湖南省郴州市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測試卷

Page8湖南省郴州市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測試卷留意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3.考生必需保持答題卡的整齊。考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。4.考試時(shí)間為120分鐘，滿分為150分。5.本試題卷共5頁。如缺頁，考生須聲明，否則后果自負(fù)。一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A.（，） B.（，1） C.（，1） D.（，6）2.已知復(fù)數(shù)z滿意（i為虛數(shù)單位），是z的共輪復(fù)數(shù)，則（）A.5 B. C. D.3.△ABC中，D為BC中點(diǎn)，設(shè)向量，，，則（）A. B. C. D.4.某種疾病的患病率為5%，通過驗(yàn)血診斷該病的誤診率為2%，即非患者中有2%的人診斷為陽性，患者中有2%的人診斷為陰性隨機(jī)抽取一人進(jìn)行驗(yàn)血，則其診斷結(jié)果為陽性的概率為（）A.0.46 B.0.046 C.0.68 D.0.0685.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（）A.4 B.3 C.2 D.16.設(shè)函數(shù)（），已知在區(qū)間上有且僅有3個零點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）A.直線是函數(shù)的圖象的一條對稱軸B.的取值范圍是C.的圖象向右平移個單位后所得圖象的函數(shù)是奇函數(shù)D.在區(qū)間上有且僅有2個極值點(diǎn)7.F1、F2是雙曲線C：（）的左、右焦點(diǎn)，過左焦點(diǎn)F1的直線l與雙曲線C的左、右兩支分別交于A、B兩點(diǎn)，若|AB|：|BF2|：|AF2|=12：5：13，則雙曲線的離心率為（）A. B.2 C. D.8.某村安排修建一條橫斷面為等腰梯形（上底大于下底）的水渠，為了降低建立成本，必需盡量削減水與渠壁的接觸面.已知水渠橫斷面面積設(shè)計(jì)為6平方米，水渠深2米，水渠壁的傾角為（），則當(dāng)該水渠的修建成本最低時(shí)的值為（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.如圖1，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠DAB=60°，側(cè)面PAD為正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，則下列說法正確的是（）A.在棱AD上存在點(diǎn)M，使AD⊥平面PMBB.異面直線PA與DC所成的角的余弦值為C.直線PB與平面PAD所成的角為45°D.BD⊥平面PAC10.已知無窮等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，它的前n項(xiàng)和為，且，，則（）A.數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列B.C.數(shù)列的公差的取值范圍是D.當(dāng)時(shí)，11.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，M（4，）在拋物線上，延長MF交拋物線于點(diǎn)N，拋物線準(zhǔn)線與y軸交于點(diǎn)Q，則下列敘述正確的是（）A. B.點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，）C. D.在x軸上存在點(diǎn)R，使得∠MRF為鈍角12.已知函數(shù)，的定義域?yàn)镽，為的導(dǎo)函數(shù)，且，，若為偶函數(shù)，則下列肯定成立的有（）A. B.C. D.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.若，則________.14.已知（）綻開式中第5項(xiàng)和第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則其綻開式中常數(shù)項(xiàng)是________.15.如圖2，已知△ABC的外接圓為圓O，AB為直徑，PA垂直圓O所在的平面，且PA=AB=1，過點(diǎn)A作平面，分別交PB、PC于點(diǎn)M、N，則三棱錐P?AMN的外接球的體積為________.16.已知函數(shù)，，對隨意，存在，使，則的最小值為________.四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.（本小題滿分10分）已知數(shù)列中，，其前n項(xiàng)和為，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：.18.（本小題滿分12分）△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿意.（1）求a；（2）若AD⊥BC于D，且AD=，求角A的最大值.19.（本小題滿分12分）在圖3（1）五邊形ABCDE中，ED=EA，AB∥CD，CD=2AB，∠CDE=150°，將△ADE沿AD折起到△SAD的位置，得到如下圖3（2）所示的四棱錐S?ABCD，F(xiàn)為線段SC的中點(diǎn)，且BF⊥平面SCD.（1）求證：CD⊥平面SAD；（2）若CD=2SD，求直線BF與平面SBD所成角的正弦值.20.2024年北京冬季奧運(yùn)會，是由中國舉辦的國際性奧林匹克賽事，于2024年2月4日開幕，2月20日閉幕。本次冬奧會極大地鼓舞了中國人民參與冰雪運(yùn)動的熱忱，某校短道速滑社團(tuán)的隊(duì)員們紛紛加練，訓(xùn)練場內(nèi)熱火朝天，為了給刻苦訓(xùn)練的運(yùn)動員們以激勵，社團(tuán)確定開展“訓(xùn)練贏祥瑞物”活動，嬉戲規(guī)則如下：有一張共10格的長方形格子圖，依次編號為第1格、第2格、第3格、……、第10格，嬉戲起先時(shí)“跳子”在第1格，隊(duì)員每次完成訓(xùn)練后拋擲一枚勻稱的硬幣，若出現(xiàn)正面，則“跳子”前進(jìn)2格（從第k格到第k+2格），若出現(xiàn)反面，則“跳子”前進(jìn)1格（從第k格到第k+1格）（k為正整數(shù)），當(dāng)“跳子”前進(jìn)到第9格或者第10格時(shí)，嬉戲結(jié)束.“跳子”落在第9格，則每位隊(duì)員可以得到一只“雪容融”玩偶，“跳子”落在第10格，則每位隊(duì)員可以得到一只“冰墩墩”玩偶.記“跳子”前進(jìn)到第n格（）的概率為.（1）求；（2）（i）證明數(shù)列（）是等比數(shù)列；（ii）求該社團(tuán)參與一次這樣的嬉戲獲得“冰墩墩”玩偶的概率.21.（本小題滿分12分）已知橢圓E：（）的離心率為，過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線交橢圓E于P、A兩點(diǎn)，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC.當(dāng)C為橢圓的右焦點(diǎn)時(shí)，△PAC的面積為.（1）求橢圓E的方程；（2）若B為AC的延長線與橢圓E的交點(diǎn)，試問：∠APB是否為定值，若是，求出這個定值；若不是，說明理由.22.（本小題滿分12分）已知函數(shù).（1）求在上的最小值.（2）設(shè)，若有兩個零點(diǎn)，，證明：.

郴州市2024屆高三第一次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測試卷數(shù)學(xué)參考答案及評分細(xì)則一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1-5CAADA6-8BDC二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分）9.ABC10.ACD11.BC12.ABD三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.14.15.16.四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.（本小題滿分10分）（Ⅰ）由題意得，（），兩式相減得（），又，，，，（），是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，則所以，又，.18.（本小題滿分12分）（Ⅰ）已知等式化為（Ⅱ）由已知得的面積，得到，又由余弦定理得，即角的最大值為.19.（本小題滿分12分）（Ⅰ）證明：設(shè)中點(diǎn)為，連接，則，又，，且，為平行四邊形，平面，平面，，；又為中點(diǎn).，又，為等邊三角形，，又，，即又，，平面，（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知平面，平面平面；設(shè)為中點(diǎn)，則，平面以原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，；，設(shè)為平面得法向量，直線與平面所成的角為，則，令得，且，.20.解：（Ⅰ）“跳子”起先在第1格為必定事務(wù)，.第一次擲硬幣出現(xiàn)反面，“跳子”移到第2格，其概率為，即.第一次擲硬幣出現(xiàn)正面或前兩次擲硬幣均出現(xiàn)反面，其概率為，即.（Ⅱ）（?。┯桑á瘢┲海疤印鼻斑M(jìn)到第（）格的狀況是下面兩種，而且只有兩種：①“跳子”先到第格，又?jǐn)S出正面，其概率為，②“跳子”先到第格，又?jǐn)S出反面，其概率為，，，，（），當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為.（），（ⅱ）由（ⅰ）得（），則獲得“冰墩墩”玩偶的概率為.21.（本小題滿分12分）（Ⅰ）由離心率當(dāng)為橢圓的右焦點(diǎn)時(shí)，由軸易得（其中為橢圓半焦距）此時(shí)依題