區(qū)間估計(jì)及運(yùn)算

節(jié)區(qū)間估計(jì)的計(jì)算與原理2021/6/271一、兩種主要的估計(jì)方法點(diǎn)估計(jì)是指根據(jù)抽取到的具體樣本數(shù)據(jù)，代入估計(jì)量得到的一個(gè)估計(jì)值。區(qū)間估計(jì)是在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上估計(jì)出總體參數(shù)一個(gè)可能的范圍，同時(shí)還給出總體參數(shù)以多大的概率落在這個(gè)范圍之內(nèi)。2021/6/272二、為什么要區(qū)間估計(jì)呢？在上述警察逮捕人數(shù)的例子中，你計(jì)算得出均值為15.6人，你的上司可能會(huì)問(wèn)，這一均值的確是15.6嗎？你的回答將是不知道。但是，你的計(jì)算告訴你，這一均值的最優(yōu)估計(jì)值是15.6。你的上司可能又會(huì)問(wèn)了，15.6這一估計(jì)值到底有多好？也就是說(shuō)，這一均值估計(jì)量包含多大的誤差？2021/6/273回答上述問(wèn)題的一個(gè)辦法是抽取很多的樣本，計(jì)算每一個(gè)樣本的均值，然后向上司展示均值估計(jì)量的變化范圍。不過(guò)，這種辦法顯得有些笨。如果你想把這一問(wèn)題處理得更加高明些，你就應(yīng)該計(jì)算所有樣本均值的平均誤差。均值的標(biāo)準(zhǔn)差有一個(gè)專門(mén)的名稱：均值標(biāo)準(zhǔn)誤差。2021/6/274關(guān)于區(qū)間估計(jì)設(shè)為總體x的未知參數(shù)，為來(lái)自總體的容量為n的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，對(duì)于預(yù)先給定的一個(gè)充分小的正數(shù)，我們構(gòu)造兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量：2021/6/275使得則稱區(qū)間為總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)或置信區(qū)間。稱為置信區(qū)間的置信度，也稱置信概率、置信系數(shù)或置信水平，稱為置信下限，稱為置信上限。2021/6/276三、置信區(qū)間的含義若獨(dú)立地反復(fù)多次抽取容量相同的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，每一個(gè)樣本都確定一個(gè)隨機(jī)區(qū)間，在這些區(qū)間中，包含總體參數(shù)真值的約占，或者說(shuō)有的隨機(jī)區(qū)間會(huì)包含總體參數(shù)的真值。例如，若，獨(dú)立地反復(fù)抽取容量相同的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本1000次，在得到的1000個(gè)隨機(jī)區(qū)間中，不包含總體參數(shù)真值的大約有50個(gè)。2021/6/277

四、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和等距抽樣的參數(shù)估計(jì)（一）總體均值的置信區(qū)間和參數(shù)估計(jì)總體均值的區(qū)間估計(jì)根據(jù)已知條件不同，有不同的計(jì)算方法。1.從正態(tài)總體中抽取樣本，且總體方差已知，均值μ的區(qū)間估計(jì)2021/6/2781.從正態(tài)總體中抽取樣本，且總體方差已知，均值μ的區(qū)間估計(jì)（1）重復(fù)抽樣的條件下設(shè)，已知，為來(lái)自總體的容量為n的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則的抽樣分布為2021/6/279在重復(fù)抽樣的方式下，總體均值μ的置信度為1-α的置信區(qū)間為其中，是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布α水平的雙側(cè)分位數(shù)。2021/6/27102021/6/2711例一：假設(shè)參加某種壽險(xiǎn)投保人的年齡服從正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)差為σ=7.77歲。從中抽取36人組成一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本（重復(fù)抽樣），其平均年齡為39.5歲，試建立投保人平均年齡μ的90%的置信區(qū)間。2021/6/2712解假設(shè)用隨機(jī)變量X表示某種壽險(xiǎn)投保人的年齡，則由已知條件有，，n=36。與置信度90%相對(duì)應(yīng)的α=0.10，查表，得到2021/6/2713由公式，得，總體均值μ的置信度為90%的置信區(qū)間為于是可以說(shuō)，我們有90%的把握確信，壽險(xiǎn)投保人總體的平均年齡介于37.37到41.63歲之間。2021/6/27141.從正態(tài)總體中抽取樣本，且總體方差已知，均值μ的區(qū)間估計(jì)（2）在不重復(fù)抽樣的條件下，置信區(qū)間為2021/6/2715例2一家食品公司，每天大約生產(chǎn)袋裝食品若干，總體方差為100。為對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量進(jìn)行檢測(cè)，該企業(yè)質(zhì)檢部門(mén)采用抽樣技術(shù)，每天抽取一定數(shù)量的食品，以分析每袋重量是否符合質(zhì)量要求。現(xiàn)從某一天生產(chǎn)的一批食品8000袋中隨機(jī)抽取了25袋（不重復(fù)抽樣），測(cè)得它們的重量如下表所示：2021/6/2716已知產(chǎn)品重量服從正態(tài)分布，且總體方差為100。試估計(jì)該批產(chǎn)品平均重量的置信區(qū)間，置信水平為95％。2021/6/2717解已知σ=10；n=25;1-α=59%;=1.96根據(jù)樣本資料，計(jì)算的樣本均值為：根據(jù)公式得=105.36±1.96××2021/6/2718即105.36±3.914115=(101.4459,109.2741)，該批產(chǎn)品平均重量在95％置信水平下的置信區(qū)間為：101.4459～109.2741。2021/6/27192.正態(tài)總體，大樣本，若總體方差未知，可用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S代替。能夠把公式寫(xiě)出來(lái)嗎？重復(fù)抽樣：？？？不重復(fù)抽樣：？？？2021/6/2720例三：假設(shè)參加某種壽險(xiǎn)投保人的年齡服從正態(tài)分布。從中抽取36人組成一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本（重復(fù)抽樣，年齡數(shù)據(jù)見(jiàn)下頁(yè)表），試建立投保人平均年齡μ的90%的置信區(qū)間。2021/6/27212021/6/2722解：已知n=36，

1-α=90%；＝1.645，由于總體方差未知，但為大樣本，故可用樣本方差代替。根據(jù)樣本資料計(jì)算的樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差為：2021/6/2723則置信區(qū)間為：即39.5±2.13=(37.37，41.63)，投保人平均年齡在90％的置信水平下的置信區(qū)間為37.37歲～41.63歲。2021/6/27243.正態(tài)總體、小樣本情況下，總體方差未知，總體均值的估計(jì)（重復(fù)抽樣條件下）（不重復(fù)抽樣條件下）2021/6/2725

如果總體服從正態(tài)分布,只要總體方差已知，即使在小樣本情況下，也可以計(jì)算總體均值的置信區(qū)間。如果總體方差未知，需用樣本方差代替，在小樣本情況下，應(yīng)用t分布來(lái)建立總體均值的置信區(qū)間。

t分布是類似正態(tài)分布的一種對(duì)稱分布，通常要比正態(tài)分布平坦和分散。隨著自由度的增大，t分布逐漸趨于正態(tài)分布。2021/6/27264.非正態(tài)總體且大樣本時(shí)，均值μ的區(qū)間估計(jì)首先，當(dāng)總體為非正態(tài)分布時(shí)，只要樣本容量充分大（一般習(xí)慣上要求n>=30），的抽樣分布近似服從正態(tài)分布。當(dāng)已知時(shí)，仍可用上述公式，根據(jù)重復(fù)抽樣與否，近似求出總體均值μ的置信區(qū)間；2021/6/2727其次，當(dāng)σ未知時(shí)，只要將上述公式中的總體標(biāo)準(zhǔn)差σ用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S代替，就可近似得到總體均值μ的置信區(qū)間：（重復(fù)抽樣條件下）（不重復(fù)抽樣條件下）2021/6/2728例為了解居民用于服裝消費(fèi)的支出情況（非正態(tài)分布），隨機(jī)抽取90戶居民組成一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本（重復(fù)抽樣），計(jì)算得樣本均值為810元，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為85元，試建立該地區(qū)每戶居民平均用于服裝消費(fèi)支出的95%的置信區(qū)間。2021/6/2729

解假設(shè)用隨機(jī)變量X表示居民的服裝消費(fèi)支出，本題雖然總體分布未知，但由于n=90，是大樣本且σ未知，所以可利用公式近似得到總體均值μ的置信區(qū)間。根據(jù)題意，元，元，n=90，與置信度95%相對(duì)應(yīng)的α=0.05，查表得到：2021/6/2730

將這些數(shù)據(jù)代入公式，便可得到總體均值μ的置信度為95%的置信區(qū)間為于是，我們有95%的把握認(rèn)為，該地區(qū)每戶居民平均用于服裝消費(fèi)的支出大約介于792.44元到827.56元之間。2021/6/2731總體分布樣本容量σ已知重復(fù)抽樣σ已知不重復(fù)抽樣正態(tài)分布小樣本(<30)大樣本(>=30)非正態(tài)分布小樣本(<30)————大樣本(>=30)

總體均值μ的區(qū)間估計(jì)（置信度為1-α）[簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和等距抽樣]2021/6/2732

總體均值μ的區(qū)間估計(jì)（置信度為1-α）[簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和等距抽樣]總體分布樣本容量σ未知重復(fù)抽樣σ未知不重復(fù)抽樣正態(tài)分布小樣本(<30)大樣本(>=30)非正態(tài)分布小樣本(<30)————大樣本(>=30)2021/6/2733四、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和等距抽樣的參數(shù)估計(jì)（二）兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)間1．兩正態(tài)總體方差已知時(shí)，且大樣本，的區(qū)間估計(jì)因此，兩個(gè)總體均值差的置信度為1-α的置信區(qū)間為：2021/6/2734

如果兩個(gè)總體方差，未知，則可利用，代替兩個(gè)總體方差即可。下述公式可近似求出兩個(gè)總體均值差的置信度為1-α的置信區(qū)間。2021/6/2735

四、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和等距抽樣的參數(shù)估計(jì)（二）兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)間2．兩正態(tài)總體方差未知但相等時(shí)，的區(qū)間估計(jì)（小樣本）2021/6/2736當(dāng)兩個(gè)正態(tài)總體方差未知但相等，即，且未知時(shí)，這時(shí)兩個(gè)樣本均值之差（）的抽樣分布為2021/6/2737所以因?yàn)槲粗?，則用共同方差的合并估計(jì)量2021/6/2738兩個(gè)總體均值差的置信度為1-α的置信區(qū)間為其中，是α水平的自由度為的t分布雙側(cè)分位數(shù)。2021/6/2739例題：某公司為了解男女推銷員的推銷能力是否有差別，隨機(jī)抽取16名男推銷員和25名女推銷員進(jìn)行測(cè)試。男推銷員的平均銷售額為30250元，標(biāo)準(zhǔn)差為18400元，女推銷員的平均銷售額為33750元，標(biāo)準(zhǔn)差為13500元。假設(shè)男女推銷員的銷售額服從正態(tài)分布，且方差相等。試建立男女推銷員銷售額之差的95%的置信區(qū)間。

2021/6/2740

解假設(shè)用隨機(jī)變量，分別表示男女推銷員的銷售額，則由已知條件有元，元，元，元，，。又因兩總體方差相等，可以估計(jì)出它們的共同方差：2021/6/2741與置信度95%相對(duì)應(yīng)的α=0.05，查t分布表，得到，由公式得男女推銷員銷售額之差的置信度為95%的置信區(qū)間為2021/6/2742

于是，我們有95%的把握認(rèn)為：男推銷員的銷售額既有可能比女推銷員多6568元，也有可能比女推銷員少13568元，所以男女推銷員的推銷能力沒(méi)有顯著差別。2021/6/2743四、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和等距抽樣的參數(shù)估計(jì)（二）兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)間3．兩正態(tài)總體方差未知但不等時(shí),的區(qū)間估計(jì)（小樣本）2021/6/2744

當(dāng)兩正態(tài)總體方差未知但不等時(shí)，即，未知，且兩者不相等時(shí)，統(tǒng)計(jì)量近似服從于自由度為v的t分布，其中v的計(jì)算公式如下2021/6/27452021/6/2746于是，兩個(gè)總體均值差的置信度為1-α的置信區(qū)間為2021/6/2747例題：某公司為了解男女推銷員的推銷能力是否有差別，隨機(jī)抽取16名男推銷員和25名女推銷員進(jìn)行測(cè)試。男推銷員的平均銷售額為30250元，標(biāo)準(zhǔn)差為18400元，女推銷員的平均銷售額為33750元，標(biāo)準(zhǔn)差為13500元。假設(shè)男女推銷員的銷售額服從正態(tài)分布，且方差不相等。試建立男女推銷員銷售額之差的95%的置信區(qū)間。

2021/6/2748解首先根據(jù)公式計(jì)算自由度v，

2021/6/2749查t分布表，得到，由公式得男女推銷員銷售額之差的置信度為95%的置信區(qū)間為2021/6/2750于是，我們有95%的把握認(rèn)為：男推銷員的銷售額既有可能比女推銷員多7434元，也有可能比女推銷員少14434元，所以男女推銷員的推銷能力沒(méi)有顯著差別。

2021/6/2751

四、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和等距抽樣的參數(shù)估計(jì)（二）兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)間4．兩非正態(tài)總體且大樣本時(shí)，的區(qū)間估計(jì)2021/6/2752

如果兩個(gè)總體方差，已知，則可利用公式下述公式近似求出兩個(gè)總體均值差的置信度為1-α的置信區(qū)間。2021/6/2753

如果兩個(gè)總體方差，未知，則可利用，代替兩個(gè)總體方差即可。下述公式可近似求出兩個(gè)總體均值差的置信度為1-α的置信區(qū)間。2021/6/2754

四、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和等距抽樣的參數(shù)估計(jì)（三）一個(gè)總體比例的區(qū)間估計(jì)2021/6/2755在許多實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常會(huì)遇到總體比例的估計(jì)問(wèn)題。例如：企業(yè)的管理人員想了解一批產(chǎn)品中次品的比例；職工收入中工資外收入所占的比例；某高校學(xué)生參加英語(yǔ)四級(jí)考試的通過(guò)率；某地區(qū)綠化荒山新栽樹(shù)木的成活率等。2021/6/2756在總體中具有某種特征的單位數(shù)占總體全部單位的比例稱為總體比例，記為p；在樣本中具有某種特征的單位數(shù)占樣本全部單位的比例稱為樣本比例，記為。在大樣本條件下，樣本比例的抽樣分布近似服從正態(tài)分布，其數(shù)學(xué)期望為2021/6/2757方差為

即2021/6/27581.在大樣本情況下，且總體比例已知，重復(fù)抽樣。則總體比例P的置信度為1-α的置信區(qū)間為2021/6/2759

需要說(shuō)明：在實(shí)際應(yīng)用中，除了要求N>=30以外，還要求和，且，這時(shí)近似效果較好。2021/6/27602.在大樣本情況下，且總體比例未知，重復(fù)抽樣。則總體比例P的置信度為1-α的置信區(qū)間為2021/6/2761例題：在對(duì)某地區(qū)1000名下崗工人的調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，女工所占的比例為65%。試建立在下崗工人中，女工所占比例的95%的置信區(qū)間。能否作出下崗工人中女性所占比例超過(guò)男性的結(jié)論？2021/6/2762

解假設(shè)用p表示下崗工人中女工所占的比例，則由已知條件可知，樣本比例。因?yàn)?，，，所以的抽樣分布近似服從正態(tài)分布。2021/6/2763對(duì)于α=0.05，查表得。應(yīng)用公式得到在下崗工人中，女工所占比例的置信度為95%的置信區(qū)間為2021/6/2764

于是，我們有95%的把握認(rèn)為，下崗工人中女工所占比例大約在0.62到0.68之間，超過(guò)了0.5，所以可以得出女性所占比例超過(guò)男性的結(jié)論。2021/6/27653.如果總體為有限總體，采用不重復(fù)抽樣，且抽樣比時(shí)，的抽樣分布的方差要用修正系數(shù)

加以修正，這時(shí)總體比例p(未知時(shí))的置信度為1-α的置信區(qū)間為2021/6/2766例某地區(qū)有20所高等院校，有副教授以上職稱的教師7800名。高校的管理部門(mén)想了解具有高級(jí)職稱的教師中有基礎(chǔ)研究課題的教師占多大的比例，于是抽取400人組成一個(gè)隨機(jī)樣本（不重復(fù)抽樣）。經(jīng)調(diào)查，其中80人有基礎(chǔ)研究課題。試建立在具有副教授以上職稱的教師中，有基礎(chǔ)研究課題的教師所占比例的95%的置信區(qū)間。

2021/6/2767解假設(shè)用p表示在具有副教授以上職稱的教師中，有基礎(chǔ)研究課題的教師所占的比例，則由已知條件可知N=7800,n=400,樣本比例=80/400=0.2，α=0.05,。因?yàn)?/p>

，所以的抽樣分布近似服從正態(tài)分布。2021/6/2768所以的抽樣分布近似服從正態(tài)分布。又因?yàn)槌闃颖却笥?%，所以要對(duì)的抽樣分布的方差加以修正。應(yīng)用公式得到在具有副教授以上職稱的教師中，有基礎(chǔ)研究課題的教師所占比例的95%的置信區(qū)間為

2021/6/2769于是我們有95%的把握認(rèn)為，該地區(qū)20所高校具有副教授以上職稱的教師中，有（）到（）的教師有基礎(chǔ)研究課題。2021/6/2770

四、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和等距抽樣的參數(shù)估計(jì)（四）一個(gè)正態(tài)總體方差的區(qū)間估計(jì)為來(lái)自總體的容量為n的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，σ未知，s為樣本標(biāo)準(zhǔn)差。

2021/6/2771

總體標(biāo)準(zhǔn)差σ的置信度為1-α的置信區(qū)間為2021/6/2772因此，總體方差的置信度為1-α的置信區(qū)間為2021/6/2773例假設(shè)公司預(yù)計(jì)的每股收益率服從正態(tài)分布，現(xiàn)有8個(gè)公司組成一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，樣本方差為2.619，試建立總體方差、總體標(biāo)準(zhǔn)差的95%的置信區(qū)間。2021/6/27742021/6/27752021/6/2776

五、分層抽樣和整群抽樣的參數(shù)估計(jì)

嚴(yán)格地講，分層抽樣與整群抽樣的參數(shù)估計(jì)與簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣沒(méi)有本質(zhì)區(qū)別。只不過(guò)在計(jì)算方差時(shí)存在著不同。

2021/6/2777第五節(jié)樣本容量的確定

我們應(yīng)該一直有這樣的疑問(wèn)：我們學(xué)習(xí)了問(wèn)卷的設(shè)計(jì)、調(diào)查方法的選擇、數(shù)據(jù)的描述、數(shù)據(jù)的整理以及參數(shù)估計(jì)的有關(guān)問(wèn)題。但是，如何進(jìn)行調(diào)查呢？或者說(shuō)選擇多少樣本呢？或者說(shuō)需要選擇多少個(gè)被調(diào)查者呢？2021/6/2778第五節(jié)樣本容量的確定這就涉及到我們今天要學(xué)的內(nèi)容：樣本容量的確定。2021/6/2779第五節(jié)樣本容量的確定這就涉及到我們今天要學(xué)的內(nèi)容：樣本容量的確定。2021/6/2780一、影響樣本容量的因素（一）置信度，也即總體參數(shù)真值落在置信區(qū)間內(nèi)的可靠程度。要求較高的置信度，就需要較大的樣本容量，置信度越高，樣本容量就越大。2021/6/2781一、影響樣本容量的因素（二）估計(jì)的精度，也即置信區(qū)間的寬度。要求較高的置信度，就會(huì)擴(kuò)大置信區(qū)間的寬度，也就是說(shuō)降低了估計(jì)的精度。因此，要想既提高估計(jì)的精度，又不降低估計(jì)的可靠性程度，必須增加樣本容量。2021/6/2782一、影響樣本容量的因素（三）建立置信區(qū)間的費(fèi)用。雖然增加樣本容量可以提高置信區(qū)間的可靠性程度和估計(jì)的精度，但也不是樣本容量愈大愈好。因?yàn)樵黾訕颖救萘?，就?huì)延長(zhǎng)調(diào)查時(shí)間，增大工作量和成本費(fèi)用，同時(shí)還可能增大調(diào)查誤差。2021/6/2783二、估計(jì)總體均值時(shí)，樣本容量的確定對(duì)于正態(tài)總體，在重復(fù)抽樣或抽樣比n/N<5%時(shí)，總體均值μ的置信度為1-α的置信區(qū)間為2021/6/2784二、估計(jì)總體均值時(shí)，樣本容量的確定記，稱為允許誤差，它表示總體均值μ與樣本均值的絕對(duì)誤差不超過(guò)Δ。于是，可以推出樣本容量的計(jì)算公式為2021/6/27851．樣本容量n與置信度所對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布