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Page25四川省2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期10月階段性測試(文)試題一、選擇題:本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.假如復(fù)數(shù)z滿意,那么的最大值是()A.0 B.1 C.2 D.2i【答案】C【解析】【分析】由復(fù)數(shù)模的幾何意義求解.【詳解】在復(fù)平面上,設(shè)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為,復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為,為原點,表示點在以為圓心,1為半徑的圓上,,而,所以的最大值為1+1=2.故選:C.2.設(shè),,若M是N真子集,則實數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)真子集的定義求解.【詳解】明顯,所以由已知,解得,時符合題意.故選:D.3.已知P是△ABC所在平面內(nèi)的一點,若,其中λ∈R,則點P肯定在()A.AC邊所在的直線上 B.BC邊所在的直線上C.AB邊所在直線上 D.△ABC的內(nèi)部【答案】A【解析】【分析】依據(jù)向量的線性運算整理可得,再結(jié)合向量共線分析即可.【詳解】∵,∴,則,則∴∴P點在AC邊所在直線上.故選:A.4.設(shè)正項等比數(shù)列前n項和為,若,則公比()A.2 B. C.2或 D.2或【答案】A【解析】【分析】利用等比數(shù)列的通項公式,求解出公比【詳解】由,有,即,由等比數(shù)列的通項公式得,即,解得或,由數(shù)列為正項等比數(shù)列,∴.故選:A5.下列推斷,不正確的選項是()A.若是奇函數(shù),則的圖象關(guān)于點對稱B.曲線的圖象關(guān)于直線對稱.C.函數(shù)定義在R上的可導(dǎo)函數(shù),若為偶函數(shù),則其導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù).D.若函數(shù),則函數(shù)圖像關(guān)于對稱【答案】B【解析】【分析】對于A,依據(jù)奇函數(shù)的定義結(jié)合中心對稱的定義推斷,對于B,令,由與的關(guān)系推斷,對于C,由奇偶函數(shù)的定義結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運算分析推斷,對于,由軸對稱的性質(zhì)分析推斷.【詳解】對于A,因為為奇函數(shù),所以,所以,所以的圖象關(guān)于點對稱,所以A正確,對于B,令,則,所以曲線的圖象不關(guān)于直線對稱,所以B錯誤,對于C,因為為偶函數(shù),所以,因為定義在R上的可導(dǎo)函數(shù),所以,所以,即,所以其導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù),所以C正確,對于D,因為函數(shù),所以函數(shù)圖像關(guān)于對稱,所以D正確,故選:B6.比較甲、乙兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的各項實力指標值(滿分為5分,分值高者為優(yōu)),繪制了如圖所示的六維實力雷達圖,例如圖中甲的數(shù)學(xué)抽象指標值為4,乙的數(shù)學(xué)抽象指標值為5,則下面敘述錯誤的是()A.甲的邏輯推理實力指標值優(yōu)于乙的邏輯推理實力指標值B.乙的直觀想象實力指標值優(yōu)于甲的數(shù)學(xué)建模實力指標值C.乙的六維實力指標值整體水平優(yōu)于甲的六維實力指標值整體水平D.甲的數(shù)學(xué)運算實力指標值優(yōu)于甲的直觀想象實力指標值【答案】D【解析】【分析】依據(jù)六維實力雷達圖,分別讀取出甲乙兩人的相應(yīng)實力指標值,比較或計算平均值可得答案.【詳解】對于A選項,甲的邏輯推理實力指標值為4,乙的邏輯推理實力指標值為3,所以甲的邏輯推理實力指標值優(yōu)于乙的邏輯推理實力指標值,故選項A正確;對于B選項,甲的數(shù)學(xué)建模實力指標值為3,乙的直觀想象實力指標值為5,所以乙的直觀想象實力指標值優(yōu)于甲的數(shù)學(xué)建模實力指標值,故選項B正確;對于C選項,甲的六維實力指標值的平均值為,乙的六維實力指標值的平均值為,所以乙的六維實力指標值整體水平優(yōu)于甲的六維實力指標值整體水平,所以選項C正確;對于D選項,甲的數(shù)學(xué)運算實力指標值為4,甲的直觀想象實力指標值為5,所以甲的數(shù)學(xué)運算實力指標值不優(yōu)于甲的直觀想象實力指標值,所以選項D錯誤.故選:D7.已知過點作曲線的切線有且僅有條,則()A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】設(shè)出切點,對函數(shù)求導(dǎo)得出切線的斜率,利用點斜式方程寫出切線,將點代入,并將切線有且僅有條,轉(zhuǎn)化為方程只有一個根,列方程求解即可.【詳解】設(shè)切點為,由已知得,則切線斜率,切線方程為直線過點,則,化簡得切線有且僅有條,即,化簡得,即,解得或故選:C8.已知函數(shù),執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的k的值為6,則推斷框中t的值可以為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】模擬程序框圖的運行過程,求解即可.【詳解】第一次執(zhí)行循環(huán)體后,,,不滿意退出循環(huán)的條件;其次次執(zhí)行循環(huán)體后,,,不滿意退出循環(huán)的條件;第三次執(zhí)行循環(huán)體后,,,不滿意退出循環(huán)的條件;第四次執(zhí)行循環(huán)體后,,,不滿意退出循環(huán)的條件;第五次執(zhí)行循環(huán)體后,,,不滿意退出循環(huán)的條件,此時;第六次執(zhí)行循環(huán)體后,,,滿意退出循環(huán)的條件,此時;所以故選:B9.設(shè)方程和方程的根分別為p和q,設(shè)函數(shù),則()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù),關(guān)于直線對稱,而與,的交點的橫坐標即為,依據(jù)對稱性可得,再由圖象開口向上,對稱軸方程為,即可求解.【詳解】由得,由得,所以令,和,這三個函數(shù)的圖象狀況如下圖所示,與相交于點,與相交于點,由于與的圖象關(guān)于對稱,而與的交點為,所以,即,又因為的對稱軸為:,依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得在單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,故選:A.10.已知奇函數(shù)的周期為,將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度,可得到函數(shù)的圖像,則下列結(jié)論正確的是()A.函數(shù)B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C.函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱D.當(dāng)時,函數(shù)的最大值是【答案】C【解析】【分析】利用協(xié)助角公式變形函數(shù),由已知求出,再借助平移變換求出,然后利用正弦函數(shù)性質(zhì)逐項推斷作答.【詳解】依題意,,則有,又是奇函數(shù),于是得,因,即有,,因此,A不正確;當(dāng)時,,而函數(shù)在上不單調(diào),因此函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào),B不正確;當(dāng)時,,為的最小值,因此函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱,C正確;當(dāng)時,,即有,,,D不正確.故選:C11.如圖,在棱長為2的正四面體中,點分別為和的重心,為線段上一點()A.的最小為2B.若平面,則C.若平面,則三棱錐外接球的表面積為D.正四面體的內(nèi)切球體積為【答案】D【解析】【分析】A選項由線面垂直證得,進而由點與點重合時即可推斷;BD選項利用內(nèi)切球求得,內(nèi)切球半徑,即可推斷;C選項找到球心,由勾股定理求得半徑,即可推斷;【詳解】解:取中點,連接,因為點分別為和的重心,所以,三點共線,三點共線,三點共線,所以,在棱長為2的正四面體中,,,又,平面,平面,所以,面,平面,又面,面,所以,,又因為,平面所以,平面,又平面,所以.所以,當(dāng)點與點重合時,取得最小值,又,所以,最小值為,A錯誤.在正四面體中,取中點,連接,所以三點共線,,因為平面,所以,平面,因為平面,所以因為面,面,所以因為,平面,所以平面,因為平面,所以,在上,所以,又點也是和的內(nèi)心,所以,點P為正四面體內(nèi)切球的球心.,.設(shè)正四面體內(nèi)切球的半徑為,因為,所以,解得,即,故,故B選項錯誤.所以,正四面體內(nèi)切球的體積為,故D選項正確.設(shè)三棱錐外接球的球心為,半徑為,因為平面,所以,球心在直線上,且,所以,,解得,故三棱錐P-ABC外接球的表面積為,故C選項錯誤.故選:D.12.已知橢圓的左、右焦點分別為、,經(jīng)過的直線交橢圓于,,的內(nèi)切圓的圓心為,若,則該橢圓的離心率是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】對變形得到,進而得到以,結(jié)合橢圓定義可求出,,,由余弦定理求解關(guān)系式,求出離心率.【詳解】因為,所以,如圖,在上取一點M,使得,連接,則,則點I為AM上靠近點M的三等分點,所以,所以,設(shè),則,由橢圓定義可知:,即,所以,所以,,故點A與上頂點重合,在中,由余弦定理得:,在中,,解得:,所以橢圓離心率為.故選:A【點睛】對于求解圓錐曲線離心率問題,要結(jié)合題目中的條件,干脆求出離心率或求出的齊次方程,解出離心率,本題的難點在于如何將進行轉(zhuǎn)化,須要作出協(xié)助線,結(jié)合內(nèi)心的性質(zhì)得到三角形三邊關(guān)系,求出離心率.二、填空題(每題5分,滿分20分,將答案填在答題紙上)13.為防控新冠疫情,許多公共場所要求進人的人必需佩戴口罩.現(xiàn)有2人在一次外出時須要從藍、白、紅、黑、綠5種顏色各1只的口罩中隨機選2只不同顏色的口罩,則藍色口罩被選中的概率為____________.【答案】##0.4【解析】【分析】利用列舉法和古典概型的概率計算公式可得答案.【詳解】從藍、白、紅、黑、綠5種顏色各1只的口罩中選2只不同顏色的口罩,樣本點如下:(藍,白),(藍,紅),(藍,黑),(藍,綠),(白,紅),(白,黑),(白,綠),(紅,黑,(紅,綠),(黑,綠),共有10個樣本點,其中藍色口罩被選中的樣本點有(藍,白),(藍,紅),(藍,黑),(藍,綠),共4個樣本點,所以藍色口罩被選中的概率.故答案為:.14.已知關(guān)于、的不等式組表示的平面區(qū)域為,在區(qū)域內(nèi)隨機取一點,則的最小值________.【答案】【解析】【分析】作出平面區(qū)域,分析可知為點到直線的距離的倍,數(shù)形結(jié)合可求得點到直線的距離的最小值,即可得解.【詳解】作出不等式組所表示的平面區(qū)域如下圖所示:設(shè)點到直線的距離為,則,則,由圖可知,當(dāng)點與點重合時,取最小值,且,因此,的最小值為.故答案為:.15.數(shù)列滿意,,則前40項和為________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)題設(shè)中的遞推關(guān)系可得、,利用分組求和可求前40項和,【詳解】當(dāng)時,,故,當(dāng)時,,所以,所以,當(dāng)時,;當(dāng)時,;當(dāng)時,;當(dāng)時,;故,故前40項和為,故答案為:16.已知函數(shù)(),若在區(qū)間內(nèi)恰好有7個零點,則a的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】首先探討時不符題意,再探討時,當(dāng)時,函數(shù)的性質(zhì)及零點個數(shù),再確定函數(shù)在內(nèi)的個零點個數(shù),然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)列出不等式組解出的取值范圍,最終取并集即可.【詳解】當(dāng)時,對隨意,在內(nèi)最多有2個零點,不符題意;所以,當(dāng)時,,開口向下,對稱軸為,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以,又因為當(dāng)時,;當(dāng),即時,在內(nèi)無零點,所以在內(nèi)有7個零點,即在內(nèi)有7個零點,因為,所以,,所以,解得,又因為,所以無解;當(dāng),即時,=在內(nèi)有1個零點,在內(nèi)有6個零點,即在內(nèi)有6個零點,由三角函數(shù)的性質(zhì)可知此時在內(nèi)只有4個零點,不符題意;當(dāng),即時,=在內(nèi)有2個零點,所以=在內(nèi)有5個零點,即在內(nèi)有5個零點,因為,所以,,所以,解得,又因為時,所以,當(dāng),即時,在內(nèi)有1個零點,所以在內(nèi)有6個零點,即在內(nèi)有6個零點,因為,所以,,所以,解得,又因為,所以.綜上所述,的取值范圍為:.故答案為:.【點睛】本題考查了函數(shù)的零點、二次函數(shù)的性質(zhì)、三角函數(shù)的性質(zhì)及分類探討思想,屬于難題.三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)17.已知四邊形ABCD是由ABC與ACD拼接而成的,且在ABC中,.(1)求角B的大?。唬?)若,,,.求AB的長.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由余弦定理計算;(2)在ADC中,由正弦定理求得,在ABC中由余弦定理求得.【小問1詳解】∵,∴整理可得,,∴在ABC中,由余弦定理可得,,∴.【小問2詳解】在ADC中,由正弦定理,可得,可得,在△ABC中由余弦定理,可得,可得,,解得,(負值舍去).18.在如圖所示的五面體ABCDFE中,面ABCD是邊長為2的正方形,AE⊥平面ABCD,,且,N為BE的中點,M為CD中點.(1)求證:平面ABCD;(2)求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析;(2)【解析】【分析】(1)取的中點,由題可得四邊形NHDF為平行四邊形,然后利用線面平行的判定定理即得;(2)連接BM,由題可得,然后依據(jù)錐體的體積公式即得.【小問1詳解】取的中點,連接,∵N為BE的中點,∴,∵,且,所以,∴四邊形NHDF為平行四邊形,∴,∵平面ABCD且平面ABCD,∴平面ABCD;【小問2詳解】連接BM,則四邊形為平行四邊形,∴,且,∴,且,∴四邊形BMFN為平行四邊形,∴,∵,∴.19.網(wǎng)民的才智與活力催生新業(yè)態(tài),網(wǎng)絡(luò)購物,直播帶貨,APP買菜等進入我們的生活,變更了我們的生活方式,隨之電信網(wǎng)絡(luò)詐騙犯罪形勢也特別嚴峻.自“國家反詐中心APP”推出后,某地區(qū)實行多措并舉的推廣方式,努力為人民群眾構(gòu)筑一道防詐反詐的“防火墻”.經(jīng)統(tǒng)計,該地區(qū)網(wǎng)絡(luò)詐騙月報案數(shù)與推廣時間有關(guān),并記錄了經(jīng)推廣x個月后月報案件數(shù)y的數(shù)據(jù).x(個)1234567y(件)891888351220200138112(1)依據(jù)以上數(shù)據(jù),運用作為回來方程模型,求出y關(guān)于x的回來方程;(2)分析該地區(qū)始終推廣下去,兩年后能否將網(wǎng)絡(luò)詐騙月報案數(shù)降至75件以下.參考數(shù)據(jù)(其中,,,,.參考公式:對于一組數(shù)據(jù),,,…,,,其回來直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:,.【答案】(1);(2)能,詳見解析.【解析】【分析】(1)對于非線性回來方程先通過換元法將變更為線性回來方程,再利用最小二乘法即得;(2)將代入回來方程得到,進而即得.【小問1詳解】由表中數(shù)據(jù)可得(891+888+351+220+200+138+112)=400,令,設(shè)y關(guān)于t的線性回來方程為,則則,故y關(guān)于x的回來方程為;【小問2詳解】由回來方程可知,隨x的增大,y漸漸削減,當(dāng)時,,故兩年后網(wǎng)絡(luò)詐騙月報案數(shù)能降至75件以下.20.在平面直角坐標系xOy中,動圓P與圓:內(nèi)切,且與圓:外切,記動圓P的圓心的軌跡為E.(1)求軌跡E的方程;(2)過圓心的直線交軌跡E于A,B兩個不同的點,過圓心的直線交軌跡E于D,G兩個不同的點,且,求四邊形ADBG面積的最小值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)依據(jù)兩圓內(nèi)切和外切列出圓心距與半徑的關(guān)系,即可發(fā)覺圓心P的軌跡滿意橢圓的定義,進而可求出方程;(2)當(dāng)直線AB的斜率不存在,或為0時,可干脆由已知得出四邊形ADBG面積;當(dāng)直線AB的斜斜率存在且不為0時,設(shè)出直線AB的方程,與聯(lián)立橢圓聯(lián)立,通過韋達定理與弦長公式得出與直線AB的斜率的關(guān)系,再由,得出直線DG的斜率與直線AB的斜率的關(guān)系,設(shè)出直線DG的方程,同理得出與直線AB的斜率的關(guān)系,即可列出四邊形ADBG面積的式子,再通過基本不等式的應(yīng)用得出最小值.【小問1詳解】設(shè)動圓P的半徑為R,圓心P的坐標為,由題意可知:圓的圓心為,半徑為;圓的圓心為,半徑為,動圓P與圓內(nèi)切,且與圓外切,,則動圓P的圓心的軌跡E是以,為焦點的橢圓,設(shè)其方程為:,其中,,,,即軌跡E的方程為:.【小問2詳解】當(dāng)直線AB的斜率不存在,或為0時,四邊形ADBG面積長軸長通徑長,當(dāng)斜率存在且不為0時,設(shè)直線AB的方程為,,,由可得:,,,,.,,同理可得:,,四邊形ADBG面積,則等號當(dāng)且僅當(dāng)時取,即時,.21.已知函數(shù).(1)當(dāng)時,對于函數(shù),存在,,使得成立,求滿意條件的最大整數(shù)m;(2)使不等式對隨意恒成立時最大的k記為c,求當(dāng)時,的取值范圍.【答案】(1)4(2)【解析】【分析】(1)由題意得,然后對函數(shù)求導(dǎo),求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而可求出函數(shù)在的最值,則可求出的取值范圍,進而可求出的最大值,(2)將問題轉(zhuǎn)化為對隨意恒成立,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值,則可得的取值范圍,從而可得的值,則可表示出,再構(gòu)造函數(shù)可求出其范圍.【小問1詳解】由已知可得,,,所以,,當(dāng)時,,函數(shù)在上單調(diào)遞減,當(dāng)時,,函數(shù)在上單調(diào)遞增,又,,,因為,所以所以函數(shù)在上的最大值為,最小值為,因為存在,,使得,成立,所以,又,故,所以滿意條件的最大整數(shù)m值為4;【小問2詳解】因為,所以原不等式可變?yōu)?,令,,令,則,時,,遞增,,,①當(dāng),即時,在,,
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