河南省部分學(xué)校2025屆高三上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省部分學(xué)校2025屆高三上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.故選：B2.已知為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，則，∴故選：B.3.命題“若，則”的否定是（）A.若，則B.若，則C.存在一個(gè)實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，但D.對(duì)任意實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，但【答案】C【解析】命題“若，則”的否定是存在一個(gè)實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，但.故選：C4.汽車(chē)經(jīng)過(guò)啟動(dòng)、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車(chē)，若把這一過(guò)程中汽車(chē)的行駛路程看作時(shí)間的函數(shù)，其圖象可能是A. B.C. D.【答案】A【解析】汽車(chē)啟動(dòng)加速過(guò)程，隨時(shí)間增加路程增加的越來(lái)越快，漢使圖像是凹形，然后勻速運(yùn)動(dòng)，路程是均勻增加即函數(shù)圖像是直線(xiàn)，最后減速并停止，其路程仍在增加，只是增加的越來(lái)越慢即函數(shù)圖像是凸形．故選A．5.明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書(shū)》中用圖畫(huà)描繪了筒車(chē)的工作原理（如圖）．假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車(chē)上的每一個(gè)盛水筒都做逆時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)，筒車(chē)轉(zhuǎn)輪的中心O到水面的距離h為1.5m，筒車(chē)的半徑r為2.5m，筒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為，如圖所示，盛水桶M（視為質(zhì)點(diǎn)）的初始位置距水面的距離為3m，則3s后盛水桶M到水面的距離近似為（）（，）．A.4.5m B.4.0m C.3.5m D.3.0m【答案】B【解析】根據(jù)題意，建立如下所示平面直角坐標(biāo)系：根據(jù)題意，盛水桶M到水面的距離與時(shí)間滿(mǎn)足：；因?yàn)橥厕D(zhuǎn)動(dòng)的角速度為，故；又；，解得，則；又當(dāng)時(shí)，，則，，則；故當(dāng)時(shí)，.故選：B.6.數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則當(dāng)該數(shù)列的前項(xiàng)和取得最小值時(shí)，的值為（）A.5 B.7 C.7或8 D.6或7【答案】D【解析】由，得當(dāng)時(shí)，數(shù)列遞減，當(dāng)時(shí)，數(shù)列遞增，由，得，因此，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)該數(shù)列前項(xiàng)和取得最小值時(shí)，的值為6或7.故選：D7.已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】依題意，，，因此，所以.故選：C8.若直線(xiàn)通過(guò)點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.當(dāng)且時(shí)，存在唯一的值，使得B.當(dāng)且時(shí)，存在兩個(gè)值，使得C.當(dāng)且時(shí)，無(wú)最大值D.當(dāng)時(shí)，存在無(wú)數(shù)個(gè)值，使得【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓，對(duì)于A(yíng)，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，直線(xiàn)與圓相切，因此值存在且唯一，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，直線(xiàn)與圓相交，因此值有兩個(gè)，B正確；對(duì)于C，當(dāng)且時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值，因此有最大值，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由選項(xiàng)C知，當(dāng)，時(shí)，，使得的所有角均有，即；當(dāng)，時(shí)，，令，取點(diǎn)，直線(xiàn)的斜率，而每個(gè)點(diǎn)，存在唯一點(diǎn)，因此存在無(wú)數(shù)個(gè)值，使得，D正確.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.關(guān)于，的方程，下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則該方程表示橢圓，其焦點(diǎn)在軸上B.若，則該方程表示圓，其半徑為C.若，則該方程表示橢圓，其焦點(diǎn)在軸上D.若，，則該方程表示兩條直線(xiàn)【答案】ACD【解析】對(duì)于A(yíng)，當(dāng)時(shí)，，，方程表示橢圓，其焦點(diǎn)軸上，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，方程表示圓，其半徑為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，，方程表示橢圓，其焦點(diǎn)在軸上，C正確；對(duì)于D，，，方程表示兩條直線(xiàn)，D正確.故選：ACD10.記實(shí)數(shù)，，，中的最大數(shù)為，最小數(shù)為.已知函數(shù)，，其中，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊，且，則下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，的最小值為B.若的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則C.“”是“為等邊三角形”的充要條件D.“”是“為等邊三角形”的必要不充分條件【答案】BD【解析】對(duì)于A(yíng)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，取最小值0，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，圖象的對(duì)稱(chēng)軸為，不符合題意；當(dāng)時(shí)，圖象對(duì)稱(chēng)軸，不符合題意；當(dāng)時(shí)，圖象對(duì)稱(chēng)軸，由，得，B正確；對(duì)于CD，為等邊三角形，則，；取，，此時(shí)，而是不是等邊三角形，所以“”是“為等邊三角形”的必要不充分條件，C錯(cuò)誤，D正確.故選：BD11.已知函數(shù)，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象只有一條公切線(xiàn)B.函數(shù)的圖象上任一點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上C.當(dāng)時(shí)，恒成立D.函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象和直線(xiàn)分別交于，兩點(diǎn)，則的最小值為【答案】BCD【解析】對(duì)于A(yíng)，設(shè)直線(xiàn)與函數(shù)的圖象相切于點(diǎn)，與的圖象相切于點(diǎn)，，因?yàn)?，，所以，，則，消去得，，令，則，設(shè)，則，令，得；令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，且時(shí)，，所以存在，使得，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又，，所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有兩條公切線(xiàn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以函數(shù)的圖象上任一點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上，故B正確；對(duì)于C，由，得，由于，則，設(shè)，，則，因?yàn)楹瘮?shù)和在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，所以存在，使得，即，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，所以，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，故C正確；對(duì)于D，由，，設(shè)，，其中，且，所以，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即的最小值為，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，，，則____________.【答案】【解析】已知，，則.已知，，則..，..故答案為：.13.過(guò)雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)A作斜率為的直線(xiàn)，該直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)的交點(diǎn)分別為B、若，則雙曲線(xiàn)的離心率是______．【答案】【解析】直線(xiàn)l：y=﹣x+a與漸近線(xiàn)l1：bx﹣ay=0交于B（，），l與漸近線(xiàn)l2：bx+ay=0交于C（，），∵A（a，0），∴=（﹣，），=（，﹣），∵，∴﹣=，∴b=2a，∴c2﹣a2=4a2，∴e2==5，∴e=．14.某工廠(chǎng)去年12月試產(chǎn)1050個(gè)某款電子產(chǎn)品，產(chǎn)品合格率為90%.從今年1月開(kāi)始，工廠(chǎng)在接下來(lái)的若干年中將正式生產(chǎn)這款產(chǎn)品.1月按去年12月的產(chǎn)量和產(chǎn)品合格率生產(chǎn)，以后每月的產(chǎn)量都在前一個(gè)月的基礎(chǔ)上提高，產(chǎn)品合格率比前一個(gè)月增加，那么從正式生產(chǎn)這款產(chǎn)品算起，在第__________個(gè)月，月不合格品的數(shù)量達(dá)到最大.【答案】5或6【解析】設(shè)從今年1月起，各月的產(chǎn)量及不合格率分別構(gòu)成數(shù)列，bn．由題意，知，，其中，2，…，24，則從今年1月起，各月不合格產(chǎn)品的數(shù)量是．由通項(xiàng)公式列表，n1234567105.0105.8106.5107.0107.2107.2106.9n891011121314106.4105.5104.2102.6100.698.195.0觀(guān)察發(fā)現(xiàn)，數(shù)列先遞增，在第6項(xiàng)以后遞減，所以只要設(shè)法證明當(dāng)時(shí)，遞減，由，得．所以，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．所以在第5或6個(gè)月，月不合格品的數(shù)量達(dá)到最大.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.設(shè)的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且.（1）求的值；（2）若，當(dāng)取得最大值時(shí)，求的面積.解：（1）在中，由及正弦定理，得，因此，所以.（2）由（1）知，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此當(dāng)，，即時(shí)，取得最大值，此時(shí)，由，得，所以的面積.16.已知向量，.若存在不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)和，使得，，且.（1）求的解析式；（2）求（1）中的在上的極值.解：（1）因?yàn)?，，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以；?）由（1）得，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由題可得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以沒(méi)有極大值，也沒(méi)有極小值；當(dāng)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在時(shí)有極小值，為，沒(méi)有極大值.綜上所述，當(dāng)，沒(méi)有極大值，也沒(méi)有極小值；當(dāng)，有極小值為，沒(méi)有極大值.17.已知數(shù)列是等差數(shù)列，，.（1）若，求的通項(xiàng)公式；（2）若，證明：中的任意不同的三項(xiàng)均不能成等比數(shù)列.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，依題意，解得，所以.（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，則，解得，所以，假設(shè)存在，且兩兩不相等，使得，所以，，，由于兩兩不相等，上式兩邊不同時(shí)為，且是整數(shù)，是無(wú)理數(shù)，兩邊不相等，所以假設(shè)不成立，所以中的任意不同的三項(xiàng)均不能成等比數(shù)列.18.已知函數(shù)，.（1）求的單調(diào)區(qū)間與極值.（2）當(dāng)且時(shí)，證明：.（3）設(shè)函數(shù)，若和的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）首先對(duì)求導(dǎo)，得，令，即，解方程，得，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，那么在處取得極小值，故函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，函數(shù)極小值為，無(wú)極大值；（2）設(shè)，對(duì)求導(dǎo)得,由（1）知在單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，所?又因?yàn)?，所以，?所以在上單調(diào)遞增，，即；（3）因?yàn)?，和的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以方程有兩個(gè)解，整理得，當(dāng)時(shí)，，顯然無(wú)解.當(dāng)，參變分離，即.設(shè)，導(dǎo)數(shù).令，即，因?yàn)椋?，所以，解得?當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，且.因?yàn)楹瘮?shù)與直線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn).所以19.已知平面內(nèi)的線(xiàn)段及點(diǎn)，任取上一點(diǎn)，線(xiàn)段長(zhǎng)度的最小值稱(chēng)為點(diǎn)到線(xiàn)段的距離，記作.（