《電路與信號》課件模塊3

模塊3正弦穩(wěn)態(tài)電路分析3.1正弦信號的相量表示3.2電路定律的相量形式3.3阻抗和導(dǎo)納3.4正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量分析法3.5正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率3.6諧振電路*3.7三相交流電路的基本知識本模塊小結(jié)習(xí)題3 3.1正弦信號的相量表示

3.1.1正弦信號的表示方法和特征量

隨時間變化的電流(電壓)稱為時變電流(電壓)。時變電流(電壓)在任一時刻的數(shù)值，稱為它們的瞬時值。電壓和電流隨時間變化的情況，有些是規(guī)則的，有些是不規(guī)則的。不規(guī)則的電壓和電流隨時間作無規(guī)律的變化。規(guī)則的電壓和電流是隨時間按一定規(guī)律變化的，它們的瞬時值是一定的時間函數(shù)，一般用u(t)或i(t)表示，常簡寫為u或i。

在實際工作中，經(jīng)常遇到的是作周期性變化的電流和電壓，它們每經(jīng)過一定的時間T，完成一個循環(huán)的變化，以后又按原來的規(guī)律周而復(fù)始地變化，這種電流(電壓)就稱為周期電流(電壓)。圖3.1.1給出了周期電流(電壓)的幾個示例。圖3.1.1周期電流和電壓圖3.1.2表示一段電路中有正弦電流i，在圖示參考方向下，其數(shù)學(xué)表達式定義如下：

i=Imcos(ωt+ψi)

式中,Im

、ω和ψi稱為正弦量的三要素。

Im稱為正弦量的振幅。正弦量是一個等幅振蕩的、正負交替變化的周期函數(shù)。振幅是正弦量在整個振蕩過程中達到的最大值，即cos(ωt+ψi)=1時，有

imax=Im

這也是正弦量的最大值。當cos(ωt+ψi)=－1時，將有最小值imin=－Im。圖3.1.2一段正弦電流電路隨時間變化的角度ωt+ψi稱為正弦量的相位，也稱相角。ω稱為正弦量的角頻率，它是正弦量的相位隨時間變化的角速度，即

單位為rad/s。它與正弦量的周期T和頻率f之間的關(guān)系為

頻率f的單位為1/s，稱為Hz(赫茲，簡稱赫)。我國工業(yè)用電的頻率為50Hz。

ψi是正弦量在t=0時刻的相位，稱為正弦量的初相位(角)，簡稱初相，即

(ωt+ψi)|t=0=ψi正弦量隨時間變化的圖形稱為正弦波。圖3.1.3是正弦電流i的波形表示(ψi＞0)。圖中，橫軸可以用時間t表示，也可以用ωt(單位為rad)表示。圖3.1.3正弦量i的波形(ψi>0)設(shè)有兩個相同的電阻R，分別通以直流電流I和周期電流i，如果在周期電流的一個周期(或其任意整數(shù)倍)內(nèi)，這兩個電阻R所消耗的電能相等，也就是說，就平均作功能力來說，這兩個電流是等效的，則該直流電流I的數(shù)值就稱為周期電流i的有效值。

當周期電流i流過電阻R時，該電阻在一個周期內(nèi)所消耗的電能為

當直流電流I流過電阻R時，在相同的時間T內(nèi)所消耗的電能為

W2=I2RT如果令W1=W2,就可以得到周期電流i的有效值的定義式，即

或

由式(3.1.1)所示的有效值定義可知，周期電流的有效值等于它的瞬時值的平方在一個周期內(nèi)的平均值再取平方根，因此，有效值又稱為均方根值。(3.1.1)類似地，可得周期電壓u的有效值為

當周期量為正弦電流時,將i=Imcos(ωt+ψi)代入式(3.1.1)得

或

同樣也可求得正弦電壓的有效值為(3.1.2)在引入有效值的概念后，正弦電流、電壓的瞬時值的表示式可寫為

一般所說的正弦電壓、電流的大小都是指有效值，例如日常生活中用的交流電為220V，指的就是有效值。此外，交流測量儀表所指示的讀數(shù)、交流電氣設(shè)備的額定值也都是指有效值。電路中還經(jīng)常引用“相位差”的概念描述兩個同頻正弦量之間的相位關(guān)系。例如，設(shè)同頻正弦電流i1、正弦電壓u2分別為

兩個同頻正弦量的相位差等于它們相位相減的結(jié)果。如果設(shè)φ12表示電流i1與電壓u2之間的相位差，則有

φ12=(ωt+ψi1)－(ωt+ψu2)=ψi1－ψu2相位差可以通過觀察波形確定，如圖3.1.4所示。在同一周期內(nèi)兩個波形的極大(小)值之間的角度值(≤180°)即為兩者的相位差，先到達極值點的為超前波。圖3.1.4中，i1滯后u2。相位差與計時零點的選取、變動無關(guān)。圖3.1.4同頻正弦量的相位差3.1.2正弦信號的相量表示法

由歐拉公式ejθ=cosθ+jsinθ可知，正弦電流i=Imcos(ωt+ψi)可以用 取實部表示，即

式(3.1.3)把一個實數(shù)范圍的正弦時間函數(shù)與一個復(fù)數(shù)范圍的復(fù)指數(shù)一一對應(yīng)起來了，而其復(fù)常指數(shù)部分 則把正弦信號的振幅和初相位結(jié)合起來用一個復(fù)數(shù)表示。我們把這個復(fù)常指數(shù)稱為正弦信號的振幅相量，并記做

正弦電流i也可以用有效值相量來表示，即(3.1.4)(3.1.3)(3.1.5)用旋轉(zhuǎn)相量概念可以清楚地說明式(3.1.3)的幾何意義，即任一個正弦量在任何時刻的瞬時值等于其對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)相量同一時刻在實軸上的投影，如圖3.1.5所示。圖3.1.5旋轉(zhuǎn)相量3.1.3正弦信號的運算

1.同頻正弦量的代數(shù)和

設(shè) ， ，…，這些正弦量的和設(shè)為正弦量i，則

而

有

上式對于任何時刻t都成立，故有

2.正弦量的微分

設(shè)正弦電流

，對i求導(dǎo)，有

上述關(guān)系表明，復(fù)指數(shù)函數(shù)實部的導(dǎo)數(shù)等于復(fù)指數(shù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的實部。其結(jié)果為

這說明正弦量的導(dǎo)數(shù)是一個同頻正弦量，其相量等于原正弦量i的相量乘以jω，即表示di/dt的相量為

3．正弦量的積分

設(shè) ，則

【例3.1.1】已知兩個同頻正弦電流分別為 ， 。求：(1)i1+i2；(2)di1/dt；(3) 。

解：(1)設(shè)

,其相量為

，可得

(2)

可直接用時域形式求解，也可以用相量求解。

用相量形式求解，設(shè)di1/dt的相量為K∠ψK，則有

兩者結(jié)果相同。

(3)的相量為

則 。 3.2電路定律的相量形式

3.2.1基爾霍夫定律的相量形式

正弦交流電路中的各支路電流和支路電壓都是同頻正弦量，所以可以將KCL和KVL轉(zhuǎn)換為相量形式。

對電路中任一節(jié)點，根據(jù)KCL有

由于所有支路電流都是同頻正弦量，因此其相量形式為同理，對電路任一回路，根據(jù)KVL有

由于所有支路電壓都是同頻正弦量，因此其相量形式為

3.2.2電路基本元件伏安關(guān)系的相量形式

對于圖3.2.1(a)所示的電阻R，當有正弦電流iR通過時，電阻兩端的電壓uR為

uR=RiR

(或iR=GuR，G=1/R)

uR和iR為同頻正弦量，其相量形式為

所以 UR=RIR

(或IR=GUR)

(3.2.2)(3.2.1)圖3.2.1電阻中的正弦電流當有正弦電流iL通過圖3.2.2(a)所示的電感L時，有

其相量形式為

所以

圖3.2.2(b)是表示電感的電壓相量和電流相量形式的示意圖，圖(c)則為電感中正弦電壓和電流的相量圖。(3.2.3)(3.2.4)圖3.2.2電感中的正弦電流式(3.2.4)中，UL/IL=ωL，用XL表示，即XL=ωL，稱為電感的電抗，簡稱為感抗，單位為歐姆，體現(xiàn)的是電感元件阻止正弦電流通過的性質(zhì)。感抗XL與電阻R的不同之處是：XL是頻率的函數(shù)，在L一定時，XL與ω成正比。當ω=0(直流)時，XL=0，UL=0，說明電感L對直流相當于短路，失去了限流和分壓的作用；當ω很大時，XL也很大，說明高頻電流不容易通過。把XL隨頻率變化的關(guān)系(XL～ω)用圖形描繪出來，稱為感抗的頻率特性，如圖3.2.3所示。圖3.2.3感抗的頻率特性當電容C上電壓uC為正弦量時，如圖3.2.4(a)所示，電容電流iC為

其相量形式為

所以

而電容電壓uC滯后其電流iC的相位為π/2。

圖3.2.4(b)是表示電容C的電壓相量和電流相量的示意圖，圖(c)則為電容電壓和電流的相量圖。圖3.2.4電容中的正弦電流與感抗一樣，容抗XC也是頻率的函數(shù)，但與頻率的關(guān)系卻跟感抗相反，在電容量為定值時，XC與ω成反比變化。當ω=0(直流)時，XC=∞，IC=0，說明電容元件對直流相當于開路；當ω很大時，XC很小，說明高頻電流很容易通過電容元件。XC的頻率特性如圖3.2.5所示。圖3.2.5容抗的頻率特性

【例3.2.1】

1μF電容兩端的電壓為

(1)求通過電容的電流i。

(2)如電壓的頻率增加一倍，重做(1)題。

解法一：(1)當ω=104rad/s時，容抗

根據(jù)式(3.2.6)，通過電容的電流已知電壓的初相ψu=－60°，而通過電容的電流超前于其兩端電壓90°，故電流的初相為

ψi=ψu+90°=－60°+90°=30°

所以電流瞬時值的表達式為

(2)當頻率增加一倍，即ω=2×104rad/s時，容抗

通過電容的電流

所以電流瞬時值的表示式為

解法二：用相量關(guān)系式解。

寫出已知電壓u的相量

運用式(3.2.5)，當ω=104rad/s時，有

根據(jù)算得的電流相量寫出對應(yīng)的正弦電流

當ω=2×104rad/s時，有

所以

【例3.2.2】

10mH電感兩端的電壓為

(1)求通過電感的電流i；

(2)如電壓的頻率增加一倍，重做(1)題。

解法一：(1)當ω=1000rad/s時，感抗

XL=ωL=1000×10×10－3=10Ω

根據(jù)式(3.2.4)，通過電感的電流

已知電壓的初相ψu=30°，而通過電感的電流滯后于其兩端的電壓90°，故電流的初相

ψi=ψu－90°=30°－90°=－60°所以電流瞬時值的表示式為

(2)當頻率增加一倍，即ω=2000rad/s時，感抗

XL=2000×10×10－3=20Ω

通過電感的電流

電流瞬時值的表示式為

解法二：用相量關(guān)系式解。

寫出已知電壓u的相量

運用式(3.2.3)，當ω=1000rad/s時，有

根據(jù)算得的電流相量寫出對應(yīng)的正弦電流

當ω=2000rad/s時，有

所以

3.3阻抗和導(dǎo)納

3.3.1阻抗

圖3.3.1(a)所示為RLC串聯(lián)電路，圖(b)是與之對應(yīng)的相量電路。

根據(jù)KVL可得圖3.3.1

RLC串聯(lián)電路及相量模型式中：

阻抗Z可以寫成極坐標形式：(3.3.1)(3.3.2)由式(3.3.2)可見:

當XL＞XC時，X為正，φ＞0，電路呈感性，電壓超前于電流。

當XL＜XC時，X為負，φ＜0，電路呈容性，電壓滯后于電流。

當XL＝XC時，X＝0，φ＝0，電路呈電阻性，電壓與電流同相，這種狀況稱為諧振，將在3.6節(jié)詳細討論。

RLC串聯(lián)電路的相量圖及其對應(yīng)的阻抗三角形如圖3.3.2所示。圖3.3.2

XL>XC的電壓三角形和阻抗三角形

【例3.3.1】電路如圖3.3.1所示，已知R=15Ω，L=12mH，C=5μF，外加電壓 。求電路中的電流i和各元件上的電壓uR、uL和uC。

解：寫出已知電壓u的相量

電路的阻抗

其中所以

Z=15+j60－j40=15+j20=25∠53.1°Ω

電路中的電流相量

各元件上的電壓相量分別為

它們的瞬時值表示式分別為

【例3.3.2】已知圖3.3.1所示的電路中，R=5Ω，L=8mH，C=200μF，若外加電源電壓的角頻率ω=1000rad/s，試求電路的復(fù)阻抗，若ω=500rad/s，試求電路的復(fù)阻抗，并說明這兩種角頻率下復(fù)阻抗的性質(zhì)。

解：

(1)由w=1000rad/s，得

XL=wL=1000×8×10－3=8Ω

所以

Z=R+jX=5+j(XL－XC)=5+j(8－5)

=5+j3=5.8∠31°Ω

由于j=31°>0，因此電路呈感性。

(2)由ω=500rad/s，得

XL=ωL=500×8×10－3=4Ω

所以

Z=R+jX=R+j(XL－XC)=5+j(4－10)

=5－j6=7.8∠－50.2°Ω

由于j=－50.2°＜0，因此電路呈容性。

3.3.2導(dǎo)納

圖3.3.3(a)所示的是RLC并聯(lián)電路，圖(b)是與之對應(yīng)的相量電路。設(shè)電路兩端的電壓

u=Umcosωt圖3.3.3

RLC并聯(lián)電路及其相量模型按照圖示電壓及各電流的參考方向，有

根據(jù)KCL可得

i=iR+iL+iC這里的iR、iL和iC都是同頻率的正弦量，因此可以表示為相量形式：

若令 ，則上式可以寫為

式(3.3.3)也稱為歐姆定律的相量形式。式中，復(fù)數(shù)(3.3.4)(3.3.3)導(dǎo)納Y也可以寫成極坐標形式

式中，y是導(dǎo)數(shù)的模，φy是Y的輻角(稱為導(dǎo)納角)，即可見，y和φy都是與電路參數(shù)及頻率有關(guān)的量。由于

而導(dǎo)納Y又可表示為

Y=y∠φy

因此，有

G、B和y之間的關(guān)系可以用一個直角三角形來表示，如圖3.3.4(b)所示，這個三角形稱為導(dǎo)納三角形。(3.3.5)圖3.3.4

BC>BL時的電流三角形和導(dǎo)納三角形

【例3.3.3】電路的相量模型如圖3.3.5(a)所示，已知 ，求、

、

和

。

解：

所以圖3.3.5例3.3.3圖它們的相量如圖3.3.5(b)所示。從以上對RLC元件的串、并聯(lián)電路的分析中可以看出，只要將各個元件都看成是一個阻抗(或?qū)Ъ{)，那么它們與電阻元件的串、并聯(lián)特點是一樣的。這個結(jié)論可以推廣到復(fù)雜的串、并聯(lián)電路，如圖3.3.6所示的電路中，阻抗串聯(lián)、并聯(lián)和分壓、分流的關(guān)系為圖3.3.6阻抗的串、并聯(lián)

【例3.3.4】已知圖3.3.7所示的電路中R1=5W，XL=10W，XC=40W，R2=30W。試求該電路的復(fù)阻抗Z。

解：由圖3.3.7可知：圖3.3.7例3.3.4圖3.3.3阻抗與導(dǎo)納的等效轉(zhuǎn)換

等效的概念也可用于相量模型。在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，一個線性無源二端網(wǎng)絡(luò)的輸入阻抗(見圖3.3.8)可表示為

Z=R+jX

它的最簡形式相當于一個電阻和一個電抗相串聯(lián)，而用導(dǎo)納表示為

Y=G+jB

它相當于一個電導(dǎo)與一個電納相并聯(lián)?？梢?同一電路可以有串聯(lián)和并聯(lián)兩種等效的電路模型，如圖3.3.9所示。圖3.3.8無源二端網(wǎng)絡(luò)圖3.3.9相量模型的等效若已知Z=R+jX，則

顯然，等效并聯(lián)電路的電導(dǎo)和電納分別為

注意：一般情況下G并非R的倒數(shù)，B也并非X的倒數(shù)。

在圖3.3.10(a)所示的串聯(lián)電路中，若w=1rad/s，R=1W，X=1W，則與之等效的并聯(lián)電路如圖3.3.10(b)所示，其中， 。

(3.3.6)圖3.3.10相量模型的等效(1)同理，若已知Y=G+jB，則串聯(lián)模型的電阻和電抗為

注意：一般情況下R并非G的倒數(shù)，X也并非B的倒數(shù)。

在圖3.3.11(a)所示的并聯(lián)電路中，若ω=1rad/s，G=1S，B=1S，則與之等效的串聯(lián)電路如圖3.3.11(b)所示，其中， ， 。，圖3.3.11相量模型的等效(2) 3.4正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量分析法

通過以上各節(jié)的討論可知，如用相量表示正弦交流電路的電壓和電流，那么這些相量必須服從基爾霍夫定律的相量形式和歐姆定律的相量形式。這些定律的形式與直流電路中同一定律的形式完全相同，其區(qū)別僅在于在正弦交流電路中不直接用電壓和電流，而用代表電壓和電流的相量，不用電阻和電導(dǎo)，而用阻抗和導(dǎo)納(見表3.4.1)。表3.4.1正弦交流電路和直流電路中服從基爾霍夫定律和歐姆定律的形式用相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路的步驟如下：

(1)將正弦量的激勵源用相量表示。

(2)將R、L、C轉(zhuǎn)換成阻抗或?qū)Ъ{，將電路由時域模型轉(zhuǎn)換成相量模型。

(3)在相量模型中，利用直流電路的一整套方法求解激勵相量作用下的響應(yīng)相量。

(4)將響應(yīng)相量還原成時域的正弦量。

在求解給定相量模型中確定激勵相量作用下的響應(yīng)相量問題時，上述步驟中，(1)、(2)、(4)均省略。

下面通過例題說明正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量分析法。

【例3.4.1】電路如圖3.4.2(a)所示，已知us(t)=40cos(3000t)V，求i(t)、iL(t)、iC(t)、uL(t)及uC(t)。圖3.4.2例3.4.1圖

解：(1)將激勵源us(t)用相量表示：

(2)將電路時域模型圖(a)轉(zhuǎn)換成相量模型圖(b)。其中：

(3)在相量模型圖(b)中，用直流電路的分析方法求激勵下的響應(yīng)相量、、、

及

。利用阻抗串、并聯(lián)法可求得輸入阻抗(即等效阻抗)值為

由歐姆定律得總電流

由分流關(guān)系式得當然，也可由KCL得到：

歐姆定律可得電壓

當然，也可由分壓關(guān)系得到：

(4)將響應(yīng)相量還原為時域的正弦量。故有

【例3.4.2】試求圖3.4.3所示復(fù)雜電路中的電流。

解：在正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量模型中，無論電路結(jié)構(gòu)如何復(fù)雜，都會滿足相量形式的KCL、KVL和歐姆定律。因此，以兩大基本定律為基礎(chǔ)的網(wǎng)孔法、節(jié)點法、疊加定理、戴維南定理和電源等效轉(zhuǎn)換等直流電路的一整套方法完全可以推廣應(yīng)用到正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量模型中。下面分別利用上述方法分析此例題。

解法一：應(yīng)用疊加定理求。

由圖3.4.3可得圖3.4.3例3.4.2圖一

解法二：應(yīng)用網(wǎng)孔法求。

設(shè)網(wǎng)孔電流、如圖3.4.4所示，并設(shè)理想電流源的端電壓為，則

整理方程組①，可得

由方程組②可得①②圖3.4.4例3.4.2圖二

解法三：應(yīng)用節(jié)點法求。

設(shè)節(jié)點②為參考點，即=0，如圖3.4.5所示。

對于節(jié)點①：

所以

據(jù)KVL，有

所以圖3.4.5例3.4.2圖三

解法四：應(yīng)用戴維南定理求。

斷開待求支路，使圖3.4.3變成一個含源二端網(wǎng)絡(luò)，如圖3.4.6(a)所示，可得開路電壓

作圖3.4.6(a)所對應(yīng)的無源二端網(wǎng)絡(luò)，如圖(b)所示，則等效復(fù)阻抗

Z0=1+j1Ω

將待求支路與戴維南等效電路連接成單一回路，如圖(c)所示。由圖(c)得圖3.4.6例3.4.2圖四

解法五：應(yīng)用電源等效轉(zhuǎn)換求。

將圖3.4.3依次進行電源等效轉(zhuǎn)換，如圖3.4.7(a)、(b)所示。由圖(b)得圖3.4.7例3.4.2圖五 3.5正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率

圖3.5.1中，N0為任意一個無源二端網(wǎng)絡(luò)，設(shè)輸入電壓為u(t)=Umcos(ωt+ψu)V，輸入電流為i(t)=Imcos(ωt+ψi)A。

1.瞬時功率p(t)

根據(jù)功率的定義，在u(t)、i(t)為關(guān)聯(lián)參考方向的情況下,有(3.5.1)圖3.5.1無源二端網(wǎng)絡(luò)

2.平均功率

根據(jù)平均功率定義

因平均功率是指電阻消耗的功率，故平均功率P也可以表示為(3.5.3)(3.5.2)

3.無功功率

無功功率反映了電源與電抗性負載之間能量互換的最大速率。電感元件的無功功率QL=ULIL，電容元件的無功功率QC=UCIC。在RLC串聯(lián)電路中，與相位相反；在RLC并聯(lián)電路中，與相位相反。因而在一般電路中總的無功功率應(yīng)是電路中所有電感和電容無功功率的代數(shù)和(QL取正號，QC取負號)，即

Q=QL－QC=UIsinφ

(3.5.4)

無功功率的單位為乏(var)。

4.視在功率

電壓有效值U和電流有效值I的乘積稱為視在功率，用字母S表示，表示式為

S=UI

(3.5.5)

5.復(fù)功率

無源二端網(wǎng)絡(luò)N0的功率也可用電壓相量和電流相量來計算。在關(guān)聯(lián)參考方向時，將電壓相量與電流相量的共軛的乘積定義為復(fù)功率，用符號表示，即

顯然，復(fù)功率的模就是視在功率S，即(3.5.6)(3.5.7)由此可以看出，視在功率、平均功率、無功功率三者的關(guān)系滿足直角三角形關(guān)系。這個直角三角形稱為功率三角形，如圖3.5.2(a)所示。在RLC串聯(lián)電路中，功率三角形與電壓三角形相似，前者可以看成是后者各邊的大小同乘以I而得到的。因此可以推出，功率三角形、電壓三角形與阻抗三角形是三個相似三角形，如圖3.5.2(b)所示；同理，在RLC并聯(lián)電路中，功率三角形與電流三角形和導(dǎo)納三角形也是三個相似三角形。圖3.5.2功率三角形和電壓三角形相似

【例3.5.1】求圖3.5.3所示的以a、b為端子的負載網(wǎng)絡(luò)的、P、Q和cosφ。已知Us=U∠0°=100∠0°V。

解：

所以，以a、b為端子的負載網(wǎng)絡(luò)的平均功率等于電阻上消耗的功率，即

同理，可得圖3.5.3例3.5.1圖

二端網(wǎng)絡(luò)總的無功功率

Q=QL－QC=50var

據(jù)功率三角形關(guān)系，可得

功率因數(shù)角所以功率因數(shù)

cosφ=cos45°=0.707

復(fù)功率

6.最大功率傳輸條件

在圖3.5.4中，為信號源電壓相量，Zs=Rs+jXs為信號源的內(nèi)阻抗，ZL=RL+jXL為可調(diào)的負載阻抗。

由圖3.5.4可知，電路中的電流相量為圖3.5.4最大功率的傳輸條件電流的有效值為

因此負載吸收的功率為

(1)當負載ZL的電抗XL可調(diào)時，若XL=－Xs，則上式的分母值最小，這時負載電抗與電源內(nèi)電抗互相抵消，整個電路呈現(xiàn)純電阻性，負載ZL吸收的功率最大，其值為

(2)當負載ZL的電阻RL和電抗XL都可調(diào)時，首先調(diào)變XL,使XL=－Xs，然后再調(diào)變RL，當RL=Rs時，在ZL上可進一步獲得最大功率Pmm，其值為

上述這種當ZL=Z*s時可在ZL上獲得最大功率Pmm的工作狀態(tài)稱為共軛匹配。(3.5.8) 3.6諧振電路

3.6.1串聯(lián)諧振電路

對于由R、L、C三類基本元件所構(gòu)成的電路，當元件參數(shù)與外加電源的頻率滿足某一關(guān)系時，電路的等效電抗(或電納)等于零，此時電路呈純電阻性。若電路中有電流，則該電流與外加電源電壓的相位相同，這種現(xiàn)象稱為諧振。

當元件R、L、C串聯(lián)時所發(fā)生的諧振稱為串聯(lián)諧振。如圖3.6.1所示的電路中，若外加電壓為

相量表達形式為圖3.6.1

RLC串聯(lián)電路由圖可知電路的復(fù)阻抗為

Z=|Z|∠φ

電路中電流為

欲使與相位相同，則

即若設(shè)諧振時的角頻率為ω0，則

因ω0=2πf0

，故諧振頻率為

進而可得(3.6.1)(3.6.2)(3.6.3)

【例3.6.1】已知某收音機的調(diào)諧回路可簡化成圖3.6.2所示的形式。其中，線圈的電感值L=300μH，電容為一可變電容器，欲使電路對頻率為525～1605kHz范圍內(nèi)的信號發(fā)生諧振，電容C可調(diào)節(jié)的范圍應(yīng)為多大？

解：由諧振條件 得

當f0=525kHz時,有

當f0=1605kHz時,有圖3.6.2例3.6.1圖

所以C的調(diào)節(jié)范圍為32.8～306pF。

串聯(lián)諧振電路具有如下特點：

(1)電抗為零，阻抗最小且為一純電阻，即Z=R，電路中的電流最大，并且與外加電壓同相位，即

(2)串聯(lián)電路諧振時，雖然電抗為零，但感抗和容抗都不為零，這時的感抗或容抗稱為電路的特性阻抗并用ρ表示，且ρ為

(3)串聯(lián)電路諧振時，由于電抗為零，阻抗角為零，所以電路的功率因數(shù)為

cosφ=1

(4)諧振電路的特征阻抗r(等于感抗ω0L或容抗)與電阻R之比，稱為電路的品質(zhì)因數(shù)Q，即

串聯(lián)電路諧振時，電感元件兩端的電壓與電容元件兩端的電壓大小相等，相位相反，且為外加電壓的Q倍，即

得

一般Q值的范圍在200～500之間。因此，串聯(lián)電路諧振時，其電感兩端的電壓與電容兩端的電壓均比外加信號源的電壓大許多倍。因此把串聯(lián)諧振又稱做電壓諧振。諧振時各元件電壓的相量關(guān)系如圖3.6.3所示。圖3.6.3串聯(lián)諧振電路相量圖

RLC串聯(lián)電路發(fā)生諧振時，電路吸收的有功功率為

P=UIcosφ=UI=RI2

無功功率為

Q=QL－QC=UIsinφ=0

得 QL=QC

上式表明，串聯(lián)電路諧振時，電源不向電路輸送無功功率，電感中的無功功率與電容中的無功功率相互完全補償，電感和電容相互進行能量交換，而不與電源交換能量。

(5)串聯(lián)諧振電路的諧振曲線和選擇性。由R、L、C參數(shù)所組成的串聯(lián)電路中，阻抗的模 ，阻抗角 。它們的頻率特性如圖3.6.4所示。

當ω從零開始增大時，電抗X的值從－∞開始逐漸向+∞增加，即電抗由開始的負值(容性)經(jīng)過零轉(zhuǎn)變?yōu)檎?感性)。當ω=ω0時，感抗XL與容抗XC值相等，電抗X為零，即圖3.6.4串聯(lián)電路的頻率特性由R、L、C組成的串聯(lián)電路阻抗的模為

當外加電壓有效值不變、而頻率改變時，可得電流的頻率特性為(3.6.4)為了對不同Q值的諧振曲線進行比較，將式(3.6.4)改寫成如下形式：

式(3.6.5)為電流諧振曲線方程，它表明了隨的變化關(guān)系。影響這一關(guān)系的只有品質(zhì)因數(shù)Q值。若取橫軸為，縱軸為，則對應(yīng)不同的Q值，諧振曲線如圖3.6.5所示。

由圖3.6.5可知，Q值越大,曲線變化越尖銳；Q值越小，曲線變化越平坦。(3.6.5)圖3.6.5串聯(lián)電路的諧振曲線諧振電路的通頻帶是指當外加信號電壓的最大值保持不變時，電路中的電流不小于諧振電流的 的那段頻率范圍。這段頻率范圍通常稱為諧振電路的通頻帶并用B表示，如圖3.6.6所示，且有

B=f2－f1

式中，f1稱為電路的下邊界頻率，f2稱為電路的上邊界頻率。

可以證明:(3.6.6)圖3.6.6通頻帶3.6.2并聯(lián)諧振電路

由電感線圈、電容器和角頻率為ω的正弦電流源組成的并聯(lián)諧振電路如圖3.6.7(a)所示。圖中，R代表線圈的損耗電阻。

1.并聯(lián)諧振電路的諧振條件

由圖3.6.7(a)可知，電路的輸入導(dǎo)納為

式中：圖3.6.7并聯(lián)諧振電路

根據(jù)上式可知，當電納B=0時，Y=G為純電導(dǎo)，電路端電壓與總電流同相，表明電路進入諧振狀態(tài)?？梢?，并聯(lián)諧振電路的諧振條件是電路的電納為零。設(shè)此時的電源頻率為w0，即有

由上式解得(3.6.8)(3.6.7)式(3.6.8)為計算并聯(lián)諧振頻率的精確公式。當回路電阻R較小、諧振頻率較高、滿足R＜w0L(稱為高頻小損耗)時，有近似公式：

從而求得

因此，在高頻小損耗條件下，并聯(lián)諧振頻率與串聯(lián)諧振頻率相同。(3.6.9)＜

2.并聯(lián)諧振電路的特性

并聯(lián)電路諧振時，電路的諧振導(dǎo)納 為最小，呈電導(dǎo)性；相應(yīng)的并聯(lián)諧振阻抗 為最大，呈電阻性。又由式(3.6.7)可得 ，則諧振阻抗Z0可記為

通過上面的分析可得，在高頻小損耗情況下，圖3.6.7(a)諧振時對應(yīng)的相量等效電路如圖3.6.7(b)所示。(3.6.10)并聯(lián)諧振電路的品質(zhì)因數(shù)為任一電納支路在諧振時的電納值與電導(dǎo)值之比，即

在電流源一定的情況下，諧振回路將有最大的電壓 ，且與同相位。此時有(3.6.11)可見，兩個并聯(lián)支路的電流大小近似相等，并為電流源I的Q倍，相位近于反相，可以看做是環(huán)繞LC回路流動的回路電流，形成電磁振蕩。因此，并聯(lián)諧振又稱為電流諧振。并聯(lián)諧振時的相量圖如圖3.6.7(c)所示。

3.并聯(lián)諧振的頻率特性與通頻帶

并聯(lián)諧振電路的諧振曲線表示并聯(lián)電路中端電壓的頻率特性，作為通用特性曲線， 與串聯(lián)諧振電路的 對偶，曲線形狀完全相同，只不過這里表示的是LC并聯(lián)電路的端電壓隨頻率的變化規(guī)律，故不再贅述。 *3.7三相交流電路的基本知識

3.7.1三相電路的基本概念

三相電路就是由三相電源供電的正弦穩(wěn)態(tài)電路。三相電源通常是發(fā)電廠的三相發(fā)電機。三相發(fā)電機與一般的交流發(fā)電機一樣，是利用電磁感應(yīng)原理制成的。特殊之處在于，三相發(fā)電機有三個繞組，三個繞組相互錯開120°的角度放置，其感應(yīng)電壓是同頻的相位互差120°的正弦電壓。三個繞組有星形和三角形兩種連接形式。

三相發(fā)電機的相量模型如圖3.7.1所示，其中圖(a)為星形連接，圖(b)為三角形連接。圖3.7.1三相發(fā)電機的相量模型由于三相發(fā)電機的結(jié)構(gòu)特點，、、是同頻、等幅、相位上相差120°的一組三相電壓，稱為對稱三相電壓。設(shè)它們的有效值為Up，以為參考相量，則、、為

以ω表示其角頻率，它們的函數(shù)式為

波形圖與相量圖如圖3.7.2所示。圖3.7.2對稱三相電壓的波形圖和相量圖三角形連接的三相電壓源中，3個線電壓為

可知，3個線電壓也是一組對稱三相電壓，其有效值(用Ul表示)是相電壓有效值的倍，即(3.7.1)3.7.2三相電路的連接形式

三相電壓源接上三相負載，就構(gòu)成了三相電路。三相負載是3個負載的特定組合。例如,三相電動機就有3個繞組，是一個完整的三相負載。有些負載(如電燈、電烙鐵等)雖然每個負載只需接一相電源，但是把它們互相組合起來也能構(gòu)成三相負載。

三相負載的組合方式也有星形方式和三角形方式兩種，如圖3.7.3所示。圖3.7.3三相負載的星形組合與三角形組合3.7.3三相電路的計算

由于星形連接與三角形連接可以進行等效互換，因此對于多種形式的三相電路分析，只抓住一種形式進行分析就足夠了。圖3.7.4所示是對稱星形負載與對稱三角形負載間的等效互換，等效條件也列在圖中。圖3.7.4對稱三相負載的Y-△等效圖3.7.5所示是對稱星形電源與對稱三角形電源間的等效互換，其等效條件如下：

Y→△時， ，φ12=φ2+30°

△→Y時， ，φl=φ12－30°

利用等效變換，四種三線制的三相電路總可以等效變換為其中任一種。考慮到四線制三相電路，下面選擇Y-Y三相電路為典型電路進行分析。圖3.7.5對稱三相電源的Y-△等效

1.一般分析

三相四線制電路如圖3.7.6所示。其中，Zl為火線阻抗，Zo為中線阻抗。選定線電流、、的參考方向從電源到負載，中線電流的參考方向從負載到電源。三相電路仍是正弦穩(wěn)態(tài)電路，可用任何一種方程法分析。例如用節(jié)點法，可求得(3.7.2)各火線阻抗、負載阻抗上的電壓為

各線電流為

中線電流為(3.7.5)(3.7.4)(3.7.3)圖3.7.6三相四線制電路

2.對稱三相電路的特點

1)對稱星形負載

由于Za=Zb=Zc=ZY，因此式(3.7.2)為

進而式(3.7.3)成為是一組對稱三相電壓。各線電流即式(3.7.4)成為

是一組對稱三相電流。中線電流應(yīng)為零，即

負載端線電壓

2)對稱三角形負載

因Z12=Z23=Z31=Z△，故等效變換得 ，如圖3.7.7所示。圖3.7.7對稱△負載及其等效在等效電路中，前面已有結(jié)論，、、是一組對稱三相電流，、、是一組對稱三相電壓，因此在對稱三角形負載中，線電流、、和相電流、、都是對稱三相電流。由于

因此，可作出如圖3.7.8所示的電流相量圖。圖3.7.8對稱△負載電流相量圖3.7.4中線的重要作用

圖3.7.9所示的三相電源相序為a→b→c，相電壓Up=200V，三相負載中，a相接一個額定值為P1e=100W、U1e=220V的純電阻負載Z1，b相接一個額定值為P2e=25W、U2e=220V的純電阻負載Z2，c相開路。

在有中線(即開關(guān)S接通)時，Z1、Z2承受的電壓值都是220V，符合額定要求，能正常工作。在沒有中線(即開關(guān)S斷開)時，Z1、Z2串聯(lián)，承受電壓 。根據(jù)負載額定值，可求得各自的阻抗：圖3.7.9中線的作用

于是Z1、Z2各自承受的電壓值為

顯然，U1<U1e，負載Z1工作不正常；U2>U2e，負載Z2可能燒壞。

可見，中線可以保證各相供電獨立，不會造成相互影響。

本模塊小結(jié)

1.正弦信號的三個特征量及其相量表示

對于正弦電流信號：

(1)只有同頻率的相量之間才能進行比較和運算。

(2)只有兩個同頻率的正弦量之間才有相位差可言。相位差等于兩者的初相之差。相位差φ的取值范圍為0～±π。

當φ=0時，稱兩個正弦量為同相； 時，稱兩者正交；φ=±π時，稱兩者為反相。

2.元件VCR的相量表示(電壓、電流取關(guān)聯(lián)參考方向)

時域表示 相量表示

電阻元件：

電感元件：

電容元件：從元件VCR的相量形式可以清楚地看出，在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，電阻上的電壓和電流同相，電感上的電壓超前電流90°,電容上的電壓滯后電流90°。感抗XL=wL,容抗

歐姆定律的相量形式： ，Z為阻抗； ，Y為導(dǎo)納。其中， ， 。

3.基爾霍夫定律的相量表示

時域表示 相量表示

KCL： 或

KVL： 或

4.相量分析法

在分析正弦穩(wěn)態(tài)電路時，由于響應(yīng)的w