理論力學(xué)課件-第11章

第11章動(dòng)能定理及其應(yīng)用11.1功與功率11.2動(dòng)能的計(jì)算11.3動(dòng)能定理11.4勢(shì)能及機(jī)械能守恒定律11.5動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用思考題習(xí)題

11.1功與功率

11.1.1常力的功

設(shè)質(zhì)點(diǎn)M在常力F作用下沿直線走過(guò)一段路程s，則力在該直線路程中所做的功記為Ｗ，其定義為

W=Fcosθ·s

式中,θ是力F與直線方向之間的夾角。功是代數(shù)量，在國(guó)際單位制中，功的單位為焦耳，簡(jiǎn)稱焦(J)，１J＝１N×１m

＝１kg·m2／s2。11.1.2變力在曲線路程中的功

設(shè)質(zhì)點(diǎn)M在變力F的作用下做曲線運(yùn)動(dòng)(如圖11-1所示)，將弧線M1M2分成無(wú)限多個(gè)微小弧段，微小弧段長(zhǎng)MM′＝ds。因?yàn)閐s非常微小，弧MM′可以看做與速度v亦即與軌跡曲線的切線t(指向運(yùn)動(dòng)方向)同方向的直線段，而力F可視為常力。力F在微小路程ds上做的功稱為力的元功，記為δW

δW=Fcosθds

(11-1)

其中,Fcosθ是力F在軌跡曲線的切線上的投影。力F在M1至M2一段路程中做的總功為

(11-2)圖11-1式(11-1)、(11-2)也可寫(xiě)成以下矢量點(diǎn)積形式：

δW=F·dr(11-3)

(11-4)

在直角坐標(biāo)系Oxyz中，F(xiàn)=Fxi+Fyj+Fzk，dr=dxi+dyj+dzk，力F的元功的解析表達(dá)式為

δW=F·dr=Fxdx+Fydy+Fzdz在由M1到M2的一段路程中,力F的總功為

(11-5)

對(duì)于具體問(wèn)題，常常利用該解析式來(lái)計(jì)算力的元功及總功。11.1.3合力的功

設(shè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)受n個(gè)力F1、F2、…、Fn作用，這n個(gè)力的合力為FR，即

FR=F1+F2+…+Fn

當(dāng)質(zhì)點(diǎn)由Ｍ1運(yùn)動(dòng)到Ｍ2時(shí)，合力FR所做的功為

(11-6)

即合力在任一段路程中做的功等于各分力在同一段路程中做功的代數(shù)和。11.1.4常見(jiàn)力的功

1.重力的功

質(zhì)點(diǎn)在地面附近運(yùn)動(dòng)時(shí)，所受重力可視為常力。取直角坐標(biāo)系Oxyz如圖11-2所示，則質(zhì)點(diǎn)所受的重力mg在各坐標(biāo)軸上的投影為

Fx＝０，F(xiàn)y＝０，F(xiàn)z＝-mg

當(dāng)質(zhì)點(diǎn)由M1位置運(yùn)動(dòng)到M2位置時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的重力mg所做的功為

(11-7)圖11-2對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系，重力做功公式為

∑W12=mg(zC1-zC2)

(11-8)

其中,m是整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量，zC1-zC2是質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動(dòng)始末位置重心的高度差。這就是說(shuō)，質(zhì)點(diǎn)系所受重力的功，等于質(zhì)點(diǎn)系的重力與其重心的高度差的乘積。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系重心由高處運(yùn)動(dòng)到低處時(shí)，重力做正功；反之，做負(fù)功。重力所做的功只與質(zhì)點(diǎn)系重心的起始位置及末了位置有關(guān)，而與重心的運(yùn)動(dòng)路徑無(wú)關(guān)。

2.彈性力的功

設(shè)有一個(gè)彈簧，一端固定于O點(diǎn)，另一端為A，如圖11-3所示。A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，彈簧將伸長(zhǎng)或縮短，彈簧對(duì)A點(diǎn)作用一力F，稱為彈性力。在彈性極限內(nèi)，根據(jù)虎克定律，彈性力的大小與其變形量成正比，即

F=kδ

其中，k是彈簧常數(shù)(或稱彈簧的剛度)，常用的單位是N/m或N/mm，δ為其變形量。圖11-3若以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，點(diǎn)A的矢徑為r，其長(zhǎng)度為r，l0是彈簧的自然長(zhǎng)度。彈簧伸長(zhǎng)時(shí)，彈性力F指向固定點(diǎn)O,則

er為矢徑方向的單位矢量。當(dāng)彈簧伸長(zhǎng)時(shí)，r>l0，力F與r的方向相反；當(dāng)彈簧被壓縮時(shí)，r<l0，力F與r的方向一致。由式(11-4)可得，質(zhì)點(diǎn)由A1運(yùn)動(dòng)到A2時(shí)，彈性力做的功為因?yàn)?/p>

所以

改寫(xiě)為

(11-9)

由此可見(jiàn)，彈性力所做的功只與彈簧在起始和末了位置的變形量有關(guān)，而與作用點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)路徑無(wú)關(guān)。

3.作用于轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的力及力偶的功

在繞ｚ軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體上的A點(diǎn)作用一力F(如圖11-4所示)，F(xiàn)與力作用點(diǎn)A處的軌跡切線之間的夾角為θ，力F在切線方向的投影為Ft=Fcosθ，若剛體轉(zhuǎn)過(guò)一微小角度dφ，則A點(diǎn)有一微小位移ds=Rdφ，力F所做的元功為

δW=F·dr=Ftds=FtRdφ

式中，R是力作用點(diǎn)A到轉(zhuǎn)軸的距離。圖11-4由于FtR=Mz(F)，即為力F對(duì)于z軸之矩,所以

δW=Mzdφ

(11-10)

積分式(11-10)，力F在剛體從角φ1轉(zhuǎn)到φ2的過(guò)程中所做的功為

(11-11)

如果力偶作用于轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，若該力偶對(duì)z軸的矩為Mz，則力偶對(duì)剛體所做的功仍然可用式(11-11)進(jìn)行計(jì)算。

4.平面運(yùn)動(dòng)剛體上力系的功

當(dāng)剛體做平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，作用于剛體的力系所做的功，等于剛體上所受各力做功的代數(shù)和，也等于力系向質(zhì)心簡(jiǎn)化所得的主矢與主矩做功之和。設(shè)FR′為力系的主矢量，MC為力系對(duì)質(zhì)心的主矩。剛體質(zhì)心C從C1到C2，同時(shí)剛體又由φ1轉(zhuǎn)到φ2角度時(shí)，力系所做的功為

(11-12)

這個(gè)結(jié)論也適用于做一般運(yùn)動(dòng)的剛體，基點(diǎn)也可以是剛體上任意一點(diǎn)。11.1.5約束力的功與理想約束

作用于質(zhì)點(diǎn)系上的力，可分為主動(dòng)力和約束反力兩大類。在許多情況下，質(zhì)點(diǎn)系約束力不做功，或做功之和等于零。約束力不做功或做功之和等于零的約束稱為理想約束。研究理想約束，有助于簡(jiǎn)化功的計(jì)算。

1.光滑固定支承面和滾動(dòng)鉸鏈支座

這兩類約束的約束反力方向總垂直于力作用點(diǎn)處的微小位移，因此這種約束反力的功為零。

2.光滑固定鉸鏈支座和軸承

這兩種約束的約束反力作用點(diǎn)的位移為零，因此約束反力的功為零。

3.光滑鉸鏈、剛性二力桿以及不可伸長(zhǎng)的細(xì)繩

光滑鉸鏈、剛性二力桿以及不可伸長(zhǎng)的細(xì)繩等作為系統(tǒng)內(nèi)的約束時(shí)，其中單個(gè)的約束力不一定不做功，但一對(duì)約束力做功之和等于零。圖11-5(a)所示的鉸鏈，鉸鏈處相互作用的約束力是等值反向的，它們?cè)阢q鏈中心的任何位移上做功之和都等于零。圖11-5(b)中的細(xì)繩對(duì)系統(tǒng)中的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的拉力大小相等，如繩索不可伸長(zhǎng)，則兩端的位移沿繩索的投影必定相等，因此兩個(gè)約束力做功之和等于零。圖11-5(c)所示的二力桿，對(duì)A、B兩點(diǎn)的約束力等值、反向、共線，而兩端位移沿AB連線的投影必相等，顯然這兩個(gè)約束力做功之和也等于零。圖11-5

4.剛體在固定面上純滾動(dòng)時(shí)滑動(dòng)摩擦力的功

此時(shí)固定面作用于剛體接觸點(diǎn)C上的約束反力有法向反力和靜摩擦力以及滾動(dòng)摩阻，在忽略滾動(dòng)摩阻的情況下，C點(diǎn)的約束反力如圖11-6所示。由于輪子在固定面上做純滾動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)知，接觸點(diǎn)為速度瞬心，即力的作用點(diǎn)不動(dòng)，約束反力不做功。

剛體在固定面上純滾動(dòng)時(shí)，在忽略滾動(dòng)摩阻的情形下，純滾動(dòng)的接觸點(diǎn)也是理想約束。圖11-611.1.6功率

在工程中，需要計(jì)算力在單位時(shí)間內(nèi)所做的功，即功率。功率是機(jī)器性能的重要指標(biāo)之一，通常用P表示功率。功率的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(11-13)

由于δW=F·dr，因此式(11-13)又可以寫(xiě)為

(11-14)即功率等于力在速度方向上的投影與速度的乘積。由此可見(jiàn)，P一定時(shí)，F(xiàn)t越大，則v越小；反之，F(xiàn)t越小，則v越大。汽車速度之所以有幾個(gè)擋，就是因?yàn)槠嚨墓β适且欢ǖ模?/p>

而在不同情況下，需要不同的牽引力，所以必須改變速度。在平地上，所需牽引力較小，速度可以大些；上坡時(shí)，所需牽引力隨坡度的增大而增大，所以必須換擋，使速度相應(yīng)減小。用機(jī)床加工時(shí)，如果切削力較大，則必須選擇較小的切削速度。作用于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體轉(zhuǎn)矩M的功率為

(11-15)

功率的單位為瓦特，簡(jiǎn)稱瓦(W)，１W＝１J/s。機(jī)器工作時(shí)，必須輸入功率。輸入的功率中，一部分用于克服摩擦力之類的阻力而損耗掉，稱為無(wú)用功率(P無(wú)用)；一部分用來(lái)改變物體的動(dòng)能，稱為動(dòng)能變化率；只有一部分用來(lái)克服工作阻力做功，稱為有用功率(P有用)。

有效功率=有用功率+動(dòng)能變化率。有效功率與輸入功率之比稱為機(jī)器的機(jī)械效率，它是衡量機(jī)器質(zhì)量的指標(biāo)之一，用η表示，即

(11-16)

當(dāng)機(jī)器多級(jí)傳動(dòng)時(shí)，機(jī)器的總效率等于各級(jí)效率的乘積，即

η=η1η2…ηn

11.2動(dòng)能的計(jì)算

11.2.1質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能

設(shè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量是m，速度大小為v，則質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定義為

動(dòng)能是正的標(biāo)量，或?yàn)榱?。?dòng)能的單位也是焦耳(J)。11.2.2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能

質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能是質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能之和，記為T，即

(11-17)

如圖11-7所示的質(zhì)點(diǎn)系有三個(gè)質(zhì)點(diǎn)，它們的質(zhì)量分別是m1=2m2=4m3，忽略繩的質(zhì)量，并假設(shè)繩不可伸長(zhǎng)，則三個(gè)質(zhì)點(diǎn)的速度v1、v2和v3大小相同，都等于v，而方向各不相同。計(jì)算質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能時(shí)，不必考慮它們的方向，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能可寫(xiě)為圖11-711.2.3剛體的動(dòng)能

剛體是由無(wú)數(shù)個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的幾何不變質(zhì)點(diǎn)系。剛體做不同的運(yùn)動(dòng)時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)的速度分布不同，其動(dòng)能應(yīng)按照剛體的運(yùn)動(dòng)形式來(lái)計(jì)算。

1.平動(dòng)剛體的動(dòng)能

剛體平動(dòng)時(shí)，在每一瞬時(shí)，所有各點(diǎn)的速度相等，都等于剛體質(zhì)心的速度vC，因此，剛體的動(dòng)能為

(11-18)

其中,m=∑mi,是剛體的質(zhì)量。

2.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能

設(shè)剛體繞固定軸z轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度為ω，如圖11-8所示，則與z軸相距ri的一質(zhì)點(diǎn)的速度為

vi=riω

因此，繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體的動(dòng)能為

式中，∑mir2i=Jz是剛體對(duì)于z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，則

(11-19)圖11-8

3.平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能

設(shè)剛體做平面運(yùn)動(dòng)，某瞬時(shí)剛體的瞬時(shí)速度中心是P，角速度是ω，C是質(zhì)心，如圖11-9所示。剛體的動(dòng)能可以寫(xiě)成

式中,JP是剛體對(duì)于瞬心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。由于瞬心的位置是變化的，因此用上式來(lái)計(jì)算動(dòng)能并不方便。根據(jù)平行軸定理有

JP=JC+md2圖11-9式中,m是剛體的質(zhì)量，d是剛體質(zhì)心C到瞬心P的距離。代入計(jì)算動(dòng)能的公式中，得

由于vC=dω，于是得

(11-20)上式中，右邊第一項(xiàng)是剛體繞其質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能；第二項(xiàng)則是剛體隨同其質(zhì)心平動(dòng)的動(dòng)能。即平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能，等于隨同質(zhì)心平動(dòng)的動(dòng)能與繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能之和。

例如，一個(gè)車輪在地面上做純滾動(dòng)，如圖11-10所示，輪心在做直線運(yùn)動(dòng)，如果速度為v，車輪的質(zhì)量為m，質(zhì)量分布在輪緣，不計(jì)輪輻的質(zhì)量，則車輪的動(dòng)能為圖11-10

11.3動(dòng)能定理

11.3.1質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理

質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程的矢量形式為

在方程兩邊點(diǎn)積dr，有因?yàn)?，所以上式可?xiě)成

mv·dv=F·dr

或

(11-21)式(11-21)是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的微分形式，即質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量等于作用于質(zhì)點(diǎn)上力的元功。對(duì)式(11-21)積分，得

或

(11-22)

式(11-22)是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的積分形式，即質(zhì)點(diǎn)在某一運(yùn)動(dòng)過(guò)程中動(dòng)能的改變量，等于作用于質(zhì)點(diǎn)上的力在此過(guò)程中所做的功。質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理建立了質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能和作用于質(zhì)點(diǎn)上力的功之間的關(guān)系，它把質(zhì)點(diǎn)的速度，作用力和質(zhì)點(diǎn)的路程聯(lián)系在一起，對(duì)于需要求解這三個(gè)量的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，應(yīng)用動(dòng)能定理是方便的。此外，通過(guò)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，式中將出現(xiàn)加速度，因此動(dòng)能定理也常用來(lái)求解質(zhì)點(diǎn)的加速度。

例11-1質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，從高h(yuǎn)處自由落下，落在下

面有彈簧支持的板上，如圖11-11所示，設(shè)板和彈簧的質(zhì)量均忽略不計(jì)，彈簧的剛度系數(shù)為k。求彈簧的最大壓縮量。

解：質(zhì)點(diǎn)由位置1落到板上是自由落體運(yùn)動(dòng)，速度從0增加到v1，由動(dòng)能定理得

求得。圖11-11質(zhì)點(diǎn)繼續(xù)向下運(yùn)動(dòng)，彈簧被壓縮，質(zhì)點(diǎn)的速度繼續(xù)減小，當(dāng)速度等于零時(shí)，彈簧被壓縮到最大值。在此過(guò)程中，應(yīng)用動(dòng)能定理，有

由于彈簧的壓縮量是正值，因此可以求得

本題也可以把上述兩段過(guò)程合在一起考慮，由動(dòng)能定理得

可得出同樣的結(jié)果。11.3.2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理

設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，其中任一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為mi，速度為vi，作用于該質(zhì)點(diǎn)的所有力的合力為Fi，根據(jù)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的微分形式，有對(duì)每一質(zhì)點(diǎn)都可寫(xiě)出一個(gè)如上形式的方程，然后將n個(gè)方程相加，得

或式中,是質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能，用T表示。上式改寫(xiě)為

dT=∑δWi

(11-23)

這是質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的微分形式。質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的增量，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的全部力所做的元功之和。對(duì)式(11-23)兩邊求積分，得

T2-T1=∑Wi

(11-24)

這是質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理的積分形式。質(zhì)點(diǎn)系在某一運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的改變量等于作用于質(zhì)點(diǎn)系所有力所做的功之和。

應(yīng)當(dāng)注意，在式(11-23)及式(11-24)中，力的功包括作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有力的功。如將作用于質(zhì)點(diǎn)系的力分為主動(dòng)力與約束力，則包括主動(dòng)力與約束力的功。不過(guò)，如11.1節(jié)中所述，對(duì)于一般常見(jiàn)的理想約束，約束力不做功，此時(shí)方程中只包括主動(dòng)力所做的功。如果將作用于質(zhì)點(diǎn)系的力分為外力與內(nèi)力，則方程中包括所有外力與內(nèi)力的功。因?yàn)閮?nèi)力雖然是成對(duì)出現(xiàn)的，但它們的功之和一般并不等于零。例如，蒸汽機(jī)車汽缸中的蒸汽壓力，自行車剎車時(shí)閘塊對(duì)鋼圈作用的摩擦力，對(duì)機(jī)車或自行車來(lái)說(shuō)，都是內(nèi)力，它們的功之和都不等于零，所以才能使機(jī)車加速運(yùn)動(dòng)，使自行車減慢乃至停止運(yùn)動(dòng)。

考察兩個(gè)相互吸引的質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，兩質(zhì)點(diǎn)相互作用的力是一對(duì)內(nèi)力，如圖11-12所示。雖然F12＝F21，它們的矢量和等于零，但是當(dāng)兩質(zhì)點(diǎn)相互趨近或者離開(kāi)時(shí)，兩個(gè)力所做的功都不為零，可見(jiàn)內(nèi)力的功之和一般是不等于零的。但剛體或剛體系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)相互作用的內(nèi)力的功之和恒等于零。圖11-1211.3.3功率方程

將動(dòng)能定理的微分形式即式(11-23)改寫(xiě)成

dT=∑Fi·dri=∑Fi·vidt

兩邊除以dt，注意Fi·vi=Pi是第i個(gè)力的功率，可得

(11-25)

上式稱為功率方程。式(11-25)右邊包括所有作用于質(zhì)點(diǎn)系的力的功率。就機(jī)器而言，則包括：輸入功率Pi，即作用于機(jī)器的主動(dòng)力(如電機(jī)的轉(zhuǎn)矩)的功率；有用功率Po，即有用阻力(如機(jī)床加工時(shí)工件作用于機(jī)床的力)的功率；損耗功率Pl，即無(wú)用阻力(如摩擦力)的功率。式(11-25)改寫(xiě)為

(11-26)

這是機(jī)器的功率方程，它表明機(jī)器動(dòng)能的變化與各種功率之間的關(guān)系。當(dāng)機(jī)器啟動(dòng)時(shí)，dT/dt＞0，必須使Pi＞Po+Pl；平穩(wěn)運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，dT=0，應(yīng)有Pi=Po+Pl；停車時(shí)，Pi=0，如機(jī)器同時(shí)停止工作，則Po=0，dT/dt＜0，表明機(jī)器受到無(wú)用阻力的作用而逐漸停止運(yùn)轉(zhuǎn)。

例11-2不可伸長(zhǎng)的繩子，繞過(guò)半徑為r的均質(zhì)滑輪B，一端懸掛物體A，另一端連接一放在光滑水平面上的物塊C；物塊C又與一端固定于墻壁的彈簧相連，如圖11-13所示。已

知物體A質(zhì)量為m1，滑輪Ｂ質(zhì)量為m2，物塊Ｃ質(zhì)量為m3，彈簧常數(shù)為k，繩子與滑輪之間無(wú)滑動(dòng)。設(shè)系統(tǒng)原來(lái)靜止于平衡位置，現(xiàn)給A以向下的初速度vA0，求A下降一段距離h時(shí)的速度。各處的摩擦不計(jì)。圖11-13

解：系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受的彈性力F＝k(δ0＋h)，δ0是彈簧的靜伸長(zhǎng)，且kδ0＝m1g。在這些力中，重力m2g、m3g及約束力都不做功，系統(tǒng)從初始位置運(yùn)動(dòng)到新位置時(shí)，重力m1g及彈性力所做功之和為設(shè)物體Ａ下降h時(shí)的速度為vA，這時(shí)物塊Ｃ的速度為vC，滑輪角速度為ω，則vC=vA，ω=vA/r；系統(tǒng)始末位置的動(dòng)能分別是據(jù)動(dòng)能定理T2-T1=W12，解得

例11-3位于水平面內(nèi)的行星輪機(jī)構(gòu)，曲柄OO1受矩為M的不變力偶作用而繞固定鉛直軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，并帶動(dòng)齒輪O1在固定水平齒輪O上滾動(dòng)，如圖11-14所示。設(shè)曲柄OO1為均質(zhì)桿，長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m1；齒輪O1為均質(zhì)圓盤，半徑為r，質(zhì)量為m2。設(shè)曲柄由靜止開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，試求曲柄運(yùn)動(dòng)到任意位置時(shí)的角速度、角加速度。圖11-14

解：開(kāi)始時(shí)，整個(gè)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，所以T1＝０。

當(dāng)曲柄轉(zhuǎn)過(guò)任一角φ時(shí)，設(shè)曲柄角速度為ω，動(dòng)齒輪中心O1的速度為v1，動(dòng)齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω1，則系統(tǒng)在這一位置時(shí)的動(dòng)能

因?yàn)関1=lω，ω1=v1/r=lω/r，所以可將動(dòng)能Ｔ2表示為ω的函數(shù):在作用于系統(tǒng)的力及力偶中，只有驅(qū)動(dòng)力偶做功，其值為W=Mφ。于是，由動(dòng)能定理有

(a)

由此解得

式(a)兩邊對(duì)t求導(dǎo)數(shù)，并注意dω/dt=α，dφ/dt=ω，從而求得

例11-4卷?yè)P(yáng)機(jī)如圖11-15所示，鼓輪在常力偶的作用下

將圓柱由靜止沿斜坡上拉。已知鼓輪的半徑為R1，質(zhì)量為m1，質(zhì)量分布在輪緣上；圓柱的半徑為R2，質(zhì)量為m2，質(zhì)量

均勻分布。設(shè)斜坡的傾角已知，圓柱只滾不滑。求圓柱中心C經(jīng)過(guò)路程s時(shí)的速度與加速度。圖11-15

解：研究圓柱和鼓輪組成的質(zhì)點(diǎn)系。作用于該質(zhì)點(diǎn)系的外力有兩個(gè)輪子的重力、外力偶、水平軸的約束反力以及斜面對(duì)圓柱的法向反力和靜摩擦力，如圖11-15所示。

因?yàn)辄c(diǎn)O不動(dòng)，圓柱體沿斜面只滾不滑，所以系統(tǒng)受理想約束，且內(nèi)力做功為零。主動(dòng)力做功為

W12=Mφ-m2gsinθ·s質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能為

式中,J1、JC分別是鼓輪對(duì)于中心軸、圓柱對(duì)于質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，其中

ω1、ω2分別是鼓輪和圓柱的角速度，即

代入上述動(dòng)能表達(dá)式，得到

由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理，得

(a)把φ=s/R1代入，解出

式(a)兩端對(duì)時(shí)間t求一階導(dǎo)數(shù)，得到圓柱中心C的加速度為

例11-5汽車沿水平直線軌道行駛時(shí)(如圖11-16所示)，每只后輪(主動(dòng)輪)受一個(gè)驅(qū)動(dòng)力矩M的作用。已知：車輪半徑為r，每只車輪的質(zhì)量為m1，對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸的回轉(zhuǎn)半徑為ρ；車輪對(duì)地面的靜摩擦因數(shù)為fS，滾動(dòng)摩阻系數(shù)為δ；車身(連同載貨)的質(zhì)量是m2；空氣阻力為F。試求汽車的加速度。圖11-16

解：汽車行駛時(shí)，車身做直線平動(dòng)，車輪則做平面運(yùn)動(dòng)。

研究整個(gè)汽車，分析其受力情況。除已知的重力m2g、4m1g

及空氣阻力F外，還有地面作用于車輪的法向反力2FN1、2FN2，摩擦力2FS1、2FS2及滾動(dòng)摩擦力偶2Mf1、2Mf2。驅(qū)動(dòng)力矩M雖是內(nèi)力，但它要做功。

下面首先計(jì)算整個(gè)汽車在任一瞬時(shí)的動(dòng)能。車身的動(dòng)能為。車輪做平面運(yùn)動(dòng)，其動(dòng)能為所以汽車在任一瞬時(shí)的動(dòng)能為

而(a)作用于汽車的諸力中，重力及正壓力都垂直于位移，不做功；因無(wú)滑動(dòng)，摩擦力也不做功；而阻力F、驅(qū)動(dòng)力矩2M以及滾動(dòng)摩阻力偶Mf1(Mf1=δFN1)、Mf2(Mf2=δFN2)等的元功之和為

(b)

由于于是式(b)成為

(c)

據(jù)式(11-23)，令(a)、(c)兩式相等，并注意ds＝vdt，于是得汽車的加速度

應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理求解問(wèn)題時(shí)，由于許多未知力不做功，所以計(jì)算較為簡(jiǎn)便。

11.4勢(shì)能及機(jī)械能守恒定律

11.4.1勢(shì)力場(chǎng)與勢(shì)能

如果一物體在某空間任一位置都受到大小和方向完全由所在位置決定的力作用，則這部分空間稱為力場(chǎng)。如果物體在力場(chǎng)內(nèi)運(yùn)動(dòng)，作用于物體上的場(chǎng)力所做的功只與物體的始末位置有關(guān)，而與運(yùn)動(dòng)軌跡無(wú)關(guān)，這種力場(chǎng)稱為勢(shì)力場(chǎng)(保守力場(chǎng))，物體受到的場(chǎng)力稱為有勢(shì)力(保守力)。重力場(chǎng)和萬(wàn)有引力場(chǎng)都是勢(shì)力場(chǎng)，重力和萬(wàn)有引力也都是有勢(shì)力。勢(shì)能的定義為：在勢(shì)力場(chǎng)中，質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到任意選定的點(diǎn)M0，有勢(shì)力所做的功稱為質(zhì)點(diǎn)在點(diǎn)M相對(duì)于點(diǎn)M0的勢(shì)能，即勢(shì)能V為

(11-27)

點(diǎn)M0的勢(shì)能為零，稱之為零勢(shì)能點(diǎn)或零勢(shì)位。在勢(shì)力場(chǎng)中，勢(shì)能的大小是相對(duì)于零勢(shì)能點(diǎn)而言的。零勢(shì)能點(diǎn)M0可以任意選擇，對(duì)于不同的零勢(shì)能點(diǎn)，同一點(diǎn)的勢(shì)能可有不同的取值。11.4.2幾種常見(jiàn)的勢(shì)能

1.重力場(chǎng)中的勢(shì)能

任取一坐標(biāo)原點(diǎn)，z軸鉛直向上，由前面所述的重力做功公式可得質(zhì)點(diǎn)在任一位置的勢(shì)能為

(11-28)

其中,z及z0分別為質(zhì)點(diǎn)在給定位置及零勢(shì)位時(shí)的坐標(biāo)。

2.彈性力場(chǎng)中的勢(shì)能

將彈簧的一端固定，另一端與物體聯(lián)接，彈簧的剛度系數(shù)為k，以變形量δ0處為零勢(shì)能點(diǎn)，則變形量為δ處的彈性勢(shì)能V為

(11-29)

如果以彈簧的自然長(zhǎng)度為零勢(shì)位，則有δ0=0，于是由式(11-29)得

(11-30)

3.萬(wàn)有引力場(chǎng)中的勢(shì)能

設(shè)質(zhì)量為m1的質(zhì)點(diǎn)受質(zhì)量為m2的物體的萬(wàn)有引力F作用，如圖11-17所示，以與引力中心相距r1的A0處為零勢(shì)能位置，則質(zhì)點(diǎn)在與引力中心相距r的A點(diǎn)處的勢(shì)能為

式中,f是引力常數(shù)，er是質(zhì)點(diǎn)的矢徑方向的單位矢量，由于

er·dr=dr，于是有

(11-31)圖11-17如果選取的零勢(shì)能點(diǎn)在無(wú)窮遠(yuǎn)處，即r1=∞，則有

(11-32)

質(zhì)點(diǎn)系在勢(shì)力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，有勢(shì)力的功可以通過(guò)勢(shì)能來(lái)計(jì)算。設(shè)某個(gè)有勢(shì)力的作用點(diǎn)在質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，由點(diǎn)M1運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M2，如圖11-18所示，這個(gè)力所做的功是W12。

現(xiàn)取M0為零勢(shì)能點(diǎn)，則在位置M1和M2的勢(shì)能分別為

V1=W10,V2=W20。圖11-18因有勢(shì)力所做的功與其作用點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑無(wú)關(guān)，而由M1經(jīng)由M2到達(dá)M0時(shí)，有勢(shì)力所做的功為W10=W12+W20,于是得

W12=W10-W20=V1-V2

(11-33)

即有勢(shì)力所做的功等于質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動(dòng)過(guò)程的初始與末了位置的勢(shì)能差。11.4.3機(jī)械能守恒定律

質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能與勢(shì)能之和稱為質(zhì)點(diǎn)系的機(jī)械能。質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只有有勢(shì)力做功的系統(tǒng)稱為保守系統(tǒng)。對(duì)于保守系統(tǒng)，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)動(dòng)能定理應(yīng)有

T2-T1=W12

有勢(shì)力做功為

W12=V1-V2由以上兩式可得

T2-T1=V1-V2

移項(xiàng)后得

T1+V1=T2+V2

(11-34)

上式就是機(jī)械能守恒定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式，即系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只有有勢(shì)力做功時(shí)，系統(tǒng)的機(jī)械能保持不變。

11.5動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用

動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理統(tǒng)稱為動(dòng)力學(xué)普遍定理，這些定理本質(zhì)上都來(lái)源于動(dòng)力學(xué)基本方程，它們研究的都是物體(質(zhì)點(diǎn)系)運(yùn)動(dòng)的變化與所受力之間的關(guān)系，但每一定理只反映了這種關(guān)系的一個(gè)方面。例如，動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理都是矢量形式，既反映速度大小的變化，也反映速度方向的變化；而動(dòng)能定理是標(biāo)量形式，只反映速度大小的變化；動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理涉及所有外力(包括約束力)，卻與內(nèi)力無(wú)關(guān)，而動(dòng)能定理則涉及所有做功的力(不論是內(nèi)力還是外力)。動(dòng)力學(xué)普遍定理中的各個(gè)定理都有一定的適用范圍，有些問(wèn)題只能用某一個(gè)定理求解，而有的問(wèn)題可用不同的定理求解，還有一些復(fù)雜的問(wèn)題，往往不能單獨(dú)應(yīng)用某一定理求解，需要同時(shí)應(yīng)用幾個(gè)定理聯(lián)合求解，有時(shí)還需要運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)綜合求解。這就需要根據(jù)給定的質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)及受力特點(diǎn)、給定條件和要求的未知量，選擇合適的定理，靈活應(yīng)用。

例11-6如圖11-19(a)所示，兩均質(zhì)圓輪質(zhì)量均為m，

半徑為R，A輪繞固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，B輪在傾角為θ的斜面上做純滾動(dòng)。固定在B輪中心的繩子一端纏繞在A輪上。若A輪作用一矩為M的力偶，忽略繩子的質(zhì)量和軸承處的摩擦，求B輪中心點(diǎn)C的加速度、繩子的張力、軸承O的約束反力及斜面的摩擦力。圖11-19

解：(1)用動(dòng)能定理求B輪中心C的加速度。

研究整個(gè)系統(tǒng)。質(zhì)點(diǎn)系所受的約束均為理想約束，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只有主動(dòng)力偶及輪B的重力做功。假定輪B的中心C由靜止開(kāi)始沿斜面向上移動(dòng)一段距離s，此時(shí)輪A轉(zhuǎn)過(guò)角度φ=s/R，各力所做功之和為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能為

(a)

其中，,代入式(a)的第二個(gè)式子，整理后可得

由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理可得

將上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并注意到，可得

(2)求繩子和軸承O的約束力。

研究輪A，其受力如圖11-19(b)所示。由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程可得

其中,代入上式可解得對(duì)輪A應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，可得

因?yàn)?代入上式可解得

(3)求斜面的摩擦力。

研究B輪，受力如圖11-19(c)所示。由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理可得

代入各已知量，可得

例11-7均質(zhì)細(xì)長(zhǎng)桿長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m，靜止直立于光滑水平面上，如圖11-20所示。當(dāng)桿受微小干擾而倒下時(shí)，求桿剛剛達(dá)到地面時(shí)的角速度和此時(shí)地面的約束力。

解：以桿為研究對(duì)象。地面是光滑的，直桿沿水平方向不受力，倒下的過(guò)程中質(zhì)心將沿鉛直方向下落。設(shè)桿滑落至任一角度θ處，如圖11-20(a)所示，圖中P是桿的速度瞬心，桿的角速度是圖11-20系統(tǒng)在初始及任意位置θ的動(dòng)能分別為

在桿倒下的過(guò)程中，只有重力做功，即由動(dòng)能定理可得

桿剛到達(dá)地面時(shí)，θ=0，解出桿剛到達(dá)地面時(shí)，受力及運(yùn)動(dòng)分析如圖11-20(b)所示，由剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程可得

取A點(diǎn)為基點(diǎn)，則由運(yùn)動(dòng)學(xué)知(a)(b)其中,點(diǎn)A的加速度沿水平方向，而質(zhì)心C的加速度應(yīng)為鉛垂方向。將該矢量方程向鉛垂方向投影，得

(c)

聯(lián)立求解式(a)、(b)、(c)，可以解出

例11-8三棱柱ABC質(zhì)量為M，放置于光滑水平面上，如圖11-21所示。質(zhì)量為m的均質(zhì)圓柱體沿斜面AB向下做純滾動(dòng)。若斜面傾角為θ，求三棱柱體的加速度。

解：研究整個(gè)系統(tǒng)，受力分析如圖11-21所示。圖11-21設(shè)圓柱體的質(zhì)心O相對(duì)于三棱柱的速度為u，三棱柱向左滑動(dòng)的速度為v，假定系統(tǒng)開(kāi)始時(shí)靜止，水平方向不受任何力作用，則水平方向動(dòng)量守恒，有

解得

(a)系統(tǒng)在初始及s位置的動(dòng)能分別為

其中，,代入上式得在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，只有重力mg做功，大小為W12=mgssinθ。

由動(dòng)能定理可得

(b)

將式(a)代入式(b)，可得將上式兩端對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，并注意到

可得三棱柱體的加速度為思考題

11-1分析下述論點(diǎn)是否正確：

(1)力的功總是等于FScos(F，S)；

(2)力偶的功的正負(fù)號(hào)取決于力偶的轉(zhuǎn)向，逆時(shí)針轉(zhuǎn)為正，順時(shí)針轉(zhuǎn)為負(fù)；

(3)彈性力的功總是等于，其中δ是彈簧的伸長(zhǎng)或縮短量；

(4)元功δW=Fxdx+Fydy+Fzdz在直角坐標(biāo)x、y、z軸

上的投影分別為Fxdx、Fydy、Fzdz；

(5)如思11-1圖所示，楔塊Ａ向右移動(dòng)的速度為v1，質(zhì)量為m的物塊Ｂ沿斜面下滑，相對(duì)于楔塊的速度為v2，故物塊的動(dòng)能為m(v12+v22）/2。思11-1圖

11-2一人站在高塔頂上，以大小相同的初速度v0分別沿水平、鉛直向上、鉛直向下三種方向拋出小球，當(dāng)這些小球落到地面時(shí)，其速度的大小是否相等？空氣阻力不計(jì)。

11-3質(zhì)量為m的均質(zhì)圓盤做平面運(yùn)動(dòng)，如思11-3圖所示，不論輪子只滾不滑，還是又滾又滑，它的動(dòng)能總是等于JPω2/2，這樣的說(shuō)法對(duì)嗎(JP為圓盤對(duì)通過(guò)圓盤與地面接觸點(diǎn)

P而垂直于圖平面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量)?思11-3圖

11-4彈簧的自然長(zhǎng)度為ＯＡ，彈簧系數(shù)為k，使O端固定，Ａ端沿半徑為R的圓弧運(yùn)動(dòng)，求在由Ａ到Ｂ及由Ｂ到Ｄ的過(guò)程中彈性力所做的功。思11-4圖

11-5設(shè)質(zhì)點(diǎn)系所受外力的主矢量和主矩都等于零，試問(wèn)該質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量、動(dòng)量矩、動(dòng)能、質(zhì)心的速度和位置會(huì)不會(huì)改變？質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的速度和位置會(huì)不會(huì)改變？習(xí)題

11-1滑道連桿機(jī)構(gòu)如題11-1圖所示，曲柄長(zhǎng)為r，以勻角速度ω繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，曲柄對(duì)回轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于ＪO，滑道連桿的質(zhì)量為m，不計(jì)滑塊Ａ的質(zhì)量，試求此機(jī)構(gòu)的動(dòng)能，并問(wèn)AO與x軸的夾角φ為多大時(shí)，動(dòng)能有最大值與最小值？題11-1圖

11-2長(zhǎng)為l、質(zhì)量為m的均質(zhì)桿OA以勻角速度ω繞鉛直軸Oz轉(zhuǎn)動(dòng)，并與Oz軸的夾角θ保持不變，如題11-2圖所示，求桿OA的動(dòng)能。題11-2圖

11-3鐵鏈長(zhǎng)為l，放在光滑的桌面上，由桌邊下垂一長(zhǎng)度a，如題11-3圖所示。由于下垂段的作用，鐵鏈自靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，求鐵鏈全部離開(kāi)桌面時(shí)的速度。題11-3圖

11-4帶傳送機(jī)的連動(dòng)機(jī)構(gòu)如題11-4圖所示，輪B受一個(gè)矩為M的不變力偶作用，使帶傳送機(jī)由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)。被提升物體A的質(zhì)量是m1；輪B、C的半徑都是r，質(zhì)量都是m2，

且可看做均質(zhì)圓柱。求物體A移動(dòng)一段距離s時(shí)的速度和加速度。設(shè)傳送帶與水平線所成的角為θ，帶的質(zhì)量可略去不計(jì)，帶與滑輪間沒(méi)有滑動(dòng)。題11-4圖

11-5在絞車的主動(dòng)軸上作用一個(gè)不變的力偶矩M，以提升一質(zhì)量為m的物體。已知主動(dòng)軸及從動(dòng)軸連同安裝在兩軸上的齒輪和其它附屬零件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為J1及J2；傳動(dòng)比i=ω1∶ω2；吊索繞在半