江蘇省常州市2024-2025學年上學期九年級數(shù)學期中試題

江蘇省常州市2024-2025學年上學期九年級數(shù)學期中試題

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一、單選題

1.將一元二次方程2/-4x=-5化成一般形式之后，若二次項的系數(shù)是2,則一次項系數(shù)

和常數(shù)項分別為（）

A.4,5B.-4,5C.-4,-5D.5,4

2.方程2/70=0的根的情況是（)

A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根C.沒有實數(shù)根

D.無法確定

3.將方程--6x+l=0配方后，原方程可變形為（

A.(X-3)2=8B.(X-3)2=-10C.(X+3)2=-10D.0+3)2=8

4.己知。。的半徑為5,點P到圓心。的距離為4,若點尸在圓內(nèi)，則d的取值范圍為（）

A.d<5B.d=5C.d>5D.0<d<5

5.如圖，圓。是V/BC的外接圓，已知/8=血，NC=45。，則圓。的半徑。4的長為（）

C.V2D.2

6.如圖，A3是半圓O的直徑，點。是弧/C的中點，若/B4C=44。，則ND4c等于（

C.23°D.46°

7.俗語有云：“一天不練手腳慢，兩天不練丟一半，三天不練門外漢，四天不練瞪眼看.”

其意思是知識和技藝在學習后，如果不及時復習，那么學習過的東西就會被遺忘.假設每天

試卷第1頁，共6頁

“遺忘”的百分比是一樣的，根據(jù)“兩天不練丟一半”，則每天“遺忘”的百分比約為（參考數(shù)據(jù):

V2?1.414）（）

A.20.3%B.25.2%C.29.3%D.50%

8.如圖，V48c內(nèi)接于AB=AC,ZBAC<60\為的直徑，BEL4C交4力于P,

BE的延長線交。。于點尸，連接/尸，CF,AD交BC于G,在不添加其他輔助線的情況

下，圖中除/8=NC外，相等的線段共有（）對.

A.2B.3C.4D.5

二、填空題

9.一元二次方程3/的根是.

10.若關于x的一元二次方程/一2x+4=0有一個根為1,則實數(shù)左的值為.

11.寫出一個一元二次方程，使它兩根分別為3和-10,所寫方程為：.

12.為了喜迎元旦，某區(qū)籌備了精彩的文藝演出，籌辦組在一塊正方形的廣場空地上搭建舞

臺，并設計了如圖所示的方案，其中陰影部分為舞臺.舞臺區(qū)域的寬均為6米，中間空白的

面積為216平方米，若設正方形空地的邊長為x米，則可列方程.

13.若6為有理數(shù)，J3.2a1-lab+b2-6a+9=0<貝!Ja+26=_.

14.已知RtZ\48C的兩直角邊的長分別為6cm和8cm,則它的外接圓的半徑為cm.

15.如圖，是。。的直徑，C、。是。。上的點，ZCDB=20°,過點C作。O的切線

交AB的延長線于點E,則NE=.

試卷第2頁，共6頁

16.如圖，已知與。。相切于點A,/C是。。的直徑，連接2C交。。于點。，E為。。

上一點，當/CED=58。時，的度數(shù)是.

17.如圖，已知。/的半徑為1,圓心的坐標為（4,3）.點尸（加,〃）是。工上的一個動點，則

nr+n2的最大值為

18.如圖1是一款軸對稱“磁懸浮地漏”無水時的示意圖，它由一個圓弧形密封蓋而與兩個

磁體組成（下側磁體固定不動），連接桿跖與地面8。垂直，排水口CD=246mm,密封

蓋最高點E到地面的距離為6mm,整個地漏的高度EG=75mm（G為磁體底部中點），密

封蓋被磁體頂起將排水口密封，前所在圓的半徑為mm；當有水時如圖2所

示，密封蓋下移排水，當密封蓋下沉至最低處時，點恰好落在5G中點，若點AT到E尸

的距離為36mm,則密封蓋下沉的最大距離為mm.

試卷第3頁，共6頁

三、解答題

19.計算

⑴(I)?=9

(2)/+4工-5=0

(3)2/+3X-2=0

(4)2X(X+7)=3(x+7)

20.關于x的方程V-4x+2(機+1)=0有兩個實數(shù)根.

(1)求加的取值范圍；

(2)當皿為正整數(shù)時，求此時方程的根.

21.某建筑工程隊在靠墻處(可用墻長11米)，用20米長的建筑材料圍成一個面積為60平

方米的長方形倉庫，在與墻平行的邊5c上預留出長度為2米的門，求這倉庫的長和寬.

T7T

81---------門----------1c

22.某單位于“三八”婦女節(jié)期間組織女職工到金寶樂園觀光旅游.下面是領隊與旅行社導游

就收費標準的一段對話.

領隊：組團去金寶樂園旅游每人收費是多少？

導游：如果人數(shù)不超過25人，人均旅游費用為100元.

領隊：超過25人怎樣優(yōu)惠呢？

導游：如果超過25人，每增加1人，人均旅游費用降低2元，但人均旅游費用不得低于70

元.該單位按旅行社的收費標準組團游覽金寶樂園結束后，共支付給旅行社2700元.

請你根據(jù)上述信息，求該單位這次到金寶樂園觀光旅游的共有多少人.

試卷第4頁，共6頁

23.如圖，已知N5是OO的一條弦，直線/與OO相離，利用無刻度的直尺在直線/上找一

點C,使得V4BC為直角三角形.(無需寫出畫圖步驟)

24.如圖，是O。的切線，切點為8,交。。于點。，點。在上，S.DB=DC.

(o

(1)求證：DC為O。的切線.

⑵若AD=2BD,CD=2,求。。的半徑.

25.如圖，以為直徑的。。上有C,。兩點，過點C作。。的切線CE,連接4D并延長

交CE于點￡,連接/C,AC平分NB4D.

(2)若ND=6,CE=2,求。。的半徑.

26.如圖1,C,。是半圓NCB上的兩點，若直徑48上存在一點尸，滿足NAPC=NBPD,

則稱ZCPD是CD的“幸運角”.

(1)如圖2,43是。。的直徑，弦CE148,。是2C上一點，連結ED交于點尸，連結。尸,

試卷第5頁，共6頁

/CPD是麗的悻運角”嗎？請說明理由；

(2)設歷的度數(shù)為“，請用含"的式子表示函的“幸運角”度數(shù);

⑶在(1)的條件下，直徑AB=20,也的“幸運角”為90。.

①如圖3,連結CD,求弦CD的長；

②當。E=14血時，求CE的長.

試卷第6頁，共6頁

參考答案:

題號12345678

答案BAADBCCC

1.B

【分析】本題主要考查一元二次方程的一般形式，熟練掌握一元二次方程的一般形式是解題

的關鍵.把一元二次方程化為一般式，即可求解.

【詳解】解：一元二次方程2/_?=-5的一般式為：2--4x+5=0,

若二次項的系數(shù)是2,則一次項系數(shù)和常數(shù)項分別為-4,5,

故選：B.

2.A

【分析】找出方程中a,b及c的值，計算出根的判別式的值，根據(jù)其值的正負即可對方程

的根作出判斷.

【詳解】解：這里。=2,6=0,c=-10,

VA=/?2-4ac=0-4x2x(-10)=80>0,

方程有兩個不相等的實數(shù)根.

故選：A.

【點睛】此題考查了根的判別式，一元二次方程根的判別式的值大于0,方程有兩個不相等

的實數(shù)根；等于0,方程有兩個相等的實數(shù)根；小于0,方程沒有實數(shù)根.

3.A

【分析】將常數(shù)項移到方程的右邊，兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方配成完全平方式后即

可得出答案.

【詳解】解：x2-6x+1=0

x2—6x=-1

尤2-6x+9=-1+9

(x-3)』.

故選A.

【點睛】本題考查利用配方法解一元二次方程.掌握配方法解一元二次方程的步驟是解答本

題的關鍵.

4.D

答案第1頁，共17頁

【分析】根據(jù)點與圓的位置關系判斷得出即可.

【詳解】解：??,點P在圓內(nèi)，且。。的半徑為5,

：.0<d<5,

故選：D.

【點睛】此題主要考查了點與圓的位置關系.解題的關鍵在于熟練掌握點與圓的位置關系有

3種：。。的半徑為％點P到圓心的距離。尸=力則有：①點尸在圓外②點P在

圓上③點尸在圓內(nèi)

5.B

【分析】本題考查了圓周角定理，勾股定理，連接08,根據(jù)圓周角定理可得乙4。8=90。，

即可得到V為等腰直角三角形，利用勾股定理即可解答，正確作出輔助線是解題的關鍵.

【詳解】解：如圖，連接02,

ZC=45,

:.ZAOB=2ZC=90°,

■：AO=BO,

.2/08為等腰直角三角形，

AO2+BO2=AB2,

即2/。2=2,解得/。=1（負值舍去），

故選：B.

6.C

【分析】根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得a4c2=90。，從而利用直角三角形的兩個銳角

互余可得48=46。，然后利用圓內(nèi)接四邊形對角互補可得40=134。，再根據(jù)已知可得

石工口，進而可得ND=DC,最后利用等腰三角形的性質(zhì)，以及三角形內(nèi)角和定理進行

計算即可解答.

【詳解】解：是半圓。的直徑，

:.ZACB=9G°,

答案第2頁，共17頁

ABAC=44°,

ZB=90°-ZBAC=46°,

???四邊形43CZ)是半OO的內(nèi)接四邊形，

.?./￡>=180°-ZB=134°,

,點。是弧/C的中點，

:.AD=DC

AD=DC,

ZDAC=NDCA=1(180°-Zr>)=23°,

故選：C.

【點睛】本題考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦的關系，熟練掌握圓周角定理是解題的關

鍵.

7.C

【分析】該題主要考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是讀懂題意，正確列出方程.

設每天遺忘的百分比為x，根據(jù)“兩天不練丟一半”列出方程解答即可.

【詳解】解：設每天遺忘的百分比為x,

則(If4,

解得：x?29.3%.

故選：C.

8.C

【分析】此題主要考查圓與三角形綜合，熟練掌握垂徑定理，直角三角形性質(zhì)，等腰三角形

的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，是解決問題的關鍵.

根據(jù)垂徑定理得到BG=CG,連接CP,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到P8=PC,根據(jù)余

角的性質(zhì)得到NC/G=NC8￡,推出=尸E,得到4P=/尸，EP=FE,CP=CF,

得到CF=BP.

【詳解】解：=

二淞=比，

：40經(jīng)過圓心。，

AD1BC,

答案第3頁，共17頁

BG=CG,^AGC=90°,

ZCAG+ZACG=90°,

連接CP,

貝!]尸5=尸。，

[BF1AC,

：.ZBEC=90°,

???NCBE+NBCE=90。,

：.NC4G=ZCBE,

ZCAF=ZCBF,

ZEAF=NEAP,

ZEAP+ZAPE=90°,/EAF+ZAFE=90°,

???ZAPE=ZAFE,

：.AP=AF,

ACLFP,

：.EP=FE,

：.CP=CF,

：.CF=BP,

???相等的線段共有4對，

故選：C.

八1

9.玉=0,x2=-

【分析】本題可對方程提取公因式x,根據(jù)因式分解法，即可求出方程的根.

【詳解】,**3x2-x=0

即x(3x-1)=0

答案第4頁，共17頁

解得：X]=0,x2=1

故答案為玉=0，x2=1

【點睛】考查因式分解法解一元二次方程，熟練掌握因式分解是解題的關鍵.

10.1

【分析】本題考查一元二次方程的根，把x=l代入方程，建立關于上的一元一次方程，求解

即可.

【詳解】解：把X=1代入方程，得

1-2+后=0,

解得：k=1,

故答案為：1.

11.X2+7X-30=0

【分析】本題考查一元二次方程的根，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考

?？碱}型.根據(jù)題意得到(x-3)(x+10)=0,進而可得出結論.

【詳解】解：?.?一個一元二次方程的兩個根分別是3和-10,

.'.(X-3)(%+10)=0,即犬+7》-30=0.

故答案為：X2+7X-30=0.

12.(x-6)(x-6-6)=216

【分析】本題考查一元二次方程的應用.若設正方形空地的邊長為X米，則中間空白的長為

(x-6)米，寬為(x-6-6)米，根據(jù)長方形面積公式即可列出方程.

【詳解】解：根據(jù)題意，得(x-6)(x-6-6)=216,

故答案為：(x-6)(x-6-6)=216.

13.9

【分析】根據(jù)配方法可得+("3『=0,進一步可得4-6=0,"3=0,求出。和6

的值，進一步即可求出。+26的值.

【詳解】解：,.,2/-2仍+6a+9=0,

??q2—2clb+廿+a2—6。+9=0,

/.(a-Z))2+(a-3)2=0,

a—b=0,Q—3=0,

答案第5頁，共17頁

：?a=b=3,

a+2b=9,

故答案為：9.

【點睛】本題考查了配方法的應用，熟練掌握完全平方公式是解題的關鍵.

14.5

【分析】本題考查的是直角三角形的外接圓半徑及勾股定理，重點在于理解直角三角形的外

接圓是以斜邊中點為圓心，斜邊長的一半為半徑的圓.直角三角形的外接圓圓心就是斜邊的

中點，所以外接圓的半徑就是斜邊的一半.根據(jù)勾股定理，斜邊為10cm,所以外接圓的半

徑就是5cm.

【詳解】解：???"△45。的兩直角邊的長分別為6cm和8cm,

斜邊為76?+8：=10（cm）,

???外接圓的半徑就是5cm.

故答案為：5

15.50°

【詳解】試題分析：連接OC,根據(jù)同弧所對的圓周角相等，有NCAB=NCDB=20。,而

CM=OC,故ZOCA=ZCAB=20。.因為CE是圓的切線，故有ZOCE=90°，所以N/CE=110。,

所以NE=50°.

考點：1.圓所對圓周角的大小關系；2.圓切線的性質(zhì).

16.58

【分析】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.也考查了圓周角定理.連

接如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得到NR4C=90。，根據(jù)圓周角定理得到N/DC=90。，貝|利

用同角的余角相等得到然后根據(jù)圓周角定理得到/。1。="￡。=58。，從而得

到的度數(shù).

【詳解】解：連接AD,如圖，

???與OO相切于點A,

ACVAB,

答案第6頁，共17頁

ABAC=90°,

是。。的直徑，

ZADC=90°,

???ZB+ZACB=90°,ZACB+ACAD=90°,

NB=ZCAD,

?;NC4D=NCED=58°,

;.NB=58。.

故答案為：58.

17.36

【分析】本題考查了點與圓的位置關系，以及勾股定理和坐標與圖形的關系，熟練掌握點與

圓的位置關系是解題關鍵.連接。4并延長交。/于點P,求出中=5，

OP2=m2+n2,則m2+n2是點P到原點的距離的平方，當點P運動到射線OA上時，即P'處,

點尸離原點最遠，即/+/最大，止匕時OP=O/+P/=5+1=6,即可求出答案.

【詳解】解：連接。/并延長交于點P,

:圓心的坐標為（4,3），點P的坐標為（私〃）

OA=V32+42=5>OP2=m2+n2

m2+"2是點P到原點的距離的平方

當點P運動到射線上時，即P處，點尸離原點最遠，即/+*最大,

止匕時OP=ON+P/=5+l=6

m2+n2=36

故答案為：36.

答案第7頁，共17頁

18.3916.5

【分析】①根據(jù)已知條件得到直角三角形，再利用勾股定理得到?！ǖ拈L度，進而得到半徑;

②利用三角形中位線的性質(zhì)得到M2,再利用勾股定理及矩形的性質(zhì)得到密封蓋下沉的最

大距離.

【詳解】解：①設作圓心。，連接CD交CE于點

設OH=xmm,

??,最高點￡到地面的距離為6mm,

OE=(6+x)mm,

*.*CD-24g(mm),

???OH=12聞mm),

.?.在RMOHD中，OD=卜+(126j,

OE=OD,

6+x=?2+(126『,

x=33,

/.OE=39mm,

故答案為：39.

圖1

②作MPLEG,延長GE',交48于點。，作M2,交45于點Z,

M'P'LE'G,

/.M2//E'G,

...點Z是8。'的中點，

?.?AT為BG的中點，

M2為AGQ'B的中位線，

答案第8頁，共17頁

??.MrZ=^GQr,

,.?￡G=75mm,EQ'=6mm,

GQ'=69mm,

.,.A/7=-x69=34.5mm,

2

:點M'到E'F'的距離為36mm,

：.MJ=M'P'=36mm,

OM=OE=39mm,

回到圖1,作MLEG,

由勾股定理得：OJ=yjOM2-MJ2=A/392-362=15（mm）-

移動前M到地面的距離為：JH=39-15-6=18（mm）,

VM移動的距離為密蓋下沉的距離，

MM'^M'Z-JH=34.5-18=16.5（mm）,

密封蓋下沉的最大距離為16.5mm.

故答案為：16.5.

2/

G

圖2

【點睛】本題考查了平行線分線段性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，三角形中位線的性質(zhì)，矩形

的性質(zhì)等相關知識點，掌握垂徑定理是解題的關鍵.

19.(1)再=6,

(2)X]=—5,x?=1

(3)玉=：，x?=-2；

3

(町七=務，X[=-7-

【分析】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解方程的方法和步驟是解題的關鍵.

答案第9頁，共17頁

(1)運用直接開平方法解方程即可；

(2)用因式分解法求解即可；

(3)用因式分解法求解即可；

(4)先移項，再用提公因式法求解即可.

【詳解】(1)解：(x-3y=9,

x一3=±3,

/.=6,%2=0；

(2)解：X2+4X-5=0,

(x+5)(x-l)=0,

x+5=0,x-1=0,

..再——5,%2=1；

(3)解：2/+3x-2=0,

(2x—l)(x+2)=0

2x-l=0,x+2=0,

(4)解：2x(x+7)=3(x+7)；

2x(x+7)-3(x+7)=0,

(2x-3)(x+7)=0,

2x—3=0或x+7=0,

20.(l)znWl

(2)%=%=2

【分析】(1)利用判別式的意義得到

.?.A=/?2-4ac=(-4)2-4xlx2(7M+l)=16-8m-8=8-8m>0,即然后解不等式即可；

(2)利用機的范圍確定加的正整數(shù)值為1,則方程化為*-4x+4=0,然后利用因式分解

法解方程.

【詳解】(1)解：'：a-\,b=-A,c=2(m+{),

答案第10頁，共17頁

/.A=Z?2-4ac=(-4)2-4x1x2(m+1)=16-8m-8=8-8m.

???關于X的方程Y-4x+2(加+1)=0有兩個實數(shù)根，

/.A>0.

8-8m>0.

:.m<\.

(2)解：?當〃7為正整數(shù)時，且加W1,

:.m=\.

—4x+4=0?

..X]-%2=2.

【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程尤+c=0(a/0)的根與△=/一4ac有

如下關系：當A>0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；當A=0時，方程有兩個相等的兩

個實數(shù)根；當A<0時，方程無實數(shù)根.

21.這倉庫的長為10米，寬為6米

【分析】設倉庫的寬=x米，則倉庫的長為(20+2-2x)米，根據(jù)題意建立一元二次方程,

根據(jù)可用墻長11米，得出22-2為<11,繼而即可求解.

【詳解】解：設倉庫的寬N2=x米，則倉庫的長為(20+2-2X)米，根據(jù)題意得，

x(20+2-2x)=60,

解得：再=5,々=6

???可用墻長11米，

22-2%<11,

解得：%>二,

2

??x=6,

???22-2義6=10米，

,這倉庫的長為10米，寬為6米.

【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，根據(jù)題意列出一元二次方程是解題的關鍵.

22.該單位這次到金寶樂園觀光旅游的共有30人.

【分析】先根據(jù)支付給旅行社的錢數(shù)得到旅游的人數(shù)超過25人，設該單位這次到金寶樂園

答案第11頁，共17頁

觀光旅游的共有X人，根據(jù)題意找到等量關系列出方程即可求解.

【詳解】解：因為25x100=2500元＜2700元，所以旅游的人數(shù)超過25人.

設該單位這次到金寶樂園觀光旅游的共有x人，則平均每人的費用為口00-2(x-25)]元.

根據(jù)題意，得x[100-2(x-25)]=2700,

解得X]=30,Xj=45.

又因為人均費用不低于70元，得100-2(x-25)開70.

解不等式得x?40,所以x=45不合題意；舍去，

x=30.

答：該單位這次到金寶樂園觀光旅游的共有30人.

【點睛】此題主要考查一元二次方程的應用，解題的關鍵是根據(jù)題意找到等量關系和不等關

系進行求解.

23.見解析

【分析】本題考查作圖-無刻度直尺作圖，圓周角定理等知識，解題關鍵是理解題意，靈活

運用所學知識解決問題.連接/。并延長交。。于點再連接并延長交直線/于點C,

連接NC,貝UV/8C為直角三角形.

【詳解】解：如圖，V/3C即為所求.

___V1

幺；///\是OO的直徑，

:.ZABM=9Q°,

r.V/BC為直角三角形.

24.(1)證明見解析

(2)273

【分析】(1)連接OB、OD,可證明OB工AB.再證AOBD卬OCD,得ZOBD=ZOCD=90°,

得DC為。。的切線；

(2)根據(jù)切線的性質(zhì)可知得。8=DC=2,然后可根據(jù)勾股定理求得/C=2g,設。。半

徑為x,再進一步求解圓的半徑即可.

【詳解】(1)證明：連接08、OD,如圖:

答案第12頁，共17頁

???/5是。。的切線，切點為5,

，OBLAB,

在△03。和△OCQ中

OC=OB

<OD=OD

BD=CD

：.A(9^D^AOCD(SSS),

???ZOBD=ZOCD=90°即CDVOA,

???DC是OO的切線.

(2)解：???/B是OO的切線，切點為反由(1)。。為。。的切線，

???DB=DC=2,

AD=2BD,

AD=4,AB=6.

在RMOC4中，

AC=>]AD2-CD2=273，

設OO半徑為x.

OA=x+2>/3.

在RtACMB中，由+/臺2=0/2,

/+62=(尤+2時，

，x=2瓦

即OO的半徑為2道.

【點睛】本題考查的是圓的切線的判定與性質(zhì)，勾股定理的應用，全等三角形的判定與性質(zhì),

答案第13頁，共17頁

作出合適的輔助線是解本題的關鍵.

25.⑴見解析

⑵而

【分析】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.也考查了圓周角定理和

垂徑定理，勾股定理.

⑴如圖，連接。C,根據(jù)切線的性質(zhì)得到NOCE=90。，再證明=得到&//AE,

然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得到/4EC的度數(shù)；

(2)如圖，連接AD,設OC與BD交于點H.根據(jù)圓周角定理得到/2。8=90。，再判斷

四邊形CED"為矩形，所以DH=CE=2,ZCHD=90°,接著根據(jù)垂徑定理得到

BH=DH=CE=2,然后利用勾股定理計算出從而得到OO的半徑.

【詳解】(1)證明：如圖，連接。C.

???CE切。。于點C,

OCVCE,

ZOCE=90°,

???4。平分/胡。，

...ZOAC=ZDACf

-：OA=OC,

...ZOAC=ZOCA,

:.ZDAC=ZOCAf

OC//AE,

AAEC=180°-ZOCE=90°；

(2)解：如圖，連接BO,設。。與交于點

答案第14頁，共17頁

AB^JQO的直徑,

:.ZADB^90°

N