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文檔簡介
2025屆江西省新建二中高三考前熱身數(shù)學試卷注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù)的定義域為,且,當時,.若,則函數(shù)在上的最大值為()A.4 B.6 C.3 D.82.如果實數(shù)滿足條件,那么的最大值為()A. B. C. D.3.雙曲線的右焦點為,過點且與軸垂直的直線交兩漸近線于兩點,與雙曲線的其中一個交點為,若,且,則該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.4.已知等差數(shù)列滿足,公差,且成等比數(shù)列,則A.1 B.2 C.3 D.45.設正項等比數(shù)列的前n項和為,若,,則公比()A. B.4 C. D.26.已知,,則()A. B. C. D.7.如圖,在中,,且,則()A.1 B. C. D.8.若的二項式展開式中二項式系數(shù)的和為32,則正整數(shù)的值為()A.7 B.6 C.5 D.49.某幾何體的三視圖如圖所示,圖中圓的半徑為1,等腰三角形的腰長為3,則該幾何體表面積為()A. B. C. D.10.已知函數(shù),若曲線在點處的切線方程為,則實數(shù)的取值為()A.-2 B.-1 C.1 D.211.已知純虛數(shù)滿足,其中為虛數(shù)單位,則實數(shù)等于()A. B.1 C. D.212.若點x,y位于由曲線x=y-2+1與x=3圍成的封閉區(qū)域內(nèi)(包括邊界),則A.-3,1 B.-3,5 C.-∞,-3二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.我國著名的數(shù)學家秦九韶在《數(shù)書九章》提出了“三斜求積術(shù)”.他把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜.三斜求積術(shù)就是用小斜平方加上大斜平方,送到中斜平方,取相減后余數(shù)的一半,自乘而得一個數(shù),小斜平方乘以大斜平方,送到上面得到的那個數(shù),相減后余數(shù)被4除,所得的數(shù)作為“實”,1作為“隅”,開平方后即得面積.所謂“實”、“隅”指的是在方程中,p為“隅”,q為“實”.即若的大斜、中斜、小斜分別為a,b,c,則.已知點D是邊AB上一點,,,,,則的面積為________.14.復數(shù)(其中i為虛數(shù)單位)的共軛復數(shù)為________.15.已知命題:,,那么是__________.16.已知數(shù)列為等比數(shù)列,,則_____.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,三棱臺的底面是正三角形,平面平面,.(1)求證:;(2)若,求直線與平面所成角的正弦值.18.(12分)如圖,平面四邊形中,,是上的一點,是的中點,以為折痕把折起,使點到達點的位置,且.(1)證明:平面平面;(2)求直線與平面所成角的正弦值.19.(12分)如圖,設點為橢圓的右焦點,圓過且斜率為的直線交圓于兩點,交橢圓于點兩點,已知當時,(1)求橢圓的方程.(2)當時,求的面積.20.(12分)為了加強環(huán)保知識的宣傳,某學校組織了垃圾分類知識竟賽活動.活動設置了四個箱子,分別寫有“廚余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”;另有卡片若干張,每張卡片上寫有一種垃圾的名稱.每位參賽選手從所有卡片中隨機抽取張,按照自己的判斷將每張卡片放入對應的箱子中.按規(guī)則,每正確投放一張卡片得分,投放錯誤得分.比如將寫有“廢電池”的卡片放入寫有“有害垃圾”的箱子,得分,放入其它箱子,得分.從所有參賽選手中隨機抽取人,將他們的得分按照、、、、分組,繪成頻率分布直方圖如圖:(1)分別求出所抽取的人中得分落在組和內(nèi)的人數(shù);(2)從所抽取的人中得分落在組的選手中隨機選取名選手,以表示這名選手中得分不超過分的人數(shù),求的分布列和數(shù)學期望.21.(12分)金秋九月,丹桂飄香,某高校迎來了一大批優(yōu)秀的學生.新生接待其實也是和社會溝通的一個平臺.校團委、學生會從在校學生中隨機抽取了160名學生,對是否愿意投入到新生接待工作進行了問卷調(diào)查,統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下:愿意不愿意男生6020女士4040(1)根據(jù)上表說明,能否有99%把握認為愿意參加新生接待工作與性別有關;(2)現(xiàn)從參與問卷調(diào)查且愿意參加新生接待工作的學生中,采用按性別分層抽樣的方法,選取10人.若從這10人中隨機選取3人到火車站迎接新生,設選取的3人中女生人數(shù)為,寫出的分布列,并求.附:,其中.0.050.010.0013.8416.63510.82822.(10分)已知圓M:及定點,點A是圓M上的動點,點B在上,點G在上,且滿足,,點G的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程;(2)設斜率為k的動直線l與曲線C有且只有一個公共點,與直線和分別交于P、Q兩點.當時,求(O為坐標原點)面積的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
根據(jù)所給函數(shù)解析式滿足的等量關系及指數(shù)冪運算,可得;利用定義可證明函數(shù)的單調(diào)性,由賦值法即可求得函數(shù)在上的最大值.【詳解】函數(shù)的定義域為,且,則;任取,且,則,故,令,,則,即,故函數(shù)在上單調(diào)遞增,故,令,,故,故函數(shù)在上的最大值為4.故選:A.【點睛】本題考查了指數(shù)冪的運算及化簡,利用定義證明抽象函數(shù)的單調(diào)性,賦值法在抽象函數(shù)求值中的應用,屬于中檔題.2、B【解析】
解:當直線過點時,最大,故選B3、D【解析】
根據(jù)已知得本題首先求出直線與雙曲線漸近線的交點,再利用,求出點,因為點在雙曲線上,及,代入整理及得,又已知,即可求出離心率.【詳解】由題意可知,代入得:,代入雙曲線方程整理得:,又因為,即可得到,故選:D.【點睛】本題主要考查的是雙曲線的簡單幾何性質(zhì)和向量的坐標運算,離心率問題關鍵尋求關于,,的方程或不等式,由此計算雙曲線的離心率或范圍,屬于中檔題.4、D【解析】
先用公差表示出,結(jié)合等比數(shù)列求出.【詳解】,因為成等比數(shù)列,所以,解得.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式.屬于簡單題,化歸基本量,尋求等量關系是求解的關鍵.5、D【解析】
由得,又,兩式相除即可解出.【詳解】解:由得,又,∴,∴,或,又正項等比數(shù)列得,∴,故選:D.【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)的應用,屬于基礎題.6、D【解析】
分別解出集合然后求并集.【詳解】解:,故選:D【點睛】考查集合的并集運算,基礎題.7、C【解析】
由題可,所以將已知式子中的向量用表示,可得到的關系,再由三點共線,又得到一個關于的關系,從而可求得答案【詳解】由,則,即,所以,又共線,則.故選:C【點睛】此題考查的是平面向量基本定理的有關知識,結(jié)合圖形尋找各向量間的關系,屬于中檔題.8、C【解析】
由二項式系數(shù)性質(zhì),的展開式中所有二項式系數(shù)和為計算.【詳解】的二項展開式中二項式系數(shù)和為,.故選:C.【點睛】本題考查二項式系數(shù)的性質(zhì),掌握二項式系數(shù)性質(zhì)是解題關鍵.9、C【解析】
幾何體是由一個圓錐和半球組成,其中半球的半徑為1,圓錐的母線長為3,底面半徑為1,計算得到答案.【詳解】幾何體是由一個圓錐和半球組成,其中半球的半徑為1,圓錐的母線長為3,底面半徑為1,故幾何體的表面積為.故選:.【點睛】本題考查了根據(jù)三視圖求表面積,意在考查學生的計算能力和空間想象能力.10、B【解析】
求出函數(shù)的導數(shù),利用切線方程通過f′(0),求解即可;【詳解】f(x)的定義域為(﹣1,+∞),因為f′(x)a,曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=2x,可得1﹣a=2,解得a=﹣1,故選:B.【點睛】本題考查函數(shù)的導數(shù)的幾何意義,切線方程的求法,考查計算能力.11、B【解析】
先根據(jù)復數(shù)的除法表示出,然后根據(jù)是純虛數(shù)求解出對應的的值即可.【詳解】因為,所以,又因為是純虛數(shù),所以,所以.故選:B.【點睛】本題考查復數(shù)的除法運算以及根據(jù)復數(shù)是純虛數(shù)求解參數(shù)值,難度較易.若復數(shù)為純虛數(shù),則有.12、D【解析】
畫出曲線x=y-2+1與x=3圍成的封閉區(qū)域,y+1x-2表示封閉區(qū)域內(nèi)的點(x,y)【詳解】畫出曲線x=y-2+1與y+1x-2表示封閉區(qū)域內(nèi)的點(x,y)和定點P(2,-1)設k=y+1x-2,結(jié)合圖形可得k≥k由題意得點A,B的坐標分別為A(3,0),B(1,2),∴kPA∴k≥1或k≤-3,∴y+1x-2的取值范圍為-∞,-3故選D.【點睛】解答本題的關鍵有兩個:一是根據(jù)數(shù)形結(jié)合的方法求解問題,即把y+1x-2二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、.【解析】
利用正切的和角公式求得,再求得,利用余弦定理求得,代入“三斜求積術(shù)”公式即可求得答案.【詳解】,所以,由余弦定理可知,得.根據(jù)“三斜求積術(shù)”可得,所以.【點睛】本題考查正切的和角公式,同角三角函數(shù)的基本關系式,余弦定理的應用,考查學生分析問題的能力和計算整理能力,難度較易.14、【解析】
利用復數(shù)的乘法運算求出,再利用共軛復數(shù)的概念即可求解.【詳解】由,則.故答案為:【點睛】本題考查了復數(shù)的四則運算以及共軛復數(shù)的概念,屬于基礎題.15、真命題【解析】
由冪函數(shù)的單調(diào)性進行判斷即可.【詳解】已知命題:,,因為在上單調(diào)遞增,則,所以是真命題,故答案為:真命題【點睛】本題主要考查了判斷全稱命題的真假,屬于基礎題.16、81【解析】
設數(shù)列的公比為,利用等比數(shù)列通項公式求出,代入等比數(shù)列通項公式即可求解.【詳解】設數(shù)列的公比為,由題意知,因為,由等比數(shù)列通項公式可得,,解得,由等比數(shù)列通項公式可得,.故答案為:【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式;考查運算求解能力;屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)見證明;(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)取的中點為,連結(jié),易證四邊形為平行四邊形,即,由于,為的中點,可得到,從而得到,即可證明平面,從而得到;(Ⅱ)易證,,兩兩垂直,以,,分別為,,軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,求出平面的一個法向量為,設與平面所成角為,則,即可得到答案.【詳解】解:(Ⅰ)取的中點為,連結(jié).由是三棱臺得,平面平面,從而.∵,∴,∴四邊形為平行四邊形,∴.∵,為的中點,∴,∴.∵平面平面,且交線為,平面,∴平面,而平面,∴.(Ⅱ)連結(jié).由是正三角形,且為中點,則.由(Ⅰ)知,平面,,∴,,∴,,兩兩垂直.以,,分別為,,軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.設,則,,,,∴,,.設平面的一個法向量為.由可得,.令,則,,∴.設與平面所成角為,則.【點睛】本題考查了空間幾何中,面面垂直的性質(zhì),線線垂直的證明,及線面角的求法,考查了學生的邏輯推理能力與計算求解能力,屬于中檔題.18、(1)見解析;(2)【解析】
(1)要證平面平面,只需證平面,而,所以只需證,而由已知的數(shù)據(jù)可證得為等邊三角形,又由于是的中點,所以,從而可證得結(jié)論;(2)由于在中,,而平面平面,所以點在平面的投影恰好為的中點,所以如圖建立空間直角坐標系,利用空間向量求解.【詳解】(1)由,所以平面四邊形為直角梯形,設,因為.所以在中,,則,又,所以,由,所以為等邊三角形,又是的中點,所以,又平面,則有平面,而平面,故平面平面.(2)解法一:在中,,取中點,所以,由(1)可知平面平面,平面平面,所以平面,以為坐標原點,方向為軸方向,建立如圖所示的空間直角坐標系,則,,設平面的法向量,由得取,則設直線與平面所成角大小為,則,故直線與平面所成角的正弦值為.解法二:在中,,取中點,所以,由(1)可知平面平面,平面平面,所以平面,過作于,連,則由平面平面,所以,又,則平面,又平面所以,在中,,所以,設到平面的距離為,由,即,即,可得,設直線與平面所成角大小為,則.故直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】此題考查的是立體幾何中的證明面面垂直和求線面角,考查學生的轉(zhuǎn)化思想和計算能力,屬于中檔題.19、(1)(2)【解析】
(1)先求出圓心到直線的距離為,再根據(jù)得到,解之即得a的值,再根據(jù)c=1求出b的值得到橢圓的方程.(2)先求出,,再求得的面積.【詳解】(1)因為直線過點,且斜率.所以直線的方程為,即,所以圓心到直線的距離為,又因為,圓的半徑為,所以,即,解之得,或(舍去).所以,所以所示橢圓的方程為.(2)由(1)得,橢圓的右準線方程為,離心率,則點到右準線的距離為,所以,即,把代入橢圓方程得,,因為直線的斜率,所以,因為直線經(jīng)過和,所以直線的方程為,聯(lián)立方程組得,解得或,所以,所以的面積.【點睛】本題主要考查直線和圓、橢圓的位置關系,考查橢圓的方程的求法,考查三角形面積的計算,意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理計算能力.20、(1)所抽取的人中得分落在組和內(nèi)的人數(shù)分別為人、人;(2)分布列見解析,.【解析】
(1)將分別乘以區(qū)間、對應的矩形面積可得出結(jié)果;(2)由題可知,隨機變量的可能取值為、、,利用超幾何分布概率公式計算出隨機變量在不同取值下的概率,可得出隨機變量的分布列,并由此計算出隨機變量的數(shù)學期望值.【詳解】(1)由題意知,所抽取的人中得分落在組的人數(shù)有(人),得分落在組的人數(shù)有(人).因此,所抽取的人中得分落在組的人數(shù)有人,得分落在組的人數(shù)有人;(2)由題意可知,隨機變量的所有可能取值為、、,,,,所以,隨機變量的分布列為:所以,隨機變量的期望為.【點睛】本題考查利用頻率分布直方圖計算頻數(shù),同時也考查了離散型隨機變量分布列與數(shù)學期望的求解,考查計算能力,屬于基礎題.21、(1)有99%把握認為愿意參
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