概率、隨機(jī)變量與分布列-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)清單

專題20概率'隨機(jī)變量與分布列

（思維構(gòu)建+知識(shí)盤點(diǎn)+重點(diǎn)突破+方法技巧+易混易錯(cuò)）

維構(gòu)建?耀精向紿

K事件的相關(guān)概念）

《頻率與概率的關(guān)系）題型01割牛關(guān)系的判斷

壁02隨機(jī)割牛的頻率

K。知識(shí)點(diǎn)一隨機(jī)事件的概率與古典概型）■（事件的關(guān)系與運(yùn)百）題型03互斥與對(duì)立事件的判斷

「概率的基本性質(zhì)）題型04互斥與對(duì)立事件的概率計(jì)算

題型05求古典概型的概率

p相互獨(dú)立事件

Z\離散型隨機(jī)變量分布列題型01相互獨(dú)立割牛的判斷

Y。知識(shí)點(diǎn)二相互獨(dú)立事件與條彳牛概率、全概率十一——屋題型02相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算

—全概率題型03全概率與貝葉斯公式的應(yīng)用

概率、隨機(jī)變L；貝葉斯公式.

量與分布列

「隨機(jī)變量的有關(guān)概念，

題型01求離散型隨機(jī)變量的分布列

O知識(shí)點(diǎn)三隨機(jī)變量的分布列、均值與方差）一離散型隨機(jī)變量3耘J］題型02離散型隨機(jī)變量分布列性質(zhì)

題型03離散型隨機(jī)變量的均值與方差

L離散型隨機(jī)變量的均值與方差,

兩點(diǎn)分布

二項(xiàng)分布?二項(xiàng)分布的表示題型01n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布

C知識(shí)點(diǎn)四兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、題型02超幾何分布的應(yīng)用

U超幾何分布與正態(tài)分布題型正態(tài)曲線的廨計(jì)算

L二項(xiàng)分布的期望、方差03

題型04正態(tài)分布的綜合應(yīng)用

超幾何分布

口承盤點(diǎn)?置；屋訃與

知識(shí)點(diǎn)1隨機(jī)事件的概率與古典概型

1、事件的相關(guān)概念

在條件

---------,」必然事件｝［一定莖生

確定事件上--------S-下-h

在條件

事「不可能事件｝｛一定不發(fā)生卜［的事件］

件S下

隨機(jī)事件展軍斗可能發(fā)生也可能不發(fā)生卜

2、頻率與概率的關(guān)系

（1）頻率：在〃次重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)左稱為事件A發(fā)生的頻數(shù)，頻數(shù)上與總次數(shù)〃的比

值幺，叫做事件A發(fā)生的頻率.

n

（2）概率：在大量重復(fù)盡心同一試驗(yàn)時(shí)，事件A發(fā)生的頻率（總是接近于某個(gè)常數(shù)，并且在它附近擺

n

動(dòng)，這時(shí)，就把這個(gè)常數(shù)叫做事件A的概率，記作尸（A）.

(3)概率與頻率的關(guān)系：對(duì)于給定的隨機(jī)事件A,由于事件A發(fā)生的頻率人隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定

n

于概率尸(A),因此可以用頻率人來估計(jì)概率P(A).

n

3、事件的關(guān)系與運(yùn)算

(1)包含關(guān)系：一般地，對(duì)于事件A和事件3,如果事件A發(fā)生，則事件3一定發(fā)生，這時(shí)稱事件3包含

事件A(或者稱事件A包含于事件3),記作或者

(2)相等關(guān)系：一般地，若且稱事件A與事件3相等.

(3)并事件(和事件)：若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件3發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件3的

并事件(或和事件)，記作AU3(或A+3).

(4)交事件(積事件)：若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件8發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B

的交事件(或積事件)，記作4口3(或A5).

(5)互斥事件：在一次試驗(yàn)中，事件A和事件3不能同時(shí)發(fā)生，即AnB=0,則稱事件A與事件3互斥；

如果4，中任何兩個(gè)都不可能同時(shí)發(fā)生，那么就說事件A，.4.，…，A”彼此互斥.

(6)對(duì)立事件：若事件A和事件3在任何一次實(shí)驗(yàn)中有且只有一個(gè)發(fā)生，即AU3=。不發(fā)生，AnS=0

則稱事件A和事件B互為對(duì)立事件，事件A的對(duì)立事件記為N.

4、概率的基本性質(zhì)

(1)對(duì)于任意事件A都有：OVP(A)W1.

(2)必然事件的概率為1,即P(O)=1；不可能事概率為0,即P(0)=O.

(3)概率的加法公式：若事件A與事件3互斥，則P(AU3)=P(A)+P(B).

推廣：一般地，若事件A，4，…，4彼此互斥，則事件發(fā)生(即A，4，…，4中有一個(gè)發(fā)生)

的概率等于這〃個(gè)事件分別發(fā)生的概率之和，即：尸(A+&+…+A)=P(A)+P(4)+…+尸(43

(4)對(duì)立事件的概率：若事件A與事件3互為對(duì)立事件，則尸0)=1-尸(3),P(B)=1-P(A),且

P(AU8)=P(A)+P(B)=1.

(5)概率的單調(diào)性：若AgB,則P(A)WP(3).

(6)若A,8是一次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中的兩個(gè)事件，則尸(41；3)=2(4)+「(3)-2(4門3).

5、古典概型

(1)古典概型的定義：一般地，若試驗(yàn)E具有以下特征：

①有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；

②等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等.

稱試驗(yàn)E為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典概型.

(2)古典概型的概率公式：一般地，設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間。包含"個(gè)樣本點(diǎn)，事件A包含其中

的上個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事件A的概率尸缶)=&=粵.

n

知識(shí)點(diǎn)2相互獨(dú)立事件與條件概率、全概率

1、相互獨(dú)立事件

(1)相互獨(dú)立事件的概念

對(duì)于兩個(gè)事件A,B,如果尸(2|4)=尸(2),則意味著事件A的發(fā)生不影響事件B發(fā)生的概率.設(shè)

P(A)>0,根據(jù)條件概率的計(jì)算公式，尸(2)=尸(B|A)=曳竺1,從而尸(AB)=P(A)尸(3).

P(A)

由此可得：設(shè)A,8為兩個(gè)事件，若尸(AB)=P(A)P(3),則稱事件A與事件8相互獨(dú)立.

(2)概率的乘法公式：由條件概率的定義，對(duì)于任意兩個(gè)事件A與3,若尸(A)>0,則

P(AB)=P(A)P(3|A).我們稱上式為概率的乘法公式.

(3)相互獨(dú)立事件的性質(zhì)：如果事件A,3互相獨(dú)立，那么A與耳，Z與8,Z與否也都相互獨(dú)立.

(4)兩個(gè)事件的相互獨(dú)立性的推廣：兩個(gè)事件的相互獨(dú)立性可以推廣到〃(〃>2,〃eN*)個(gè)事件的相互獨(dú)立

性，即若事件4，4相互獨(dú)立，則這幾個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率P(A4…。)=尸(A)(4)…P(4)?

2、條件概率

(1)條件概率的定義：一般地，設(shè)A,3為兩個(gè)事件，且尸(A)>0,稱P(B|A)=E^為在事件A發(fā)生的

條件下，事件5發(fā)生的條件概率.

(2)條件概率的性質(zhì)

①條件概率具有概率的性質(zhì)，任何事件的條件概率都在o和1之間，即oW尸(例A)w1.

②必然事件的條件概率為1,不可能事件的條件概率為0.

③如果8與C互斥，則P(3UC|A)=P(B|A)+P(C|A).

3、全概率公式

(1)全概率公式：P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B\A)；

(2)若樣本空間。中的事件a，4滿足：

①任意兩個(gè)事件均互斥，即44=0，iHj；

②A+4+—^4=。；

③尸(4)>0,i=l,2,：.,n.

則對(duì)。中的任意事件都有3=網(wǎng)+%+…+網(wǎng),，且

P(8)=1P(%)=之尸⑷尸(例A).

z=li=\

4、貝葉斯公式

(1)一般地，當(dāng)O<P(A)<1且尸(B)>0時(shí)，有P(A|股=冷尸(A)P(B|A)

P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)

(2)定理2若樣本空間。中的事件A,4,…，A滿足：

①任意兩個(gè)事件均互斥，即4&=0,i,j=1,2,…，幾,j；

②A+&H-1~4=。；

③0<P(a)<l，i=l,2,.

則對(duì)Q中的任意概率非零的事件B,都有5=%+%+…+時(shí),

且P(AjB)="⑻A)="網(wǎng)4)

尸⑻之尸⑷尸網(wǎng)可)

Z=1

知識(shí)點(diǎn)3隨機(jī)變量的分布列、均值與方差

1、隨機(jī)變量的有關(guān)概念

(1)隨機(jī)變量：隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量，常用字母X,Y,<5〃，…表示.

(2)離散型隨機(jī)變量：所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量.

2、離散型隨機(jī)變量分布列

(1)離散型隨機(jī)變量分布列的表示：一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為不，%

X取每一個(gè)值％(i=l,2,…的概率P(X=%)=Pj,以表格的形式表示如下：

X石X2%Xn

PPl，2PiPn

我們將上表稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列，簡(jiǎn)稱為X的分布列.有時(shí)為了簡(jiǎn)單起見，也用等式

P(X=xj=P],i=1,2,…，〃表示X的分布列.

(2)分布列的性質(zhì)：(1)p.>0>i=1,2,…；(2)P[+p2T----卜p”=1.

3、離散型隨機(jī)變量的均值與方差

(1)均值：月制)=%門+尤2。2+-+占0+-+尤,2為隨機(jī)變量*的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)

變量取值的平均水平.

(2)均值的性質(zhì)

①E(C)=C(C為常數(shù)).

?^Y=aX+b,其中a,6為常數(shù)，則Y也是隨機(jī)變量，且E(aX+力=aE(X)+6.

③E(X1+Xz)=夙XJ+E(X2).

④如果X1,X?相互獨(dú)立，則E(X/X2)=E(XJ?E(X?).

(3)方差：。儂)=￡(%-頤*))20,為隨機(jī)變量乂的方差，它刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離

Z=1

程度，稱其算術(shù)平方根yjD(X)為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差.

(4)方差的性質(zhì)

?^Y=aX+b,其中。力為常數(shù)，則丫也是隨機(jī)變量，且。(aX+b)="D(X).

②方差公式的變形：D(X)=E(X2)_[E(X)f.

知識(shí)點(diǎn)4兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布與正態(tài)分布

I、兩點(diǎn)分布：若隨機(jī)變量X的分布列具有下表的形式，則稱X服從兩點(diǎn)分布，并稱p=P(X=l)為成功概率.

X01

P1—pP

2、二項(xiàng)分布

(1)〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)：一般地，在相同條件下重復(fù)做的〃次試驗(yàn)稱為〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).

【注意】獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的條件：①每次試驗(yàn)在同樣條件下進(jìn)行；②各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的；③每次試驗(yàn)都

只有兩種結(jié)果，即事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生.

(2)二項(xiàng)分布的表示：一般地，在〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件

A發(fā)生的概率為p,不發(fā)生的概率q=1-°,那么事件A恰好發(fā)生七次的概率是尸(X=刈=C：PkQ"'k(左=0，

1,2,"),于是得到X的分布列

X01kn

Pc>VC\plq"-lUpkq-CPZ。

由于表中第二行恰好是二項(xiàng)式展開式(q+p)"=C°p°qn+C：+…+C：pkqn-k+-+C：p-q°各對(duì)應(yīng)

項(xiàng)的值，稱這樣的離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為"，p的二項(xiàng)分布，記作X?3(”，p),并稱p為成功概率.

(3)二項(xiàng)分布的期望、方差：若XLB(〃，P),則E(X)=叨，D(X)=wp(l—p).

3、超幾何分布：在含有〃件次品的N件產(chǎn)品中，任取〃件，其中恰有X件次品，則事件｛X=k｝發(fā)生的概

率為P(X=4)=莘上，左=。，1,2,…，機(jī)

其中羽=min{M,〃}，且〃<N,M<Nfn,M,NeN*,

稱分布列為超幾何分布列.如果隨機(jī)變量X的分布列為超幾何分布列，則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.

X01m

「0「般-0/^n-m

LM^N-M

P

品瑪

4、正態(tài)曲線與正態(tài)分布

（1）正態(tài)曲線：我們把函數(shù)'b（x）=I—e,XG（-co,+8）（其中〃是樣本均值，o■是樣本標(biāo)準(zhǔn)差）

，271b

的圖象稱為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線.正態(tài)曲線呈鐘形，即中間高，兩邊低.

（2）正態(tài)曲線的性質(zhì)

①曲線位于不軸上方，與九軸不相交；

②曲線是單峰的，它關(guān)于直線％=〃對(duì)稱；

③曲線在x=〃處達(dá)到峰值（最大值）

④曲線與X軸之間的面積為1；

⑤當(dāng)b一定時(shí)，曲線的位置由〃確定，曲線隨著〃的變化而沿X軸平移；

⑥當(dāng)〃一定時(shí)，曲線的形狀由b確定.b越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中；b越大，曲線

越“矮胖”，表示總體的分布越分散，

（3）正態(tài)分布：一般地，如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)a,b（a<b）,隨機(jī)變量X滿足「（。<*43=［）“。（方改，則

稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布.正態(tài)分布完全由參數(shù)〃，b確定，因此正態(tài)分布常記作N（〃，4）.如果隨機(jī)

變量X服從正態(tài)分布，則記為X~,cr2）.

其中，參數(shù)〃是反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征數(shù)，可以用樣本的均值去估計(jì)；。是衡量隨機(jī)變

量總體波動(dòng)大小的特征數(shù)，可以用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì).

（4）3cr原則

若X~,則對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a>0,尸（〃-“<X+=（無）dr為下圖中陰影部分的

面積，對(duì)于固定的〃和。而言，該面積隨著b的減小而變大.這說明b越小，X落在區(qū)間（〃-氏〃+力的概

率越大，即X集中在〃周圍的概率越大

特另lj地，有P(〃一cr<X44+b)=0.6826；-2cr<X4〃+2。)=0.9544；P(〃-3cr<X4〃+3cr)

=0.9974.

由尸（4-3CT<XW〃+3cr）=0.9974,知正態(tài)總體幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間（〃-3b,〃+3cr）之內(nèi).而在此區(qū)間

以外取值的概率只有0.0026,通常認(rèn)為這種情況在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生，即為小概率事件.在實(shí)際

應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N（〃，4）的隨機(jī)變量X只?。ā?3。，〃+3。）之間的值，并簡(jiǎn)稱之為3b

原則.

點(diǎn)突破?春分好?檢

重難點(diǎn)01二項(xiàng)分布中的最值問題

記Pk=P（x=k）,則當(dāng)無<（"+l）p時(shí),Pk>P1,pk遞增;當(dāng)%<5+1）0時(shí)，Pk<PwP"遞減.

故Pk最大值在上=（"+Dp時(shí)取得（此時(shí)Pk=Pl,兩項(xiàng)均為最大值；

若（〃+1）。非整數(shù)，則左取5+DP的整數(shù)部分時(shí)，0最大且唯一）.

【典例1】（24-25高三上?河北滄州?月考）某市為了傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，組織該市中學(xué)生進(jìn)行了一次文

2

化知識(shí)答題競(jìng)賽.已知某同學(xué)答對(duì)每道題的概率均為,，且每次答題相互獨(dú)立，若該同學(xué)連續(xù)作答20道試題

后結(jié)束比賽，記該同學(xué)答對(duì)機(jī)道試題的概率為〃間，則當(dāng)根=時(shí)，〃m）取得最大信

【答案】13或14

【解析】由題意得/（加）=得0<w<20JLmeN,

則

（777+1）

、

____2_0!___x2>______2_0!____x1

m!（20-m）!3"（m-l）!（21-m）!3

又加EN,所以m=13或m=14,

20!1、20!2

--------x-2------------x—

m!（20-m）!3（m+l）!（19-m）!3

故當(dāng)機(jī)=13或機(jī)=14時(shí)，/（根）取得最大值.

故答案為：13或14.

【典例2]（24-25高三上?江西新余?月考）已知4個(gè)獨(dú)立的報(bào)警器都只有“發(fā)出警報(bào)”和“不發(fā)出警報(bào)”兩種狀

2

態(tài)，某種險(xiǎn)情發(fā)生時(shí)每個(gè)報(bào)警器都有!■的概率發(fā)出警報(bào)，設(shè)某次險(xiǎn)情發(fā)生時(shí)發(fā)出警報(bào)的警報(bào)器數(shù)量為X.

⑴求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

⑵求左（々eN*）的值使某次險(xiǎn)情發(fā)生時(shí)有最大的概率有％個(gè)報(bào)警器發(fā)出警報(bào).

Q

【答案】（1）分布列見解析，-；3k=3

2

【解析】（1）根據(jù)題意，X?&（4,§）,X可以取0、1、2、3、4,

p(x=o)=

8

p(x=i)=c；

81

8

尸(x=2)=c

27,

32

P（X=3）=C；

81

16

尸(X=4)=

81

所以，X的分布列:

X01234

1883216

P

8181278181

7Q

故E(X)=4x§=,

710

解得：又由于左￡N*,故左=3

重難點(diǎn)02概率在決策中的應(yīng)用

利用隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差可以幫助我們做出科學(xué)的決策，其中隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望的意義在于描

述隨機(jī)變量的平均程度，而方差則描述了隨機(jī)變量穩(wěn)定與波動(dòng)或集中與分散的狀況.品種的優(yōu)劣、預(yù)報(bào)的

準(zhǔn)確與否、機(jī)器的性能好壞等很多指標(biāo)都與這兩個(gè)特征量有關(guān).

【典例1】（2024?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè)）小張參加某項(xiàng)專業(yè)能力考試.該考試有A,B,C三類問題，考生可

以自行決定三類問題的答題次序，回答問題時(shí)按答題次序從某一類問題中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答

正確則考試通過，若回答錯(cuò)誤則繼續(xù)從下一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，依此規(guī)則，直到三類問題

全部答完，仍沒有答對(duì)，則考試不通過.已知小張能正確回答A,B,C三類問題的概率分別為Pi，P2,P3,

且每個(gè)問題的回答結(jié)果相互獨(dú)立.

（1）若小張按照A在先，B次之，C最后的順序回答問題，記X為小張的累計(jì)答題數(shù)目，求X的分布列；

（2）小張考試通過的概率會(huì)不會(huì)受答題次序的影響，請(qǐng)作出判斷并說明理由；

（3）設(shè)。<。3<上<“<1，為使累計(jì)答題數(shù)目的均值最小，小張應(yīng)如何安排答題次序？并說明理由.

【答案】⑴答案見解析；⑵不會(huì)，理由見解析；（3）應(yīng)按A-8fC的順序答題，理由見解析

【解析】（1）按4-3一。的順序答題，X的可能取值為L(zhǎng)2,3,

則P（X=1）=01，尸（x=2）=（1—0）,2,P（X=3）=（1-㈤（1一。2）,

所以X的分布列為：

X123

PPi（1-A）A（1-烏）（1-。2）

（2）小張考試通過的概率不受答題次序的影響，理由如下：

由題意，小張沒有通過考試的情況只有三題全部答錯(cuò)，

所以小張考試通過的概率均為1-（I-PJ（I-P2）（I-P3）

（3）應(yīng)按A-3fC的順序答題，理由如下：

設(shè)0<p3Vp2<1,>o,l-P2>o,l-p3>0,

0_P]<o,P3_Pl<o,P3_Pz<0.

若按Af3-C的順序答題，設(shè)X1為此時(shí)小張的累計(jì)答題數(shù)目，

由（1）得E（XJ=1XR+2（1一21）°2+3（1-01）（1-°2）=3-2口-02+。也；

若按A3的順序答題，設(shè)X?為此時(shí)小張的累計(jì)答題數(shù)目，

則尸（舄=1）=2尸（X?=2）=（1—，）死,尸（X?=3）=（1—pj（1—P3）,

所以E（X2）=1XP[+2（1-P1）P3+3（1—01）（1—03）=3-2p]-p3+RP3，

則E（X]）-6（X2）=（3-2月-P2+P1P2）-（3-2P]-2+P1P3）

=03-生一2（。3-。2）=（1一月）（。3-。2）<。，

則E（xJ<E（X2）.

若按3fAfC的順序答題，設(shè)X3為此時(shí)小張的累計(jì)答題數(shù)目，

同理可得E（X3）=3-202-口+pa】.

若按3fCfA的順序答題，設(shè)X,為此時(shí)小張的累計(jì)答題數(shù)目，

同理可得E(xj=3-2P2-03+P2P3-

((

EX3)-EX4)=(l-p2)(p3-PI)<O,E(X3)<E(X4),

若按CfAf3的順序答題，設(shè)X$為此時(shí)小張的累計(jì)答題數(shù)目，

同理可得E(X$)=3-2「3-口+R.

若按Cf3-A的順序答題，設(shè)X6為此時(shí)小張的累計(jì)答題數(shù)目，

同理可得E(X6)=3-2P3-P2+p3P2.

E(X5)-E(X6)=(l-p3)(p2-Pl)<0,E(Xs)<E(X6).

所以累計(jì)答題數(shù)目的均值最小的，是E(XJ、5(X3)、8X5)中最小的一個(gè)，

E(XI)=3-2p1-p2+pxp2=3-pl-p2+p1p2-pi,

E(X3)=3-2p?-R+R=3-02-Pi+2Pi-2，

所以E(xJ<E(X3),

召(X3)-E(X5)=(3-P2—P]+2P]-。2)-(3-2°3—P[+P3P])

「「「

=3-pP\+p2PP3+2P3+p/p3Pl=(^2-^3)(^-2)<0,

所以E(X3)〈磯X$),

所以最小的是E(XJ,

所以應(yīng)按AfBiC的順序答題.

【典例2](23-24高三下?安徽?一模)高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷的多項(xiàng)選擇題每小題滿分6分，每小題有4個(gè)選項(xiàng)，

其中只有2個(gè)或者3個(gè)選項(xiàng)是正確的.若正確選項(xiàng)有2個(gè)，則選對(duì)其中1個(gè)得3分；若正確選項(xiàng)有3個(gè)，則

選對(duì)其中1個(gè)得2分，選對(duì)其中2個(gè)得4分，答案中有錯(cuò)誤選項(xiàng)的得0分.設(shè)一套數(shù)學(xué)試卷的多項(xiàng)選擇題中

有2個(gè)選項(xiàng)正確的概率為p(O<p<l),有3個(gè)選項(xiàng)正確的概率為1-P.在一次模擬考試中：

(1)小明可以確認(rèn)一道多項(xiàng)選擇題的選項(xiàng)A是錯(cuò)誤的，從其余的三個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選擇2個(gè)作為答案，若小明

該題得分X的數(shù)學(xué)期望為3,求p；

(2)小明可以確認(rèn)另一道多項(xiàng)選擇題的選項(xiàng)A是正確的，其余的選項(xiàng)只能隨機(jī)選擇.小明有三種方案：①只選

A不再選擇其他答案；②從另外三個(gè)選項(xiàng)中再隨機(jī)選擇1個(gè).共選2個(gè)；③從另外三個(gè)選項(xiàng)中再隨機(jī)選擇2

個(gè)，共選3個(gè).若0=：,以最后得分的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，小明應(yīng)該選擇哪個(gè)方案？

【答案】(1)；；(2)②

【解析】⑴根據(jù)題意可知,X=0,4,6,

91

若該題有2個(gè)選項(xiàng)正確，則尸(X=0}=jp,P(X=6)=-p,

3

若該題有3個(gè)選項(xiàng)正確，則P（X=4）=：x（l-p）=1-p,

則分布列如下:

X046

21

P—pl-p-p

33

211

所以WxjuOxip+dxO-pj+GxipMd-ZpMS,解之得p=—■,

（2）不妨記一道多選題“有2個(gè)選項(xiàng)正確”為事件4,

“有3個(gè)選項(xiàng)正確”為事件&,

若小明選擇方案①，

記小明該題得分為X,則X的可能取值為2,3,對(duì)應(yīng)概率為:

21

尸（X=2）=尸（4）=gP（X=3）=尸（4）="

217

^E（X）=2x-+3x-=-

若小明選擇方案②，

記小明該題得分為y,則y的可能取值為。,4,6,對(duì)應(yīng)概率為:

p（y=o）=p（A）x|^+p（4）x|F=|x|+|x|=i,

C1774

P（Y^4）=P（A2）X-^=-X-=-

p（y=6）=P（A）x|^-=|x|=1

若小明選擇方案③,

記小明該題得分為z,則Z的可能取值為0,6,對(duì)應(yīng)概率為:

P（Z=O）=P（A）xf+P（A）x^=|+|x|=Z

P（Z=6）=P（4）x||=|x|=|.

791?4

故E（Z）=0X§+6X§=§

3

E（Z）＜E（X）＜E（Y）,

故以最后得分的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，小明應(yīng)該選擇方案②.

重難點(diǎn)03概率統(tǒng)計(jì)與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的綜合問題

（1）根據(jù)題目所求或題干給出的條件確定自變量及其取值范圍；

（2）根據(jù)題意構(gòu)建函數(shù)模型，寫出函數(shù)的解析式；

（3）對(duì)構(gòu)造的函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)或利用函數(shù)單調(diào)性，求解目標(biāo)函數(shù)的最值或最優(yōu)解.

【典例1】（23-24高三下?湖北襄陽?模擬預(yù)測(cè)）甲和乙兩個(gè)箱子中各裝有N個(gè)大小、質(zhì)地均相同的小球，并

且各箱中;是紅球，1?是白球.

（1）當(dāng)N=5時(shí)，從甲箱中隨機(jī)抽出2個(gè)球，求2個(gè)球的顏色不同的概率.

（2）由概率學(xué)知識(shí)可知，當(dāng)總量N足夠多而抽出的個(gè)體足夠少時(shí)，超幾何分布近似為二項(xiàng)分布，現(xiàn)從甲箱中

不放回地取3個(gè)小球，恰有2個(gè)白球的概率記作A；從乙箱中有放回地取3個(gè)小球，恰有2個(gè)白球的概率

記作2.

①求6,Q

②當(dāng)N至少為多少時(shí)，我們可以在誤差不超過0.001（即6-￡40001）的前提下認(rèn)為超幾何分布近似為二

項(xiàng)分布？（參考數(shù)據(jù)：24.04）.

【答案】（1）=;⑵①「J815J,鳥=0.288；②145

5125

【解析】（1）當(dāng)N=5時(shí)，甲箱中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球，從甲箱中隨機(jī)抽出2個(gè)球，

基本事件總數(shù)〃=C；=10,

記事件A表示“抽出的兩個(gè)球的顏色不同”，則事件A包含的基本事件個(gè)數(shù)m=C；C；=6,

則2個(gè)球的顏色不同的概率為尸（A）='=2=].

n105

2

-N\-N-\

55_

c；cl--N

（2）①?！畟€(gè)~25=18x、一,

N（N-1）（N-2）25（N-l）（N-2）

6

2

E=C；Ix-=—=0.288,

5I5125

N\-N-l

?-：Px-P2<0.001,即身即身x5289,

石（）（）-0.288<o.oor，、/、/、＜0.289二

xN-lN-225（N-1）（N-2）1000

即,2_8__9_x_2_5-.2..8..9.,

（N-l）（N-2）—100018~720

由題意知（N—1）（N—2）>。

從而720N]gN-“W289（N-l）（N-2）,

化簡(jiǎn)得N2-147N+57820,

578

又N>0,.-.N+—>147,

N

578z八、,578d-578

令…/（x、）=x+—（尤>0）,貝=]=———，

%XXr

所以當(dāng)0<x<后i時(shí)，/（x）<0,當(dāng)時(shí)尸（x）>0,

所以/（%）在（。，同）上單調(diào)遞減，在（、際,+8）上單調(diào)遞增,

所以/（x）在x=&78?24.04處取得最小值，

從而y=N+——在N225時(shí)單調(diào)遞增，

N

23

考慮到gN,gN都是整數(shù)，則N一定是5的正整數(shù)倍，

<"70

當(dāng)N<20時(shí)，N+一<147,

N

57857X

又142+——x146.07<147,143+——?147.04>147,

142143

???當(dāng)N2143時(shí)，符合題意，則N至少為145.

【典例2]（23-24高三下.遼寧沈陽.模擬預(yù)測(cè)）某校舉行籃球比賽，規(guī)則如下：甲、乙每人投3球，進(jìn)球多

的一方獲得勝利，勝利1次，則獲得一個(gè)積分，平局或者輸方不得分.己知甲和乙每次進(jìn)球的概率分別是:和

P,且每人進(jìn)球與否互不影響.

3

（1）若。=求乙在一輪比賽中獲得一個(gè)積分的概率；

4

13

（2）若:7VpV1，且每輪比賽互不影響，乙要想至少獲得3個(gè)積分且每輪比賽至少要超甲2個(gè)球，從數(shù)學(xué)期

34

望的角度分析，理論上至少要進(jìn)行多少輪比賽？

153

【答案】（1）右；（2）12.

256

【解析】（1）設(shè)事件a表示甲在一輪比賽中投進(jìn)i個(gè)球，

片表示乙在一輪比賽中投進(jìn)i?=0,1,2,3）個(gè)球，

則P⑷出",-4梟|,

P⑷=嗯;=|,尸⑷=鳴三;

尸闖=喘冏*34閭魯

則乙在一輪比賽中獲得一個(gè)積分的概率為：

尸=尸(44)+尸(44)+「(與4)+「(片4)+尸(用4)+“用4)

=尸(4)尸(4)+?與)尸(4)+尸(52)P(A)+P(B3)P(4)

153

+尸(員)尸(4)+尸(鳥)尸(4)=刀.

ZJO

(2)P(3j=C；(l_p爐，尸(星)=仁(1-0°/=/

設(shè)事件C表示乙每場(chǎng)比賽至少要超甲2個(gè)球，則

P(C)=P(324)+P(33)P(4)+P(33)P(A)=C；p2(「P)xg+p3]+mp3+|p2;

設(shè)隨機(jī)變量X表示n輪比賽后，乙在每輪比賽至少要超甲2個(gè)球的情況下獲得的積分,

顯然乂~31:"+：02[故E(x)=〃[p3+tp2j,

要滿足題意，貝IJE(X)23,BP?QP3+|P2"|＞3,

i3「13"l3「]3-

令/（無）=g/+g尤二xe,貝IJ/'（x）=gX（x+2）＞。在xe恒成立,

oo|_34」o[_34_

「]3"

故“X)在§7上單調(diào)遞增，

乂“X)的最大值為了@卜!||,

3

1QIQSS19

貝的最大值為m，13,32的最小值為美,

88512-p+-p45

OO

而11＜生＜12

45

故理論上至少要進(jìn)行12輪比賽.

重難點(diǎn)04概率統(tǒng)計(jì)與數(shù)列的綜合問題

1、概率統(tǒng)計(jì)與數(shù)列的綜合問題涉及的三個(gè)方面

（1）以數(shù)列為背景考查概率問題.此類問題表面看來是數(shù)列問題，但實(shí)際上常考查互斥事件和相互獨(dú)立事

件的概率，解決這類問題，首先要清楚基本的概率模型的定義，再選擇恰當(dāng)?shù)母怕使浇鉀Q問題.

（2）以期望為背景考查數(shù)列求和.此類問題求解的關(guān)鍵是確定變量的所有可能取值及對(duì)應(yīng)的概率，深入考

查了數(shù)列求和的方法.

（3）以概率為背景考查數(shù)列通項(xiàng)公式.此類問題的求解關(guān)鍵是通過對(duì)概率關(guān)系的研究，構(gòu)造數(shù)列.

2、題型識(shí)別

此類問題的特征是第n次操作的情況會(huì)影響第n+l次操作的情況，解題步驟如下：

（1）設(shè)出第”次操作后需要求解的概率P；

（2）根據(jù)題目中的條件得到數(shù)列｛Pn｝所滿足的遞推關(guān)系式；

（3）通過數(shù)列遞推關(guān)系式求通項(xiàng)或數(shù)列的和解決問題.

【典例1］（23-24高三下?山東荷澤?模擬預(yù)測(cè)）荷澤牡丹栽培始于隋，興于唐，盛于明清，自古享有“曹州牡

丹甲天下”的美譽(yù).四月，荷澤大地上牡丹次第綻放，觀賞牡丹擁有9大色系、10大花型、1280余個(gè)品種，以

最亮眼的姿態(tài)恭迎八方游人.某旅行團(tuán)帶游客來荷澤觀賞牡丹，游客可自由選擇曹州牡丹園和中國(guó)牡丹園的

一處游覽，若每位游客選擇曹州牡丹園的概率是:，選擇中國(guó)牡丹園的概率是：，游客之間選擇意愿相互獨(dú)

立.

（1）從游客中隨機(jī)選取3人，記3人中選擇曹州牡丹區(qū)的人數(shù)為X,求X的分布列、均值與方差;

（2）現(xiàn)對(duì)游客進(jìn)行問卷調(diào)查，若選擇曹州牡丹園記2分，選擇中國(guó)牡丹園記1分，記已調(diào)查過的累計(jì)得分為〃

分的概率為匕,求