浙江省金華市十校2024屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期一模期中試題（含解析）

考試時(shí)間：120分鐘；總分：150分;

一、單選題

1.設(shè)集合A4.*2<。｝,B=｛x|log2x<3｝；則AB=(

A.(—1,2)B.(0,2)C.(-1,8)D.(0,8)

【答案】B

【解析】

【分析】

分別求兩個(gè)集合，再求交集

【詳解】X2-X-2<0?(J2)<0,解得：—1<x<2,

A=^x\-l<x<2^,

B={x|0vxv8},

log2%<3=^>0<x<8,J

AnB=1xO<x<21.

故選：B

2.復(fù)數(shù)z滿足(l+i)z=2'-i\,則彳=

A.l+iB.1-zC.—1—iD.—1+i

【答案】A

【解析】

【詳解】

(l+z)z=73-z=2,.-.z=-——=1—z,z=1+z,故選A.

l+i

3.如圖，正方形ABC。中，〃是BC的中點(diǎn)，AC=AAM+]uBD,則彳一〃=()

R

AB

,415

A.—B.1C.—D.2

38

【答案】B

【解析】

1

【分析】建立直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)分別表示出AC,BD，AM由已知AC=XAM+〃3￡>,求解出X和〃,

再計(jì)算X-〃即可.

【詳解】由題意，以A3為無(wú)軸，以A。為y軸建立直角坐標(biāo)系，如圖所示,

設(shè)正方形4BCD邊長(zhǎng)為2,

則A(0,0),5(2,0),C(2,2),0(0,2),M(2,l),

所以AC=(2,2),詬=(-2,2),AM=(2,1)，

AAM+juBD="2,1)+〃(-2,2)=(22-2〃,2+2〃),

又AC=AAM+/JBD,

2=-

22,—2u=23

所以《°CC，解得

2+2/z=21

〃二一

3

所以2—〃=1.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，恰當(dāng)?shù)慕⒅苯亲鴺?biāo)系將向量形式轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)形式,

屬于基礎(chǔ)題.

4.已知y(x)=<(：—滿足對(duì)任意西/々，都有了(石)一/(馬)〉0成立,那么。的取值范

Cl,X21X?

圍是()

A.(1,2)B.fl,-|c,■|,2)D.(1,+co)

【答案】C

【解析】

2

【分析】根據(jù)八"'2'>。分析出函數(shù)單調(diào)遞增,列不等式組即可得解.

玉一％2

【詳解】依題意，對(duì)任意尤1?！?，不妨取％<%2，；；>。所以/(/)</(%2)，

所以f(x)是在R上的增函數(shù),

2-a>0

,3

于是有《a>l,解得一<a<2.

2

2—。+1Wa

故選：C.

22

5.己知耳，B分別為橢圓C:=+二=l(a〉6〉0)的左右焦點(diǎn)，戶為C上一動(dòng)點(diǎn)，/為C的左頂點(diǎn)，若

aa

3PR=2PA+PB,則C的離心率為()

R色1

AD.----------C.一D

-I33f

【答案】A

【解析】

\EF?\/、

【分析】由3尸耳=224+尸耳可得命;=2,即2c=2(a—c),化簡(jiǎn)即可求出答案.

【詳解】解：：3PR=2PA+PF2

：.PFX=^PA+^PF2,即:（期_PB）=g（PA_P￡）片=2耳A^^=2,

C_1

2c=2（a—c）2c=a,e

a2

故選：A.

6.從圓必-2》+丁2-2丁+1=0外一點(diǎn)尸(3,2)向這個(gè)圓作兩條切線，則兩切線夾角的余弦值為()

3「>/3

AB.-u.----D.6

-I52

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)，結(jié)合二倍角公式即可求解.

3

【詳解】由好一2%+/一2y+l=0得（％—1丫+（丁—1）2=1,所以圓心為半徑為r=1,設(shè)切點(diǎn)

分別為瓦C,連接24,則NBPC為兩切線的夾角，

由于|PA|=J(3-+(2-=逐，所以sin?APB"5

3

由二倍角公式可得cos?CPB1-2sin2?APB1-2一,

5

7.已知數(shù)列｛4｝滿足#0,則6+%=。2+%是｛q,｝為等差數(shù)列的（）

A.充分條件但不是必要條件B.必要條件但不是充分條件

C.充要條件D.既不是充分條件也不是必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】舉反例結(jié)合等差數(shù)列的定義可判斷充分性不成立，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)關(guān)系可確定必要性成立,

即可得結(jié)論.

【詳解】解：例如q=1，4=-1，。2=3,%=-3,滿足%+。4=%+%，但是。2=2W%=-6,

不符合等差數(shù)列的定義，故推不出｛4｝為等差數(shù)列;

若｛4,｝為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，所以

q+%=%+%+3d—2%+3d,a?+。3=%+d+Q+2d—2%+3d,

則%+%=%+%.

所以％+%=%+%是｛。"｝為等差數(shù)列的必要條件但不是充分條件.

故選：B.

4

…sE"呼

71071

8.已知戊，夕e（0,兀），tanClf+-則cos(2a—4)=()

6

T

R小「5A/3

D.--------------u.-------D

39-f

【答案】D

【解析】

JT]7TT

【分析】根據(jù)待求式的結(jié)構(gòu)，21一，=2e+/?+——彳求解即可.

o)2

A兀兀

【詳解】解：因?yàn)閏os（2a—,）=cos2a+6+"萬(wàn)=sin2a+

2

TTJTTT7T

=sin2(a+—)cos(P+—)-cos2(a+—)sin(/+—).

3636

2sin(a+1)cos(cr+j)2tanIcif+—

272

siniftz+j2sin(cr+y)cos(cr+y)

.2/兀、2/兀、?I兀)i3

sin(a+j)+cos(。+1)tanI6Z+jI+1

3

cos2(zex,+-兀)、-si.n2(Zct+—兀、)1-tan21a+5

2z兀、.2/兀、

cos2a+—-cos(。+1)-sin(。+1)=

I32兀、.2z兀、2(兀)i3

cos(Za+y)+sin(。+耳)tanI6/+jI+1

3

(4尸+71口逅,

G嗚,

I63

所以sin[/?+t71)=￥，

6

故cos(2cr一分)=當(dāng)

故選：D.

二、多選題

9.已知樣本數(shù)據(jù)X],巧，L,x”和樣本數(shù)據(jù)%,%，L,%滿足y=依,-+6（，=1,2,…,八,0＜。＜1）,

則()

A.%，%，L，%的平均數(shù)小于巧，L，X”的平均數(shù)

B.%，%，L，%的中位數(shù)小于A，巧，L，X”的中位數(shù)

5

C.%,%，L,y?的標(biāo)準(zhǔn)差不大于X],巧，L,xn的標(biāo)準(zhǔn)差

D.%,%，L,%的極差不大于事，巧，L，X”的極差

【答案】CD

【解析】

【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)，以及標(biāo)準(zhǔn)差和極差的定義和計(jì)算方法，逐項(xiàng)判定，即可求解.

【詳解】由題意，數(shù)據(jù)石,々，-，斗，的平均數(shù)為數(shù)據(jù)%,%,-,%的平均數(shù)為亍，

因?yàn)閥=0Xj+6,可得y=ax+/?,所以y不一定小于所以A不正確；

設(shè)數(shù)據(jù)再，無(wú)2,…，F(xiàn)的中位數(shù)為4，數(shù)據(jù)%，為，…，。的中位數(shù)為幾，

因?yàn)椋?axi+b(O＜a＜Y),可得=axm+b,

則以不一定小于學(xué),，所以B不正確；

設(shè)數(shù)據(jù)看,％2,的方差為s；,數(shù)據(jù)%,％,一，%的平均數(shù)為s；,

因可得5；=/5；,又因?yàn)樗詓；＜s；,

可得忘＜&，所以C正確；

數(shù)據(jù)石,々，，土的極差為Xmax一/in，數(shù)據(jù)%，%，?，%的平均數(shù)為，max一＞min，

因?yàn)椋?。七+6(0＜。＜1)，可得乂皿一Nmin=a(%max—/JV/ax一//所以D正確?

故選：CD.

10.從4G至U5G通信，網(wǎng)絡(luò)速度提升了40倍.其中，香農(nóng)公式。=刖。82。+:]是被廣泛公認(rèn)的通信理

論基礎(chǔ)和研究依據(jù)，它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞率。取決于信道帶寬W、信道內(nèi)信號(hào)

的平均功率S、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其中一叫做信噪比.根據(jù)香農(nóng)公式，以下說(shuō)法正確的是

N

()(參考數(shù)據(jù)：lg5?0.6990)

V

A.若不改變信噪比一，而將信道帶寬W增加一倍，則。增加一倍

N

B.若不改變信道帶寬W和信道內(nèi)信號(hào)的平均功率S,而將高斯噪聲功率N降低為原來(lái)的一半，則C增加

一倍

V

C.若不改變帶寬W,而將信噪比一從255提升至1023,C增加了25%

N

6

D.若不改變帶寬W,而將信噪比一從999提升至4999,。大約增加了23.3%

N

【答案】ACD

【解析】

(\

+2W1S21+

【分析】計(jì)算2刖。821+(］=2?？膳袛喟?；計(jì)算刖。821+今=Wlog2*°1；

Wog2(1+1023)Wog2(1+4999)

判斷B；計(jì)算-1的值可判斷C；計(jì)算—1可判斷D.

VWog2(1+255)VWog2(1+999)

q

【詳解】對(duì)于A，若不改變信噪比一，而將信道帶寬W增加一倍,

N

IP2WogJl+^i=2C,則。增加一倍，所以A正確;

對(duì)于B，若不改變信道帶寬W和信道內(nèi)信號(hào)的平均功率S,

而將高斯噪聲功率N降低為原來(lái)的一半，

/\

即VWog21+-^-=VWog2^1+VWog21+蚤+［三］=2VWog2^l+-^；^,所以B錯(cuò)誤;

q

對(duì)于C,若不改變帶寬W,而將信噪比一從255提升至1023,

N

10

Wlog2(1+1023)log22101

HIH---------------------------------------------------------------------------------------------------------——

8

'Wlog2(1+255)log2284

所以C增加了25%,所以C正確；

s

對(duì)于D,若不改變帶寬W，而將信噪比一從999提升至4999,

N

Wog2(1+4999)_log25000_lg5000lg5+lgl0001_lg5

Wlog2(1+999)log21000IglOOO33

所以D正確.

故選：ACD.

11.已知函數(shù)/(x),g(x)的定義域?yàn)镽,g'(x)為g(x)的導(dǎo)函數(shù)，且/(x)+g'(x)=2,f(x)-g'(4-x)=2,

若g(x)為偶函數(shù)，則下列結(jié)論一定成立的是()

A./(4)=2B.g'⑵=0

C./(-1)-/(-3)D./(1)+/(3)=4

7

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的對(duì)稱性逐一判斷即可.

【詳解】對(duì)A：：g(x)為偶函數(shù)，貝！jg(x)=g(—x),

兩邊求導(dǎo)可得g'(x)=—g'(一%),

.?.g'(x)為奇函數(shù)，則g'(O)=O,

令％=4,則可得/?)—g'(O)=2,貝iJ/(4)=2,A成立；

除⑵+g<2)=2f/(2)=2

對(duì)B：令-2,則可得［/⑵一加,則［g,⑵=。’B成立；

???f(x)+g'(x)=2,則可得/(2+x)+g'(2+x)=2,

f(x)-g<4-x)=2,則可得/(2—x)—g'(2+x)=2,

兩式相加可得：/(2+%)+/(2-x)=4,

/(x)關(guān)于點(diǎn)(2,2)成中心對(duì)稱，

則/⑴+/■⑶=4,D成立，

又?:/(x)+g'(x)=2,則可得/(x—4)+g'(x—4)=/(x-4)-g,(4-x)=2,

/(x)-g,(4-x)=2,則可得/(x)=/(x-4),

??./(無(wú))以4為周期的周期函數(shù)，

根據(jù)以上性質(zhì)只能推出了(—1)+/(-3)=4,不能推出/(-!)=/(—3),C不一定成立，

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是對(duì)已知等式進(jìn)行求導(dǎo)、利用偶函數(shù)的性質(zhì).

12.已知球的半徑為1(單位：m),該球能夠整體放入下列幾何體容器(容器壁厚度忽略不計(jì))的是()

A.棱長(zhǎng)為2.1m的正方體

B.底面邊長(zhǎng)為2.1m的正方形，高為1.1m的長(zhǎng)方體

C.底面邊長(zhǎng)為4君111，高為26m的正三棱錐

D.底面邊長(zhǎng)為4君111，高為log212m的正三棱錐

【答案】ACD

8

【解析】

【分析】若球的半徑為1,該球能夠整體放入下列幾何體容器，則幾何體的內(nèi)切球半徑大于1,

對(duì)于A,正方體的內(nèi)切球直徑為正方體的棱長(zhǎng)即為2,可判斷A正確；

對(duì)于B,長(zhǎng)方體的最短棱長(zhǎng)為L(zhǎng)1,即為球夠整體放入的最大直徑，可判斷B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,先求得正三棱錐的內(nèi)切球半徑，即可判斷；

對(duì)于D,根據(jù)選項(xiàng)C比選項(xiàng)D的正三棱錐高小，可判斷D的內(nèi)切球半徑大于C,即可判斷.

球的半徑為1m,則直徑為2m,

對(duì)于A,棱長(zhǎng)為2.1m的正方體內(nèi)切球直徑為2.1>2,A正確;

對(duì)于B,長(zhǎng)方體高為高小于球直徑，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,如圖所示，設(shè)正三棱錐為P—ABC,

設(shè)。為三棱錐的內(nèi)切球的球心，。為正三角形A8C的中心，

所以為正三棱錐高，PD=26，

設(shè)E是A3的中點(diǎn)，正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為4如，

所以CE=昱BC=昱義46=6，DE=LCE=2,

223

因?yàn)槭辏緸檎忮F的高，所以PE=y/PD2+DE2=,(2百『+正=4，

由正棱錐的性質(zhì)可知:…,

SNABC=半？(4廚12A/3，入c=312百義2百=24,

內(nèi)切球半徑為人

^P-ABC=^O-ABC+V0-PBC+^O-PBA+^O-PAC=f+3X§X80jF=24,

2,

得廠=W〉1,c正確;

9

對(duì)于D,和C的正三棱錐相比，底面邊長(zhǎng)相同，只需比較高的大小,

即比較log212和26的大小，由于log212=2+log23>2+log22、/5=2+m=g>2j^,故選項(xiàng)D正確

故選：ACD

三、填空題

13.甲、乙、丙3人從1樓上了同一部電梯，已知3人都在2至6層的某一層出電梯，且在每一層最多只有

兩人同時(shí)出電梯，從同一層出電梯的兩人不區(qū)分出電梯的順序，則甲、乙、丙3人出電梯的不同方法總數(shù)

是.

【答案】120

【解析】

【分析】分①3人都在2至6層的某一層1人獨(dú)自出電梯；②3人中有2人在同一層出電梯，另1人在另外

一層出電梯，兩種情況討論即可求解.

【詳解】由題意，

①3人都在2至6層的某一層1人獨(dú)自出電梯，共有A：=60種；

②3人中有2人在同一層出電梯，另1人在另外一層出電梯，共有C；A；=60種；

故甲、乙、丙3人出電梯的不同方法總數(shù)是60+60=120種.

故答案為：120

14.已知圓錐的底面半徑為2,側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)圓心角為120。的扇形.把該圓錐截成圓臺(tái)，已知圓臺(tái)的

下底面與該圓錐的底面重合，圓臺(tái)的上底面半徑為1,則圓臺(tái)的體積為.

【答案】也回兀

3

【解析】

【分析】由已知求出圓錐的高，進(jìn)而求出截去的小圓錐的高，利用大圓錐體積減去小圓錐體積求圓臺(tái)體積

即可.

【詳解】設(shè)圓錐母線長(zhǎng)為/,則/-？-=4兀=/=6,故圓錐的高為力=/工=40，

由圓臺(tái)的上底面半徑為1,故截去的小圓錐的高為“=2四,

2

11h14J2

所以圓臺(tái)體積為匕64兀一匕&兀=二/=二絲兀.

33263

故答案為:此3

10

15.已知函數(shù)/(x)=Gcosftu-sin°x(o>0)在區(qū)間［0,可上恰有三個(gè)極值點(diǎn)和三個(gè)零點(diǎn)，則。的取值

范圍是.

【答案】

【解析】

【分析】先利用三角恒等變換將/(X)化簡(jiǎn)，再結(jié)合y=sin*的圖像和性質(zhì)得解.

(173)

【詳解】f(-^)=cosa)x-sincox=2——sina)xH---cosox

(22

=2sina)x-cos—7r+coscox-sin—7：=2sin(yx+一兀

I33JI3

OWXWTI,

27i2兀27i

/.----〈COXH----W兀H----,

333

、2兀2兀，，2兀

設(shè)t—COXH---，——<t<am+——

333

-y=2sin%有三個(gè)極值點(diǎn)和三個(gè)零點(diǎn)，由y=sinx的性質(zhì)可得,

兀

72兀4

-----<6971+—<4兀

2363

1710

故答案為:T，T

16.雙曲線二—2=10〉?！?)的左、右焦點(diǎn)分別為片、F2,過(guò)F1的直線/交雙曲線于46兩點(diǎn)，A,

ab

6分別位于第一、二象限，△ABg為等邊三角形，則雙曲線的離心率e為.

【答案】"

【解析】

【分析】利用等邊三角形的性質(zhì),然后結(jié)合雙曲線的定義求解;

11

由雙曲線的定義可得|然|—|A聞=2a,忸閭一忸耳|=2。

所以取AB的中點(diǎn)D，連接。工，

又因?yàn)椤?3工為等邊三角形，

則|明|—|初|=2。=忸耳忸月|=4a

在直角三角形心中，0■+RR「=忸囚2,

即（4a『+（2Ga『=（2C）2,

解得：7a2=02,即0=近，

故答案為：近.

四、解答題

17.已知a,6,c分別為說(shuō)角三個(gè)內(nèi)角A,8,C的對(duì)邊，滿足sin?A—sin2B—sin2C+sinBsinC=0.

（1）求/；

（2）若為2,求_A3C面積的取值范圍.

【答案】（1）A=《；（2）吟,2布）.

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理的邊角互化可得/=廿+°2一〃°,再利用余弦定理即可求解.

（2）利用正弦定理可得c=三里一，再利用三角形的面積公式可得SMC=—義2義』一sinA,根據(jù)三

sin32sin3

角形的內(nèi)角和性質(zhì)以及兩角差的正弦公式可將式子化為迫+3x」一，結(jié)合8的取值范圍即可求解.

22tanB

【詳解】解：（1）由己知及正弦定理得，?2=b2+c2-bc,

序+「2_〃21

由余弦定理可得cosA=-—-——=-.

2bc2

又0VAV7T,

,n

/.A——.

3

（2）由已知及正弦定理得，。=2吧￡,

smB

12

由3+。=女，得S--x2x2smCsinA

3ABC2sinB

_Ain(g—3]

-------------------------------------------1—X-----------.

sin522tanB

jr2.7E7TTCTC

.ABC是銳角三角形，得0<3<—,0<——B<—,得一<B<一.

23262

3

0<---<

tanB

——<SABC<2^/3.

2/IDC

所以面積的取值范圍是,25

【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理的邊角互化、余弦定理解三角形、三角形的面積公式、兩角差的正弦公式,

屬于中檔題.

18.如圖，在四棱錐尸—A3CD中，底面A3CD為矩形，上4,底面ABCD,PA=48=工3。=1,石為線

2

段總的中點(diǎn)，R為線段3c上的動(dòng)點(diǎn).

（1）求證：平面AEF，平面P3C；

（2）試求砂1的長(zhǎng)，使平面AEF與平面PCD所成的銳二面角為45.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵2一半

【解析】

【分析】（1）可先證平面P3C,從而得到平面AEFL平面03C；

（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)廠（LZ0）（0<X<2）,求出平面的法向量和平面PCD的

法向量后結(jié)合題設(shè)中的面面角可求4,從而可得BF的長(zhǎng).

13

【小問(wèn)1詳解】

Q4,平面ABCD，3Cu平面ABC。，

:.PA±BC,

ABCZ）為矩形，.：AB15C,

又PAiAB=A,上4,718<=平面/^16,

.?.3C，平面B43，

A^u平面上43,

.-.AE1BC,

PA=AB，E為線段PB的中點(diǎn)，

:.AE±PB，

又PBcBC=B,P3,3Cu平面P3C,

.?.AEL平面P3C,又AEu平面AEF，

所以平面AEF±平面PBC.

【小問(wèn)2詳解】

以/為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,AP分別為了軸，,軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,

則A(0,0,0),3(1,0,0),C(l,2,0),0(0,2,0),P(0,0,l),ER,0,|j,

AE=PC=(1,2,-1),PD=(O,2,-l),

設(shè)尸(l,4O)(O<X<2),.?.AF=(l,%0),

設(shè)平面AEF的一個(gè)法向量為“=（玉,％,4）,

n-AE=0玉+4=0

則

n-AF=0%+2%=0，

14

x——A

令M=1,貝叫}「，

[Z]=4

n=(—2,1,2),

設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為加=（尤2，%，Z2），

mPC=0[x2+2y2-z2=0

二

m-PD=0I2y2-z20

Y—f)

令%=1，貝M2c，

匕=2

/.m=(0,l,2),

平面A跖與平面尸CO所成的銳二面角為45，

.2卜哈金3=與,解得人2士叵，

11HH/x，21+l22

0<2<2

.】、

..4=20-------，即BnBnrr—2--------，

22

，當(dāng)5P=2-叵時(shí)，平面AEF與平面PCD所成的銳二面角為45.

2

19.某品牌女裝專賣店設(shè)計(jì)摸球抽獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，每位顧客只用一個(gè)會(huì)員號(hào)登陸，每次消費(fèi)都有一次隨機(jī)摸

球的機(jī)會(huì).已知顧客第一次摸球抽中獎(jiǎng)品的概率為:；從第二次摸球開(kāi)始，若前一次沒(méi)抽中獎(jiǎng)品，則這次

抽中的概率為若前一次抽中獎(jiǎng)品，則這次抽中的概率為;.記該顧客第〃次摸球抽中獎(jiǎng)品的概率為4.

（1）求鳥(niǎo)的值，并探究數(shù)列｛與｝的通項(xiàng)公式；

（2）求該顧客第幾次摸球抽中獎(jiǎng)品的概率最大，請(qǐng)給出證明過(guò)程.

【答案】⑴立P=3-

42"77161

（2）第二次，證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)全概率公式即可求解乙，利用抽獎(jiǎng)規(guī)則，結(jié)合全概率公式即可由等比數(shù)列的定義求解，

15

311n-l

(2)根據(jù)_I,即可對(duì)兀分奇偶性求解

6

【小問(wèn)1詳解】

記該顧客第，(ieN*)次摸球抽中獎(jiǎng)品為事件4依題意，/]=|,

^=P(A)=P(A)P(AI4)+^(A)^(AIA)=|X|+[I-|V|=^.

/?,/k//乙r1乙

1/_____、1

因?yàn)槭?尸(AJ4_J=5,匕=/(4),

所以P(4)=P(4T)P(A“I4T)+P(M)P(A“|二),

所以月=；ET+：(1—￡T)=—；月T+；，

32o2

所以匕7t

231

又因?yàn)椤?—,則片——二——。0,

777

所以數(shù)列]匕-是首項(xiàng)為-，，公比為-，的等比數(shù)列，

776

3

故匕

7

【小問(wèn)2詳解】

31319

證明：當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，P=--------<-<—,

n“776T742

31

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，P?=-+—^T>則與隨著〃的增大而減小,

77-6

19

所以，P<P=—.

n742

綜上，該顧客第二次摸球抽中獎(jiǎng)品的概率最大.

20.如圖，已知點(diǎn)尸&5)。>0),拋物線V=2py的焦點(diǎn)是/(0,1)，46是拋物線上兩點(diǎn)，四邊形E4PB

是矩形.

16

(1)求拋物線的方程；

(2)求矩形E4QB的面積.

【答案】(1)-=4〉

(2)8

【解析】

【分析】(1)根據(jù)拋物線必=2刀的焦點(diǎn)是尸(0,1),由勺1求解；

(2)設(shè)A(2：片)，5(2占璜，根據(jù)四邊形E4PB是矩形，可得^=苫'廣，力；%=力；力

且E4-EB=0,進(jìn)而得到“2=1，然后結(jié)合拋物線的定義，S-|E4|-|EB|求解.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)閽佄锞€V=2py的焦點(diǎn)是歹(0,1),

所以3=1,

2

解得p=2,

所以拋物線的方程為/=4＞；

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)4(21片),3(2%￡),

因?yàn)樗倪呅未?yáng)是矩形，

所以±±歪=上生&±也="±",且出.郎=0，

2222

即24+2%J,i±l=9=3,且2//2巧+(片一1)(片一1)=0.

2222

tf1

所以4+4=彳，稼=——3，且「—16/一512=0.

28

所以(產(chǎn)一32)(產(chǎn)+16)=0.

解得t2=32，環(huán)2=1,

由拋物線的定義得:陷"+1,|FB|=」+1,

所以矩形E4pB的面積為：

S=|^4|-|FB|=Gf+l)af+l),

17

—%：/；+/：+/；+1=1+6+1=8.

所以矩形E4PB的面積為8.

1—a

21.已知函數(shù)/(x)=lnx-辦H------l(〃eR).

(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)/(無(wú))的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)%目0,內(nèi))時(shí)，恒有/(x+l)+@匚+a+l<0成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間是(L+8)

(2)ae[1,+oo)

【解析】

[分析]⑴求導(dǎo)得到了'("二._"二^=_(rl)Lx〉0)，根據(jù)aNl，由制x)>0,

/'(x)<0求解；

(2)將尤e[0,H<o)時(shí)，恒有J(x+l)+--^+a+l<0成立，轉(zhuǎn)化為ln(x+l)-對(duì)任意xe[0,y)

恒成立，令/z(x)=In(x+1)—依，利用導(dǎo)數(shù)法求解.

【小問(wèn)1詳解】

做Q(、11-。(x-l)[ax+(<7-l)]

解：f(x)=一一a——廠=-------―---------(%>0)-

XX"X

當(dāng)。之1時(shí)，ax+a-l>0,

由第x)>0,得0—由尸(司<0,得%>1,

故a?l時(shí)，/(尤)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0』)，單調(diào)遞減區(qū)間是(L”)；

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)楫?dāng)XG[0,”)時(shí)，恒有/'(x+l)+=+a+l<0成立,

即ln(x+l