導數(shù)的應用-函數(shù)的最值問題（5題型分類）-2025年高考數(shù)學一輪復習

專題14導數(shù)的應用--函數(shù)的最值問題5題型分類

彩題如工總

題型1：求函數(shù)的最值（不含參）

題型5：不等式恒成立與存在性問題

題型2：求函數(shù)的最值（含參）

專題14導數(shù)的應用一函數(shù)

的最值問題5題型分類

題型4：函數(shù)單調(diào)性、極值、最值得綜合應用

題型3：根據(jù)最值求參數(shù)

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1.函數(shù)的最值

函數(shù)y=/（無）最大值為極大值與靠近極小值的端點之間的最大者；函數(shù)/a）最小值為極小值與靠近極大值的

端點之間的最小者.

2

導函數(shù)為/(x)=ax+bx+c=a(x-xx)(x-x2)(in<xx<x2<n)

（1）當。＞0時，最大值是/（%）與“”）中的最大者；最小值是/（%）與/（㈤中的最小者.

（2）當a＜0時，最大值是/（3）與/（機）中的最大者；最小值是/（再）與淞）中的最小者.

一般地，設(shè)＞=/（尤）是定義在［加，加上的函數(shù)，y=/（x）在（根，〃）內(nèi)有導數(shù)，求函數(shù)＞=/（尤）在［加，汨上的最

大值與最小值可分為兩步進行：

（1）求＞=/（尤）在（加，力內(nèi)的極值（極大值或極小值）；

（2）將＞=/（尤）的各極值與/（㈤和比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.

注：①函數(shù)的極值反映函數(shù)在一點附近情況，是局部函數(shù)值的比較，故極值不一定是最值；函數(shù)的最值是

對函數(shù)在整個區(qū)間上函數(shù)值比較而言的，故函數(shù)的最值可能是極值，也可能是區(qū)間端點處的函數(shù)值；

②函數(shù)的極值點必是開區(qū)間的點，不能是區(qū)間的端點；

③函數(shù)的最值必在極值點或區(qū)間端點處取得.

2.不等式的恒成立與能成立問題

（1）若函數(shù)/（X）在區(qū)間。上存在最小值”力皿和最大值1Mx,則

不等式/(x)>a在區(qū)間。上恒成立=>?;

不等式7(x)2。在區(qū)間。上恒成立o/(x)1nhi>a.

不等式<6在區(qū)間。上恒成立=〃x)1rax<b.

不等式在區(qū)間。上恒成立o/(x)1mx&b；

(2)若函數(shù)〃x)在區(qū)間。上不存在最大(小)值，且值域為(加，”)，則

不等式〃x)>a(或/'(x)Na)在區(qū)間。上恒成立Qa.

不等式〃力</或f(x)Wb)在區(qū)間。上恒成立二機Wb.

(3)若函數(shù)/1(x)在區(qū)間。上存在最小值/(X)、和最大值/(尤)1mx,即/(x)e[九〃],則對不等式有解問題

有以下結(jié)論：

不等式a<〃x)在區(qū)間。上有解oa</(x)1mx；

不等式a4/(x)在區(qū)間。上有解oaW/(x)0m；

不等式a>/(x)在區(qū)間。上有解；

不等式aNf(x)在區(qū)間。上有解。/(力同；

(4)若函數(shù)/(x)在區(qū)間。上不存在最大(小)值，如值域為(機〃)，則對不等式有解問題有以下結(jié)論：

不等式a<〃力(或24/(》))在區(qū)間。上有解=。<〃

不等式b>(或b2〃切在區(qū)間。上有解=6>機

(5)對于任意的％e[a,句，總存在/egn\,使得1nm

(6)對于任意的％?a,同，總存在&egn],使得/(5)缶(々)0/(%)-Ng?)111ta；

(7)若存在玉e[a,b],對于任意的x2Gmn\,使得了(%)4g(%)07(%*“W8仁心；

(8)若存在西式名可，對于任意的％w[m,n],使得/(再)2g^)1mxzg(%)1mx;

(9)對于任意的玉e[a,b],e[m,使得〃⑼海仁)。/4)1mxVg(%)1n

(10)對于任意的占?a,b],x,e[m,?使得1rfli*(巧)皿;

（11）若存在％e［。，可，總存在x24mn］,使得/㈤海仁）。/^）.氣伍）111ax

（12）若存在西式。，可，總存在當日由〃］,使得1MxNg㈤=

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（_）

求函數(shù)的最值

1.求函數(shù)“X）在閉區(qū)間加上的最值時，在得到極值的基礎(chǔ)上，結(jié)合區(qū)間端點的函數(shù)值〃a）,/（S與“X）

的各極值進行比較得到函數(shù)的最值.

2.導函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法:一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}.注

意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極（最）值問題處

理.

題型1：求函數(shù)的最值（不含參）

1-1.（2024?全國）函數(shù)/（x）=|2x-l|-21nx的最小值為.

12（2024高三?全國?專題練習）已知函數(shù)/（x）=e*sinx-2x.

⑴求曲線,=/（%）在點（0J（。））處的切線方程；

⑵求在區(qū)間［T,1］上的最大值；

1-3.（2024?江蘇）若函數(shù)〃力=2/-加+l（ae?在（0,y）內(nèi)有且只有一個零點，則在上的最

大值與最小值的和為.

1-4.（2024?遼寧葫蘆島?二模）己知函數(shù)/（尤）=2sinx（l+cosx）,則“0的最大值是.

1-5.（2024?全國）函數(shù)〃x）=cosx+（尤+l）sinx+l在區(qū)間［0,2兀］的最小值、最大值分別為（）

題型2:求函數(shù)的最值（含參）

2-1.（2024高三?全國,專題練習）己知函數(shù)〃x）=alnx+gx-a,a^R.討論函數(shù)〃x）的最值;

2-2.(2024高三?全國?專題練習)已知函數(shù)/(x)=ln(l+x)+oxeT.

(1)當。=-1時，討論函數(shù)f(x)在(0,+e)上的單調(diào)性；

(2)當心。時,求〃尤)在(T0］內(nèi)的最大值；

2-3.(2024?四川成都,模擬預測)已知函數(shù)〃耳=；/一；(6+々)/+(8+6。)尤一8aln無一4%其中aeR.

⑴若a=2,求〃x)的單調(diào)區(qū)間；

1<<2)

⑵已知八2)=〃4),求〃x)的最小值.(參考數(shù)據(jù)：3(3-41n2)

2-4.(2024?天津和平?三模)已知函數(shù)/(x)=?-alnx,g(x)=(cosx-l)e-x,其中aeR.

⑴若曲線y=在x=l處的切線乙與曲線y=g(x)在x=］處的切線4平行，求。的值；

(2)若xw(O㈤時,求函數(shù)g(元)的最小值；

⑶若的最小值為/z(a),證明：當時，//(<2)<1,

彩”祕籍

(二)

根據(jù)最值求參數(shù)

已知函數(shù)在某區(qū)間上的最值求參數(shù)的值(或范圍)是求函數(shù)最值的逆向思維，一般先求導數(shù)，利用導數(shù)研究函

數(shù)的單調(diào)性及極值點，探索最值點，根據(jù)已知最值列方程(不等式)解決問題.其中注意分類討論思想的應用.

題型3:根據(jù)最值求參數(shù)

3-1.(2024高三上?廣西桂林?階段練習)已知函數(shù)〃尤)=。6+lnx在x=l處取最大值，則實數(shù)。=()

A.-1B.1C.-2D.2

3-2.(2024高二下?四川綿陽?期中)己知函數(shù)/(*)=6+也無.

(1)討論函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間；

JT

(2)當4=-1時，函數(shù)g(x)=/(x)+e*cosx-lnx-機在［0,萬］上的最大值為0,求實數(shù)優(yōu)的值.

3-3.(2024高三上?河南新鄉(xiāng)?周測)若函數(shù)/(x)=x3-3x在區(qū)間(a,G-a2)上有最小值，則實數(shù)。的取

值范圍是

3-4.（2024高二?貴州貴陽?階段練習）若函數(shù)〃尤）=12x-Y在區(qū)間（加一5,2加+1）上有最小值，則實數(shù)機的取

值范圍為.

3-5.（2024?山東?一模）若函數(shù)/'（司=:尤3+尤2-2在區(qū)間（4一4,.）上存在最小值，則整數(shù)。的取值可以

是.

3-6.（2024高三上?吉林長春?開學考試）函數(shù)/5）=必+（°_1訝-31nx在（1,2）內(nèi)有最小值，則實數(shù)。的取值

范圍為.

3-7.（2024?全國?模擬預測）已知四棱錐的各個頂點都在同一個球面上.若該球的體積為36萬，則該四棱錐

體積的最大值是.

3-8.（2024高三下?云南昆明?階段練習）已知函數(shù)〃x）=ln尤-王士在區(qū)間［l,e］上最大值為最小值為力,

X

則的值是.

39（2024?貴州畢節(jié)?模擬預測）當a<0時，函數(shù)〃x）=*..,的最小值為1,則

—e—a—兀+2,x<In（一

彩僻題秘籍（二）

函數(shù)單調(diào)性、極值、最值得綜合應用

求函數(shù)“X）在區(qū)間國上的最值的方法：

（1）若函數(shù)〃尤）在區(qū)間?上單調(diào)，則〃“）與"6）一個為最大值，另一個為最小值；

（2）若函數(shù)/（x）在區(qū)間［a,國內(nèi)有極值，則要求先求出函數(shù)〃x）在區(qū)間［a,可上的極值，再與〃a）、f（b）

比大小，最大的為最大值，最小的為最小值；

（3）若函數(shù)/（X）在區(qū)間目上只有唯一的極大點，則這個極值點就是最大（最?。┲迭c，此結(jié)論在導數(shù)

的實際應用中經(jīng)常用到.

題型4:函數(shù)單調(diào)性、極值、最值得綜合應用

4-1.（2024高三?全國?專題練習）設(shè)函數(shù)〃x）=ln（a-x）,已知尤=0是函數(shù)y=^（x）的極值點.

⑴若函數(shù)g（x）=”尤）+小2在（-U）內(nèi)單調(diào)遞減，求實數(shù)m的取值范圍；

（2）討論函數(shù)Mx）="（x）-爐的零點個數(shù)；

（3）求夕（尤）=在內(nèi)的最值.

XL22_

4-2.（2024高三?全國?專題練習）已知/（%）=e"sinx.

⑴求函數(shù)/（x）在［0,2可內(nèi)的極值點；

兀兀

（2）求函數(shù)g（x）=/a）-x在-5,5上的最值.

4-3.（2024高三?全國?專題練習）已知函數(shù)/（勸=2/一3（4+1）/+6以+1,其中aeR.

⑴當。=3時，求函數(shù)“X）在（0,3）內(nèi)的極值;

（2）若函數(shù)"X）在［L2］上的最小值為5,求實數(shù)。的取值范圍.

4-4.（2024?天津河北?二模）已知a>0,函數(shù)/（x）=xlna-alnx+（x-e）2,其中e是自然對數(shù)的底數(shù).

⑴當a=l時，求曲線y=〃x）在點⑴）處的切線方程；

（2）當a=e時，求函數(shù)〃尤）的單調(diào)區(qū)間；

⑶求證：函數(shù)/■（%）存在極值點，并求極值點％的最小值.

4-5.（四川省宜賓市2023屆高三三模數(shù)學（理科）試題）已知函數(shù)/（尤）=〃2數(shù)-*+x-ln尤（meR）.

⑴討論函數(shù)的極值點個數(shù)；

（2）若加>0,〃無）的最小值是1+lnm,求實數(shù)機的所有可能值.

彩健題海籍

（四）

不等式恒成立與存在性問題

1.求解不等式的恒成立問題，常用的方法有：（1）分離參數(shù)求最值；（2）直接求函數(shù)的最值；（3）端點優(yōu)先

法.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.

2.在不等式恒成立或不等式有解條件下求參數(shù)的取值范圍，一般利用等價轉(zhuǎn)化的思想其轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值或

值域問題加以求解，可采用分離參數(shù)或不分離參數(shù)法直接移項構(gòu)造輔助函數(shù).

題型5:不等式恒成立與存在性問題

5-1.(2024高三?全國?專題練習)若存在，使得不等式2x-sinx2znr成立，則機的取值范圍為—

5-2.(2024?浙江金華?模擬預測)對任意的尤>1,不等式/-/+3/1m-6320恒成立，則實數(shù)。的取值范

圍為.

5-3.(2024高三上?內(nèi)蒙古呼和浩特?開學考試)設(shè)函數(shù)〃x)=e"-依，aeR.

⑴當4=1時，求函數(shù)“X)在X=1處的切線方程；

(2)討論函數(shù)〃x)的單調(diào)性；

⑶若Nx在R上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

5-4.(2024高三上?遼寧朝陽?階段練習)已知函數(shù)/(尤)=皿*二1),其中“?R.

⑴求函數(shù)“X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若存在xe(l,+s),使得不等式/(x)>lnx成立，求加的取值范圍.

5-5.(2024高三上?福建莆田?開學考試)已知函數(shù)/(%)=/+依+2,aeR.

⑴若不等式/(x)<0的解集為口，2],求不等式/(x)>l-x2的解集；

(2)若對于任意的xe[-1,1],不等式f(x)V2a(x-1)+4恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

5-6.(2024高三?全國,專題練習)已知函數(shù)/(x)=2f+彳_左，g(x)=or3+加+cr+d(a/。)是R上的奇函數(shù)，

當X=1時，g(x)取得極值-2.

⑴求函數(shù)g(無)的單調(diào)區(qū)間和極大值；

⑵若對任意xe[-L3],都有/(尤)(尤)成立，求實數(shù)上的取值范圍；

⑶若對任意石?[T,3],X2G[-1,3],都有/(QVg?)成立，求實數(shù)上的取值范圍.

煉司與梭升

一、單選題

b

1.(2024?全國)當x=l時，函數(shù)f(x)=alnx+—取得最大值一2,貝U-⑵=()

X

A.-1B.CD.1

2-I

2.（2024?全國）已知正四棱錐的側(cè)棱長為/,其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為36萬，且3W/W3百,

則該正四棱錐體積的取值范圍是（）

27812764

A.B.C.D.[18,27]

3.（2024高二下?全國?專題練習）如果圓柱的軸截面周長/為定值，那么圓柱的體積的最大值是（）

A.6兀B小

C.(3

22

4.（2024高三上?河南焦作,期中）在直角坐標系xOy中，一個長方形的四個頂點都在橢圓C:±+匕=1上,

43

將該長方形繞工軸旋轉(zhuǎn)180。，得到一個圓柱體，則該圓柱體的體積最大時，其側(cè)面積為（）

A1。萬口16粗?！?A/6K卜4。?

3333

5.（2024?陜西咸陽?模擬預測）已知不等式hu-fj+G。有實數(shù)解，則實數(shù)。的取值范圍為

（）

1

A.B.(-8,0)C.---------,+00D.[0,+8)

2e

6.（2024?四川成都?模擬預測）若關(guān)于元的不等式（e-l）（lna+x”求-1在內(nèi)有解，則實數(shù)〃的取值

范圍是（）

1

A.B.一,eC.

2eee

7.（2024高三?全國?對口高考）已知/。）=-尤2+如+i在區(qū)間[_2,一1]上的最大值就是函數(shù)〃x）的極大值,

則機的取值范圍是（）

A.[2,+00）B.[4,+co）C.[-4,-2]D.[2,4]

8.（2024高三上?重慶沙坪壩?階段練習）已知a,beR,關(guān)于x的不等式e'2ax+Z?在R上恒成立，則他的

最大值為（）

AA

A.-B.-C.e?D.3

32e

9.（2024高三上?江蘇鎮(zhèn)江?開學考試）對于實數(shù)xe（O,y）,不等式e"-ln（7nr）+（lT"）xZ0恒成立，則實

數(shù)m的取值范圍為（）

A.0<m<lB.m￡1C.0<m<eD.m<e

二、填空題

10.（2024?全國?模擬預測）在直角坐標系xQy中，矩形的四個頂點都在橢圓C：.+工=1上，將該矩形繞y

43

軸旋轉(zhuǎn)一周，得到一個圓柱體，當該圓柱體的體積最大時，其側(cè)面積為

11.（2024高三上?重慶?階段練習）已知。/￡,父，則當tan26-tan￡取得最大值時，咽==________.

〈42）tan6

12.（2024高三上?四川成都?開學考試）已知面積為氈的銳角ABC其內(nèi)角A,B,C所對邊分別為a,b,

3

c,且展2+—1^=2—則邊。的最小值為____.

tanAtanBsinA

13.（2024高三上?吉林長春?開學考試）函數(shù)/（x）=x2+（a-l）x-31nx在（1,2）內(nèi)有最小值，則實數(shù)。的取值

范圍為.

14.（2024?湖北武漢三模）已知函數(shù)f（x）="sin',屐、"則函數(shù)的最小值為.

15.（2024,安徽安慶?二模）已知x>0,>>0,且In（孫尸=e）貝Ify-lnx-》的最小值為.

16.（2024,海南?？?模擬預測）已知正實數(shù)m,w滿足："In”=e"-"ln〃z,則一的最小值為.

m

17.（2024高三?福建泉州?階段練習）已知函數(shù)/（x）=|x-l|-alnx的最小值為0,則a的取值范圍

為.

18.（2024高三下?江蘇南通?開學考試）若函數(shù)/（x）=e+a|T的最小值為T,貝|。.

19.（2024高三?全國?專題練習）若函數(shù)〃x）=e[f2+2x+a）在區(qū)間（a,a+l）上存在最大值，則實數(shù)a的取

值范圍為

20.（2024?山西運城模擬預測）已知函數(shù)/（xhgd+jVx+l,若函數(shù)/⑺在（2a-2,2a+3）上存在最

小值.則實數(shù)。的取值范圍是.

2

21.（2024?貴州黔東南?模擬預測）若存在實數(shù)（0<b<2）,使得關(guān)于x的不等式3尤346+642/+2對

xe（O,y）恒成立，則b的最大值是.

22.（2024高三下?陜西安康?階段練習）若不等式「+21n?+x-2N0對Vxe（0,y）恒成立，則a的取值

范圍是.

三、解答題

23.（2024?北京）已知函數(shù)/（另=亍工.

（1）若“=o,求曲線y=〃x）在點（L〃1））處的切線方程；

（2）若“X）在尸-1處取得極值，求“X）的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值.

24.（2004?浙江）設(shè)曲線y=er（xW0）在點〃。,建）處的切線/與無軸y軸所圍成的三角形面積為S。）.

⑴求切線/的方程；

（2）求S⑺的最大值.

25.（2004?湖南）已知函數(shù)/（x）=/e",其中a<0,e為自然對數(shù)的底數(shù).

⑴討論函數(shù)〃尤）的單調(diào)性；

⑵求函數(shù)〃無）在區(qū)間［。,1］上的最大值.

26.（2024高二下?黑龍江大慶?期中）己知函數(shù)〃尤）=111”叫。€（0,1）.

⑴若時，求的單調(diào)區(qū)間；

⑵求在口，2］上的最小值.

27.（2024?江西）已知函數(shù)/（x）=（加+bx+c）e'在［0,1］上單調(diào)遞減，且滿足/（0）=西/（I）=0.

⑴求。的取值范圍；

（2）設(shè)g。）=/（x）-/（%）,求在［。,1］上的最大值和最小值.

28.（2024高二下■山西朔州■階段練習）設(shè)O0R,函數(shù)/）="—3/.

（1）若x=2是函數(shù)y=/（x）的極值點，求。的值；

（2）若函數(shù)g（x）=/（x）+/'（X）,俎［0,2］,在尤=0處取得最大值，求a的取值范圍

29.（2024高三上?重慶沙坪壩?開學考試）已知函數(shù)/（x）=xlnr-加+2北

（1）設(shè)a=o,經(jīng)過點（0,-1）作函數(shù)y=F（x）圖像的切線，求切線的方程；

⑵若函數(shù)/（X）有極大值，無最大值，求實數(shù)。的取值范圍.

30.（2024高三?廣東中山?階段練習）用長為18m的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬

之比為2:1,問該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？最大體積是多少？

31.（2024高二下?廣東汕頭?期中）某企業(yè)擬建造如圖所示的容器（不計厚度，長度單位：m）,其中容器的

中間為圓柱形，左、右兩端均為半球形，按照設(shè)計要求容器的容積為率n?,且M2r,假設(shè)該容器的建

造費用僅與其表面積有關(guān)，已知圓柱形部分每平方米的建造費用為3萬元，半球形部分每平方米的建造費

用為c（03）萬元，該容器的總建造費用為y萬元.

（1）寫出y關(guān)于"的函數(shù)表達式，并求該函數(shù)的定義域；

（2）求該容器的總建造費用最少時的廠的值.

32.（2023,福建）在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD的長為2,寬為1,AB,邊分別在x軸、y軸的

正半軸上，A點與坐標原點重合（如圖所示）.將矩形折疊，使A點落在線段DC上.

⑴若折痕所在直線的斜率為3試寫出折痕所在直線的方程；

（2）求折痕的長的最大值.

33.（2024高二下?廣東揭陽?期末）如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其長半軸為2r,短半軸為廠，計劃將此鋼

板切割成等腰梯形的形狀，下底A3是半橢圓的短軸，上底CD的端點在橢圓上，記CD=2x,梯形面積為S.

（助求面積S關(guān)于變量x的函數(shù)表達式，并寫出定義域；

（助求面積S的最大值.

34.（2024?廣東廣州?一模）人們用大數(shù)據(jù)來描述和定義信息時代產(chǎn)生的海量數(shù)據(jù)，并利用這些數(shù)據(jù)處理事

務(wù)和做出決策，某公司通過大數(shù)據(jù)收集到該公司銷售的某電子產(chǎn)品1月至5月的銷售量如下表.

月份X12345

銷售量y（萬件）4.95.86.88.310.2

該公司為了預測未來幾個月的銷售量，建立了y關(guān)于x的回歸模型：y=wc+v.

⑴根據(jù)所給數(shù)據(jù)與回歸模型，求y關(guān)于x的回歸方程（〃的值精確到0.1）；

⑵已知該公司的月利潤z（單位：萬元）與x,y的關(guān)系為z=24?-期盧，根據(jù)（1）的結(jié)果，問該公司

哪一個月的月利潤預報值最大？

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)（X”,％）,其回歸直線5=九+&的斜率和截距的最小二乘估計公

式分別為另二^5^-----------，a=y-bx.

Z（^-x）2

i=\

35.（2024高三?全國?專題練習）為落實立德樹人根本任務(wù)，堅持五育并舉全面推進素質(zhì)教育，某學校舉行

了乒乓球比賽,其中參加男子乒乓球決賽的12名隊員來自3個不同校區(qū)，三個校區(qū)的隊員人數(shù)分別是3,4,

5.本次決賽的比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每名隊員進行11場比賽（每場比賽都采取5局3勝制），最后根

據(jù)積分選出最后的冠軍.積分規(guī)則如下：比賽中以3:0或3:1取勝的隊員積3分，失敗的隊員積0分；而在比

賽中以3:2取勝的隊員積2分，失敗的隊員的隊員積1分.已知第10輪張三對抗李四，設(shè)每局比賽張三取勝

的概率均為P（O<P<1）.

⑴比賽結(jié)束后冠亞軍（沒有并列）恰好來自不同校區(qū)的概率是多少？

（2）第10輪比賽中，記張三3:1取勝的概率為了（0）,求出/（P）的最大值點P。.

36.（2024?河北?模擬預測）5G技術(shù)對社會和國家十分重要.從戰(zhàn)略地位來看，業(yè)界一般將其定義為繼蒸汽

機革命、電氣革命和計算機革命后的第四次工業(yè)革命.某科技集團生產(chǎn)4B兩種5G通信基站核心部件，

下表統(tǒng)計了該科技集團近幾年來在A部件上的研發(fā)投入尤（億元）與收益y（億元）的數(shù)據(jù)，結(jié)果如下：

研發(fā)投入X（億元）12345

收益y（億元）3791011

⑴利用樣本相關(guān)系數(shù)，說明是否可以用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系（當舊40.75,1］時，可以認為兩個變

量有很強的線性相關(guān)性）；

⑵求出y關(guān)于龍的經(jīng)驗回歸方程，并利用該方程回答下列問題：

①若要使生產(chǎn)A部件的收益不低于15億元，估計至少需要投入多少研發(fā)資金？（精確到0.001億元）

②該科技集團計劃用10億元對A,8兩種部件進行投資，對8部件投資了（14尤46）元所獲得的收益y近似

4

滿足>=0.9%--+3.7,則該科技集團針對A,5兩種部件各應投入多少研發(fā)資金，能使所獲得的總收益尸

最大.

附：樣本相關(guān)廠系數(shù)「1”，

￡(占-可(》-歹)__

回歸直線方程的斜率8=上一----------，截距&=7-

?=1

37.(2024高三?全國?專題練習)甲、乙兩人參加一個游戲，該游戲設(shè)有獎金256元，誰先贏滿5局，誰便贏

得全部的獎金，己知每局游戲乙贏的概率為P(0<P<D,甲贏的概率為1-P，每局游戲相互獨立，在乙贏

了3局甲贏了1局的情況下，游戲設(shè)備出現(xiàn)了故障，游戲被迫終止，則獎金應該如何分配才為合理？有專

家提出如下的獎金分配方案：如果出現(xiàn)無人先贏5局且游戲意外終止的情況，則甲、乙按照游戲再繼續(xù)進行

下去各自贏得全部獎金的概率之比脩：生分配獎金.記事件A為"游戲繼續(xù)進行下去甲獲得全部獎金"，試求

當游戲繼續(xù)進行下去，甲獲得全部獎金的概率”A),并判斷當。時，事件A是否為小概率事件，并說

明理由.(注：若隨機事件發(fā)生的概率小于0.05,則稱隨機事件為小概率事件)

38.(2024高三上?云南保山■階段練習)已知函數(shù)/。)=2尤3+3(1+〃。無2+6〃認(X€1^).

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；

⑵若=函數(shù)g(x)="(lnx+l)-午V0在(1,+8)上恒成立，求整