初中數學幾何模型(七)蝴蝶模型(蝴蝶定理)

初中數學幾何模型（七）蝴蝶模型（蝴蝶定理）1、任意四邊形：結論1：S∵S1=12×BO×∴S=∵S2=12×BO×∴S2×S4∴S1結論2：S△ABDS△CBD2、梯形：在梯形ABCD中，AD//BC，AC與BD交于點O。結論1：S1×結論2：S△ABDS△CBD結論3：S1結論4：如果AD=a，BC=b，那么S1∶S3∶典型例題：例1、如圖所示，BD、CF將長方形ABCD分成4塊，△CEF的面積是4平方厘米，△CEB的面積是6平方厘米。問：四邊形AEFD的面積是多少平方厘米？略解：連接AF，（構造蝴蝶模型）∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，∴S△∴S△∴S△AEF=S△CEB設S△ABE=x，根據蝴蝶模型，可得：S△AEFS△ABE∴S△ABE=9（cm2）；∴S矩形ABCD=（9+6）∴S四邊形AEFD=S矩形ABCD-S△ABE-S答：四邊形AEFD的面積是11平方厘米。例2、如圖，點E、F在矩形ABCD的邊CD、AB上，連接AE、DF交于點G，連接BE、CF交于點H，如果S△ADG=11，S略解：連接EF，（構造兩組蝴蝶模型）在梯形ADEF中，S△EFG=S在梯形BCEF中，S△EFH=S∵S四邊形EGFH=S△EFG+∴S四邊形EGFH=11+23=34。答：四邊形EGFH的面積為34。例3、如圖，正方形ABCD的邊長為1，BE=2EC，CF=DF，求△AEG的面積。略解：方法一：連接EF?！連E=2EC，CF=DF，又∵正方形ABCD的邊長為1，∴CE=13，DF=12，∴S△DEF=12×13×由蝴蝶模型得，S△AEDS△DEF=AGGF，∴AGGF=1∴S△AGD=6S△GDF，∴S△AGD=67S△ADF=67×12×∵S△AEG=S△AED-又∵S△AED=12S∴S△AEG=12-314=方法二：延長BC、AF交于點M。易證，△ADF≌△MCF（ASA）∴AD=MC=BC，∵BE=2EC，∴EC?BC=1?3，∴EC?AD=EC?CM=1?3，∴EM?AD=4?3，∵△EMG∽△DAG，∴EG?GD=4?3，∴EG?ED=4?7，∴S△AEG?S△AED=4∴S△AEG=47S△AED，∵S△AED∴S△AEG=47×12例4、平行四邊形ABCD的對角線交于點O，△CEF、△OEF、△ODF、△BOE的面積依次為2、4、4、6。求：（1）△OCF的面積；（2）求△GCE的面積。略解：（1）∵△CEF、△OEF、△ODF、△BOE的面積依次為2、4、4、6，∴S△BCD=S△CEF+S△OEF∵平行四邊形ABCD的對角線交于點O，∴S△OCD=1∵S△OCF=S△OCD-（2）過點E作EM⊥OC于點M，過點F作FN⊥OC于點N?！逽四邊形OECF=S△CEF+∴S四邊形∵S△OCF=4，∴S∵△OCF和△OCE的底邊都是OC，∴S△OCE?S△OCF=EM?FN=2?4=1易證，△EMG∽△FNG，∴EGFG=EMFN=∴S△GEC?S△GFC=1?2，∴S△GEC=13S△CEF例5、如圖，某公園的外輪廓是四邊形ABCD，被對角線AC、BD分成四個部分，△AOB面積為1平方千米，△BOC面積為2平方千米，△COD的面積為3平方千米，公園由陸地面積是6.92平方千米和人工湖組成，求人工湖的面積是多少平方千米？解：設△AOD的面積為x平方千米。由蝴蝶模型，可得：S△BOCS△AOB=S∵S△BOC為2平方千米，S△AOB為1平方千米，∴21=3x，解，得：x=1.5?！郤∴S四邊形ABCD=1+2+3+1.5=7.5（平方千米）∴S人工湖=S四邊形ABCD-S陸地答：人工湖的面積是0.58平方千米。例6、如圖，矩形ABCD的面積為48，E是AD的三等分點，AE=2DE，連接BE交AC于點M，連接CE交BD于點N，則四邊形OMEN（陰影部分）的面積為_____________。略解：連接OE。∵AE=2DE，∴12S△CAE=S△CDE，∴在四邊形OCDE中，ONND=S△COES△CDE=12∴在四邊形OBAE中，OMMA=S△BOES△BAE=12∵AE=2DE，∴S△OED=