第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 章節(jié)驗(yàn)收測(cè)評(píng)卷-2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)單元速記（人教A版必修第一冊(cè)）

PAGE1第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)章節(jié)驗(yàn)收測(cè)評(píng)卷（考試時(shí)間：150分鐘試卷滿分：150分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（23-24高二上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·階段練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)分式分母不為、偶次根式被開方數(shù)大于等于求解出定義域.【詳解】因?yàn)椋郧?，所以定義域?yàn)?，故選：C.2．（2024高一·江蘇·專題練習(xí)）下列各組函數(shù)表示相同函數(shù)的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域及對(duì)應(yīng)法則判斷是否為同一函數(shù)即可.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)?，兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，所以表示不同的函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)?，兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，所以表示不同的函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，函數(shù)與的定義域和對(duì)應(yīng)法則都相同，所以表示相同的函數(shù),故C正確；對(duì)于D，函數(shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)的定義域?yàn)?，兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，所以表示不同的函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：C.3．（23-24高二下·福建福州·期中）已知函數(shù)在上的值域?yàn)椋瑒t在上的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】函數(shù)在上的值域?yàn)?，令，所以在上的取值范圍為，又是奇函?shù)，所以在上的值域?yàn)?，所以在上的值域?yàn)椋蔬x:B．4．（23-24高一上·廣東廣州·期中）下圖給出個(gè)冪函數(shù)的圖象，則圖象與函數(shù)大致對(duì)應(yīng)的是（

）

A．①，②，③，④B．①，②，③，④C．①，②，③，④D．①，②，④，④【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式判斷圖像性質(zhì)，即可判斷圖像.【詳解】?jī)绾瘮?shù)的定義域?yàn)?，且為奇函?shù)，在上單調(diào)遞增，對(duì)應(yīng)圖像①；冪函數(shù)的定義域?yàn)椋覟榕己瘮?shù)，在上單調(diào)遞增，對(duì)應(yīng)圖像②；冪函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸榉瞧娣桥己瘮?shù)，在上單調(diào)遞增，對(duì)應(yīng)圖像③；冪函數(shù)的定義域?yàn)?，且為奇函?shù)，在上單調(diào)遞減，對(duì)應(yīng)圖像④；故選：A.5．（2024·陜西渭南·二模）已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用分段函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合一次、二次函數(shù)單調(diào)性求解即得.【詳解】由是上的增函數(shù)，得，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：B6．（23-24高一上·云南曲靖·期末）若定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則滿足的的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性，判斷函數(shù)值的正負(fù)情況，由結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)列出不等式組，可求得答案.【詳解】因?yàn)槎x域?yàn)榈呐己瘮?shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，且，所以在上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以由可得或或或，所以得或或，所以滿足的的取值范圍是．故選：B．7．（23-24高三下·湖南湘潭·階段練習(xí)）已知是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，若有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先利用偶函數(shù)的對(duì)稱性求得的值，進(jìn)而得到，再解不等式得到，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，所以，即，解得，此時(shí)當(dāng)時(shí)，，所以的零點(diǎn)為，滿足題意，又當(dāng)時(shí)，，，由，得，即，解得，又為偶函數(shù)，所以的解集為，故選：A.8．（23-24高一下·黑龍江大慶·開學(xué)考試）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，若，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．C．函數(shù)是偶函數(shù) D．函數(shù)是減函數(shù)【答案】C【分析】首先利用賦值法求得的值，再賦值，求得的解析式，即可判斷C，再根據(jù)函數(shù)的解析式，賦值判斷BD.【詳解】對(duì)于A，令、，則有，又，故，即，令、，則有，即，由，可得，又，故，故A正確；對(duì)于C，令，則有，則，故函數(shù)是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，有，即，則函數(shù)是減函數(shù)，故D正確；對(duì)于B，由，令，有，故B正確.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．（23-24高二下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）下列各函數(shù)中，最小值為2的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】由基本不等式及二次函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得解.【詳解】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，當(dāng)時(shí)取最小值2，故B正確.對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故D正確；故選：BD.10．（23-24高一上·云南昆明·期末）若函數(shù)同時(shí)滿足：①對(duì)于定義域上的任意，恒有；②對(duì)于定義域上的任意，當(dāng)時(shí)，恒有，則稱函數(shù)為“理想函數(shù)”．下列四個(gè)函數(shù)中能被稱為“理想函數(shù)”的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)①②得到為奇函數(shù)且在定義域上單調(diào)遞減，從而對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一作出判斷.【詳解】由①得為奇函數(shù)，由②得在定義域上單調(diào)遞減，對(duì)于A，滿足要求，A正確；對(duì)于B，，故為偶函數(shù)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，滿足要求，C正確；對(duì)于D，，故不是奇函數(shù)，D錯(cuò)誤.故選：AC11．（23-24高二下·浙江溫州·期中）定義在上的函數(shù)，滿足，且當(dāng)時(shí)，，則使得在上恒成立的可以是（

）A．1 B．2 C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)題意，一步步轉(zhuǎn)化到時(shí)，，則，作函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象可求出的最大值.【詳解】由題意可知，如圖所示當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，故；當(dāng)時(shí)，，故；令，解得或，所以或，所以的最大值為.即.故選：ABC.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)，則.【答案】【分析】利用換元法，結(jié)合已知函數(shù)解析式，即可求得.【詳解】令，則，于是有，所以.故答案為：13．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的值為．【答案】13【分析】令，則，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意可得可得，令，則，，∴當(dāng)時(shí)取得最大值，但由于，故當(dāng)即時(shí)，，解得．故答案為：13．14．（23-24高一下·山東淄博·期中）已知函數(shù)，，，．對(duì)，都，使得成立，則的范圍是．【答案】【分析】對(duì)，都，使得成立，等價(jià)于恒成立，對(duì)的取值進(jìn)行分類討論，利用單調(diào)性求出和，列出關(guān)于的不等式組求得答案.【詳解】函數(shù)，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，所以，解得，又因?yàn)?，所以，解得；?dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，其最小值為，所以有，解得，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)減，在上單調(diào)增，其最小值為，所以有，解得，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)減，，此時(shí)，無解；所以的取值范圍是，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，其中第15題13分，第16,17題15分，第18,19題17分，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（23-24高一上·安徽馬鞍山·期中）已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且當(dāng)時(shí)，(1)試求在上的解析式；(2)寫出的單調(diào)遞減區(qū)間（無需證明）.【答案】(1)(2)單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合條件即可求解的解析式，（2）由的圖象即可求解單調(diào)區(qū)間．【詳解】（1）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，是奇函數(shù)，．又的定義域?yàn)?，，解得．設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，，，所以；（2）由（1）可得的圖象如下所示：由圖象可知的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；16．（2024·上?！と＃┮阎?，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.(1)求的解析式；(2)判斷的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義加以證明.【答案】(1)(2)在區(qū)間上為嚴(yán)格增函數(shù)，證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，求出的值，結(jié)合函數(shù)的解析式求出的值，計(jì)算可得答案；（2）根據(jù)題意，根據(jù)單調(diào)性的定義，結(jié)合作差法證明可得答案．【詳解】（1）根據(jù)題意，是定義在上的奇函數(shù)，則有，解得，又由，解得，所以，定義域?yàn)?，且，所以；?）在區(qū)間上為嚴(yán)格增函數(shù)．證明如下：設(shè)任意，則，由，得，即，，，所以，即，故在區(qū)間上為嚴(yán)格增函數(shù)．17．（23-24高一上·安徽安慶·階段練習(xí)）已知函數(shù)，不等式的解集是.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若關(guān)于的不等式在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)不等式的解集，可得對(duì)應(yīng)方程的解，進(jìn)而可得參數(shù)值及函數(shù)解析式；（2）方法一：分離參數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可得最值及參數(shù)范圍；方法二：結(jié)合二次函數(shù)的最值情況分情況討論可得參數(shù)范圍.【詳解】（1）因?yàn)榈慕饧?，則的兩根是和，由根于系數(shù)關(guān)系可得，解得，所以；（2）方法一：關(guān)于的不等式在上有解，等價(jià)于，使得，則，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取到最大值，，所以，故的取值范圍是；方法二：由題知，即關(guān)于的不等式在上有解，令，等價(jià)于在區(qū)間上的最小值，圖象的對(duì)稱軸是，根據(jù)二次函數(shù)圖象對(duì)稱軸和區(qū)間位置關(guān)系可知，①當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)的最小值，則，解得；②當(dāng)，即時(shí)，的最小值，此時(shí)恒成立，所以得；③當(dāng)，即時(shí)，，則由，解得；綜上所述，的取值范圍是.18．（23-24高一下·北京·開學(xué)考試）定義在上的函數(shù)滿足對(duì)于任意實(shí)數(shù)，都有，且當(dāng)時(shí)，，．(1)判斷的奇偶性并證明；(2)判斷的單調(diào)性，并求當(dāng)時(shí)，的最大值及最小值；(3)在的條件下解關(guān)于的不等式．【答案】(1)奇函數(shù)，證明見解析(2)在上是減函數(shù)，，；(3)【分析】（1）令，求出，再令，由奇偶性的定義，即可判斷；（2）任取，則．由已知得，再由奇函數(shù)的定義和已知即可判斷單調(diào)性，由，得到，，再由單調(diào)性即可得到最值；（3）將原不等式轉(zhuǎn)化為，再由單調(diào)性，即得，即，再求出解集即可.【詳解】（1）令，得，．再令，得．．且定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，為奇函數(shù)．（2）任取，則．由已知得，則，∴，∴在上是減函數(shù)．由于，則，，．由在上是減函數(shù)，得到當(dāng)時(shí)，的最大值為，最小值為；（3）不等式，即為.即，即有，由于在上是減函數(shù)，則，即為，即有，令，解得或（）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)解集為.19．（23-24高一上·上海黃浦·期中）若函數(shù)與滿足：對(duì)任意的，總存在唯一的，使成立，則稱是在區(qū)間上的“階伴隨函數(shù)”；對(duì)任意的，總存在唯一的，使成立，則稱是區(qū)間上的“階自伴函數(shù)”．(1)判斷是否為區(qū)間上的“2階自伴函數(shù)”？并說明理由：(2)若函數(shù)為區(qū)間上的“1階自伴函數(shù)”，求的值；(3)若是在區(qū)間上的“2階伴隨函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)不是，理由見解析；(2)1；(3).【分析】（1）根據(jù)給定的定義，取，判斷在沒有實(shí)數(shù)解，即可得解.（2）根據(jù)給定的定義，當(dāng)時(shí)，用表示并判斷單調(diào)性，求出值域，借助集合的包含關(guān)系求解即得.（3）根據(jù)給定的定義，函數(shù)在區(qū)間,上的值域包含函數(shù)在區(qū)間,上的值域，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論即可求解．【詳解】（1）假定函數(shù)是區(qū)間上的“2階自伴函數(shù)”，取，，由，得，顯然此方程無實(shí)數(shù)解，所以函數(shù)不是區(qū)間上的“2階自伴函數(shù)”.（2）函數(shù)為區(qū)間上的“1階自伴函數(shù)”，則對(duì)任意，總存在唯一的，使得，即，整理得，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此對(duì)內(nèi)的每一個(gè)，在內(nèi)有唯一值與之對(duì)應(yīng)，而，于是，則有，解得，即，所以的值是1.（3）由函數(shù)在上單調(diào)遞減，得函數(shù)的值域?yàn)?，由函?shù)是在區(qū)間上的“2階伴隨函數(shù)”，得對(duì)任意的，總存在唯一的時(shí)，使得成立，于是，則在區(qū)間上的值域必定包含區(qū)間，且的值域在對(duì)應(yīng)的自變量是唯