備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)真題題源解密專題12二次函數(shù)（10類重點考向）含答案及解析

專題12二次函數(shù)目錄一覽知識目標(biāo)（新課程標(biāo)準(zhǔn)提煉）中考命題趨勢（分析考察方向，精準(zhǔn)把握重難點）重點考向（以真題為例，探究中考命題方向）?考向一二次函數(shù)的圖像?考向二二次函數(shù)的性質(zhì)?考向三二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系?考向四二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征?考向五二次函數(shù)圖象與幾何變換?考向六二次函數(shù)的最值?考向七待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式?考向八拋物線與x軸的交點?考向九二次函數(shù)的應(yīng)用?考向十二次函數(shù)綜合題最新真題薈萃（精選最新典型真題，強化知識運用，優(yōu)化解題技巧）1.會用描點法畫出二次函數(shù)的圖象，通過圖象了解二次函數(shù)的性質(zhì)；用配方法將數(shù)字系數(shù)的二次函數(shù)的表達式化為y＝a(x－h(huán))2＋k的形式，并能由此得到二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)，說出圖象的開口方向，畫出圖象的對稱軸，并能解決簡單實際問題；2.會利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解．結(jié)合具體情況體會二次函數(shù)的意義，能根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)的表達式；會利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的表達式．3.通過對實際問題的分析，體會二次函數(shù)的意義；會用配方法將數(shù)字系數(shù)的二次函數(shù)的表達式化為y＝a(x－h(huán))2＋k的形式，并能由此得到二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)，說出圖象的開口方向，畫出圖象的對稱軸，并能解決實際問題．4.能運用二次函數(shù)的知識解決綜合型問題.二次函數(shù)是非常重要的函數(shù)，年年都會考查,總分值為18~20分，預(yù)計2024年各地中考還會考，它經(jīng)常以一個壓軸題獨立出現(xiàn)，有的地區(qū)也會考察二次函數(shù)的應(yīng)用題，小題的考察主要是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及或與幾何圖形結(jié)合來考查。二次函數(shù)一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．二次函數(shù)解析式的三種形式1.一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）．2.頂點式：y=a（x–h）2+k（a，h，k為常數(shù)，a≠0），頂點坐標(biāo)是（h，k）3.交點式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函數(shù)與x軸的交點的橫坐標(biāo)，a≠0解析式二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）對稱軸x=–頂點（–，）a的符號a>0a<0圖象開口方向開口向上開口向下最值當(dāng)x=–時，y最小值=當(dāng)x=–時，y最大值=最點拋物線有最低點拋物線有最高點增減性當(dāng)x<–時，y隨x的增大而減??；當(dāng)x>–時，y隨x的增大而增大當(dāng)x<–時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x>–時，y隨x的增大而減小二次函數(shù)圖像的平移1．將拋物線解析式化成頂點式y(tǒng)=a（x–h）2+k，頂點坐標(biāo)為（h，k）．2．保持y=ax2的形狀不變，將其頂點平移到（h，k）處，具體平移方法如下：【注意】二次函數(shù)平移遵循“上加下減，左加右減”的原則，據(jù)此，可以直接由解析式中常數(shù)的加或減求出變化后的解析式；二次函數(shù)圖象的平移可看作頂點間的平移，可根據(jù)頂點之間的平移求出變化后的解析式．二次函數(shù)與一元二次方程1．二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），當(dāng)y=0時，就變成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．2．a(chǎn)x2+bx+c=0（a≠0）的解是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)．3．（1）b2–4ac>0?方程有兩個不相等的實數(shù)根，拋物線與x軸有兩個交點；（2）b2–4ac=0?方程有兩個相等的實數(shù)根，拋物線與x軸有且只有一個交點；（3）b2–4ac<0?方程沒有實數(shù)根，拋物線與x軸沒有交點．二次函數(shù)的實際應(yīng)用在生活中，我們常會遇到與二次函數(shù)及其圖象有關(guān)的問題，解決這類問題的一般思路：首先要讀懂題意，弄清題目中牽連的幾個量的關(guān)系，并且建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，再根據(jù)題目中的已知條件建立數(shù)學(xué)模型，即列出函數(shù)關(guān)系式，然后運用數(shù)形結(jié)合的思想，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)去解決實際問題．考察背景主要有：經(jīng)濟問題；物體運動軌跡問題；拱橋問題等二次函數(shù)與幾何圖形此類問題一般是通過分析動點在幾何圖形邊上的運動情況，確定出有關(guān)動點函數(shù)圖象的變化情況．分析此類問題，首先要明確動點在哪條邊上運動，在運動過程中引起了哪個量的變化，然后求出在運動過程中對應(yīng)的函數(shù)表達式，最后根據(jù)函數(shù)表達式判別圖象的變化．運動產(chǎn)生的線段問題1.確定線段長關(guān)系式（根據(jù)已知線段關(guān)系求點坐標(biāo)）：先在圖中找出對應(yīng)線段，弄清已知點和未知點；再聯(lián)系二次函數(shù)和一次函數(shù)，設(shè)出未知點的坐標(biāo)，使其只含一個未知數(shù)；繼而表示出線段的長度（如果該線段與坐標(biāo)軸平行的話，則利用橫縱坐標(biāo)相加減確定；如果與坐標(biāo)軸不平行的話，先轉(zhuǎn)化為有邊在與坐標(biāo)軸平行的三角形中，再利用勾股定理、銳角三角函數(shù)或相似確定）.2.線段數(shù)量關(guān)系問題：根據(jù)前面所得的線段長的關(guān)系式，結(jié)合題干列出滿足線段數(shù)量關(guān)系的方程，解方程求解即可（注意排除不符合題意的數(shù)值）3.線段最值問題：求兩條線段和差、三角形周長、四邊形周長等一類最值問題，首先聯(lián)想到“對稱性質(zhì)”，并進行解決。運動產(chǎn)生的面積問題探究面積問題的備考方法如下：1.設(shè)動點或圖形運動的時間并表示出點的坐標(biāo)；2.用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示出圖形的面積；3.用二次函數(shù)的知識來求最大值或最小值時，常采用配方法求解；4.特別注意，當(dāng)所研究的圖形在運動過程中發(fā)生變化，要根據(jù)圖形的形狀進行分類討論，注意分析整個過程中圖形的變化情況，以防漏解.分類討論時要注意在每一種情況下的自變量的取值范圍.求面積最值時，分別求出圖形的面積在每種情況下的最值，比較即可得到面積的最值.5.面積為定值時，可將圖形面積與圖形中動點的坐標(biāo)結(jié)合起來，列方程求得參數(shù)的值即可求得點坐標(biāo).運動產(chǎn)生的等腰三角形、菱形問題法一：分別表示出三點坐標(biāo)，再表示出三邊的長度，分類討論，列方程解出坐標(biāo).法二：作等腰三角形底邊的高，用勾股定理或相似建立等量關(guān)系運動產(chǎn)生的直角三角形、矩形問題法一：分別表示出三點坐標(biāo)，再表示出三邊的長度，分類討論，列方程解出坐標(biāo).法二：作垂線，用勾股定理或相似建立等量關(guān)系.運動產(chǎn)生的平行四邊形問題法一：分別表示出四點坐標(biāo)，再利用中點公式，分類討論，列方程解出坐標(biāo).法二：作垂線，用勾股定理或相似建立等量關(guān)系.二次函數(shù)其它綜合問題解答二次函數(shù)綜合題，要把大題拆分，做到大題小做，逐步分析求解，最后匯總成最終答案．?考向一二次函數(shù)的圖像解題技巧/易錯易混1．二次函數(shù)的一般形式的結(jié)構(gòu)特征：①函數(shù)的關(guān)系式是整式；②自變量的最高次數(shù)是2；③二次項系數(shù)不等于零．2．一般式，頂點式，交點式是二次函數(shù)常見的表達式，它們之間可以互相轉(zhuǎn)化．3.二次函數(shù)的圖象是一條關(guān)于某條直線對稱的曲線，叫做拋物線，該直線叫做拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點叫做拋物線的頂點.4.二次函數(shù)的圖象是一條關(guān)于某條直線對稱的曲線，叫做拋物線，該直線叫做拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點叫做拋物線的頂點.1．（2022?杭州）已知二次函數(shù)y＝x2+ax+b（a，b為常數(shù)）．命題①：該函數(shù)的圖象經(jīng)過點（1，0）；命題②：該函數(shù)的圖象經(jīng)過點（3，0）；命題③：該函數(shù)的圖象與x軸的交點位于y軸的兩側(cè)；命題④：該函數(shù)的圖象的對稱軸為直線x＝1．如果這四個命題中只有一個命題是假命題，則這個假命題是（）A．命題① B．命題② C．命題③ D．命題④2．（2022?株洲）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣c（a≠0），其中b＞0、c＞0，則該函數(shù)的圖象可能為（）A． B． C． D．3．（2021?江西）在同一平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2與一次函數(shù)y＝bx+c的圖象如圖所示，則二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象可能是（）A． B． C． D．?考向二二次函數(shù)的性質(zhì)4．（2023?臺灣）坐標(biāo)平面上有兩個二次函數(shù)的圖形，其頂點P、Q皆在x軸上，且有一水平線與兩圖形相交于A、B、C、D四點，各點位置如圖所示，若AB＝10，BC＝5，CD＝6，則PQ的長度為何（）A．7 B．8 C．9 D．105．（2023?內(nèi)蒙古）已知二次函數(shù)y＝﹣ax2+2ax+3（a＞0），若點P（m，3）在該函數(shù)的圖象上，且m≠0，則m的值為．6．（2023?北京）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）是拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意兩點，設(shè)拋物線的對稱軸為x＝t．（1）若對于x1＝1，x2＝2，有y1＝y(tǒng)2，求t的值；（2）若對于0＜x1＜1，1＜x2＜2，都有y1＜y2，求t的取值范圍．?考向三二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系解題技巧/易錯易混二次函數(shù)圖象的特征與a，b，c的關(guān)系字母的符號圖象的特征aa>0開口向上a<0開口向下bb=0對稱軸為y軸ab>0（a與b同號）對稱軸在y軸左側(cè)ab<0（a與b異號）對稱軸在y軸右側(cè)cc=0經(jīng)過原點c>0與y軸正半軸相交c<0與y軸負半軸相交7．（2023?煙臺）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的頂點A的坐標(biāo)為（﹣，m），與x軸的一個交點位于0和1之間，則以下結(jié)論：①abc＞0；②2b+c＞0；③若圖象經(jīng)過點（﹣3，y1），（3，y2），則y1＞y2；④若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣3＝0無實數(shù)根，則m＜3．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．48．（2023?廣元）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)且a＜0）過（﹣1，0）和（m，0）兩點，且3＜m＜4，下列四個結(jié)論：①abc＞0；②3a+c＞0；③若拋物線過點（1，4），則﹣1＜a＜；④若關(guān)于x的方程a（x+1）（x﹣m）＝3有實數(shù)根，則4ac﹣b2≥12a，其中正確的結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個?考向四二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征9．（2023?廣東）如圖，拋物線y＝ax2+c經(jīng)過正方形OABC的三個頂點A，B，C，點B在y軸上，則ac的值為（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣410．（2023?廣州）已知點A（x1，y1），B（x2，y2）在拋物線y＝x2﹣3上，且0＜x1＜x2，則y1y2.（填“＜”或“＞”或“＝”）11．（2023?麗水）已知點（﹣m，0）和（3m，0）在二次函數(shù)y＝ax2+bx+3（a，b是常數(shù)，a≠0）的圖象上．（1）當(dāng)m＝﹣1時，求a和b的值；（2）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（n，3）且點A不在坐標(biāo)軸上，當(dāng)﹣2＜m＜﹣1時，求n的取值范圍；（3）求證：b2+4a＝0．?考向五二次函數(shù)圖象與幾何變換12．（2023?徐州）在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y＝（x+1）2+3的圖象向右平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，所得拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式為（）A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x﹣1）2+2 C．y＝（x﹣1）2+4 D．y＝（x+3）2+413．（2023?廣西）將拋物線y＝x2先向右平移3個單位，再向上平移4個單位，得到的拋物線是（）A．y＝（x﹣3）2+4 B．y＝（x+3）2+4 C．y＝（x﹣3）2﹣4 D．y＝（x+3）2﹣414．（2023?益陽）我們在學(xué)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象的平移時知道：將一次函數(shù)y＝2x的圖象向上平移1個單位得到y(tǒng)＝2x+1的圖象；將二次函數(shù)y＝x2+1的圖象向左平移2個單位得到y(tǒng)＝（x+2）2+1的圖象，若將反比例函數(shù)y＝的圖象向下平移3個單位，如圖所示，則得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)表達式是．?考向六二次函數(shù)的最值15．（2023?杭州）設(shè)二次函數(shù)y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）（a＞0，m，k是實數(shù)），則（）A．當(dāng)k＝2時，函數(shù)y的最小值為﹣a B．當(dāng)k＝2時，函數(shù)y的最小值為﹣2a C．當(dāng)k＝4時，函數(shù)y的最小值為﹣a D．當(dāng)k＝4時，函數(shù)y的最小值為﹣2a16．（2023?鎮(zhèn)江）二次函數(shù)y＝﹣2x2+9的最大值等于．17．（2023?紹興）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一個圖形上的點都在一邊平行于x軸的矩形內(nèi)部（包括邊界），這些矩形中面積最小的矩形稱為該圖形的關(guān)聯(lián)矩形．例如：如圖，函數(shù)y＝（x﹣2）2（0≤x≤3）的圖象（拋物線中的實線部分），它的關(guān)聯(lián)矩形為矩形OABC．若二次函數(shù)圖象的關(guān)聯(lián)矩形恰好也是矩形OABC，則b＝?考向七待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式18．（2023?上海）一個二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的頂點在y軸正半軸上，且其對稱軸左側(cè)的部分是上升的，那么這個二次函數(shù)的解析式可以是．19．（2023?寧波）如圖，已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c圖象經(jīng)過點A（1，﹣2）和B（0，﹣5）．（1）求該二次函數(shù)的表達式及圖象的頂點坐標(biāo)．（2）當(dāng)y≤﹣2時，請根據(jù)圖象直接寫出x的取值范圍．20．（2022?黑龍江）如圖，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點A（﹣1，0），點B（2，﹣3），與y軸交于點C，拋物線的頂點為D．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線上是否存在點P，使△PBC的面積是△BCD面積的4倍，若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．?考向八拋物線與x軸的交點21．（2023?衡陽）已知m＞n＞0，若關(guān)于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解為x1，x2（x1＜x2），關(guān)于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解為x3，x4（x3＜x4）．則下列結(jié)論正確的是（）A．x3＜x1＜x2＜x4 B．x1＜x3＜x4＜x2 C．x1＜x2＜x3＜x4 D．x3＜x4＜x1＜x222．（2023?婁底）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸相交于點A（1，0）、點B（3，0），與y軸相交于點C，點D在拋物線上，當(dāng)CD∥x軸時，CD＝．23．（2023?牡丹江）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0），B（4，0），與y軸交于點C．（1）求拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式，并直接寫出頂點P的坐標(biāo)；（2）求△BCP的面積．注：注拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸是直線x＝﹣，頂點坐標(biāo)是（，）．?考向九二次函數(shù)的應(yīng)用解題技巧/易錯易混二次函數(shù)的實際應(yīng)用在生活中，我們常會遇到與二次函數(shù)及其圖象有關(guān)的問題，解決這類問題的一般思路：首先要讀懂題意，弄清題目中牽連的幾個量的關(guān)系，并且建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，再根據(jù)題目中的已知條件建立數(shù)學(xué)模型，即列出函數(shù)關(guān)系式，然后運用數(shù)形結(jié)合的思想，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)去解決實際問題．考察背景主要有：經(jīng)濟問題；物體運動軌跡問題；拱橋問題等二次函數(shù)與幾何圖形此類問題一般是通過分析動點在幾何圖形邊上的運動情況，確定出有關(guān)動點函數(shù)圖象的變化情況．分析此類問題，首先要明確動點在哪條邊上運動，在運動過程中引起了哪個量的變化，然后求出在運動過程中對應(yīng)的函數(shù)表達式，最后根據(jù)函數(shù)表達式判別圖象的變化．24．（2023?天津）如圖，要圍一個矩形菜園ABCD，其中一邊AD是墻，且AD的長不能超過26m，其余的三邊AB，BC，CD用籬笆，且這三邊的和為40m，有下列結(jié)論：①AB的長可以為6m；②AB的長有兩個不同的值滿足菜園ABCD面積為192m2；③菜園ABCD面積的最大值為200m2．其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．325．（2023?濱州）某廣場要建一個圓形噴水池，計劃在池中心位置豎直安裝一根頂部帶有噴水頭的水管，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達到最高，高度為3m，水柱落地處離池中心的水平距離也為3m，那么水管的設(shè)計高度應(yīng)為．26．（2023?菏澤）某學(xué)校為美化學(xué)校環(huán)境，打造綠色校園，決定用籬笆圍成一個一面靠墻（墻足夠長）的矩形花園，用一道籬笆把花園分為A，B兩塊（如圖所示），花園里種滿牡丹和芍藥．學(xué)校已定購籬笆120米．（1）設(shè)計一個使花園面積最大的方案，并求出其最大面積；（2）在花園面積最大的條件下，A，B兩塊內(nèi)分別種植牡丹和芍藥，每平方米種植2株，已知牡丹每株售價25元，芍藥每株售價15元，學(xué)校計劃購買費用不超過5萬元，求最多可以購買多少株牡丹？?考向十二次函數(shù)綜合題解題技巧/易錯易混一、解決二次函數(shù)存在點問題，一般先假設(shè)該點存在，根據(jù)該點所在的直線或拋物線的表達式，設(shè)出該點的坐標(biāo)；然后用該點的坐標(biāo)表示出與該點有關(guān)的線段長或其他點的坐標(biāo)等；最后結(jié)合題干中其他條件列出等式，求出該點的坐標(biāo)，然后判別該點坐標(biāo)是否符合題意，若符合題意，則該點存在，否則該點不存在．二、函數(shù)壓軸題主要分為兩大類：一是動點函數(shù)圖象問題；二是與動點、存在點、相似等有關(guān)的二次函數(shù)綜合題．2.解答動點函數(shù)圖象問題，要把問題拆分，分清動點在不同位置運動或不同時間段運動時對應(yīng)的函數(shù)表達式，進而確定函數(shù)圖象；3.解決二次函數(shù)動點問題，首先要明確動點在哪條直線或拋物線上運動，運動速度是多少，結(jié)合直線或拋物線的表達式設(shè)出動點的坐標(biāo)或表示出與動點有關(guān)的線段長度，最后結(jié)合題干中與動點有關(guān)的條件進行計算．26．（2023?綿陽）如圖，拋物線經(jīng)過△AOD的三個頂點，其中O為原點，A（2，4），D（6，0），點F在線段AD上運動，點G在直線AD上方的拋物線上，GF∥A0，GE⊥DO于點E，交AD于點I，AH平分∠OAD，C（﹣2，﹣4），AH⊥CH于點H，連接FH．（1）求拋物線的解析式及△AOD的面積；（2）當(dāng)點F運動至拋物線的對稱軸上時，求△AFH的面積；（3）試探究的值是否為定值？如果為定值，求出該定值；不為定值，請說明理由．27．（2023?武漢）拋物線交x軸于A，B兩點（A在B的左邊），交y軸于點C．（1）直接寫出A，B，C三點的坐標(biāo)；（2）如圖（1），作直線x＝t（0＜t＜4），分別交x軸，線段BC，拋物線C1于D，E，F(xiàn)三點，連接CF，若△BDE與△CEF相似，求t的值；（3）如圖（2），將拋物線C1平移得到拋物線C2，其頂點為原點．直線y＝2x與拋物線交于O，G兩點，過OG的中點H作直線MN（異于直線OG）交拋物線C2于M，N兩點，直線MO與直線GN交于點P．問點P是否在一條定直線上？若是，求該直線的解析式；若不是，請說明理由．1．（2023?牡丹江）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點（﹣2，0），（3，0）．下列結(jié)論：①＞0；②c＝2b；③若拋物線上有點（，y1），（﹣3，y2），（﹣，y3），則y2＜y1＜y3；④方程cx2+bx+a＝0的解為x1＝，x2＝﹣．其中正確的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．12．（2021?阜新）如圖，二次函數(shù)y＝a（x+2）2+k的圖象與x軸交于A，B（﹣1，0）兩點，則下列說法正確的是（）A．a(chǎn)＜0 B．點A的坐標(biāo)為（﹣4，0） C．當(dāng)x＜0時，y隨x的增大而減小 D．圖象的對稱軸為直線x＝﹣23．（2023?湖北）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＜0）的圖象與x軸的一個交點坐標(biāo)為（﹣1，0），對稱軸為直線x＝1，下列結(jié)論中：①a﹣b+c＝0；②若點（﹣3，y1），（2，y2），（4，y3）均在該二次函數(shù)圖象上，則y1＜y2＜y3；③若m為任意實數(shù)，則am2+bm+c?﹣4a；④方程ax2+bx+c+1＝0的兩實數(shù)根為x1，x2，且x1＜x2，則x1＜﹣1，x2＞3．正確結(jié)論的序號為（）A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①④4．（2023?武漢）拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，c＜0）經(jīng)過（1，1），（m，0），（n，0）三點，且n≥3．下列四個結(jié)論：①b＜0；②4ac﹣b2＜4a；③當(dāng)n＝3時，若點（2，t）在該拋物線上，則t＞1；④若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝x有兩個相等的實數(shù)根，則．其中正確的是（填寫序號）．5．（2023?宜昌）如圖，一名學(xué)生推鉛球，鉛球行進高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的關(guān)系是y＝﹣（x﹣10）（x+4），則鉛球推出的距離OA＝m．6．（2022?六盤水）如圖是二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象，該函數(shù)的最小值是．7．（2023?淮安）已知二次函數(shù)y＝x2+bx﹣3（b為常數(shù)）．（1）該函數(shù)圖象與x軸交于A、B兩點，若點A坐標(biāo)為（3，0），①b的值是，點B的坐標(biāo)是；②當(dāng)0＜y＜5時，借助圖象，求自變量x的取值范圍；（2）對于一切實數(shù)x，若函數(shù)值y＞t總成立，求t的取值范圍（用含b的式子表示）；（3）當(dāng)m＜y＜n時（其中m、n為實數(shù)，m＜n），自變量x的取值范圍是1＜x＜2，求n與b的值及m的取值范圍．8．（2023?濟南）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形ABCD的頂點A，B在x軸上，C（2，3），D（﹣1，3）．拋物線y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）與x軸交于點E（﹣2，0）和點F．（1）如圖1，若拋物線過點C，求拋物線的表達式和點F的坐標(biāo)；（2）如圖2，在（1）的條件下，連接CF，作直線CE，平移線段CF，使點C的對應(yīng)點P落在直線CE上，點F的對應(yīng)點Q落在拋物線上，求點Q的坐標(biāo)；（3）若拋物線y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）與正方形ABCD恰有兩個交點，求a的取值范圍．9．（2022?紹興）已知函數(shù)y＝﹣x2+bx+c（b，c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．（1）求b，c的值．（2）當(dāng)﹣4≤x≤0時，求y的最大值．（3）當(dāng)m≤x≤0時，若y的最大值與最小值之和為2，求m的值．10．（2023?金昌）如圖1，拋物線y＝﹣x2+bx與x軸交于點A，與直線y＝﹣x交于點B（4，﹣4），點C（0，﹣4）在y軸上．點P從點B出發(fā)，沿線段BO方向勻速運動，運動到點O時停止．（1）求拋物線y＝﹣x2+bx的表達式；（2）當(dāng)BP＝2時，請在圖1中過點P作PD⊥OA交拋物線于點D，連接PC，OD，判斷四邊形OCPD的形狀，并說明理由；（3）如圖2，點P從點B開始運動時，點Q從點O同時出發(fā)，以與點P相同的速度沿x軸正方向勻速運動，點P停止運動時點Q也停止運動．連接BQ，PC，求CP+BQ的最小值．11．（2023?青海）如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸相交于點A和點C（1，0），交y軸于點B（0，3）．（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）設(shè)二次函數(shù)圖象的頂點為P，對稱軸與x軸交于點Q，求四邊形AOBP的面積（請在圖1中探索）；（3）二次函數(shù)圖象的對稱軸上是否存在點M，使得△AMB是以AB為底邊的等腰三角形？若存在，請求出滿足條件的點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由（請在圖2中探索）．

主題三函數(shù)專題12二次函數(shù)二次函數(shù)一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．二次函數(shù)解析式的三種形式1.一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）．2.頂點式：y=a（x–h）2+k（a，h，k為常數(shù)，a≠0），頂點坐標(biāo)是（h，k）3.交點式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函數(shù)與x軸的交點的橫坐標(biāo)，a≠0解析式二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）對稱軸x=–頂點（–，）a的符號a>0a<0圖象開口方向開口向上開口向下最值當(dāng)x=–時，y最小值=當(dāng)x=–時，y最大值=最點拋物線有最低點拋物線有最高點增減性當(dāng)x<–時，y隨x的增大而減??；當(dāng)x>–時，y隨x的增大而增大當(dāng)x<–時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x>–時，y隨x的增大而減小二次函數(shù)圖像的平移1．將拋物線解析式化成頂點式y(tǒng)=a（x–h）2+k，頂點坐標(biāo)為（h，k）．2．保持y=ax2的形狀不變，將其頂點平移到（h，k）處，具體平移方法如下：【注意】二次函數(shù)平移遵循“上加下減，左加右減”的原則，據(jù)此，可以直接由解析式中常數(shù)的加或減求出變化后的解析式；二次函數(shù)圖象的平移可看作頂點間的平移，可根據(jù)頂點之間的平移求出變化后的解析式．二次函數(shù)與一元二次方程1．二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），當(dāng)y=0時，就變成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．2．a(chǎn)x2+bx+c=0（a≠0）的解是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)．3．（1）b2–4ac>0?方程有兩個不相等的實數(shù)根，拋物線與x軸有兩個交點；（2）b2–4ac=0?方程有兩個相等的實數(shù)根，拋物線與x軸有且只有一個交點；（3）b2–4ac<0?方程沒有實數(shù)根，拋物線與x軸沒有交點．二次函數(shù)的實際應(yīng)用在生活中，我們常會遇到與二次函數(shù)及其圖象有關(guān)的問題，解決這類問題的一般思路：首先要讀懂題意，弄清題目中牽連的幾個量的關(guān)系，并且建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，再根據(jù)題目中的已知條件建立數(shù)學(xué)模型，即列出函數(shù)關(guān)系式，然后運用數(shù)形結(jié)合的思想，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)去解決實際問題．考察背景主要有：經(jīng)濟問題；物體運動軌跡問題；拱橋問題等二次函數(shù)與幾何圖形此類問題一般是通過分析動點在幾何圖形邊上的運動情況，確定出有關(guān)動點函數(shù)圖象的變化情況．分析此類問題，首先要明確動點在哪條邊上運動，在運動過程中引起了哪個量的變化，然后求出在運動過程中對應(yīng)的函數(shù)表達式，最后根據(jù)函數(shù)表達式判別圖象的變化．運動產(chǎn)生的線段問題1.確定線段長關(guān)系式（根據(jù)已知線段關(guān)系求點坐標(biāo)）：先在圖中找出對應(yīng)線段，弄清已知點和未知點；再聯(lián)系二次函數(shù)和一次函數(shù)，設(shè)出未知點的坐標(biāo)，使其只含一個未知數(shù)；繼而表示出線段的長度（如果該線段與坐標(biāo)軸平行的話，則利用橫縱坐標(biāo)相加減確定；如果與坐標(biāo)軸不平行的話，先轉(zhuǎn)化為有邊在與坐標(biāo)軸平行的三角形中，再利用勾股定理、銳角三角函數(shù)或相似確定）.2.線段數(shù)量關(guān)系問題：根據(jù)前面所得的線段長的關(guān)系式，結(jié)合題干列出滿足線段數(shù)量關(guān)系的方程，解方程求解即可（注意排除不符合題意的數(shù)值）3.線段最值問題：求兩條線段和差、三角形周長、四邊形周長等一類最值問題，首先聯(lián)想到“對稱性質(zhì)”，并進行解決。運動產(chǎn)生的面積問題探究面積問題的備考方法如下：1.設(shè)動點或圖形運動的時間并表示出點的坐標(biāo)；2.用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示出圖形的面積；3.用二次函數(shù)的知識來求最大值或最小值時，常采用配方法求解；4.特別注意，當(dāng)所研究的圖形在運動過程中發(fā)生變化，要根據(jù)圖形的形狀進行分類討論，注意分析整個過程中圖形的變化情況，以防漏解.分類討論時要注意在每一種情況下的自變量的取值范圍.求面積最值時，分別求出圖形的面積在每種情況下的最值，比較即可得到面積的最值.5.面積為定值時，可將圖形面積與圖形中動點的坐標(biāo)結(jié)合起來，列方程求得參數(shù)的值即可求得點坐標(biāo).運動產(chǎn)生的等腰三角形、菱形問題法一：分別表示出三點坐標(biāo)，再表示出三邊的長度，分類討論，列方程解出坐標(biāo).法二：作等腰三角形底邊的高，用勾股定理或相似建立等量關(guān)系運動產(chǎn)生的直角三角形、矩形問題法一：分別表示出三點坐標(biāo)，再表示出三邊的長度，分類討論，列方程解出坐標(biāo).法二：作垂線，用勾股定理或相似建立等量關(guān)系.運動產(chǎn)生的平行四邊形問題法一：分別表示出四點坐標(biāo)，再利用中點公式，分類討論，列方程解出坐標(biāo).法二：作垂線，用勾股定理或相似建立等量關(guān)系.二次函數(shù)其它綜合問題解答二次函數(shù)綜合題，要把大題拆分，做到大題小做，逐步分析求解，最后匯總成最終答案．

專題12二次函數(shù)目錄一覽知識目標(biāo)（新課程標(biāo)準(zhǔn)提煉）中考命題趨勢（分析考察方向，精準(zhǔn)把握重難點）重點考向（以真題為例，探究中考命題方向）?考向一二次函數(shù)的圖像?考向二二次函數(shù)的性質(zhì)?考向三二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系?考向四二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征?考向五二次函數(shù)圖象與幾何變換?考向六二次函數(shù)的最值?考向七待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式?考向八拋物線與x軸的交點?考向九二次函數(shù)的應(yīng)用?考向十二次函數(shù)綜合題最新真題薈萃（精選最新典型真題，強化知識運用，優(yōu)化解題技巧）1.會用描點法畫出二次函數(shù)的圖象，通過圖象了解二次函數(shù)的性質(zhì)；用配方法將數(shù)字系數(shù)的二次函數(shù)的表達式化為y＝a(x－h(huán))2＋k的形式，并能由此得到二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)，說出圖象的開口方向，畫出圖象的對稱軸，并能解決簡單實際問題；2.會利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解．結(jié)合具體情況體會二次函數(shù)的意義，能根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)的表達式；會利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的表達式．3.通過對實際問題的分析，體會二次函數(shù)的意義；會用配方法將數(shù)字系數(shù)的二次函數(shù)的表達式化為y＝a(x－h(huán))2＋k的形式，并能由此得到二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)，說出圖象的開口方向，畫出圖象的對稱軸，并能解決實際問題．4.能運用二次函數(shù)的知識解決綜合型問題.二次函數(shù)是非常重要的函數(shù)，年年都會考查,總分值為18~20分，預(yù)計2024年各地中考還會考，它經(jīng)常以一個壓軸題獨立出現(xiàn)，有的地區(qū)也會考察二次函數(shù)的應(yīng)用題，小題的考察主要是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及或與幾何圖形結(jié)合來考查。二次函數(shù)一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．二次函數(shù)解析式的三種形式1.一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）．2.頂點式：y=a（x–h）2+k（a，h，k為常數(shù)，a≠0），頂點坐標(biāo)是（h，k）3.交點式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函數(shù)與x軸的交點的橫坐標(biāo)，a≠0解析式二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）對稱軸x=–頂點（–，）a的符號a>0a<0圖象開口方向開口向上開口向下最值當(dāng)x=–時，y最小值=當(dāng)x=–時，y最大值=最點拋物線有最低點拋物線有最高點增減性當(dāng)x<–時，y隨x的增大而減小；當(dāng)x>–時，y隨x的增大而增大當(dāng)x<–時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x>–時，y隨x的增大而減小二次函數(shù)圖像的平移1．將拋物線解析式化成頂點式y(tǒng)=a（x–h）2+k，頂點坐標(biāo)為（h，k）．2．保持y=ax2的形狀不變，將其頂點平移到（h，k）處，具體平移方法如下：【注意】二次函數(shù)平移遵循“上加下減，左加右減”的原則，據(jù)此，可以直接由解析式中常數(shù)的加或減求出變化后的解析式；二次函數(shù)圖象的平移可看作頂點間的平移，可根據(jù)頂點之間的平移求出變化后的解析式．二次函數(shù)與一元二次方程1．二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），當(dāng)y=0時，就變成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．2．a(chǎn)x2+bx+c=0（a≠0）的解是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)．3．（1）b2–4ac>0?方程有兩個不相等的實數(shù)根，拋物線與x軸有兩個交點；（2）b2–4ac=0?方程有兩個相等的實數(shù)根，拋物線與x軸有且只有一個交點；（3）b2–4ac<0?方程沒有實數(shù)根，拋物線與x軸沒有交點．二次函數(shù)的實際應(yīng)用在生活中，我們常會遇到與二次函數(shù)及其圖象有關(guān)的問題，解決這類問題的一般思路：首先要讀懂題意，弄清題目中牽連的幾個量的關(guān)系，并且建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，再根據(jù)題目中的已知條件建立數(shù)學(xué)模型，即列出函數(shù)關(guān)系式，然后運用數(shù)形結(jié)合的思想，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)去解決實際問題．考察背景主要有：經(jīng)濟問題；物體運動軌跡問題；拱橋問題等二次函數(shù)與幾何圖形此類問題一般是通過分析動點在幾何圖形邊上的運動情況，確定出有關(guān)動點函數(shù)圖象的變化情況．分析此類問題，首先要明確動點在哪條邊上運動，在運動過程中引起了哪個量的變化，然后求出在運動過程中對應(yīng)的函數(shù)表達式，最后根據(jù)函數(shù)表達式判別圖象的變化．運動產(chǎn)生的線段問題1.確定線段長關(guān)系式（根據(jù)已知線段關(guān)系求點坐標(biāo)）：先在圖中找出對應(yīng)線段，弄清已知點和未知點；再聯(lián)系二次函數(shù)和一次函數(shù)，設(shè)出未知點的坐標(biāo)，使其只含一個未知數(shù)；繼而表示出線段的長度（如果該線段與坐標(biāo)軸平行的話，則利用橫縱坐標(biāo)相加減確定；如果與坐標(biāo)軸不平行的話，先轉(zhuǎn)化為有邊在與坐標(biāo)軸平行的三角形中，再利用勾股定理、銳角三角函數(shù)或相似確定）.2.線段數(shù)量關(guān)系問題：根據(jù)前面所得的線段長的關(guān)系式，結(jié)合題干列出滿足線段數(shù)量關(guān)系的方程，解方程求解即可（注意排除不符合題意的數(shù)值）3.線段最值問題：求兩條線段和差、三角形周長、四邊形周長等一類最值問題，首先聯(lián)想到“對稱性質(zhì)”，并進行解決。運動產(chǎn)生的面積問題探究面積問題的備考方法如下：1.設(shè)動點或圖形運動的時間并表示出點的坐標(biāo)；2.用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示出圖形的面積；3.用二次函數(shù)的知識來求最大值或最小值時，常采用配方法求解；4.特別注意，當(dāng)所研究的圖形在運動過程中發(fā)生變化，要根據(jù)圖形的形狀進行分類討論，注意分析整個過程中圖形的變化情況，以防漏解.分類討論時要注意在每一種情況下的自變量的取值范圍.求面積最值時，分別求出圖形的面積在每種情況下的最值，比較即可得到面積的最值.5.面積為定值時，可將圖形面積與圖形中動點的坐標(biāo)結(jié)合起來，列方程求得參數(shù)的值即可求得點坐標(biāo).運動產(chǎn)生的等腰三角形、菱形問題法一：分別表示出三點坐標(biāo)，再表示出三邊的長度，分類討論，列方程解出坐標(biāo).法二：作等腰三角形底邊的高，用勾股定理或相似建立等量關(guān)系運動產(chǎn)生的直角三角形、矩形問題法一：分別表示出三點坐標(biāo)，再表示出三邊的長度，分類討論，列方程解出坐標(biāo).法二：作垂線，用勾股定理或相似建立等量關(guān)系.運動產(chǎn)生的平行四邊形問題法一：分別表示出四點坐標(biāo)，再利用中點公式，分類討論，列方程解出坐標(biāo).法二：作垂線，用勾股定理或相似建立等量關(guān)系.二次函數(shù)其它綜合問題解答二次函數(shù)綜合題，要把大題拆分，做到大題小做，逐步分析求解，最后匯總成最終答案．?考向一二次函數(shù)的圖像解題技巧/易錯易混1．二次函數(shù)的一般形式的結(jié)構(gòu)特征：①函數(shù)的關(guān)系式是整式；②自變量的最高次數(shù)是2；③二次項系數(shù)不等于零．2．一般式，頂點式，交點式是二次函數(shù)常見的表達式，它們之間可以互相轉(zhuǎn)化．3.二次函數(shù)的圖象是一條關(guān)于某條直線對稱的曲線，叫做拋物線，該直線叫做拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點叫做拋物線的頂點.4.二次函數(shù)的圖象是一條關(guān)于某條直線對稱的曲線，叫做拋物線，該直線叫做拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點叫做拋物線的頂點.1．（2022?杭州）已知二次函數(shù)y＝x2+ax+b（a，b為常數(shù)）．命題①：該函數(shù)的圖象經(jīng)過點（1，0）；命題②：該函數(shù)的圖象經(jīng)過點（3，0）；命題③：該函數(shù)的圖象與x軸的交點位于y軸的兩側(cè)；命題④：該函數(shù)的圖象的對稱軸為直線x＝1．如果這四個命題中只有一個命題是假命題，則這個假命題是（）A．命題① B．命題② C．命題③ D．命題④【思路點撥】命題④②③可以同時成立，由此即可判斷．【規(guī)范解答】解：假設(shè)拋物線的對稱軸為直線x＝1，則﹣＝1，解得a＝﹣2，∵函數(shù)的圖象經(jīng)過點（3，0），∴3a+b+9＝0，解得b＝﹣3，故拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，當(dāng)y＝0時，得x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝3或x＝﹣1，故拋物線與x軸的交點為（﹣1，0）和（3，0），函數(shù)的圖象與x軸的交點位于y軸的兩側(cè)；故命題②③④都是正確，①錯誤，故選：A．【真題點撥】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及對稱軸公式的求法．2．（2022?株洲）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣c（a≠0），其中b＞0、c＞0，則該函數(shù)的圖象可能為（）A． B． C． D．【思路點撥】根據(jù)c＞0，可知﹣c＜0，可排除A，D選項，當(dāng)a＞0時，可知對稱軸＜0，可排除B選項，當(dāng)a＜0時，可知對稱軸＞0，可知C選項符合題意．【規(guī)范解答】解：∵c＞0，∴﹣c＜0，故A，D選項不符合題意；當(dāng)a＞0時，∵b＞0，∴對稱軸x＝＜0，故B選項不符合題意；當(dāng)a＜0時，b＞0，∴對稱軸x＝＞0，故C選項符合題意，故選：C．【真題點撥】本題考查了二次函數(shù)的圖象，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（2021?江西）在同一平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2與一次函數(shù)y＝bx+c的圖象如圖所示，則二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象可能是（）A． B． C． D．【思路點撥】根據(jù)二次函數(shù)y＝ax2與一次函數(shù)y＝bx+c的圖象，即可得出a＞0、b＞0、c＜0，由此即可得出：二次函數(shù)y＝ax+bx+c的圖象開口向上，對稱軸x＝﹣＜0，與y軸的交點在y軸負半軸，再對照四個選項中的圖象即可得出結(jié)論．【規(guī)范解答】解：觀察函數(shù)圖象可知：a＞0，b＞0，c＜0，∴二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象開口向上，對稱軸x＝﹣＜0，與y軸的交點在y軸負半軸．故選：D．【真題點撥】本題考查了一次函數(shù)的圖象以及二次函數(shù)的圖象，根據(jù)二次函數(shù)圖象和一次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限，找出a＞0、b＞0、c＜0是解題的關(guān)鍵．?考向二二次函數(shù)的性質(zhì)4．（2023?臺灣）坐標(biāo)平面上有兩個二次函數(shù)的圖形，其頂點P、Q皆在x軸上，且有一水平線與兩圖形相交于A、B、C、D四點，各點位置如圖所示，若AB＝10，BC＝5，CD＝6，則PQ的長度為何（）A．7 B．8 C．9 D．10【思路點撥】由AB，BC，CD的長度及拋物線的對稱性可得點C與點P，點Q與點C的橫坐標(biāo)之差，進而求解．【規(guī)范解答】解：∵AB＝10，BC＝5，∴AC＝AB+BC＝15，∴xC﹣xP＝，∵BC＝5，CD＝6，∴BD＝BC+CD＝11，∴xQ﹣xB＝，∴PQ＝xQ﹣xP＝（xQ﹣xB）+（xC﹣xP）﹣（xC﹣xB）＝+﹣5＝8，故選：B．【真題點撥】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求解．5．（2023?內(nèi)蒙古）已知二次函數(shù)y＝﹣ax2+2ax+3（a＞0），若點P（m，3）在該函數(shù)的圖象上，且m≠0，則m的值為2．【思路點撥】將點P（m，3）代入函數(shù)解析式求解即可．【規(guī)范解答】解：∵點P（m，3）在二次函數(shù)y＝﹣ax2+2ax+3（a＞0）的圖象上，∴3＝﹣am2+2am+3，∴﹣am（m﹣2）＝0，解得m＝2或m＝0（舍去），故答案為：2．【真題點撥】本題主要考查二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，圖象上點的坐標(biāo)滿足解析式是解題的關(guān)鍵．6．（2023?北京）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）是拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意兩點，設(shè)拋物線的對稱軸為x＝t．（1）若對于x1＝1，x2＝2，有y1＝y(tǒng)2，求t的值；（2）若對于0＜x1＜1，1＜x2＜2，都有y1＜y2，求t的取值范圍．【思路點撥】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得對稱軸即可，（2）根據(jù)題意判斷出離對稱軸更近的點，從而得出（x1，y1）與（x2，y2）的中點在對稱軸的右側(cè)，再根據(jù)對稱性即可解答．【規(guī)范解答】解：（1）∵對于x1＝1，x2＝2，有y1＝y(tǒng)2，∴a+b+c＝4a+2b+c，∴3a+b＝0，∴＝﹣3．∵對稱軸為x＝﹣＝，∴t＝．（2）∵0＜x1＜1，1＜x2＜2，∴，x1＜x2，∵y1＜y2，a＞0，∴（x1，y1）離對稱軸更近，x1＜x2，則（x1，y1）與（x2，y2）的中點在對稱軸的右側(cè)，∴＞t，即t≤．【真題點撥】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的對稱性是解題關(guān)鍵．?考向三二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系解題技巧/易錯易混二次函數(shù)圖象的特征與a，b，c的關(guān)系字母的符號圖象的特征aa>0開口向上a<0開口向下bb=0對稱軸為y軸ab>0（a與b同號）對稱軸在y軸左側(cè)ab<0（a與b異號）對稱軸在y軸右側(cè)cc=0經(jīng)過原點c>0與y軸正半軸相交c<0與y軸負半軸相交7．（2023?煙臺）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的頂點A的坐標(biāo)為（﹣，m），與x軸的一個交點位于0和1之間，則以下結(jié)論：①abc＞0；②2b+c＞0；③若圖象經(jīng)過點（﹣3，y1），（3，y2），則y1＞y2；④若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣3＝0無實數(shù)根，則m＜3．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【思路點撥】①利用拋物線的頂點坐標(biāo)和開口方向即可判斷；②利用拋物線的對稱軸求出a＝b，根據(jù)圖象可得當(dāng)x＝1時，y＝a+b+c＜0，即可判斷；③利用拋物線的對稱軸，設(shè)（﹣3，y1），（3，y2）兩點橫坐標(biāo)與對稱軸的距離為d1、d2，求出距離，根據(jù)圖象可得，距離對稱軸越近的點的函數(shù)值越大，即可判斷；④根據(jù)根的判別式即可判斷．【規(guī)范解答】解：①∵拋物線y＝ax2+bx+c的頂點A的坐標(biāo)為（﹣，m），∴﹣，∴，即ab＞0，由圖可知，拋物線開口方向向下，即a＜0，∴b＜0，當(dāng)x＝0時，y＝c＞0，∴abc＞0，故①正確，符合題意；②∵直線x＝﹣是拋物線的對稱軸，∴﹣，∴，∴a＝b，由圖象可得：當(dāng)x＝1時，y＝a+b+c＜0，∴2b+c＜0，故②錯誤，不符合題意；③∵直線x＝﹣是拋物線的對稱軸，設(shè)（﹣3，y1），（3，y2）兩點橫坐標(biāo)與對稱軸的距離為d1、d2，則，，∴d2＞d1，根據(jù)圖象可得，距離對稱軸越近的點的函數(shù)值越大，∴y1＞y2，故③正確，符合題意；④∵關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣3＝0無實數(shù)根，∴Δ＝b2﹣4a（c﹣3）＜0，∴b2﹣4ac+12a＜0，∴b2﹣4ac＜﹣12a，∴4ac﹣b2＞12a，∵，∴m＜3，故④正確，符合題意．故選：C．【真題點撥】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．8．（2023?廣元）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)且a＜0）過（﹣1，0）和（m，0）兩點，且3＜m＜4，下列四個結(jié)論：①abc＞0；②3a+c＞0；③若拋物線過點（1，4），則﹣1＜a＜；④若關(guān)于x的方程a（x+1）（x﹣m）＝3有實數(shù)根，則4ac﹣b2≥12a，其中正確的結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【思路點撥】①根據(jù)題意得出開口向下，對稱軸在y軸的右側(cè)，即可判b＞0，c＞0，則abc＜0；②根據(jù)對稱軸是直線x＝﹣＞1，計算﹣b＜2a，由拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)），過A（﹣1，0），得到a﹣b+c＝0，即可得到3a+c＞0；③由待定系數(shù)法確定拋物線y＝ax2+2x+2﹣a，根據(jù)題意拋物線為y＝a（x+1）（x﹣m）＝ax2+a（1﹣m）x﹣am，即可得出﹣am＝2﹣a，則m＝＝1﹣，根據(jù)3＜m＜4，即可得出關(guān)于a的不等式，解得即可；④拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)且a＜0）與直線y＝3有交點，即可得出，求得4ac﹣b2≤12a．【規(guī)范解答】解：∵拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)），過A（﹣1，0），B（m，0）兩點，且3＜m＜4，∴對稱軸x＝＞1，∴對稱軸在y軸右側(cè)，∴﹣＞0，∵a＜0，∴b＞0，c＞0，∴abc＜0，故①錯誤；∵﹣＞1，a＜0，∴﹣b＜2a，∵拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)），過A（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∴3a+c＞0，故②正確；∵拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)），過A（﹣1，0），點（1，4），∴，解得，∵拋物線y＝ax2+2x+2﹣a，∵拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)且a＜0）過（﹣1，0）和（m，0）兩點，∴y＝a（x+1）（x﹣m）＝ax2+a（1﹣m）x﹣am，∴﹣am＝2﹣a，∴m＝＝1﹣，∵3＜m＜4，∴3＜1﹣＜4，∵a＜0，∴﹣1＜a＜，故③正確；∵若關(guān)于x的方程a（x+1）（x﹣m）＝3有實數(shù)根，∴拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)且a＜0）與直線y＝3有交點，∴，∴4ac﹣b2≤12a，故④錯誤．故選：B．【真題點撥】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)與方程的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，靈活運用所學(xué)知識解決問題．?考向四二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征9．（2023?廣東）如圖，拋物線y＝ax2+c經(jīng)過正方形OABC的三個頂點A，B，C，點B在y軸上，則ac的值為（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4【思路點撥】過A作AH⊥x軸于H，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠AOB＝45°，得到AH＝OH，利用待定系數(shù)法求得a、c的值，即可求得結(jié)論．【規(guī)范解答】解：過A作AH⊥x軸于H，∵四邊形ABCO是正方形，∴∠AOB＝45°，∴∠AOH＝45°，∴AH＝OH，設(shè)A（m，m），則B（0，2m），∴，解得am＝﹣1，m＝，∴ac的值為﹣2，故選：B．【真題點撥】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，根據(jù)圖象得出拋物線經(jīng)過的點的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．10．（2023?廣州）已知點A（x1，y1），B（x2，y2）在拋物線y＝x2﹣3上，且0＜x1＜x2，則y1＜y2.（填“＜”或“＞”或“＝”）【思路點撥】依據(jù)題意，求出拋物線y＝x2﹣3的對稱軸x＝0，從而由二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)拋物線開口向下，故當(dāng)x＞0時y隨x的增大而減小，進而判斷得解．【規(guī)范解答】解：由題意得拋物線y＝x2﹣3的對稱軸x＝0，又a＝1＞0，∴拋物線y＝x2﹣3開口向上．∴當(dāng)x＞0時y隨x的增大而增大．∴對于A、B當(dāng)0＜x1＜x2時，y1＜y2．故答案為：＜．【真題點撥】本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解題時要熟練掌握并理解是關(guān)鍵．11．（2023?麗水）已知點（﹣m，0）和（3m，0）在二次函數(shù)y＝ax2+bx+3（a，b是常數(shù)，a≠0）的圖象上．（1）當(dāng)m＝﹣1時，求a和b的值；（2）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（n，3）且點A不在坐標(biāo)軸上，當(dāng)﹣2＜m＜﹣1時，求n的取值范圍；（3）求證：b2+4a＝0．【思路點撥】（1）當(dāng)m＝﹣1時，二次函數(shù)y＝ax2+bx+3圖象過點（1，0）和（﹣3，0），用待定系數(shù)法可得a的值是﹣1，b的值是﹣2；（2）y＝ax2+bx+3圖象過點（﹣m，0）和（3m，0），可知拋物線的對稱軸為直線x＝m，而y＝ax2+bx+3的圖象過點A（n，3），（0，3），且點A不在坐標(biāo)軸上，可得m＝，根據(jù)﹣2＜m＜﹣1，即得﹣4＜n＜﹣2；（3）由拋物線過（﹣m，0），（3m，0），可得﹣＝m，b＝﹣2am，把（﹣m，0），（3m，0）代入y＝ax2+bx+3變形可得am2+1＝0，故b2+4a＝（﹣2am）2+4a＝4a（am2+1）＝4a×0＝0．【規(guī)范解答】（1）解：當(dāng)m＝﹣1時，二次函數(shù)y＝ax2+bx+3圖象過點（1，0）和（﹣3，0），∴，∴解得，∴a的值是﹣1，b的值是﹣2；（2）解：∵y＝ax2+bx+3圖象過點（﹣m，0）和（3m，0），∴拋物線的對稱軸為直線x＝m，∵y＝ax2+bx+3的圖象過點A（n，3），（0，3），且點A不在坐標(biāo)軸上，∴由圖象的對稱性得n＝2m，∴m＝，∵﹣2＜m＜﹣1，∴﹣2＜＜﹣1，∴﹣4＜n＜﹣2；（3）證明：∵拋物線過（﹣m，0），（3m，0），∴拋物線對稱軸為直線x＝＝m，∴﹣＝m，∴b＝﹣2am，把（﹣m，0），（3m，0）代入y＝ax2+bx+3得：，①×3+②得：12am2+12＝0，∴am2+1＝0，∴b2+4a＝（﹣2am）2+4a＝4a（am2+1）＝4a×0＝0．【真題點撥】本題考查二次函數(shù)圖象上點坐標(biāo)的特征，涉及待定系數(shù)法，不等式，方程組等知識，解題的關(guān)鍵是整體思想的應(yīng)用．?考向五二次函數(shù)圖象與幾何變換12．（2023?徐州）在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y＝（x+1）2+3的圖象向右平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，所得拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式為（）A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x﹣1）2+2 C．y＝（x﹣1）2+4 D．y＝（x+3）2+4【思路點撥】直接利用二次函數(shù)的平移規(guī)律，左加右減，上加下減，進而得出答案．【規(guī)范解答】解：將二次函數(shù)y＝（x+1）2+3的圖象向右平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，所得拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式為y＝（x+1﹣2）2+3﹣1，即y＝（x﹣1）2+2．故選：B．【真題點撥】本題主要考查二次函數(shù)的幾何變換，掌握“左加右減，上加下減”的法則是解題的關(guān)鍵．13．（2023?廣西）將拋物線y＝x2先向右平移3個單位，再向上平移4個單位，得到的拋物線是（）A．y＝（x﹣3）2+4 B．y＝（x+3）2+4 C．y＝（x﹣3）2﹣4 D．y＝（x+3）2﹣4【思路點撥】根據(jù)“左加右減，上加下減”的法則進行解得即可．【規(guī)范解答】解：將拋物線y＝x2先向右平移3個單位，再向上平移4個單位，得到的拋物線是y＝（x﹣3）2+4．故選：A．【真題點撥】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟記“左加右減，上加下減”的法則是解決問題的關(guān)鍵．14．（2023?益陽）我們在學(xué)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象的平移時知道：將一次函數(shù)y＝2x的圖象向上平移1個單位得到y(tǒng)＝2x+1的圖象；將二次函數(shù)y＝x2+1的圖象向左平移2個單位得到y(tǒng)＝（x+2）2+1的圖象，若將反比例函數(shù)y＝的圖象向下平移3個單位，如圖所示，則得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)表達式是y＝﹣3．【思路點撥】根據(jù)“上加下減，左加右減”的原則進行解答即可．【規(guī)范解答】解：由題意，將反比例函數(shù)y＝的圖象向下平移3個單位，得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)表達式為y＝﹣3．故答案為：y＝﹣3．【真題點撥】本題考查的是一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知“上加下減，左加右減”的原則是解答此題的關(guān)鍵．?考向六二次函數(shù)的最值15．（2023?杭州）設(shè)二次函數(shù)y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）（a＞0，m，k是實數(shù)），則（）A．當(dāng)k＝2時，函數(shù)y的最小值為﹣a B．當(dāng)k＝2時，函數(shù)y的最小值為﹣2a C．當(dāng)k＝4時，函數(shù)y的最小值為﹣a D．當(dāng)k＝4時，函數(shù)y的最小值為﹣2a【思路點撥】令y＝0，求出二次函數(shù)與x軸的交點坐標(biāo)，繼而求出二次函數(shù)的對稱軸，再代入二次函數(shù)解析式即可求出頂點的縱坐標(biāo)，最后代入k的值進行判斷即可．【規(guī)范解答】解：令y＝0，則（x﹣m）（x﹣m﹣k）＝0，∴x1＝m，x2＝m+k，∴二次函數(shù)y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）與x軸的交點坐標(biāo)是（m，0），（m+k，0），∴二次函數(shù)的對稱軸是：直線，∵a＞0，∴y有最小值，當(dāng)時，y最小，即，當(dāng)k＝2時，函數(shù)y的最小值為；當(dāng)k＝4時，函數(shù)y的最小值為，故選：A．【真題點撥】本題考查了二次函數(shù)的最值問題，熟練掌握求二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．16．（2023?鎮(zhèn)江）二次函數(shù)y＝﹣2x2+9的最大值等于9．【思路點撥】依據(jù)題意，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，由二次函數(shù)y＝﹣2x2+9的a＝﹣2＜0，開口向下，結(jié)合解析式可以得解．【規(guī)范解答】解：由題意，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，由二次函數(shù)y＝﹣2x2+9的a＝﹣2＜0，開口向下，∴二次函數(shù)y＝﹣2x2+9有最大值為9．故答案為：9．【真題點撥】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題時需要熟練掌握并理解是關(guān)鍵．17．（2023?紹興）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一個圖形上的點都在一邊平行于x軸的矩形內(nèi)部（包括邊界），這些矩形中面積最小的矩形稱為該圖形的關(guān)聯(lián)矩形．例如：如圖，函數(shù)y＝（x﹣2）2（0≤x≤3）的圖象（拋物線中的實線部分），它的關(guān)聯(lián)矩形為矩形OABC．若二次函數(shù)圖象的關(guān)聯(lián)矩形恰好也是矩形OABC，則b＝或﹣．【思路點撥】根據(jù)題意求得點A（3，0），B（3，4），C（0，4），然后分兩種情況，利用待定系數(shù)法求出解析式即可．【規(guī)范解答】解：由y＝（x﹣2）2（0≤x≤3），當(dāng)x＝0時，y＝4，∴C（0，4），∵A（3，0），四邊形ABCO是矩形，∴B（3，4），①當(dāng)拋物線經(jīng)過O、B時，將點O（0，0），B（3，4）代入y＝x2+bx+c（0≤x≤3）得，解得b＝；②當(dāng)拋物線經(jīng)過A、C時，將點A（3，0），C（0，4）代入y＝x2+bx+c（0≤x≤3）得，解得b＝﹣，綜上所述，b＝或b＝﹣，故答案為：或﹣，【真題點撥】本題考查了待定系數(shù)法求拋物線的解析式，能夠理解新定義，最小矩形的限制條件是解題的關(guān)鍵．?考向七待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式18．（2023?上海）一個二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的頂點在y軸正半軸上，且其對稱軸左側(cè)的部分是上升的，那么這個二次函數(shù)的解析式可以是y＝﹣x2+1（答案不唯一）．【思路點撥】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系求解（答案不唯一）．【規(guī)范解答】解：由題意得：b＝0，a＜0，c＞0，∴這個二次函數(shù)的解析式可以是：y＝﹣x2+1，故答案為：y＝﹣x2+1（答案不唯一）．【真題點撥】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．19．（2023?寧波）如圖，已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c圖象經(jīng)過點A（1，﹣2）和B（0，﹣5）．（1）求該二次函數(shù)的表達式及圖象的頂點坐標(biāo)．（2）當(dāng)y≤﹣2時，請根據(jù)圖象直接寫出x的取值范圍．【思路點撥】（1）用待定系數(shù)法求出函數(shù)表達式，配成頂點式即可得頂點坐標(biāo)；（2）求出A關(guān)于對稱軸的對稱點坐標(biāo)，由圖象直接可得答案．【規(guī)范解答】解：（1）把A（1，﹣2）和B（0，﹣5）代入y＝x2+bx+c得：，解得，∴二次函數(shù)的表達式為y＝x2+2x﹣5，∵y＝x2+2x﹣5＝（x+1）2﹣6，∴頂點坐標(biāo)為（﹣1，﹣6）；（2）如圖：∵點A（1，﹣2）關(guān)于對稱軸直線x＝﹣1的對稱點C（﹣3，﹣2），∴當(dāng)y≤﹣2時，x的范圍是﹣3≤x≤1．【真題點撥】本題考查二次函數(shù)圖象及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法，求出函數(shù)表達式．20．（2022?黑龍江）如圖，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點A（﹣1，0），點B（2，﹣3），與y軸交于點C，拋物線的頂點為D．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線上是否存在點P，使△PBC的面積是△BCD面積的4倍，若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【思路點撥】（1）待定系數(shù)法求解析式即可；（2）設(shè)拋物線上的點P坐標(biāo)為（m，m2﹣2m﹣3），結(jié)合方程思想和三角形面積公式列方程求解．【規(guī)范解答】解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點A（﹣1，0），點B（2，﹣3），∴，解得b＝﹣2，c＝﹣3，∴拋物線的解析式：y＝x2﹣2x﹣3；（2）存在，理由如下：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴D點坐標(biāo)為（1，﹣4），令x＝0，則y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，∴C點坐標(biāo)為（0，﹣3），又∵B點坐標(biāo)為（2，﹣3），∴BC∥x軸，∴S△BCD＝×2×1＝1，設(shè)拋物線上的點P坐標(biāo)為（m，m2﹣2m﹣3），∴S△PBC＝×2×|m2﹣2m﹣3﹣（﹣3）|＝|m2﹣2m|，當(dāng)|m2﹣2m|＝4×1時，解得m＝1±，當(dāng)m＝1+時，m2﹣2m﹣3＝1，當(dāng)m＝1﹣時，m2﹣2m﹣3＝1，綜上，P點坐標(biāo)為（1+，1）或（1﹣，1）．【真題點撥】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法，理解二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，利用方程思想解題是關(guān)鍵．?考向八拋物線與x軸的交點21．（2023?衡陽）已知m＞n＞0，若關(guān)于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解為x1，x2（x1＜x2），關(guān)于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解為x3，x4（x3＜x4）．則下列結(jié)論正確的是（）A．x3＜x1＜x2＜x4 B．x1＜x3＜x4＜x2 C．x1＜x2＜x3＜x4 D．x3＜x4＜x1＜x2【思路點撥】畫出拋物線y＝x2+2x﹣3，直線y＝m，直線y＝n，根據(jù)一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系，觀察圖象可得答案．【規(guī)范解答】解：關(guān)于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解為拋物線y＝x2+2x﹣3與直線y＝m的交點的橫坐標(biāo)，關(guān)于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解為拋物線y＝x2+2x﹣3與直線y＝n的交點的橫坐標(biāo)，如圖：由圖可知，x1＜x3＜x4＜x2，故選：B．【真題點撥】本題考查一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是畫出圖象，數(shù)形結(jié)合解決問題．22．（2023?婁底）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸相交于點A（1，0）、點B（3，0），與y軸相交于點C，點D在拋物線上，當(dāng)CD∥x軸時，CD＝4．【思路點撥】先根據(jù)點A和點B的坐標(biāo)求出該拋物線的對稱軸，再根據(jù)二次函數(shù)具有對稱性，即可得到點D的橫坐標(biāo)，從而可以求得CD的長．【規(guī)范解答】解：∵拋物線y＝ax2+bx+c與x軸相交于點A（1，0）、點B（3，0），∴該拋物線的對稱軸為直線x＝＝2，∵拋物線與y軸相交于點C，點D在拋物線上，CD∥x軸，∴點D的橫坐標(biāo)為：2×2﹣0＝4，∴CD＝4﹣0＝4，故答案為：4【真題點撥】本題考查拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．23．（2023?牡丹江）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0），B（4，0），與y軸交于點C．（1）求拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式，并直接寫出頂點P的坐標(biāo)；（2）求△BCP的面積．注：注拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸是直線x＝﹣，頂點坐標(biāo)是（，）．【思路點撥】（1）直接運用待定系數(shù)法即可求解．（2）連接OP，用割補求解即可．【規(guī)范解答】解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0），B（4，0），∴，解得，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣3x﹣4，∴P（，﹣）；（2）連接OP，∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4），P（，﹣）；∴S△OPC＝＝3，S△BOP＝＝，S△BOC＝＝8，∴S△BPC＝S△OPC+S△BOP﹣S△BOC＝3+﹣8＝．【真題點撥】本題考查二次函數(shù)的圖象性質(zhì)和三角形的面積，學(xué)會靈活求三角形的面積是解題關(guān)鍵．?考向九二次函數(shù)的應(yīng)用解題技巧/易錯易混二次函數(shù)的實際應(yīng)用在生活中，我們常會遇到與二次函數(shù)及其圖象有關(guān)的問題，解決這類問題的一般思路：首先要讀懂題意，弄清題目中牽連的幾個量的關(guān)系，并且建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，再根據(jù)題目中的已知條件建立數(shù)學(xué)模型，即列出函數(shù)關(guān)系式，然后運用數(shù)形結(jié)合的思想，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)去解決實際問題．考察背景主要有：經(jīng)濟問題；物體運動軌跡問題；拱橋問題等二次函數(shù)與幾何圖形此類問題一般是通過分析動點在幾何圖形邊上的運動情況，確定出有關(guān)動點函數(shù)圖象的變化情況．分析此類問題，首先要明確動點在哪條邊上運動，在運動過程中引起了哪個量的變化，然后求出在運動過程中對應(yīng)的函數(shù)表達式，最后根據(jù)函數(shù)表達式判別圖象的變化．24．（2023?天津）如圖，要圍一個矩形菜園ABCD，其中一邊AD是墻，且AD的長不能超過26m，其余的三邊AB，BC，CD用籬笆，且這三邊的和為40m，有下列結(jié)論：①AB的長可以為6m；②AB的長有兩個不同的值滿足菜園ABCD面積為192m2；③菜園ABCD面積的最大值為200m2．其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【思路點撥】設(shè)AD邊長為xm，則AB邊長為長為m，根據(jù)AB＝6列出方程，解方程求出x的值，根據(jù)x取值范圍判斷①；根據(jù)矩形的面積＝192．解方程求出x的值可以判斷②；設(shè)矩形菜園的面積為ym2，根據(jù)矩形的面積公式列出函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的最值可以判斷③．【規(guī)范解答】解：設(shè)AD邊長為xm，則AB邊長為m，當(dāng)AB＝6時，＝6，解得x＝28，∵AD的長不能超過26m，∴x≤26，故①不正確；∵菜園ABCD面積為192m2，∴x?＝192，整理得：x2﹣40x+384＝0，解得x＝24或x＝16，∴AB的長有兩個不同的值滿足菜園ABCD面積為192m2，故②正確；設(shè)矩形菜園的面積為ym2，根據(jù)題意得：y＝x?＝﹣（x2﹣40x）＝﹣（x﹣20）2+200，∵﹣＜0，20＜26，∴當(dāng)x＝20時，y有最大值，最大值為200．故③正確．∴正確的有2個，故選：C．【真題點撥】此題主要考查了一元二次方程和二次函數(shù)的應(yīng)用，讀懂題意，找到等量關(guān)系準(zhǔn)確地列出函數(shù)解析式和方程是解題的關(guān)鍵．25．（2023?濱州）某廣場要建一個圓形噴水池，計劃在池中心位置豎直安裝一根頂部帶有噴水頭的水管，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達到最高，高度為3m，水柱落地處離池中心的水平距離也為3m，那么水管的設(shè)計高度應(yīng)為m．【思路點撥】利用頂點式求得拋物線的解析式，再令x＝0，求得相應(yīng)的函數(shù)值，即為所求的答案．【規(guī)范解答】解：由題意可知點（1，3）是拋物線的頂點，∴設(shè)這段拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2+3．∵該拋物線過點（3，0），∴0＝a（3﹣1）2+3，解得：a＝﹣．∴y＝﹣（x﹣1）2+3．∵當(dāng)x＝0時，y＝﹣×（0﹣1）2+3＝﹣+3＝，∴水管的設(shè)計高度應(yīng)為m．故答案為：m．【真題點撥】本題考查了二次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握待定系數(shù)法及二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．26．（2023?菏澤）某學(xué)校為美化學(xué)校環(huán)境，打造綠色校園，決定用籬笆圍成一個一面靠墻（墻足夠長）的矩形花園，用一道籬笆把花園分為A，B兩塊（如圖所示），花園里種滿牡丹和芍藥．學(xué)校已定購籬笆120米．（1）設(shè)計一個使花園面積最大的方案，并求出其最大面積；（2）在花園面積最大的條件下，A，B兩塊內(nèi)分別種植牡丹和芍藥，每平方米種植2株，已知牡丹每株售價25元，芍藥每株售價15元，學(xué)校計劃購買費用不超過5萬元，求最多可以購買多少株牡丹？【思路點撥】（1）設(shè)垂直于墻的邊為x米，根據(jù)矩形面積公式得：S＝x（120﹣3x）＝﹣3x2+120x＝﹣3（x﹣20）2+1200，由二次函數(shù)性質(zhì)可得答案；（2）設(shè)購買牡丹m株，根據(jù)學(xué)校計劃購買費用不超過5萬元，列不等式可解得答案．【規(guī)范解答】解：（1）設(shè)垂直于墻的邊為x米，圍成的矩形面積為S平方米，則平行于墻的邊為（120﹣3x）米，根據(jù)題意得：S＝x（120﹣3x）＝﹣3x2+120x＝﹣3（x﹣20）2+1200，∵﹣3＜0，∴當(dāng)x＝20時，S取最大值1200，∴120﹣3x＝120﹣3×20＝60，∴垂直于墻的邊為20米，平行于墻的邊為60米，花園面積最大為1200平方米；（2）設(shè)購買牡丹m株，則購買芍藥1200×2﹣m＝（2400﹣m）株，∵學(xué)校計劃購買費用不超過5萬元，∴25m+15（2400﹣m）≤50000，解得m≤1400，∴最多可以購買1400株牡丹．【真題點撥】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出函數(shù)關(guān)系式．?考向十二次函數(shù)綜合題解題技巧/易錯易混一、解決二次函數(shù)存在點問題，一般先假設(shè)該點存在，根據(jù)該點所在的直線或拋物線的表達式，設(shè)出該點的坐標(biāo)；然后用該點的坐標(biāo)表示出與該點有關(guān)的線段長或其他點的坐標(biāo)等；最后結(jié)合題干中其他條件列出等式，求出該點的坐標(biāo)，然后判別該點坐標(biāo)是否符合題意，若符合題意，則該點存在，否則該點不存在．二、函數(shù)壓軸題主要分為兩大類：一是動點函數(shù)圖象問題；二是與動點、存在點、相似等有關(guān)的二次函數(shù)綜合題．2.解答動點函數(shù)圖象問題，要把問題拆分，分清動點在不同位置運動或不同時間段運動時對應(yīng)的函數(shù)表達式，進而確定函數(shù)圖象；3.解決二次函數(shù)動點問題，首先要明確動點在哪條直線或拋物線上運動，運動速度是多少，結(jié)合直線或拋物線的表達式設(shè)出動點的坐標(biāo)或表示出與動點有關(guān)的線段長度，最后結(jié)合題干中與動點有關(guān)的條件進行計算．26．（2023?綿陽）如圖，拋物線經(jīng)過△AOD的三個頂點，其中O為原點，A（2，4），D（6，0），點F在線段AD上運動，點G在直線AD上方的拋物線上，GF∥A0，GE⊥DO于點E，交AD于點I，AH平分∠OAD，C（﹣2，﹣4），AH⊥CH于點H，連接FH．（1）求拋物線的解析式及△AOD的面積；（2）當(dāng)點F運動至拋物線的對稱軸上時，求△AFH的面積；（3）試探究的值是否為定值？如果為定值，求出該定值；不為定值，請說明理由．【思路點撥】（1）運用待定系數(shù)法可得y＝﹣x2+3x．設(shè)點O到AD的距離為d，點A的縱坐標(biāo)為yA，根據(jù)三角形面積公式即可求得S△AOD＝12；（2）當(dāng)點F運動至對稱軸上時，點F的橫坐標(biāo)為3，可得AF＝AD．連接OC、OH，由點A與點C關(guān)于原點O對稱，可得點A、O、C三點共線，且O為AC的中點．推出HO∥AD，可得點H到AD的距離為d．再根據(jù)三角形面積公式即可求得答案；（3）過點A作AL⊥OD于點L，過點F作FK⊥GE于點K．運用勾股定理可得OA＝＝2．再證得△FIK為等腰直角三角形．設(shè)FK＝m，則KI＝m，再運用解直角三角形可求得GK＝2m，F(xiàn)G＝m，即可求得答案．【規(guī)范解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+bx（a≠0）．將A（2，4），D（6，0）代入，得，解得：，∴y＝﹣x2+3x．設(shè)點O到AD的距離為d，點A的縱坐標(biāo)為yA，∴S△AOD＝AD?d＝OD?yA＝×6×4＝12．（2）∵y＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣3）2+，∴拋物線的對稱軸為直線x＝3．當(dāng)點F運動至對稱軸上時，點F的橫坐標(biāo)為3，則＝＝，即AF＝AD．如圖，連接OC、OH，由點C（﹣2，4），得點A與點C關(guān)于原點O對稱，∴點A、O、C三點共線，且O為AC的中點．∵AH⊥CH，∴OH＝AC＝OA，∴∠OAH＝∠AHO．∵AH平分∠CAD，∴∠OAH＝∠DAH，∴∠AHO＝∠DAH，∴HO∥AD，∴HO與AD間的距離為d，∴點H到AD的距離為d．∵S△AFH＝×AF×d，S△AOD＝×AD×d＝12，∴S△AFH＝×AF×d＝×AD×d＝×（×AD×d）＝×12＝3．∴當(dāng)點F運動至拋物線的對稱軸上時，△AFH的面積為3；（3）如圖，過點A作AL⊥OD于點L，過點F作FK⊥GE于點K．由題意得AL＝4，OL＝2，∴OA＝＝＝2．∴DL＝OD﹣OL＝6﹣2＝4，在Rt△ADL中，AL＝DL，∴∠ADL＝45