦線和余弦線

問題1：如圖，設(shè)角α為第一象限角，其終邊與單位圓的交點(diǎn)為P（x，y），則，都是正數(shù)，你能分別用一條線段表示角α的正弦值和余弦值嗎？P（x，y）OxyM2021/6/276問題2：若角α為第三象限角，其終邊與單位圓的交點(diǎn)為P（x，y），則，都是負(fù)數(shù)，此時(shí)角α的正弦值和余弦值分別用哪條線段表示？P（x，y）OxyM正弦線和余弦線

2021/6/277為了簡化上述表示，我們設(shè)想將線段的兩個(gè)端點(diǎn)規(guī)定一個(gè)為始點(diǎn)，另一個(gè)為終點(diǎn)，使得線段具有方向性，帶有正負(fù)值符號.根據(jù)實(shí)際需要，我們規(guī)定線段從始點(diǎn)到終點(diǎn)與坐標(biāo)軸同向時(shí)為正方向，反向時(shí)為負(fù)方向.規(guī)定了始點(diǎn)和終點(diǎn)，帶有方向的線段，叫做有向線段.由上分析可知，當(dāng)角α為第一、三象限角時(shí)，sinα、cosα可分別用有向線段MP、OM表示，即MP=sinα，OM=cosα，那么當(dāng)角α為第二、四象限角時(shí)，你能檢驗(yàn)這個(gè)表示正確嗎？

P（x，y）OxyMP（x，y）OxyM2021/6/278思考：設(shè)角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為M，稱有向線段MP，OM分別為角α的正弦線和余弦線.當(dāng)角α的終邊在坐標(biāo)軸上時(shí)，角α的正弦線和余弦線的含義如何？POxyMOxyPP2021/6/279思考：設(shè)α為銳角，你能根據(jù)正弦線和余弦線說明sinα＋cosα>1嗎？POxyMMP＋OM>OP=12021/6/2710正切線AT問題1：如圖，設(shè)角α為第一象限角，其終邊與單位圓的交點(diǎn)為P（x，y），則是正數(shù)，用哪條有向線段表示角α的正切值最合適？POxyM2021/6/2711AT問題2：若角α為第四象限角，其終邊與單位圓的交點(diǎn)為P（x，y），則是負(fù)數(shù)，此時(shí)用哪條有向線段表示角α的正切值最合適？POxyM正切線2021/6/2712ATATPOxyM思考：若角α為第二象限角，其終邊與單位圓的交點(diǎn)為P（x，y），則是負(fù)數(shù)，此時(shí)用哪條有向線段表示角α的正切值最合適？2021/6/2713思考：若角α為第三象限角，其終邊與單位圓的交點(diǎn)為P（x，y），則是正數(shù)，此時(shí)用哪條有向線段表示角α的正切值最合適？POxyMATAT2021/6/2714思考：根據(jù)上述分析，你能描述正切線的幾何特征嗎？過點(diǎn)A（1，0）作單位圓的切線，與角α的終邊或其反向延長線相交于點(diǎn)T，則AT=tanα.ATOxyPATOxyP2021/6/2715思考：當(dāng)角α的終邊在坐標(biāo)軸上時(shí)，角α的正切線的含義如何？OxyPP當(dāng)角α的終邊在x軸上時(shí)，角α的正切線是一個(gè)點(diǎn)；當(dāng)角α的終邊在y軸上時(shí)，角α的正切線不存在.2021/6/2716思考：觀察下列不等式：你有什么一般猜想？

2021/6/2717思考：對于不等式（其中α為銳角），你能用數(shù)形結(jié)合思想證明嗎？POxyMAT2021/6/2718例練講解例1、分別作出2π/3和-3π/4的正弦線、余弦線和正切線yOX解：在直角坐標(biāo)系中做單位圓P2T2M2N2P1以O(shè)X軸為始邊作2π/3的終邊與單位圓交于P1點(diǎn)作P1M1⊥OX軸，垂足為M1，由單位圓與OX正方向的交點(diǎn)A作OX軸的垂線與OP的反向延長線交于T1點(diǎn)T1M1N1AY’則Sin(2π/3)=M1P1=ON1,Cos(2π/3)=OM1,Tan(2π/3)=AT12021/6/2719例2設(shè)α是任意角，作α的正弦線、余弦線、正切線，

由圖證明下列各等式:（1）sin2α＋cos2α＝1；AoyαPMTxN證明：（1）若角α終邊落在象限內(nèi)，由

圖可知sin2α＋cos2α=ON2+OM2=PM2+OM2=OP2=1若角α的終邊落在軸上則|sinα|和|cosα|必有一個(gè)為1，另一個(gè)為0，sin2α＋cos2α＝1象限角軸角2021/6/2720AoyαPMTxN證明：tanα=MP/OM=sinα/cosα（2）tanα=sinα/cosα；（α是銳角）（3）|sinα|+|cosα|≥1證明：若角α終邊落在象限內(nèi)，

由圖可知，?OPM中|MP|+|OM|〉|OP|=1(三角形兩邊之和大于第三邊）若角α終邊落在軸上，|MP|和|OM|必有一個(gè)為1，另一個(gè)為0|MP|+|OM|=1而|MP|=|ON|=|sinα|，|OM|=|cosα|故|sinα|+|cosα|≥1象限角（2）象限角（3）軸角（3）2021/6/2721返回目錄

例3在單位圓中畫出適合下列條件的角α的終邊的范圍,并由此寫出角α的集合:(1)sinα≥;(2)cosα≤-.

【分析】作出滿足sinα=,cosα=-的角的終邊,然后根據(jù)已知條件確定角α終邊的范圍.

2021/6/2722【解析】(1)如圖,作直線y=

交單位圓于A,B兩點(diǎn),連結(jié)OA,OB,則OA與OB圍成的區(qū)域即為角α的終邊的范圍,故滿足條件的角α的集合為返回目錄

2021/6/2723返回目錄

(2)作直線x=-交單位圓于C,D兩點(diǎn),連結(jié)OC,OD,則OC與OD圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角α終邊的范圍.故滿足條件的角α的集合為

【評析】本題的實(shí)質(zhì)是解三角不等式的問題：（1）可以運(yùn)用單位圓及三角函數(shù)線;（2）也可以用三角函數(shù)圖象.

體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.2021/6/2724例3在0～內(nèi)，求使成立的α的取值范圍.OxyPMP1P22021/6/2725例4求函數(shù)的定義域.OxyP2MP1P2021/6/27261.三角函數(shù)線是三角函數(shù)的一種幾何表示，即用有向線段表示三角函數(shù)值，是今后進(jìn)一步研究三角函數(shù)