分母有理化（考點突破）（解析版）

專題06分母有理化

鼠務復習目標

i.理解有理化因式的概念，能正確的將一個含二次根式的代數(shù)式分母有理化。

2.能利用分母有理化進行二次根式加減乘除及混合運算。

，考點梳理

一、分母有理化

定義：把分母中的根號化去，叫做分母有理化。

例1.將二次根式反進行分母有理化的結(jié)果是（）

V6

A.—B.正C.—D.—

6632

【答案】D

【分析】

分子分母同乘以分母化簡即可.

【詳解】

V3__逑_變

底一屈乂屈一6-2,

故選：D.

二、有理化因式

定義：兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，就說這兩個代數(shù)式互為有理化因

式。

有理化因式確定方法如下：

①單項二次根式：利用?、萬=。來確定，如：、份與6，Ja+b與Ja+b,」a-b與」a-b等分另（］

互為有理化因式。

②兩項二次根式：利用平方差公式來確定。如a+C與4a+4b^4^-4b,

ayfx與a4-6J亍分別互為有理化因式。

例2.在下列各式中，二次根式五+新的有理化因式是（）

A.4a+4bB.y/a-4bC.y/a+bD.Ja-b

【答案】B

【分析】

利用平方差公式及有理化因式的定義逐個判斷即可.

【詳解】

解：（4a+4b）（y[a.-4b}-a—b

.?.夜+北的有理化因式是血-新，故A、C、D均不符合題意，選項B符合題意，

故選：B.

三、分母有理化的方法與步驟：

（1）先將分子、分母化成最簡二次根式；

（2）將分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；

（3）最后結(jié)果必須化成最簡二次根式或有理式。

例3.若3=廠*廠，b=2+a-A，則；的值為（）

V2+V3+V5b

￡!]]

A，,B'4C'V2+V30。瓜+廂

【答案】B

【分析】

將。乘以￡+*-力可化簡為關(guān)于b的式子，從而得到。和6的關(guān)系，繼而能得出?的值

V2+V3-V5b

【詳解】

的.=?,-=―（鳳右—我行（后+舁⑹_6

l，~-x[2+43+45V2+V3-V52、后一4一4

a_\

"'b~4

故選：B.

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1.（2021?上海九年級專題練習）下列式子中,與26-也互為有理化因式的是（）

A.2A/3-V2B.2V3+V2C1.73+272D.73-272

【答案】B

【分析】直接利用有理化因式的定義分析得出答案.

【詳解】

???(2V3-V2)(2V3+V2,)

=12-2,

=10,

???與26-&互為有理化因式的是：2&拒,

故選B.

2.（2019?浙江九年級三模）V2的倒數(shù)是（）

A.-41B.—C.-D.2

22

【答案】B

【分析】由于若兩個數(shù)的乘積是1,我們就稱這兩個數(shù)互為倒數(shù)，由此即可求解.

【詳解】

解：后的倒數(shù)是；=',

A/22

故選：B.

1111

3.（2021?全國九年級專題練習）計算（1-xk萬+石+：萬)(1-

J____1____1____1_111

X(正+忑+石)的結(jié)果等于（）

yplV3-\/~5

「V3V2

A.yB.—V/.--D.

532

【答案】B

【分析】設。=卡+3+￡,原式變形后計算即可求出值.

【詳解】

解：設+高

原式=(1-a)(a+[)~xa

1aa

=a+VT-『a+a斗而

=V|

-V,

故選：B.

4.(2019?上海浦東新區(qū)?中考模擬)而T的一個有理化因式是()

B.yjm-nC.y/m+y/nD.y/m-sfn

【答案】B

【解析】

【分析】找出原式的一個有理化因式即可.

【詳解】

Jm-n的一個有理化因式是，

故選B.

1

5.(2019?山東九年級一模)已知：浮，b—2+V3，則a與6的關(guān)系是()

A.a—b=0B.a+b=0C.ab=\D.a2=b2

【答案】C

【分析】先分母有理化求出a、b,再分別代入求出成、a+b,a-b、〃各個式子的值，即可得出選項.

【詳解】

解：分母有理化，可得a=2+g\b=2-道,

?-a-b=(2+6)-(2-V3)=26,故/選項錯誤，不符合題意;

a+b=(2+6)+(2-73)=4,故8選項錯誤，不符合題意;

ab=(2+7J)x(2-^/3)=4-3=1,故。選項正確，符合題意;

4=(2+6)2=4+46+3=7+46尻=(2-73)2=4-473+3=7-473,

“2孫2,故。選項錯誤，不符合題意;

故選：C.

6.(2020四川省宜賓市第二中學校)已知"=J1，b=2-6,。與6大小關(guān)系是()

A.a>bB.a<bC.a<bD.a-b

【答案】D

【分析】根據(jù)分母有理化將。=馬后進行整理即可求解.

【詳解】

12-V3

解：???"=2-5

2+>/3一(2+V3)(2-V3)一

又?.?6=2-5

：.a=b.

故選：D.

72927292

7.（2021?四川）求值:

77-79V7+V9

【答案】6

【分析】先算開方運算，再通分計算，可得答案;

【詳解】

-2-2田+3）+2（77一3）

2=士=6

解:原式一行再7777r（近+劉（近一例

-2

故答案為：6.

8.（2。2卜四川九年級二模）已知人是追的小數(shù)部分,則占二

V5+1

【答案】

4

【分析】先估算出k的值，再代入化簡即可.

【詳解】

解：2<V5<3

.111行+1

"/c+1-V5-2+1-75-1-4

故答案為：苴土!?

4

9.（2021?湖南廣益實驗中學九年級期中）先化簡，再求值：（上_i）Z+2x+l,其中工=也一i.

X—1X—1

【答案】工，叵

X+12

【分析】先將分子分母因式分解，再計算括號內(nèi)的，然后算括號外的，最后代入求值即可