浙大黃煒概率課件

浙大黃煒概率課件目錄CONTENTS概率論簡介概率基礎(chǔ)隨機過程統(tǒng)計推斷概率論中的重要定理01概率論簡介概率論的基本概念描述隨機事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)值，通常用P表示。在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件。隨機試驗中所有可能結(jié)果的集合。樣本空間中的一個子集，包含至少一個樣本點。概率隨機事件樣本空間事件概率論的起源古典概率條件概率主觀概率概率論的發(fā)展歷程01020304起源于賭博游戲和概率計算問題。研究等可能情況下隨機事件的概率。研究在已知某些信息條件下隨機事件的概率?；趥€人判斷和經(jīng)驗對隨機事件發(fā)生的可能性進(jìn)行評估。01020304統(tǒng)計學(xué)金融學(xué)物理學(xué)計算機科學(xué)概率論的應(yīng)用領(lǐng)域用于數(shù)據(jù)分析和推斷，如回歸分析、假設(shè)檢驗等。用于風(fēng)險評估、投資組合優(yōu)化和保險產(chǎn)品設(shè)計等。用于人工智能、機器學(xué)習(xí)和數(shù)據(jù)挖掘等領(lǐng)域，如貝葉斯網(wǎng)絡(luò)和樸素貝葉斯分類器等算法。用于描述隨機現(xiàn)象和不確定性，如量子力學(xué)和統(tǒng)計力學(xué)的關(guān)系。02概率基礎(chǔ)概率的公理化定義概率的性質(zhì)古典概型事件的概率概率是一個滿足特定公理的數(shù)學(xué)對象，用于量化隨機事件發(fā)生的可能性。概率具有一些基本性質(zhì)，如非負(fù)性、規(guī)范性、有限可加性等。在古典概型中，樣本空間是有限的，每個樣本點出現(xiàn)的可能性相等。在事件B發(fā)生的情況下，事件A發(fā)生的概率稱為條件概率。條件概率的定義條件概率的性質(zhì)事件的獨立性條件概率具有一些基本性質(zhì)，如條件概率的乘法定理、全概率公式等。如果兩個事件相互獨立，則一個事件的發(fā)生不會影響另一個事件發(fā)生的概率。030201條件概率與獨立性隨機變量是定義在樣本空間上的一個實值函數(shù)，其取值隨樣本點的變化而變化。隨機變量的定義離散隨機變量的取值是離散的，其分布可以用概率質(zhì)量函數(shù)描述。離散隨機變量連續(xù)隨機變量的取值是連續(xù)的，其分布可以用概率密度函數(shù)描述。連續(xù)隨機變量隨機變量及其分布期望是一個用來衡量隨機變量取值的平均水平的數(shù)學(xué)量。期望的定義方差是用來衡量隨機變量取值分散程度的數(shù)學(xué)量。方差的定義期望和方差具有一些基本性質(zhì)，如線性性質(zhì)、方差的計算公式等。期望和方差的性質(zhì)期望與方差03隨機過程

隨機過程的基本概念隨機過程隨機過程是隨機變量按照時間或其他參數(shù)變化的總體。隨機過程的分類按照不同的特性，隨機過程可以分為離散隨機過程和連續(xù)隨機過程。隨機過程的數(shù)學(xué)定義隨機過程可以定義為在樣本空間上的一個可測函數(shù)集合，這個集合的元素是按照時間或其他參數(shù)變化的。聯(lián)合概率分布描述多個隨機變量在某一時刻或某一位置上的取值的概率規(guī)律。時間平均和空間平均根據(jù)隨機過程的特點，可以將隨機過程的某一性質(zhì)進(jìn)行時間平均或空間平均，以得到更深入的認(rèn)識。概率分布描述隨機過程中某一時刻或某一位置上隨機變量取值的概率規(guī)律。隨機過程的概率分布馬爾科夫鏈的性質(zhì)馬爾科夫鏈具有無后效性、狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率等性質(zhì)。馬爾科夫鏈如果一個隨機過程在給定現(xiàn)在狀態(tài)的情況下，過去的信息與未來無關(guān)，即具有馬爾科夫性，則該隨機過程稱為馬爾科夫鏈。馬爾科夫鏈的應(yīng)用馬爾科夫鏈在自然、社會、經(jīng)濟等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，如人口遷移模型、股票價格模型等。馬爾科夫鏈如果一個隨機過程的統(tǒng)計特性不隨時間的推移而改變，則稱該隨機過程為平穩(wěn)過程。平穩(wěn)過程除了數(shù)學(xué)上的嚴(yán)格定義外，在實際應(yīng)用中，人們還常常將具有某種近似平穩(wěn)性質(zhì)的隨機過程稱為廣義平穩(wěn)過程。廣義平穩(wěn)過程平穩(wěn)過程與廣義平穩(wěn)過程04統(tǒng)計推斷參數(shù)估計是用樣本信息來估計總體參數(shù)的方法，是統(tǒng)計推斷的重要內(nèi)容之一。參數(shù)估計的概念點估計是用一個單一的數(shù)值來估計總體參數(shù)，常用的方法有矩估計和極大似然估計。點估計區(qū)間估計是用一個區(qū)間來估計總體參數(shù)，常用的方法有置信區(qū)間和預(yù)測區(qū)間。區(qū)間估計參數(shù)估計123假設(shè)檢驗是根據(jù)樣本信息來檢驗關(guān)于總體參數(shù)的假設(shè)是否成立，是統(tǒng)計推斷的重要內(nèi)容之一。假設(shè)檢驗的概念單側(cè)檢驗和雙側(cè)檢驗是根據(jù)原假設(shè)的不同類型來劃分的，單側(cè)檢驗只關(guān)注一個方向，雙側(cè)檢驗則同時關(guān)注兩個方向。單側(cè)檢驗與雙側(cè)檢驗顯著性檢驗是判斷原假設(shè)是否顯著成立，而非顯著性檢驗則是判斷原假設(shè)是否不顯著成立。顯著性檢驗與非顯著性檢驗假設(shè)檢驗03貝葉斯推斷的優(yōu)勢與局限性貝葉斯推斷能夠充分利用先驗信息，但需要主觀設(shè)定先驗分布，且計算復(fù)雜度較高。01貝葉斯推斷的概念貝葉斯推斷是基于貝葉斯定理的統(tǒng)計推斷方法，通過先驗信息、樣本信息和似然函數(shù)來計算后驗概率。02先驗概率與后驗概率先驗概率是指在樣本信息獲得之前對總體參數(shù)的先驗認(rèn)識，后驗概率是指在樣本信息獲得之后對總體參數(shù)的后驗認(rèn)識。貝葉斯推斷05概率論中的重要定理在獨立重復(fù)試驗中，當(dāng)試驗次數(shù)趨于無窮時，隨機事件的頻率趨于該事件發(fā)生的概率。無論隨機變量的分布是什么，當(dāng)樣本量足夠大時，樣本均值的分布近似正態(tài)分布。大數(shù)定律與中心極限定理中心極限定理大數(shù)定律一個著名的概率問題，涉及到拋擲一枚硬幣直到出現(xiàn)特定模式（例如，正面、反面、正面、反面）為止的次數(shù)。蒙提霍爾問題在整數(shù)n的冪次方中，除了1和n本身外，其余的數(shù)都不能被n整除。費馬小定理蒙提霍爾