不定積分(高等數(shù)學(xué))

原函數(shù)選擇u有效方法基本積分表直接分部不定積分幾種特殊類型函數(shù)的積分章不定積分2021/6/271

1．原函數(shù)的定義（1）若，則對于任意常數(shù)，關(guān)于原函數(shù)的說明：（2）若和都是的原函數(shù)，（為任意常數(shù)）則(3)連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).2021/6/272任意常數(shù)積分號被積函數(shù)2.不定積分的定義：被積表達式積分變量C

稱為積分常數(shù),不可丟!即：若則2021/6/273

說明:原函數(shù)和不定積分的聯(lián)系1.不定積分是由無限多個原函數(shù)組成的集合；2.不定積分＝原函數(shù)＋C（任意常數(shù)）

（1）的導(dǎo)函數(shù)；

（2）的一個原函數(shù)；（3）的不定積分2021/6/274(1)微分運算與求不定積分的運算是互逆的.3.不定積分的性質(zhì)（2）性質(zhì)先積后微形式不變;先微后積差一常數(shù)2021/6/2751.已知求2.已知求3.已知求4.已知求2021/6/2764、基本積分表是常數(shù))2021/6/2772021/6/278利用恒等變形、及基本積分公式進行積分.常用恒等變形方法分項積分加項減項利用三角公式,代數(shù)公式,積分性質(zhì)5、直接積分法:2021/6/2796、第一類換元法（湊微分法）第一類換元公式（湊微分法）2021/6/2710常見的湊微分形式2021/6/27112021/6/27127、第二類換元法(變量替換法)第二類換元公式2021/6/2713令一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有可令可令可令2021/6/27148、分部積分法分部積分公式反:反三角函數(shù)對:對數(shù)函數(shù)冪:冪函數(shù)指:指數(shù)函數(shù)三:三角函數(shù)選擇u的有效方法:反對冪指三,哪個在前哪個選作u.2021/6/2715（1）冪函數(shù)與三角函數(shù)的乘積必須用分部積分法積分的被積函數(shù)的類型：（2）冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的乘積（3）冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的乘積（4）冪函數(shù)與反三角函數(shù)的乘積（5）三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的乘積2021/6/2716(3)簡單無理式的積分.

(“誰妨礙我就把誰換掉”：做根式代換)(1)有理式分解成部分分式之和的積分.（注意：必須化成真分式）(2)三角有理式的積分.（萬能置換公式）（注意：萬能公式并不萬能）9、幾種特殊類型函數(shù)的積分2021/6/2717（1）有理函數(shù)的積分定義兩個多項式的商表示的函數(shù)稱之.假定分子與分母之間沒有公因式這有理函數(shù)是真分式；這有理函數(shù)是假分式；

利用多項式除法,假分式可以化成一個多項式和一個真分式之和.2021/6/2718

有理真分式的積分：有理真分式的積分大體有下面三種形式:真分式化為部分分式之和的待定系數(shù)法2021/6/2719令（2）三角函數(shù)有理式的積分定義

由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算構(gòu)成的函數(shù)稱之．一般記為（萬能置換公式）2021/6/2720（3）簡單無理函數(shù)的積分討論類型：解決方法：作代換去掉根號．2021/6/27212021/6/2722例3.

求解2021/6/2723解:

原式=例5.

求解:

原式=例4.

求2021/6/2724例6.

求解:

原式=2021/6/2725例7

求解2021/6/2726例

8求解2021/6/2727解一：2021/6/2728例10.求解:2021/6/2729例11.

求解說明當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時，拆開奇次項去湊微分.2021/6/2730例12.

求解積化和差公式:2021/6/2731例13：求解：2021/6/2732例14

求解令2021/6/2733例

15.求積分解2021/6/2734例16

求積分解注意循環(huán)形式2021/6/2735解兩邊同時對求導(dǎo),得依題意可知：2021/6/273620