高考數(shù)學重難點專練：指、對、冪數(shù)比較大小問題【七大題型】（解析版）

重難點04指、對、幕數(shù)比較大小問題【七大題型】

【新高考專用】

?題型梳理

【題型1利用單調性比較大小】................................................................2

【題型2中間值法比較大小】...................................................................4

【題型3作差法、作商法比較大小】............................................................5

【題型4構造函數(shù)法比較大小】.................................................................7

【題型5數(shù)形結合比較大小】...................................................................8

【題型6含變量問題比較大小】................................................................12

【題型7放縮法比較大小】....................................................................14

?命題規(guī)律

從近幾年的高考情況來看，指、對、幕數(shù)的大小比較問題是高考重點考查的內容之一，是高考的熱點

問題，主要以選擇題的形式考查，往往將哥函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等混在一起，進行排序

比較大小.這類問題的主要解法是利用函數(shù)的性質與圖象來求解，解題時要學會靈活的構造函數(shù).

?知識梳理

【知識點1指、對、塞數(shù)比較大小的一般方法】

1.單調性法：當兩個數(shù)都是指數(shù)塞或對數(shù)式時，可將其看成某個指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)或募函數(shù)的函數(shù)

值，然后利用該函數(shù)的單調性比較，具體情況如下：

①底數(shù)相同，指數(shù)不同時，如優(yōu)‘和。"，利用指數(shù)函數(shù)＞的單調性；

②指數(shù)相同，底數(shù)不同時，如町和球，利用幕函數(shù)單調性比較大小;

③底數(shù)相同，真數(shù)不同時，如l°g“再和l°g"%,利用指數(shù)函數(shù)l°g“x單調性比較大小.

2.中間值法：當?shù)讛?shù)、指數(shù)、真數(shù)都不同時，要比較多個數(shù)的大小，就需要尋找中間變量0、1或者其

它能判斷大小關系的中間量，然后再各部分內再利用函數(shù)的性質比較大小，借助中間量進行大小關系的判

定.

3.作差法、作商法：

(1)一般情況下，作差或者作商，可處理底數(shù)不一樣的對數(shù)比大??；

(2)作差或作商的難點在于后續(xù)變形處理，注意此處的常見技巧與方法.

4.估算法：

(1)估算要比較大小的兩個值所在的大致區(qū)間；

(2)可以對區(qū)間使用二分法(或利用指對轉化)尋找合適的中間值，借助中間值比較大小.

5.構造函數(shù)法：

構造函數(shù)，觀察總結“同構”規(guī)律，很多時候三個數(shù)比較大小，可能某一個數(shù)會被可以的隱藏了“同構”

規(guī)律，所以可能優(yōu)先從結構最接近的的兩個數(shù)來尋找規(guī)律，靈活的構造函數(shù)來比較大小.

6、放縮法：

(1)對數(shù)，利用單調性，放縮底數(shù)，或者放縮真數(shù)；

(2)指數(shù)和幕函數(shù)結合來放縮；

(3)利用均值不等式的不等關系進行放縮.

?舉一反三

【題型1利用單調性比較大小】

111

【例1】(2023?陜西商洛?統(tǒng)考一模)已知a=0.9.力=log由c=logj2,則()

23

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.b>a>c

【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調性判斷a的范圍，根據(jù)對數(shù)的運算性質以及對數(shù)函數(shù)性質判斷b,c的范

圍，即可得答案.

【解答過程】因為y=0.9%為R上的單調減函數(shù)，y=log2%,y=log3%為(0,+8)上的單調增函數(shù)，

故0<Ogi，<0,9°=ljogij=log23>ljogi2=-log32<0,

23

所以b>a>c,

故選:D.

22

【變式1-1](2023?四川南充?模擬預測)已知a=(I)%=(I))。=log。，則()

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

2

【解題思路】由y=/在(0,+8)上遞增比較訪b,再由y=log卒:在(0,+8)上遞減，得到cVO比較即可.

5

2

【解答過程】因為丫=/在(。,+8)上遞增，且|<(,

22

所以◎((I)[即。<。<從

又y=log/在(0,+8)上遞減，

5

所以c=log/<log21=0,

55

所以c<a<b,

故選：D.

231

【變式1-2](2023?廣東廣州?統(tǒng)考二模)已知a=33,b=24,c=43,貝i]()

A.c<a<bB.b<c<a

C.b<a<cD.c<b<a

【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)，系函數(shù)的性質即可判斷b<a,c<a,再對6,c進行取對數(shù)，結合對數(shù)函數(shù)

的性質即可判斷c<b,進而即可得到答案.

21311

【解答過程】由a=3,=9),fa=2J=8\c=￡

Ill

則b=8”<81V9"Va,c<a,

ii

4332

Xlog26=log28=4,log2C=log24=3,

則log2c<log2h,即c<b,

所以c<b<a.

故選：D.

【變式1?3】(2023?河南?校聯(lián)考模擬預測)已知a=ln7?力=log37r,c=min2,貝！Ja,瓦c的大小關系是()

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

【解題思路】利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)，幕函數(shù)的性質求解.

【解答過程】e<3<7T,a=loge7T>log37r=b>log33=1,即a>b>

va=In/r=ln(m)2,c=61112=ln2”，

下面比較(5)2與2赤的大小，構造函數(shù)y=7與y=2X,

由指數(shù)函數(shù)y=2、與幕函數(shù)y=7的圖像與單調性可知，

當x6(0,2)時，x2<2\當x6(2,4)時，X2>2X

由刀=次€(0,2),故(口)2<26，故lmr<In2?,即。<c,

所以b<a<c,

故選：A.

【題型2中間值法比較大小】

【例2】（2023?陜西寶雞?校聯(lián)考模擬預測）己知a=6"職，4,唯°：貝|（）

A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>a>b

【解題思路】利用對數(shù)函數(shù)的單調性、中間值法以及指數(shù)函數(shù)的單調性可得出a、b,c的大小關系.

-1

【解答過程】因為啕3.4>啕2=1=log44>Iog43.6,Iog30.3=log3y>log33=1,

3

2

又因為log23.4>log22M=|=log33=log33V3>log3y=-log30.3,

所以，log23.4>-log30.3>log43.6,

所以，6吟4〉6.晦。3=0幅。3〉屋43.6,即a〉c>b.

故選：C.

【變式2-1］（2023上?天津河東?高三?？茧A段練習）已知a=2-log23,fo=2-log34,c=log23+log34

，貝（?。ǎ?/p>

A.c<a<bB.b<a<c

C.a<b<cD.c<b<a

33

【解題思路】利用對數(shù)的性質求得10g23>2>l<10g34<2，即可判斷大小關系.

333

【解答過程】由10g23=Iog2（2X2）=1+log22>1+log2M=2'

44r—33

3

由log34=log3（3x3）=1+log33<1+log3V=矛則1<log34<5，

15

所以a=2-log23<^<b=2-log34<!<2<c=Iog23+log34,即a<b<c,

故選：c.

【變式2-2]（2023上?河南開封?高一校考階段練習）已知a=logi2023力=log20232024,c=2023-"匕

3

則a,b,C的大小關系是（）

A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD.c>a>b

【解題思路】利用函數(shù)單調性和中間值比較出大小.

2024

[解答過程】a=Iogl2023<0,b=log20232024>log20232023=l,c=2023-￡（0,1）,

3

故b>c>a.

故選：B.

【變式2-3]（2023?浙江嘉興?統(tǒng)考二模）已知a=1.112力=I.21，3,C=1.31,，則（）

A.c<b<aB.a<b<c

C.c<a<bD.a<c<b

【解題思路】利用中間值IN、2比較0,6的大小，再讓b,c與中間值131比較，判斷6,c的大小，即可得解.

【解答過程】&=1.112<1.212<1,21,3=仇又因為通過計算知1.2“<1.33,所以（I2,產<（1.33產，即

1709

1.2<1,3,

X1.201<1.301,所以1,213<I,31<1,311=C,所以a<b<c.

故選：B.

【題型3作差法、作商法比較大小】

2

【例3】（2023?山東青島?統(tǒng)考模擬預測）已知％=log32,y=log43,z=G1,則％、y、z的大小關系為

（）

A.x>y>zB.y>x>zC.z>y>xD.y>z>x

4

【解題思路】利用作差法結合基本不等式可得出X、y的大小關系，利用中間值s結合指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)

的單調性可得出y、z的大小關系，綜合可得出x、y、z的大小關系.

44

【解答過程】因為a=243<256=4’，所以，3<4*則y=log43<：

/3\2/4\39649x125-16x641125-1024

因為團一電=16-125=16x125=16x125>

2

所以，G)>(3'貝吆=C)3>：所以z>y

,、2/ln2+ln4\2

一,ln3ln2(ln3)2-In21n4-[2]

因為y_x=log43-log32=應一而=而n4>一而而一

(In3)2-(IHA/8)2

=---百五%--->o,即y>%,因止匕，z>y>x.

故選：C.

【變式3-1](2023?云南?校聯(lián)考模擬預測)已知a=logi69力=log2516,c=e-2,則()

A.b>a>cB.b>c>a

C.c>b>aD.c>a>b

aa

【解題思路】a=log43,h=log54,作商石=碣^=10843"ogqS,利用基本不等式可得石V1,得a<b,根

據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調性可得Q>c.

22

【解答過程】a=log169=log423=log43>0,b=log2516=log524=log54>0,

22

a幅3/log43+log45\2/log415\2/log416\2/log44\

產兩=崛3」。845Vl2)<1^-)=[^)=L

所以a<b,

1_2

a=log43>log42=log222=]>e=c,

所以力>a>c.

故選：A.

【變式3-2](2023?貴州六盤水?統(tǒng)考模擬預測)若。=竽，b則()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【解題思路】利用作差法，再結合對數(shù)函數(shù)y=lnx的單調性分別判斷a,6和a,c的大小關系，即可判斷出

a,6,c的大小關系.

■-“、tE0一?ln3ln221n3-31n2ln9-ln8?.

【解答過程】因為b-a=石-〒=---g-----=——>0,所以6>a；

ln221n5-51n2In25-ln32

又因為c-a=w所以；

~T=10=10a>c

綜上所述：c<a<b.

故選：C.

【變式3-3](2023?全國?模擬預測)已知Q=log8]4,b=log31e,c=ln2.1,,貝！J()

A.a<c<bB.a<b<c

C.c<a<bD.b<c<a

【解題思路】先證明b>0,c>0,利用比商法結合基本不等式證明c<b,再根據(jù)對數(shù)運算性質，結合對數(shù)

函數(shù)性質證明a<c即可得結論.

【解答過程】因為b=logs”>0,c=ln2,1>0,

?…cln2.1“n2.1+ln3.1\2/]n6.51\2/L/、2

所以石=W=ln2.lxln3.1<(—3—)=(―)=(足國),

又e2《7.389,所以，6.51ve,所以ln，6.51vIne=1,

所以故cvb,

ln421n2ln2

因為a=logg44=頰=而=.，

又e?-7.389,所以8,1>e2,所以In電>1,

所以a<ln2,又ln2<ln2.1=c,

所以a<c,

所以Q<c<bf

故選：A.

【題型4構造函數(shù)法比較大小】

【例4】（2023?福建寧德??？寄M預測）記a=6次，6=6+1,c=Jlmr+2,貝|（）

A.a<b<cB.c<b<a

C.b<c<aD.a<c<b

【解題思路】構造函數(shù)八x）=--x-l,利用導數(shù)單調性即可比較a力，通過放縮法即可比較瓦c大小.

（解答過程】設/'（x）=ex-x-1,xe（0,+oo）,則/'（x）=e*-1>e°-1=0,

則/'（x）在（0,+8）上單調遞增,/（X）>/（0）=0,

則/（次）=1>0,即6/>行+1,即a>6,

1>1.7+1=2.7,

InnTnem33_,

c=+2<---+2=五+2<g+2=2.6,貝WT>c.

則c<b<a,

故選：B.

【變式4-1]（2023?河南?校聯(lián)考模擬預測）已知實數(shù)a,b,c滿足/+log2a=0,2023一”=log2023/）,c=log?A/6

，則（）

A.a<b<cB.c<a<b

C.b<c<aD.c<b<a

【解題思路】利用構造函數(shù)法，結合函數(shù)的單調性確定正確答案.

【解答過程】設f（x）=%2+Iog2%,f（x）在（0,+8）上單調遞增,

又fQ)=-1<0/(1)=1>0,所以2<a<l；

設g(%)=-log2023x,9(%)在(0,+8)上單調遞減，

1(1\2023

又g(l)0,g(2023)=-1<0,所以lVb<2023,

11

因為c=log7V6<log?"=2，所以CV下

綜上可知，c<a<b.

故選：B.

【變式4-2](2023?全國,模擬預測)已知a=logoo90，18,力=加攵-02,c=ln1+貝|()

A.a<b<cB.c<a<bC.b<a<cD.a<c<b

【解題思路】利用對數(shù)函數(shù)的性質判斷得l>a>],利用分母有理化判斷得b<1,利用構造函數(shù)法與導數(shù)

判斷得c>L從而得解.

1

【解答過程】由0.09V0.18Vo.3,可得log。090,09>1。80,09。18>log。09°3即1>。>十

I-----------221

而6=歷-聲=廊+/<4=2>

設/'(X)=Inx+：(0<x<1),則/'(x)=W<0,

所以f(X)在(0,1)上是減函數(shù)，所以=即c>l,

所以b<a<c.

故選：C.

【變式4-3](2023?全國?模擬預測)設a=0.21nl0,fa=0.99,c=O.9e01,貝!]()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

1v

【解題思路】構造/■(%)=x-1-21nx(0<久<1)、g(x)=e-%-1(0<久<1)利用導數(shù)研究單調性，即可

比較各數(shù)的大小.

【解答過程】a=0.21nl0=0.21nA=-2x0.1xln0.1,b^l-0.12,c=(1-0.1)e1n.

取x=0.1,貝!ja=-2xlnx,b=1-x2,c=(1-x)eA.

設f(x)=x-『21nx(0<x<1),則/(x)=1(l-以>0,

1Q

所以/(%)在(0,1)上單調遞增，則%-1一21n%V0,BP-2x\nx<1-%,所以aVb.

令g(%)=ex-x-1(0<%<1),則g(%)=ex-1>0,

所以9(%)在(0,1)上單調遞增，則g(%)>9(0)今/-汽-1>0=e">%+1,

所以(1-久)e'>1-%2,即8<c,

所以QVbVc.

故選：A.

【題型5數(shù)形結合比較大小】

【例5】(2022?廣東茂名?統(tǒng)考一模)已知%,y,z均為大于0的實數(shù)，且2、=3y=logs2，貝卜,y*大小關系正

確的是()

A.x>y>zB.x>z>y

C.z>x>yD.z>y>x

【解題思路】根據(jù)題意，將問題轉化為函數(shù)y=2：y=3：y=logs%與直線y=t>1的交點的橫坐標的關

系，再作出圖像，數(shù)形結合求解即可.

【解答過程】解：因為%,y/均為大于o的實數(shù)，

y

所以2%=3=log5z=t>1,

進而將問題轉化為函數(shù)y=2：y=3x,y=logs%與直線y=t>1的交點的橫坐標的關系,

故作出函數(shù)圖像，如圖,

由圖可知z>x>y

故選：C.

【變式5-1]（2023上?四川?高三校聯(lián)考階段練習）已知a+log2a=4/+log3b=c+log4c=3,則（）

A.a>c>bB.a>b>cC.b>c>aD.c>a>b

【解題思路】a,c的比較利用零點存在性定理求解零點所在區(qū)間，b,c的比較則轉化為兩函數(shù)圖象交點的橫坐

標大小比較，數(shù)形結合由圖可知.

【解答過程】由題意知，a是函數(shù)f（K）=x+log2%-4的零點，

5353

=1=1-1022

HM（2）°g2i-2°822§21

932

由G）=T<（22）=8,則噌<0,

且f（3）=log23-1=log21>0,

由零點存在性定理知，ae（|,3）；

由題意知，C是函數(shù)9（%）=%+log4%-3的零點，

因為點）=log』-1=log[-lo§42=log">0，

1

且9（2）=log42-1=log42-log44=log42<0,

由零點存在性定理知，cG(2,|),

故a>c,

由力+log3b=c+log4c=3,

得log3b=3-b,log4c=3-c,

作出函數(shù)丫=3-羽y=log3%,y=log4%的大致圖象,

如圖所示，數(shù)形結合由圖可知c>b.

綜上，a>c>b.

【變式5-2](2023上?廣東江門?高一統(tǒng)考期末)已知f(%)=?-X-2,g(x)=logi%-%-2,/i(x)=%3

-％-2的零點分別是a,b,c,則a,b,c的大小順序是()

A.a>b>cB.c>b>aC.b>c>aD.b>a>c

【解題思路】將函數(shù)的零點，轉化為函數(shù)y=%+2的圖象分別與函數(shù)y=C)、y=logi%>y=:的圖象交

點的橫坐標，利用數(shù)形結合法求解.

【解答過程】解：函數(shù)/(%)=?-%-2,g(x)=logix-x-2,h(%)=:一%一2的零點，

即為函數(shù)y=%+2分別與函數(shù)y=C)、y=logix,y=:的圖象交點的橫坐標，

如圖所示:

由圖可得。<b<c.

故選：B.

【變式5-3](2022?河南?統(tǒng)考一模)已知。=不力=/,0=(也戶，貝愧三個數(shù)的大小關系為()

A.c<b<aB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

【解題思路】構造函數(shù)“x)=￥，(%>o),利用導數(shù)法研究單調性，并利用單調性可比較a,b,在同一坐標

系中作出y=(MP與y=x的圖象，結合圖象與幕函數(shù)的性質可比較比C,即可求解

【解答過程】令/(幻=號,(久>0),則f&)=三詈,(％>0),

由解得0<%<e,由f(%)v0,解得工,e,

InV

所以/(%)=—X%>0)在(o,e)上單調遞增，在(e,+8)上單調遞減；

因為n>e,

~?/、/、Ine

所以f(n)</(e),即三<—,

所以elnn<nine,所以1口/<lneH,

又y=In%遞增，

所以/</，即bVa；

(必的=[(")"『,

在同一坐標系中作出y=(#)x與y=X的圖象，如圖:

由圖象可知在(2⑷中恒有久>(招):

又2<ir<4,所以n>(M)n,

又y=/在(o,+8)上單調遞增，且1T>("廠

所以/>[(#)"『=(艱產即匕“

綜上可知：c<b<a,

故選：A.

【題型6含變量問題比較大小】

【例6】(2022上?江西吉安?高三統(tǒng)考期末)已知實數(shù)a,b,c,滿足lnb=eQ=c,則〃，b,c的大小關系

為()

A.a>b>cB.c>b>a

C.b>c>aD.a>c>b

【解題思路】構造函數(shù)/(%)=，-%,利用導數(shù)求出函數(shù)的單調區(qū)間及最值，再根據(jù)已知條件即可得出答

案.

【解答過程】解：設/（切=ex-x,則八乃=ex-l,

當XV0時，/（%）<0,當％>0時，/（%）>0,

所以/（久）在（-8,0）上單調遞減，在（0,+8）上單調遞增，

所以/（%）min=/（°）=1>0，故

所以c=e°>a,又lnb=c,

所以b=ec>c,

所以b>c>a.

故選：C.

【變式6-1］（2022上?湖北?高三校聯(lián)考開學考試）已知內瓦c均為不等于1的正實數(shù)，mnc=a\nbf\na=b

Inc,貝hc的大小關系是（）

A.c>a>bB.b>c>a

C.a>b>cD.a>c>b

【解題思路】分析可知，Ina、Inb、Inc同號，分a、b、cE（0,l）和a、b、c€（1,+8）兩種情況討論，結合

對數(shù)函數(shù)的單調性可得出。、b、c的大小關系.

【解答過程】??eInc=alnb,\na=&lnc_Ea>b、c均為不等于1的正實數(shù),

則Inc與Inb同號，Inc與Ina同號，從而Ina、Inb、Inc同號.

①若a、b、cE（0,1）,則Ina、Inb、Inc均為負數(shù)，

Ina=b\nc>Inc,可得a>c,Inc=dlnb>\nb,可得c>b,止匕時a>c>b；

②若a、b、cG（1,+oo）,貝Ijlna、Inb、Inc均為正數(shù)，

Ina=b\nc>Inc,可得a>c,Inc=alnb>In/7,可得c>b,止匕時a>c>b.

綜上所述，a>c>b.

故選：D.

【變式6-2](2022上?江蘇南通?高三統(tǒng)考期中)已知正實數(shù)a,b,c滿足e‘+e"。=』+e",b=log2

3+log86,c+log2c=2,則a,b,c的大小關系為()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

【解題思路】?ec+e_2a=ea+e-cnr^ec-e-c=ea-e_2a,由此可構造函數(shù)f(x)=--e『根據(jù)

加)的單調性即可判斷a和c的大?。桓鶕?jù)對數(shù)的計算法則和對數(shù)的性質可得6與2的大小關系；c+log2

C=2變形為log2c=2-c,利用函數(shù)y=log2%與函數(shù)y=2-％的圖象可判斷兩個函數(shù)的交點的橫坐標c的范

圍，從而判斷b與C的大小.由此即可得到答案.

【解答過程】ec+e-2a=ea+e-W-e-c=ea-e-2a,

故令f(%)=e'-e/則f(c)=e'-e-c,/(a)=ea-e~a.

易知y=-e~x=--^y=e”均為(0,4-8)上的增函數(shù)，故f(%)在(0,+8)為增函數(shù).

e

ve_2a<e-a,故由題可知，ec-e-c=ea-e_2a>ea-e-a,即f(c)>/(a),貝IJC>Q>0.

易知b=log23+log2V^=log23V^>2,log2c=2-c,

作出函數(shù)y=log2%與函數(shù)y=2-％的圖象，如圖所示，

則兩圖象交點橫坐標在(L2)內，即lvc<2,

：?c<b,

a<c<b.

故選：B.

【變式6-3](2023上?遼寧丹東?高三統(tǒng)考期末)設血>1,若〃，b,?；ゲ幌嗟?，貝!J

()

A.a>1B.cHeC.b<c<aD.(c-b)(c-a)<0

i

【解題思路】由叫患,。，可解得a>l,可判斷A；當c=e時，^Lm=ee>1,可得a=b=c,不滿足

a,b,?；ゲ幌嗟?，可判斷B；將見瓦c看成函數(shù)y=logm%,y==/與y=c圖象的交點，可判斷C,D.

【解答過程】由？T?=C>0,可得log^a〉。，因為血>1,所以@>1,故A正確；

1

e

當c=e時，logma=m=c=e,=e>1,貝！Ja=血,=e,c=e力=log^e=e,

故a=b=c,不滿足a,b,c互不相等，所以cWe,故B正確，

因為zn>l,logma=m=c,

x

可將a,hc看成函數(shù)y=log^y=mty=%與y=c圖象的交點橫坐標，

當血=1.1時，圖象如下圖，

可得：a<c<b,止匕時(c一b)(c-a)V0.

當TH=3時，圖象如下圖,

可得：b<c<a,此時(c-b)(c-a)V0,所以C不正確，D正確；

故選：ABD.

【題型7放縮法比較大小】

【例7】(2023?全國?模擬預測)已知a=log2mb=ln4,c=0.6-115,則()

A.a<b<cb<c<a

C.b<a<cc<a<b

【解題思路】應用對數(shù)函數(shù)的單調性及放縮法對進行估值即可判斷.

【解答過程】a=log2「Vlog24=2,且a=logzii>log22M=1.5,故Q€（1.5,2）,

b=ln4=1+In-<1+In詬=1+lnl.6=1+ln，2.56<1+In加=1.5,即b<1.5.

_irQ_01

由c=0.6可得c=0.6=0216>4,又c>0,故c>2.則b<a<c.

故選：C.

【變式7/】(2023上?安徽?高二校聯(lián)考階段練習)已知-聲力=6-，c=log53-|log35,則

()

A.a<b<cB.b<c<a

C.b<a<cD.c<a<b

【解題思路】采用放縮法和中間值比較大小，得到a<b<c.

【解答過程】因為a=5-舊〈聲F=[，

3

111111/11、

b=6=/>假=不聲（強=§，故beg,?，

21111211

c=log53-glog35=510g§27-30g325>31og525-glog327=3-3=3，

所以a<b<c.

故選：A.

2

【變式7-2]（2023上?江蘇泰州?高一泰州中學?？计谥校┮阎齻€互不相等的正數(shù)a,hc滿足a=e》=

a

log23+logg6,c=log^5（2+1）,（其中e=2.71828…是一個無理數(shù)），貝!|a,b,c的大小關系為（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.c<b<a

【解題思路】由對數(shù)函數(shù)和指基函數(shù)的單調性和運算性質放縮，再加上基本不等式求解即可.

2

【解答過程】因為a=￡,所以a3=e2=2.72<23

2

所以根據(jù)幕函數(shù)的性質可得最<2,

因為a,b,c都是正數(shù)，

b=log23+logg6=log23+log3z6=log23+log3V6>2^0g2^'-2j」g2m>2ag22—2c=log&

2

e32

（2。+1）=21og5（2+1）<21og5（2+1）=210g§5=2,

C唯依（2。+1）,z?m（2、l）

?=^^=10W2+1n）=T^F-

因為f（x）=Inx是遞增函數(shù)，又因為ae（0,2）,

作出y=ln（2"+l）和y=ln（J5）a的圖像，如圖可得，當a=2時，兩函數(shù)值相等；a<2時，y=ln（2"+l）

圖像一直在y=In（祖）。的上方，所以a<c

故a<c<b,

故選：B.

--（1\。?71

【變式7-3］（2023上?福建漳州?高一?？计谥校┰Oa=0.72°23,b=（逅）,c=a+^,則（）

A.c>a>bB.c>b>a

C.a>c>bD.b>c>a

111n%

【解題思路】由1恒=赤如10.7,lnb=0.71n耐，構造y=工研究單調性比較大小即可，結合指數(shù)函數(shù)、

基本不等式確定a,b,c大小.

11

【解答過程】由Ina=五下1口0.7,lnb=0.71n元行，要比較a力大小,只需比較Inajnb大小,

,.上、ln0.7—2023,,AIn工='1-Inx

故只需比較07，1大小，令丫=丁且0<%<1，故y==—>0,

2023

1

”，,In%,,、乂?—71rrln0.7^n2023

所以y=在（0,1）上遞增，而茄,元加，即，

2023

11

所以Ina=^^ln0.7>\nb=0.71n2023,故a>b,

i.---------

又。=0.72023e（0,1）,貝ijc=a+（>1（等號不能成立），

所以c>1>a>b.

故選：A.

1.（2023?天津?統(tǒng)考高考真題）若a=1.01°,5力=1.01°，％=0.6°5,貝ija,b,c的大小關系為（）

A.c>a>bB.c>b>a

C.a>b>cD.b>a>c

【解題思路】根據(jù)對應幕、指數(shù)函數(shù)的單調性判斷大小關系即可.

【解答過程】由y=1.01”在R上遞增,Ma=1.01°-5<b=1.01°-6,

由y=久°3在［0,+8）上遞增，則a=1.O105>c=O.60-5.

所以b>a>c.

故選：D.

n710-71

2.（2022?天津?統(tǒng)考高考真題）已知Q=2',b=（§）,c=log^,則（）

A.a>c>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

【解題思路】利用幕函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調性結合中間值法可得出或氏c的大小關系.

0710171

【解答過程】因為2.>（3）>0=log2l>log23，故a>b>c.

故選：C.

3.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）設a=0.1e°7=：c=-ln0,9,貝|（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【解題思路】構造函數(shù)f（X）=ln（l+x）-久，導數(shù)判斷其單調性，由此確定a力,c的大小.

【解答過程】方法一：構造法

?1%

設f（%）=ln（l+x）-%（x>-1）,因為f（%）=二行-1=-

當％E(-1,0)時，/(%)>0,當％C(0,+8)時/(久)<0,

所以函數(shù)/(久)=ln(l+x)-久在(0,+8)單調遞減,在(-1,0)上單調遞增,

1101110

所以f(§)<f(0)=0，所以In豆-§<0，故§>lng=-ln0.9,即b>c,

11

所以/(-誣)V/(0)=0,所以In元+而V0,故而Ve10,所以記

故a<b,

、x，/、％](,_i)ex+1

設g(%)=%e+ln(l-x)(0<x<1),則g(%)=(%+l)e+口=---------:

令h(%)=ex(x2-1)+1,h(x)=e%(x2+2x-1),

當0v%〈避-1時，h(x)<0,函數(shù)h(%)=ex(x2-1)+1單調遞減，

當逆-IV%VI時，h'(x)>0,函數(shù)/1(%)=《(￥一1)+1單調遞增，

又九(。)=0,

所以當時，/i(x)<0,

所以當0<%v"-1時，9(x)>0,函數(shù)g(%)=%e"+ln(l-％)單調遞增，

所以g(0.1)>g(0)=0,BPO.le0,1>-ln0.9,所以a>c

故選：C.

方法二：比較法

解：a=O.le01,b=1°；1，c=-ln(l-0.1),

①Ina-\nb=0.1+ln(l-0.1),

令f(x)=x+ln(l-x),x6(0,0.1],

1—X

貝IJ/'(%)=l-T-^=m<0，

故f(x)在(0,0.1］上單調遞減,

可得/(O.l)</(O)=0,即Ina-Info<0,所以a<b；

②a-cuO,leQi+lnq-O.l),

令9(x)=xe"+ln(l-%),%G(0,0.1］,

令/c(x)=(1+x)(l-x)ex-1,所以fc'(x)-(1-x2-2x)ex>0,

所以k(x)在(0,0.1］上單調遞增，可得k(x)>fc(0)>0,即g'(x)>0,

所以g(x)在(0,0.1］上單調遞增，可得g(0.1)>g(0)=0，即a-c>0,所以a>c.

故cVa<b.

故選：C.

4.(2023?全國?統(tǒng)考高考真題)己知函數(shù)/(久)=e-d)：記。/圖力=/圖,0=/停)，則()

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【解題思路】利用作差法比較自變量的大小，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調性及二次函數(shù)的性質判斷即可.

【解答過程】令g(x)=-(x-1)2,則g(x)開口向下，對稱軸為％=1,

因為9.1.(1.2=三4M(V6+V3)2-42=9+6V2-16=672-7>0,

所以3_1_(1_3)=^1^一：〉°，即5_1>1一罐

由二次函數(shù)性質知gg)<g逑,

因為乎_1-(1-。=而(痛+#)2-42=8+4邪-16=-8=4(平-2)<0,

即所以g(1)>g(5)，

綜上，g($<g曲<g(~r),

又丁=/為增函數(shù)，故a<cVb,即b>c>a.

故選：A.

5.（2021?天津?統(tǒng)考高考真題）設a=log2（）.3力=logi0.4,c=0.4°，3,則0,b,c的大小關系為（）

2

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b

【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質求出Q,hC的范圍即可求解.

【解答過程】vlog20.3<log2l=0,a<0,

5

logi0.4=-log20.4=log22>log22=1,

2

?.?0<0.4°-3<0.4°=l,A0<C<1,

a<c<b.

故選：D.

6.(2021?全國?統(tǒng)考高考真題)已知"