新教材適用2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第6章計(jì)數(shù)原理6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理素養(yǎng)作業(yè)新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

第六章6.1A組·基礎(chǔ)自測(cè)一、選擇題1．現(xiàn)有3幅不同的油畫，4幅不同的國(guó)畫，5幅不同的水彩畫，從這些畫中選一幅布置房間，則不同的選法共有(B)A．5種 B．12種C．20種 D．60種[解析]從油畫中選，有3種不同的選法；從國(guó)畫中選，有4種不同的選法；從水彩畫中選，有5種不同的選法．依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有3＋4＋5＝12種不同的選法．故選B.2．(a1＋a2)(b1＋b2)(c1＋c2＋c3)完全綻開后的項(xiàng)數(shù)為(B)A．9 B．12C．18 D．24[解析]每個(gè)括號(hào)內(nèi)各取一項(xiàng)相乘才能得到綻開式中的一項(xiàng)，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，完全綻開后的項(xiàng)數(shù)為2×2×3＝12.3．集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2，3，…，9}，且P?Q.把滿意上述條件的一對(duì)有序整數(shù)對(duì)(x，y)作為一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，則這樣的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是(B)A．9 B．14C．15 D．21[解析]因?yàn)镻?Q，所以分兩類．當(dāng)x＝2時(shí)，y∈{3,4,5,6,7,8,9}，所以點(diǎn)的個(gè)數(shù)為7；當(dāng)x≠2時(shí)，x＝y(tǒng)∈{3,4,5,6,7,8,9}，所以點(diǎn)的個(gè)數(shù)為7.則滿意題意的點(diǎn)共有14個(gè)．4．體育老師把9個(gè)相同的足球放入編號(hào)為1,2,3的三個(gè)箱子中，要求每個(gè)箱子放球的個(gè)數(shù)不小于其編號(hào)，則不同的放球方法有(B)A．8種 B．10種C．12種 D．16種[解析]首先在三個(gè)箱子中放入個(gè)數(shù)與編號(hào)相同的球，這樣剩下三個(gè)足球，這三個(gè)足球可以隨意放置，第一種方法，可以在每一個(gè)箱子中放一個(gè)，有1種結(jié)果；其次種方法，可以把球分成兩份，1和2，這兩份在三個(gè)位置，有3×2＝6種結(jié)果；第三種方法，可以把三個(gè)球都放到一個(gè)箱子中，有3種結(jié)果．綜上可知共有1＋6＋3＝10種結(jié)果．5．(多選)如圖所示，從A地到B地要經(jīng)過C地和D地，從A地到C地有3條路，從C地到D地有2條路，從D地到B地有4條路，則(AD)A．從A地到D地不同走法有6種B．從C地到B地不同走法有6種C．從A地到B地不同走法有9種D．從A地到B地不同走法有24種[解析]依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得，從A地到D地不同走法有3×2＝6(種)，從C地到B地不同走法有2×4＝8(種)，從A地到B地不同走法有3×2×4＝24(種)．二、填空題6．有A，B，C型號(hào)的高級(jí)電腦各一臺(tái)，甲、乙、丙、丁4名操作人員的技術(shù)等級(jí)不同，甲、乙會(huì)操作三種型號(hào)的電腦，丙不會(huì)操作C型號(hào)的電腦，而丁只會(huì)操作A型號(hào)的電腦．從這4名操作人員中選3人分別去操作這三種型號(hào)的電腦，則不同的選派方法有8種．[解析]要完成“從4名操作人員中選3人分別去操作這三種型號(hào)的電腦”這件事，可分四類：第一類，選甲、乙、丙3人，由于丙不會(huì)操作C型號(hào)的電腦，故有2×2×1＝4(種)選派方法；其次類，選甲、乙、丁3人，由于丁只會(huì)操作A型號(hào)的電腦，故有2種選派方法；第三類，選甲、丙、丁3人，這時(shí)只有1種選派方法；第四類，選乙、丙、丁3人，同樣也只有1種選派方法．依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，知共有4＋2＋1＋1＝8(種)選派方法．7．甲、乙等5個(gè)志愿者被安排到A，B，C，D四個(gè)不同的崗位服務(wù)，每個(gè)崗位至少一個(gè)志愿者，則甲、乙兩人各自獨(dú)立擔(dān)當(dāng)一個(gè)崗位工作的分法共有_72__種．[解析]由題意知本題是一個(gè)分步計(jì)數(shù)問題，設(shè)5個(gè)志愿者為甲、乙、丙、丁、戊．甲在A，B，C，D四個(gè)崗位中選一個(gè)，有4種選擇；乙在剩下的3個(gè)崗位中選一個(gè)，有3種選擇．丙、丁、戊三人只能選擇剩下的兩個(gè)崗位，每人有2個(gè)選擇，總共有2×2×2＝8種選擇，這8種里要去掉3個(gè)人都選擇同一個(gè)地方的狀況，即有8－2＝6種選擇，∴所求方法數(shù)為4×3×6＝72.8．現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)三種顏色，對(duì)如圖所示的正五角星的內(nèi)部涂色(分割成六個(gè)不同部分)，要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色且相鄰部分(有公共邊的兩個(gè)區(qū)域)的顏色不同，則不同的涂色方案有_96__種．(用數(shù)字作答)[解析]依據(jù)題意，假設(shè)正五角星的區(qū)域依次為A，B，C，D，E，F(xiàn)，如圖所示．要將每個(gè)區(qū)域都涂色才做完這件事，由分步計(jì)數(shù)原理，先對(duì)A區(qū)域涂色有3種方法，B，C，D，E，F(xiàn)這5個(gè)區(qū)域都與A相鄰，每個(gè)區(qū)域都有2種涂色方法，所以共有3×2×2×2×2×2＝96(種)涂色方案．三、解答題9．有一項(xiàng)活動(dòng)，需從3位老師、8名男同學(xué)和5名女同學(xué)中選人參與．(1)若只需1人參與，則有多少種不同的選法？(2)若需老師、男同學(xué)、女同學(xué)各1人參與，則有多少種不同的選法？[解析](1)選1人，可分三類：第1類，從老師中選1人，有3種不同的選法；第2類，從男同學(xué)中選1人，有8種不同的選法；第3類，從女同學(xué)中選1人，有5種不同的選法，共有3＋8＋5＝16(種)不同的選法．(2)選老師、男同學(xué)、女同學(xué)各1人，分三步：第1步，選老師，有3種不同的選法；第2步，選男同學(xué)，有8種不同的選法；第3步，選女同學(xué)，有5種不同的選法，共有3×8×5＝120(種)不同的選法．10．已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平面上的點(diǎn)(a，b∈M)．(1)P可以表示平面上的多少個(gè)不同點(diǎn)？(2)P可以表示平面上的多少個(gè)其次象限的點(diǎn)？(3)P可以表示多少個(gè)不在直線y＝x上的點(diǎn)？[解析](1)完成這件事分為兩個(gè)步驟：a的取法有6種，b的取法有6種．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，P可以表示平面上的6×6＝36(個(gè))不同點(diǎn)．(2)依據(jù)條件需滿意a<0，b>0.完成這件事分兩個(gè)步驟：a的取法有3種，b的取法有2種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，P可以表示平面上的3×2＝6(個(gè))其次象限的點(diǎn)．(3)因?yàn)辄c(diǎn)P不在直線y＝x上，所以第一步a的取法有6種，其次步b的取法有5種，依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，P可以表示6×5＝30(個(gè))不在直線y＝x上的點(diǎn)．B組·實(shí)力提升一、選擇題1．用0,1，…，9十個(gè)數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為(B)A．243 B．252C．261 D．279[解析]由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，用0,1，…，9十個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為9×10×10＝900，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為9×9×8＝648，因此組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為900－648＝252.2．支配高二年級(jí)的三個(gè)班去甲、乙、丙、丁四個(gè)工廠參與社會(huì)實(shí)踐，去哪個(gè)工廠可以自由選擇，但必需有一個(gè)班級(jí)去甲工廠，則不同的方案有(B)A．48種 B．37種C．18種 D．16種[解析]高二年級(jí)的三個(gè)班去甲、乙、丙、丁四個(gè)工廠參與社會(huì)實(shí)踐，共有43種方法，若甲工廠沒有班級(jí)去，則有33種方法，所以不同的方案有43－33＝37種．3．(多選)已知m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，則方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1表示(AC)A．圓的個(gè)數(shù)為5個(gè)B．焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的個(gè)數(shù)為9個(gè)C．焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的個(gè)數(shù)為20個(gè)D．雙曲線的個(gè)數(shù)為12個(gè)[解析]當(dāng)m與n相等時(shí)，方程表示圓，共有5種狀況．當(dāng)m＝2，n＝1；當(dāng)m＝3，n＝1,2；當(dāng)m＝4，n＝1,2,3；當(dāng)m＝5，n＝1,2,3,4時(shí)，表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，共有10種狀況．當(dāng)m＝1，n＝2,3,4,5,6,7；當(dāng)m＝2，n＝3,4,5,6,7；當(dāng)m＝3，n＝4,5,6,7；當(dāng)m＝4，n＝5,6,7；當(dāng)m＝5，n＝6,7時(shí)，表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，共有20種狀況．方程不行能表示雙曲線．二、填空題4．有10本不同的數(shù)學(xué)書，9本不同的語(yǔ)文書，8本不同的英語(yǔ)書，從中任取兩本不同類的書，共有不同的取法242種．[解析]取兩本書中，一本數(shù)學(xué)、一本語(yǔ)文，依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理有10×9＝90(種)不同取法；取兩本書中，一本語(yǔ)文、一本英語(yǔ)，有9×8＝72(種)不同取法；取兩本書中，一本數(shù)學(xué)、一本英語(yǔ)，有10×8＝80(種)不同取法．綜合以上三類，利用分類加法計(jì)數(shù)原理，共有90＋72＋80＝242(種)不同取法．5．一個(gè)旅游景區(qū)的巡游線路如圖所示，某人從P點(diǎn)處進(jìn)，Q點(diǎn)處出，沿圖中線路巡游A，B，C三個(gè)景點(diǎn)及沿途風(fēng)景，則不同(除交匯點(diǎn)O外)的巡游線路有_48__種．(用數(shù)字作答)[解析]依據(jù)題意，從點(diǎn)P處進(jìn)入后，參觀第一個(gè)景點(diǎn)時(shí)，有6個(gè)路口可以選擇，從中任選一個(gè)，有6種選法；參觀完第一個(gè)景點(diǎn)，參觀其次個(gè)景點(diǎn)時(shí)，有4個(gè)路口可以選擇，從中任選一個(gè)，有4種選法；參觀完其次個(gè)景點(diǎn)，參觀第三個(gè)景點(diǎn)時(shí)，有2個(gè)路口可以選擇，從中任選一個(gè)，有2種選法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有6×4×2＝48種不同的巡游線路．三、解答題6．如圖所示，從A地到B地有3條不同的道路，從B地到C地有4條不同的道路，從A地不經(jīng)過B地干脆到C地有2條不同的道路．(1)從A地到C地有多少種不同的走法？(2)從A地到C地再回到A地有多少種不同的走法？(3)從A地到C地再回到A地，但回來時(shí)要走與去時(shí)不同的道路，有多少種不同的走法？(4)從A地到C地再回到A地，但回來時(shí)要走與去時(shí)完全不同的道路，有多少種不同的走法？[解析](1)從A地到C地的走法分為兩類：第一類經(jīng)過B地，其次類不經(jīng)過B地．在第一類中分兩步完成：第一步，從A地到B地；其次步，從B地到C地．故從A地到C地的不同走法總數(shù)是3×4＋2＝14.(2)該事務(wù)發(fā)生的過程可以分為兩步：第一步是去，其次步是回．由(1)可知這兩步的走法都是14種，所以去后又回來的走法總數(shù)是14×14＝196.(3)該事務(wù)發(fā)生的過程與(2)一樣，可分為兩步，但不同的是其次步(即回來時(shí))的走法比去時(shí)少一種，所以走法總數(shù)為14×13＝182.(4)該事務(wù)同樣分去與回兩步，但需對(duì)去時(shí)的各類走法分別探討．若去時(shí)用第一類走法，則回來時(shí)用其次類走法或用第一類中的部分走法，即第一類中的兩步各去掉1種走法后的走法，這樣的走法總數(shù)為3×4×(2＋3×2)＝96.若去時(shí)用其次類走法，則回來時(shí)可用第一類走法或用其次類中的另一種走法，這樣的走法總數(shù)為2×(4×3＋1)＝26.故走法總數(shù)為96＋26＝122.C組·創(chuàng)新拓展如圖，一個(gè)正方形花圃被分成5份．若給這5個(gè)部分種植花，要求相鄰兩部分種植