2024-2025學(xué)年安徽省江南十校高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年安徽省江南十校高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合M={a|a=(?1,2,1)+λ(1,2,3)，λ∈R}，N={b|bA.{(?2,0,?2)} B.{0,4,4} C.{(0,4,4)} D.?2.條件p:m>0，n>0，條件q:方程mx2+ny2=1表示的曲線是橢圓，則pA.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3.若點(diǎn)P(3,?4)是直線a1x+b1y+2=0和a2x+b2y+2=0A.3x?4y+2=0 B.4x?3y+2=0 C.3x?4y?2=0 D.4x?3y?2=04.六氟化硫，化學(xué)式為SF6，在常壓下是一種無(wú)色、無(wú)臭、無(wú)毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)(正八面體每個(gè)面都是正三角形，可以看作是兩個(gè)棱長(zhǎng)均相等的正四棱錐將底面重合的幾何體).如圖所示，在正八面體P?ABCD?Q中，G是△BCQ的重心，記PA=a，PB=b，PC=cA.?13a+13b+25.已知m=(2,1,1)是直線l的方向向量，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(?1,0,1)，則點(diǎn)Q(2,4,6)到直線l的距離為(

)A.52 B.522 C.6.已知圓C的方程為x2+y2?2y?1=0，P(a,b)為圓C上任意一點(diǎn)，則A.[?1,2] B.(?∞,?1]∪[2,+∞)

C.[1,3] D.(?∞,1]∪[3,+∞)7.焦點(diǎn)為F(1,0)的拋物線y2=2px(p>0)上有一點(diǎn)P(不與原點(diǎn)重合)，它在準(zhǔn)線l上的投影為Q。設(shè)直線FQ與拋物線交于M，N兩點(diǎn)(|FM|<|FN|)，若|MN|=2|MQ|，則△PMN的面積為(

)A.83 B.1633 8.若圓C:x2+y2=a2為雙曲線Γ:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的“伴隨圓”，過(guò)Γ的左焦點(diǎn)FA.32 B.375 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.給出下列命題，其中真命題為(

)A.過(guò)點(diǎn)P(3,2)與坐標(biāo)軸圍成三角形的面積為16的直線有且僅有3條

B.已知點(diǎn)A(?2,?1)，B(1,3)，則滿足到點(diǎn)A距離為2，到點(diǎn)B距離為3的直線有且僅有3條

C.過(guò)點(diǎn)Q(2,3)與拋物線y2=4x僅有1個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條

D.過(guò)雙曲線x24?10.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)P滿足AP=xAB+yADA.當(dāng)x=0，y=0，z∈[0,1]時(shí)，|B1P|+|PD|的最小值為25

B.當(dāng)x=12，y=1，z=1時(shí)，三棱錐P?A1BD的體積為3

C.當(dāng)x=1，y=1，z∈[0,1]時(shí)，經(jīng)過(guò)A1，B，P三點(diǎn)截正方體所得截面面積的取值范圍是11.過(guò)拋物線Γ:x2=2py上一點(diǎn)M(2,1)作斜率分別為k1，k2的兩條直線，與Γ分別交于A，B兩點(diǎn)(異于點(diǎn)A.過(guò)點(diǎn)M與Γ相切的直線方程為y=x?1

B.若點(diǎn)A，B關(guān)于y軸對(duì)稱，則k1+k2為定值

C.若k1?k2=1，則直線AB經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(?3,?2)

D.分別以A，B，M為切點(diǎn)作拋物線Γ的三條切線AP，三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.拋物線3x2+5y=0的焦點(diǎn)坐標(biāo)是

13.蓄有水的圓柱體茶杯，適當(dāng)傾斜能得到橢圓形水面，當(dāng)橢圓形水面與圓柱底面所成的二面角為30°時(shí)，則水面橢圓的離心率為

．14.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M，N分別為棱AA1和BB四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)已知圓C的圓心在直線y=2x上，且經(jīng)過(guò)A(6,2)，B(4,6)兩點(diǎn).過(guò)定點(diǎn)D(4,1)的動(dòng)直線l與圓C交于P，Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)求|OP+16.(本小題15分)已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的離心率e=233，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)(1)求雙曲線C的方程;(2)過(guò)右焦點(diǎn)F2且傾斜角為α(π6<α<5π6)的直線交雙曲線C于P，Q兩點(diǎn)，若PQ的中點(diǎn)為N，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線ON交直線17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD⊥底面ABCD，△PAD是邊長(zhǎng)為6的正三角形，E，F(xiàn)分別是線段AB和PD上的點(diǎn)，AE=4．

(1)試確定點(diǎn)F的位置，使得AF/?/平面PEC，并證明;(2)若直線CF與平面PAD所成角的正切值為32，求平面ABC與平面AFC夾角的余弦值．18.(本小題17分)

如圖，已知橢圓E1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)與橢圓E2:x216+y212=1有相同的離心率，P(1,32)在E(1)求橢圓E1的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)求證：|AP|=|BQ|;(3)設(shè)直線l1，l2的傾斜角互補(bǔ)，求證：|AP|·|AQ|=|CP|·|CH|19.(本小題17分)

設(shè)A和B是空間中的兩個(gè)不同點(diǎn)，則A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)t∈R，使得AC=tAB，并且每個(gè)實(shí)數(shù)t唯一對(duì)應(yīng)直線AB上的點(diǎn)C.仿照上面定義，設(shè)A，B，C是共線的三個(gè)不同點(diǎn)，定義點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)A，B的分比為(A,B;C)=AC(1)設(shè)(A,B;C)=λ(λ≠?1)，O為空間中任意取定的一點(diǎn)，求證：OC(2)若A，B，C，D是共線的四個(gè)不同點(diǎn)，滿足(A,B;C)=?(A,B;D)，求(B,C;A)?(B,A;D)的值;(3)如圖，設(shè)D，E和F分別是△ABC的邊AB，BC和CA上的點(diǎn)，若三條直線AE，BF和CD交于一點(diǎn)M，求證：(A,B;D)?(B,C;E)?(C,A;F)=1．

參考答案1.C

2.B

3.A

4.D

5.B

6.C

7.B

8.C

9.BCD

10.AD

11.ABD

12.(0,?513.1214.[0,115.解：(1)易求A，B中點(diǎn)坐標(biāo)為T(5,4)，kAB=6?24?6=?2，

故AB中垂線為y?4=12(x?5)，即y=12x+32，

與y=2x聯(lián)立解得圓心C點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，

圓的半徑r=(1?6)2+(2?2)2=5，

故圓C:(x?1)2+(y?2)2=25，

(2)設(shè)P，Q中點(diǎn)坐標(biāo)為N，

∵CN⊥PQ，故N點(diǎn)在CD為直徑的圓上，

設(shè)CD中點(diǎn)M，以16.解：(1)由題意結(jié)合雙曲線的對(duì)稱性可知|BF1|=|BF2|=|AB|，得∠AF2F1=90°，即AF2⊥x軸，

把x=c

代入方程x2a2?y2b2=1，可得|AF2|=|yA|=b2a，

又|AF2|=2|OB|，|OB|=63，即b2a=263，又e=ca=233

解得a2=24，b2=8，∴雙曲線C的方程為：x224?y28=1.

(2)設(shè)直線PQ的方程為：x=my+22，聯(lián)立方程x=my+42x224?y28=1，

化簡(jiǎn)得(m2?3)y2+82my+8=0

設(shè)P(x1,y1)，Q(x2,17.解：(1)取F為PD三等分點(diǎn)，且PD=3DF，

過(guò)F作FK//CD，則FK=23CD=AE，

所以AEKF為平行四邊形，所以AF//EK，

又AF?面PEC，EK?面PEC，

所以AF/?/平面PEC，證畢;

(2)由題意平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=ADCD⊥AD，所以CD⊥面PAD，

所以直線CF與平面PAD所成角的平面角為∠CFD，

在Rt△CDF中，由tan∠CFD=CDFD=32，得DF=4．

設(shè)AD中點(diǎn)為O，設(shè)BC中點(diǎn)為Q，分別以O(shè)A，OQ，OP為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(3,0,0)，B(3,6,0)C(?3,6,0)，F(xiàn)(?1,0,23)，AF=(?4,0,23)，CF=(2,?6,23)，

設(shè)平面AFC的一個(gè)法向量為m=(x,y,z)，

由m?AF=?4x+23z=0m?CF=2x?6y+23z=0,

取18.解：(1)由題意知，ca=1?b2a2=12∴a2=43b2，

又∵P(1,32)在橢圓E1上，∴1a2+94b2=1，

∴b2=3，a2=4，

故橢圓E1:x24+y23=1

(2)若AB斜率不存在或?yàn)?，由對(duì)稱性知：AP=BQ；

若AB斜率存在且不為0，設(shè)AB中點(diǎn)為T(x0,y0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

則x1216+y1212=1?①，x2216+y2212=1?②

?①??②得：

(x1?x2)(x1+19.解：(1)∵AC=λCB，

∴OC?OA=λOB?OC，

∴1+λOC=OA+λOB，

∴OC=11+λOA+λ1+λOB;

(2)設(shè)(A,B;C)=λ，即ACC