七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)壓軸題攻略湘教版-專題08 解題技巧專題：特殊的因式分解法壓軸題四種模型全攻略（解析版）

專題08解題技巧專題：特殊的因式分解法壓軸題四種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一利用整體法提公因式因式分解】 1【考點(diǎn)二十字相乘法因式分解】 5【考點(diǎn)三分組分解法因式分解】 9【考點(diǎn)四因式分解的應(yīng)用】 13【典型例題】【考點(diǎn)一利用整體法提公因式因式分解】例題：（2024下·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）把多項(xiàng)式因式分解的結(jié)果是.【答案】【解析】略【變式訓(xùn)練】1．（2023·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）因式分解：．【答案】【分析】將整式變形含有公因式，提取即可．【詳解】解：故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了整式中的分解因式，提取公因式是常用的分解因式的方法，解題的關(guān)鍵是找到公因式．2．（2024上·河南安陽(yáng)·八年級(jí)?？计谀┮蚴椒纸猓?1)；(2)．【答案】(1)；(2)．【分析】本題主要考查了因式分解,掌握運(yùn)用提取公因式法、公式法進(jìn)行因式分解是解題的關(guān)鍵．（1）先寫出完全平方的形式，然后運(yùn)用完全平方公式分解即可；（2）先提取公因式，然后再運(yùn)用平方差公式因式分解即可．【詳解】（1）解：，，．（2）解：，，．3．（2023上·山東濟(jì)南·八年級(jí)統(tǒng)考期中）因式分解：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題考查因式分解，根據(jù)提公因式法、公式法分解即可；（1）直接利用提公因式法即可；（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式進(jìn)行因式分解；【詳解】（1）解：；（2）．4．（2023上·山東濟(jì)寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）【閱讀材料】因式分解：．解：將“”看成整體，令，則原式．再將“”還原，原式．上述解題用到的是“整體思想”，整體思想是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法．【問題解決】(1)因式分解：；(2)因式分解：；(3)證明：若為正整數(shù)，則代數(shù)式的值一定是某個(gè)整數(shù)的平方．【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】本題考查換元法、提公因式法、公式法分解因式，理解“換元法”的意義，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是正確解答的關(guān)鍵．（1）用換元法設(shè)，將原式化為，再利用完全平方公式得出，再將A還原即可；（2）設(shè)，則原式，再將B還原，最后再利用完全平方公式即可；（3）先計(jì)算，再利用完全平方公式即可．【詳解】（1）解：令，，將“A”還原，可以得到：原式；（2）解：令，則，將“B”還原，可以得到：原式；（3）解：，∵n為正整數(shù)，∴正整數(shù)．∴，∴代數(shù)式的值一定是某個(gè)整數(shù)的平方．5．（2024上·湖北省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀以下材料材料：因式分解：解：將“”看成整體，令，則原式再將“”還原，得原式上述解題用到的是“整體思想”，“整體思想”是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法，請(qǐng)你解答下列問題：(1)因式分解：________；(2)因式分解：；(3)求證：無論n為何值，式子的值一定是一個(gè)不小于1的數(shù)．【答案】(1)(2)(3)見解析【分析】本題考查了因式分解，掌握整體思想解決問題的方法是解題的關(guān)鍵．（1）將“”看成整體，令，則原式，再將“”還原，得原式；（2）將“”看成整體，令，則原式，再將“”還原，得：原式；（3）先由，運(yùn)用整體思想，再即可得到式子的值一定是一個(gè)不小于1的數(shù)．【詳解】（1）解：令，原式，將“”還原，得原式；故答案為：；（2）解：令，原式，將“”還原，得：原式；（3）證明：令，原式，將還原，原式，因?yàn)闊o論為何值，所以．即式子的值一定是一個(gè)不小于1的數(shù)．【考點(diǎn)二十字相乘法因式分解】例題：（2024上·廣東珠?！ぐ四昙?jí)統(tǒng)考期末）在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，是常見的一類多項(xiàng)式，對(duì)這類多項(xiàng)式常采用十字相乘法和配方法來進(jìn)行因式分解．請(qǐng)閱讀材料，按要求回答問題．材料一：分解因式：解：材料二：分解因式：解：原式(1)按照材料一提供的方法分解因式：；(2)按照材料二提供的方法分解因式：．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了因式分解，解答本題的關(guān)鍵是理解題意，明確題目中的分解方法．（1）仿照題目中的例子進(jìn)行分解即可得出答案；（2）仿照題目中的例子進(jìn)行分解即可得出答案．【詳解】（1）解：，，；（2）解：原式．【變式訓(xùn)練】1．（2024上·北京東城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）利用整式的乘法運(yùn)算法則推導(dǎo)得出：．我們知道因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關(guān)系可得．通過觀察可把看作以x為未知數(shù)，a、b、c、d為常數(shù)的二次三項(xiàng)式，此種因式分解是把二次三項(xiàng)式的二項(xiàng)式系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)分別進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸鈦頊愐淮雾?xiàng)的系數(shù)，分解過程可形象地表述為“豎乘得首、尾，叉乘湊中項(xiàng)”，如圖1，這種分解的方法稱為十字相乘法．例如，將二次三項(xiàng)式的二項(xiàng)式系數(shù)2與常數(shù)項(xiàng)12分別進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸?，如圖2，則．根據(jù)閱讀材料解決下列問題：(1)用十字相乘法分解因式：；(2)用十字相乘法分解因式：；(3)結(jié)合本題知識(shí)，分解因式：．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題主要考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，因式分解，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的知識(shí)的掌握與運(yùn)用．（1）利用十字相乘法進(jìn)行求解即可；（2）利用十字相乘法進(jìn)行求解即可；（3）先分組，再利用十字相乘法進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：，；（2）解：，；（3）解：，．2．（2024上·山西朔州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀下列材料，完成相應(yīng)任務(wù)我們?cè)趯W(xué)習(xí)整式乘法時(shí)，常常通過數(shù)形結(jié)合理解掌握運(yùn)算方法．例如圖（1）反映了單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算方法，即：．任務(wù)一：觀察圖（2）完成填空：．將上式逆向變形即可把等式左邊的多項(xiàng)式因式分解為右邊的，像這樣我們可將某些二次項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式分解因式．例如，將式子分解因式．這個(gè)式子的二次項(xiàng)系數(shù)是1，常數(shù)項(xiàng)，一次項(xiàng)系數(shù)，因此可利用上述方法直接可得．上述分解因式的過程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次項(xiàng)系數(shù)，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；再分解常數(shù)項(xiàng)，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項(xiàng)系數(shù)，如圖（3）這樣我們便可直接得到任務(wù)二：利用上述方法分解因式（1）（2）我們常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多項(xiàng)式用上述方法無法分解，例如，我們細(xì)心觀察就會(huì)發(fā)現(xiàn)，前兩項(xiàng)可以分解，后兩項(xiàng)也可以分解，分別分解后會(huì)產(chǎn)生公因式就可以完整的分解了，具體分解過程如下：這種方法叫分組分解法．任務(wù)三：請(qǐng)利用這種方法因式分解下列多項(xiàng)式：；【答案】任務(wù)一：，，；任務(wù)二：（1），（2）；任務(wù)三：【分析】本題考查十字相乘法以及分組分解法進(jìn)行因式分解．任務(wù)一：利用兩種方法表示出長(zhǎng)方形的面積即可得出結(jié)果；任務(wù)二：利用十字相乘法進(jìn)行因式分解即可；任務(wù)三：利用分組分解法進(jìn)行因式分解即可；掌握十字相乘法以及分組分解法進(jìn)行因式分解，是解題的關(guān)鍵．【詳解】任務(wù)一：由圖可知：；故答案為：，，；

任務(wù)二：（1）；

（2）；

任務(wù)三：．【考點(diǎn)三分組分解法因式分解】例題：（2023上·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）閱讀下列文字與例題：將一個(gè)多項(xiàng)式分組后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法稱作分組分解．例如：以下兩個(gè)式子的分解因式的方法就稱為分組分解法．①；②試用上述方法分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】此題考查了分解因式分組分解法，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．（1）原式前三項(xiàng)結(jié)合，后兩項(xiàng)結(jié)合，利用完全平方公式及提取公因式方法分解即可；（2）原式后三項(xiàng)提取，利用完全平方公式及平方差公式分解即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式【變式訓(xùn)練】1．（2024上·湖北襄陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多項(xiàng)式用上述方法無法分解，例如，我們細(xì)心觀察就會(huì)發(fā)現(xiàn)，前兩項(xiàng)可以分解，后兩項(xiàng)也可以分解，分別分解后會(huì)產(chǎn)生公因式就可以完整的分解了，具體分解過程如下：

這種方法叫分組分解法，請(qǐng)利用這種方法因式分解下列多項(xiàng)式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用，熟練掌握因式分解的方法是解答本題的關(guān)鍵．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分組分解法．（1）用分組分解法分解即可；（2）用分組分解法分解即可．【詳解】（1）原式（2）原式2．（2023下·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）觀察下列因式分解的過程：①（分成兩組）（直接提取公因式）；②（分成兩組）（直接運(yùn)用公式）．請(qǐng)仿照上述因式分解的方法，把下列各式因式分解：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【詳解】解：（1）．（2）．3．（2024上·廣東汕頭·八年級(jí)統(tǒng)考期末）八年級(jí)課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：將因式分解．【觀察】經(jīng)過小組合作交流，小明得到了如下的解決方法：解法一：原式；解法二：原式．【感悟】對(duì)項(xiàng)數(shù)較多的多項(xiàng)式無法直接進(jìn)行因式分解時(shí)，我們可以將多項(xiàng)式分為若干組，再利用提公因式法、公式法達(dá)到因式分解的目的，這就是因式分解的分組分解法．分組分解法在代數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值及方程、函數(shù)等學(xué)習(xí)中起著重要的作用．（溫馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解為止）【類比】（1）請(qǐng)用分組分解法將因式分解；【挑戰(zhàn)】（2）請(qǐng)用分組分解法將因式分解；（3）若，，請(qǐng)用分組分解法先將因式分解，再求值．【答案】（1）；（2）；（3），【分析】（1）直接將前兩項(xiàng)和后兩項(xiàng)組合，利用平方差公式再提取公因式，進(jìn)而分解因式即可；（2）先分組，利用完全平方公式再提取公因式，進(jìn)而分解因式即可；（3）分組，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由，，整體代入得出答案即可．此題主要考查了分組分解法，提取公因式法，公式法分解因式，以及整體代入法求代數(shù)式的值，正確分組再運(yùn)用提公因式法或公式法分解因式，是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】（1）；（2）；（3）．當(dāng)，時(shí)，原式．【考點(diǎn)四因式分解的應(yīng)用】例題：（2023上·河南安陽(yáng)·八年級(jí)?？计谀╅喿x材料：利用公式法，可以將一些形如的多項(xiàng)式變形為的形式，我們把這樣的變形方法叫做多項(xiàng)式的配方法，運(yùn)用多項(xiàng)式的配方法及平方差公式能對(duì)一些多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解．例如：．根據(jù)以上材料，解答下列問題：(1)分解因式：；(2)求多項(xiàng)式的最小值；(3)已知，，是的三邊長(zhǎng)，且滿足，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)(2)(3)【分析】此題考查了因式分解的應(yīng)用，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)閱讀材料中的方法分解即可；（2）根據(jù)閱讀材料中的方法將多項(xiàng)式變形，求出最小值即可；（3）原式配方后，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：；（2）解：，，，多項(xiàng)式的最小值為；（3）解：，，即：，，，，，，的周長(zhǎng)為．【變式訓(xùn)練】1．（2024上·湖北恩施·八年級(jí)統(tǒng)考期末）先閱讀下面的材料，再完成后面的任務(wù)．材料一材料二如果把一個(gè)多項(xiàng)式各個(gè)項(xiàng)分組并提出公因式后，它們的另一個(gè)因式正好相同，那么這個(gè)多項(xiàng)式就可以利用分組的方法來分解因式，這種因式分解的方法叫做分組分解法．例在因式分解中，把多項(xiàng)式中某些部分看作一個(gè)整體，用一個(gè)新的字母代替，不僅可以簡(jiǎn)化要分解的多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)，而且能使式子的特點(diǎn)更加明顯，便于觀察如何進(jìn)行因式分解，我們把這種因式分解的方法稱為“換元法”．例進(jìn)行因式分解的過程：設(shè)，原式(1)填空：因式分解_______；(2)因式分解（寫出詳細(xì)步驟）：；(3)若三邊分別為a，b，c，其中，，判斷的形狀，并說明理由．【答案】(1)(2)(3)是等邊三角形；理由見解析【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用；（1）根據(jù)材料1，分組分解即可求解；（2）根據(jù)材料2，利用換元法，設(shè)，進(jìn)而因式分解即可求解；（3）根據(jù)完全平方公式因式分解，即可求解．【詳解】（1）解：，故答案為：．（2）解：設(shè)，則原式（3）解：是等邊三角形，理由如下；∵∴，∴∴又∵，∴∴是等邊三角形2．（2023上·河北張家口·八年級(jí)統(tǒng)考期末）我們已經(jīng)學(xué)過將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的方法有提公因式法和運(yùn)用公式法，其實(shí)分解因式的方法還有分組分解法、拆項(xiàng)法等等．①分組分解法：例如：．②拆項(xiàng)法：例如：．仿照以上方法分解因式：(1)；(2)．