直線與圓、圓與圓的位置關系（8題型分類）-2025年高考數(shù)學專項復習（原卷版）

專題41直線與圓、圓與圓的位置關系8題型分類

彩題如工總

彩和正寶庫

1.直線與圓的位置關系（圓心到直線的距離為心圓的半徑為力

2.圓與圓的位置關系（。。1，。。2的半徑分別為小廠2,1=|。1。2|）

圖形量的關系

外離0d>n+心

外切d=']+丫?

相交6l〃一.I<dv〃+r2

內切d=l〃一r21

內含

3.直線被圓截得的弦長

(1)幾何法：弦心距4、半徑r和弦長|42|的一半構成直角三角形，弦長|4均=2、產(chǎn)了.

(2)代數(shù)法：設直線>=履+/"與圓/+,2+瓜+￡伊+尸=0相交于點M,N,代入，消去》得關于x的一元

二次方程，則|W|=彌1+必々(X“+XN)2—4XMXM

【常用結論

1.圓的切線方程常用結論

(1)過圓/+9=，上一點P(xo，yo)的圓的切線方程為Xttx+yoy=，.

(2)過圓/+產(chǎn)=戶外一點〃(尤0，州)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為苫然+加丫=戶.

2.圓與圓的位置關系的常用結論

(1)兩圓相交時，其公共弦所在的直線方程由兩圓方程相減得到.

(2)兩個圓系方程

①過直線Ax+By+C=0與圓f+產(chǎn)+瓜+@+尸=0交點的圓系方程為d+V+Ox+Ey+F+MAx+By+C)

=0(/eR)；

②過圓Ci：r+V+Dix+Eiy+BuO和圓C2：/+丫2+。2尤+&>7+/;'2=0交點的圓系方程為x2+y2+￡)ix+

?2

Eiy+7i+〃x+y2+D2x+E2y+尸2)=0(4W—1)(其中不含圓C2,所以注意檢驗C2是否滿足題意，以防丟解).

彩得瓢祕籍(_)

判斷直線與圓的位置關系的常見方法

(1)幾何法：利用d與r的關系判斷.

⑵代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用/判斷.

(3)點與圓的位置關系法：若直線恒過定點且定點在圓內，可判斷直線與圓相交.

題型1：直線與圓位置關系的判斷

1-L(2024?河北張家口?二模)己知點尸(1,%)為圓。:一+丁=2上的動點，則直線/：%x-%y=2與圓C的

位置關系為()

A.相交B.相離C.相切D.相切或相交

1-2.（2024?安徽蚌埠?三模）直線/：元+切+1-5=0與圓C:（x—iy+（y—2）2=9的位置關系是（）

A.相交B.相切C.相離D.無法確定

1-3.（2024高三?黑龍江綏化?階段練習）若直線即切=1與圓/+;/=1相交，則點尸（。⑼（）

A.在圓上B,在圓外C.在圓內D.以上都有可能

題型2：圓上的點到直線距離個數(shù)問題

2-1.（2024高二上?四川?期末）若圓G:（x+l『+（y-2>=產(chǎn)（廠>0）上恰有2個點至U直線/：4尤一3、-10=0的

距離為L則實數(shù)『的取值范圍為（）

r22321「22"I

A.（3,5）B.（4,6）C.y,yD.—,6

2-2.（2024高三?全國?專題練習）已知圓O：X2+/=4上到直線/：x+y=a的距離等于1的點至少有2個,

則。的取值范圍為（）

A.（-3五,3\/^）B.（-co,-+8）

C.2-72,2-\/2jD.卜℃,-2A/^）O（2A/^,+oo）

2-3.（2024?江蘇南京?模擬預測）圓C：x2+（y-2）2=R2（R>o）上恰好存在2個點，它到直線>=石了-2的

距離為1,則R的一個取值可能為（）

A.1B.2C.3D.4

2-4.（2024高三上?貴州貴陽?期末）若圓C:x2+y2_]2x+10y+25=0上有四個不同的點到直線

/:3x+4y+c=0的距離為3,貝!|c的取值范圍是（）

弦長問題

①利用垂徑定理：半徑「，圓心到直線的距離/，弦長/具有的關系/=/+g）2,這也是求弦長最常用的

方法.

②利用交點坐標：若直線與圓的交點坐標易求出，求出交點坐標后，直接用兩點間的距離公式計算弦長.

③利用弦長公式：設直線/：丫=履+6,與圓的兩交點(占，%)，(%，%),將直線方程代入圓的方程，消元后

222

利用根與系數(shù)關系得弦長：/=J1+片\xt-X21=^(l+fc)[(%j+x2)-4x,x2]=yl(l+k)-.

\A\

題型3:弦長問題

3-1.(2024?寧夏銀川?三模)已知直線/：丘-y-2左+2=0被圓C：/+(y+l>=16所截得的弦長為整數(shù)，

則滿足條件的直線/有條.

32(2024?廣東深圳?二模)過點(1』)且被圓尤2+,2一心-分+4=0所截得的弦長為2近的直線的方程

為.

3-3.(2024?全國)已知直線/：x-my+l=0與C:(%-1)+丁=4交于A,2兩點，寫出滿足“VABC面積為”

的m的一個值____.

3-4.(2024高三上?重慶沙坪壩?階段練習)已知直線/：3尤-y-5=0與圓C：V+V-2x-6y+6=0交于A,

B兩點，貝U|AB|=.

彩得甄秘籍(二)

1.當切線方程斜率存在時，圓的切線方程的求法

(1)幾何法：設切線方程為y一為=網(wǎng)龍一項)，利用點到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d,然后令d

—r,進而求出k.

(2)代數(shù)法：設切線方程為y-yo^k(x-xo),與圓的方程組成方程組，消元后得到一個一元二次方程，然后

令判別式/=0進而求得左

注意驗證斜率不存在的情況.

2.常見圓的切線方程

222

過圓x+y=/上一點P(.x0,%)的切線方程是x()x+=r；

過圓(x-a)2+(y-b)2=/上一點尸(不，％)的切線方程是(%-a)(尤-a)+(%-6)(y-b)=/.

題型4:切線問題

4-1.（2024?河南開封三模）已知點A（L0）,8（2,0）,經(jīng)過8作圓（x7）?+（y-2『=5的切線與y軸交于點尸,

則tan/AP3=.

4-2.（2024?北京?模擬預測）經(jīng)過點（1,0）且與圓Y+/一4.—2y+3=0相切的直線方程為.

43（2024高三上?貴州?開學考試）己知圓C:/+y2-2y=0,過直線/：無+y+1=0上任意一點尸，作圓的

兩條切線，切點分別為A,8兩點，則n邳的最小值為.

4-4.（2024高三上?湖北,開學考試）已知過點*3,3）作圓O:尤2+y=2的切線，則切線長為.

4-5.（2024高二下?上海楊浦?期中）由直線x+y+6=。上一點尸向圓C：（x-3y+（y+5）2=4引切線，則切線

長的最小值為.

22

4-6.（2024高三上■湖北■階段練習）已知eQ+（y-2）2=1,eO2:（x-3）+（y-6）=9,過x軸上一點、P

分別作兩圓的切線，切點分別是M,N,當1PMi+|PN|取到最小值時，點尸坐標為.

彩健題淞籍

（四）

涉及與圓的切線有關的線段長度范圍（最值）問題，解題關鍵是能夠把所求線段長度表示為關于圓心與直線上

的點的距離的函數(shù)的形式，利用求函數(shù)值域的方法求得結果.

題型5:直線與圓位置關系中的最值（范圍）問題

5-1.（2024高三上?北京昌平?期中）已知圓0:尤2+丁-以+41+4=0與直線/：6-〉-左-1=。相交于43兩點，

則的最小值是.

5-2.（2024?江蘇鎮(zhèn)江?二模）已知：C:（x-iy+（y-l）2=3,點A為直線/：y=-l上的動點，過點A作直線與

C相切于點尸，若。（-2,0）,則|42|+|4。|的最小值為.

5-3.（2024高三下?安徽池州?階段練習）已知M-.x2+y2-2x-2y+l=0,直線/：x+2y+2=0,尸為/上的

動點，過點尸作：M的切線PAP8,切點為A4當1PM"ABl最小時，直線的方程為.

54（2024高三上?河南洛陽?開學考試）已知圓”：（x-5）2+（y-5）2=16,點N在直線/：3x+4y-5=0上，

過點N作直線NP與圓M相切于點P,則AMVP的周長的最小值為.

5-5.（2024?湖北?模擬預測）已知點尸在圓。:一+9=1運動，若對任意點尸，在直線/:x+y-4=0上均存

在兩點A,8,使得乙4尸BN]恒成立，則線段48長度的最小值是（）

A.V2-1B.72+1C.20-1D.4亞+2

卷為?瓢祕籍（五）

圓與圓的位置關系

（1）判斷兩圓的位置關系時常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關系，一般不采用代

數(shù)法.

（2）若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去/,Y2項得到.

題型6:圓與圓的位置關系

6-1.（2024?河北唐山?二模）已知圓C|：x2+y2-2x=Q,圓C2：（x-3）2+（y-l）2=4,則與C2的位置關

系是（）

A.外切B.內切C.相交D.外離

62（2024?陜西榆林?模擬預測）已知圓C：（工+5）2+（丫-12）2=4和兩點4（0/），B（0,-&）（&>0）,若圓C

上存在點P,使得/AP3=90。，則6的取值范圍為（）

A.[11,15]B.[10,16]C.[8,12]D.[9,13]

6-3.（2024?陜西銅川?模擬預測）已知4（-2,0）,B（2,0）,若圓（x-a-l）?+（y-30+2了=4上存在點P滿足

PA-PB=5，則。的取值范圍是（）

A.[-1,2]B.[-2,1]C.[-2,3]D.[-3,2]

6-4.（2024高二上,北京,階段練習）圓G：/+y。—4x+2y+1=0.與圓C2:X2+/+4x-4y-1=0的位置關

系是（）

A.內切B.相交C.外切D.外離

題型7:兩圓的公共弦問題

7-1.（2024,全國?模擬預測）若圓G:尤2+丁-4x+2y=0與圓C］:/+V-8x+10y+16=。交于P,。兩點，

則直線PQ的方程為.

7-2.（2024高三?全國?專題練習）已知圓C1：（x-4）2+（y-3）2=16與圓G：x2+y2-2x+2y-9=0,若兩圓

相交于A,B兩點，貝

7-3.（2024?天津和平?二模）圓x2+y2-4x+4y-12=0與圓丁+尸=4的公共弦所在的直線方程為.

題型8:兩圓的公切線問題

8-1.（2024,湖南長沙?一模）已知圓G:（尤-2）2+（>-2）2=片?>0）,圓C2:（尤+1）。+（^+1）?=］（馬>0）,圓q

與圓3相切，并且兩圓的一條外公切線的斜率為7,則任為.

8-2.（2024?河南?模擬預測）圓M:Y+V+2x-8=0與x軸交于兩點（A在2的左側），點N滿足仁萼=2,

INti\

直線/:y=丘+m（k>0）與圓〃和點N的軌跡同時相切，則直線I的斜率為.

8-3.（2024?湖北?模擬預測）已知圓G：（x+3%）2+（y+4%+2）2=1+左2與圓c2：（x+3k）2+y2=4k2有三條公切

線，貝U后二.

8-4.（2024?湖南岳陽三模）寫出與圓?：Y+V=1和.：（x-3）2+V=1都相切的一條直線方程.

媒習與梭升

一、單選題

1.（2024?陜西寶雞?二模）直線/：xcosa+ysina=l（a￡R）與曲線C/+產(chǎn)=］的交點個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.無法確定

2.（2024?江西?模擬預測）設A（-2,0）,8（2,0）,0為坐標原點，點尸滿足+|PB|2<16,若直線區(qū)-y+6=0

上存在點。使得/尸。0=9,則實數(shù)％的取值范圍為（）

6

A.問B.卜雙-40卜［46+8)

V5后

D.

3.（2024?北京）若直線2x+y—1=。是圓（兀-〃）2+y2=i的一條對稱軸，則。=（）

11

A.-B.——C.1D.-1

22

4.（2024高二上?黑龍江鶴崗?期中）圓/+2%+/+4、—3=0上至!J直線x+y+l=。的距離為④的點共有

A.1個B.2個C.3個D.4個

5.（2024高三?全國?專題練習）已知圓C：x2+y2+4Q/+4a2-4=。和圓。2：N+y2—2勿+62-1=。只有

則5+5的最小值為（

一條公切線，若〃，施R且次?工0,)

A.3B.8C.4D.9

6.（2024?甘肅蘭州?模擬預測）在平面直角坐標系冗0y中，已知圓C：必+產(chǎn)―我=0及點A（—1,0）,5（1,2）,

在圓。上存在點P,使得|鞏|2+|尸引2=12,則點尸的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

7.（2024?山西?模擬預測）已知圓G：》2+（丫_耳2=〃（4>0）的圓心到直線x_y_2=0的距離為2&,則

圓G與圓C?：彳2+〉2-2彳-4、+4=0的公切線共有（）

A.0條B.1條C.2條D.3條

8.（2024高二上?安徽滁州?期末）圓C|：Y+y2-6x-10y-2=0與圓C2：Y/+4x+14y+4=0公切線的

條數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

9.（2024?江西上饒?一模）直線丘+y-l+4左=0（keR）與圓（x+l）2+（y+2）2=25的位置關系為（）

A.相離B.相切C.相交D.不能確定

10.（2024?四川成都?一模）圓C：（無-1）2+"-1）2=1與直線/：：+_1=1的位置關系為（）

A.相切B.相交C.相離D.無法確定

1L（2024高二上?廣東珠海,期末）德國數(shù)學家米勒曾提出過如下的“最大視角原理J對定點A、3和在直

線/上的動點尸，當/與△APB的外接圓相切時，最大.若40,2）,8（0,8）,尸是x軸正半軸上一動點，

當P對線段A3的視角最大時，AlPB的外接圓的方程為（）

A.(x-4)2+(y-4)2=25B.(x-4)2+(y-5)2=16

C.(x-5)2+(y-4)2=16D.(x-4)2+(y-5)2=25

12.（2024高二上?四川內江?期中）已知點尸在圓（x-5）2+（y-5）2=16上，點A（4,0）,B（0,2）,則錯誤的

是（）

A.點尸到直線的距離小于10B.點尸到直線的距離大于2

C.當NPBA最小時，|P@=30D.當最大時，|/叫=30

13.（2024?河南?模擬預測）已知圓C：（x-l）2+（y-2）2=5,圓C'是以圓/+產(chǎn)=1上任意一點為圓心，半

徑為1的圓.圓C與圓C交于A,8兩點，則當—ACB最大時，|CC[=（）

A.1B.72C.V3D.2

14.（2024?新疆烏魯木齊三模）已知直線/：x+2y-4=0與x軸和y軸分別交于A,3兩點，以點A為圓心，

2為半徑的圓與x軸的交點為M（在點A右側），點尸在圓上，當尸最大時，的面積為（）

361—48

A.B.8C.2+2\/10D.

15.（2024?四川成都?模擬預測）德國數(shù)學家米勒曾提出最大視角問題，這一問題一般的描述是：已知點A,

8是NMQV的ON邊上的兩個定點，C是邊上的一個動點，當C在何處時，-ACB最大？問題的答案

是：當且僅當VABC的外接圓與邊相切于點C時最大，人們稱這一命題為米勒定理.已知點。，E的坐

標分別是（0,m）,尸是x軸正半軸上的一動點.若/DEE的最大值為B，則實數(shù)機的值為（）

O

A.2B.3C.相=3或相=；D.2或4

16.（2024?全國）過點（0,-2）與圓％2+,2一4工_1=0相切的兩條直線的夾角為。，則sina=（）

A.1B.巫C.叵D.誣

444

17.（2024?全國）已知。的半徑為1,直線B4與>。相切于點A,直線P8與。交于8,C兩點，D為

BC的中點，若|尸。=后，則P4PD的最大值為（）

A1+V2R1+2近

22

C.1+72D.2+應

18.（2024高二下?河北衡水?期末）若圓f+丫2=，（r>0）上僅有4個點到直線x-y-2=。的距離為1,則

實數(shù)廠的取值范圍為（）

A.+1,+cojB.+ljC.（0,應-1）D.^0,^2+1）

19.（2024高三下?江蘇南京?開學考試）過拋物線V=8x上一點尸作圓。:（*-2）2+丁=1的切線，切點為A、

B,則當四邊形B4CB的面積最小時，直線的方程為（）

A.2%—1—0B.x—1=0C.2%—3=0D.4x—7=0

20.（湖南省常德市第一中學2022屆高三考前二模數(shù)學試題）己知圓C:（x-4>+（,+3）2=4和兩點

A（-o,0）,B（a,0）（a>0）,若圓C上存在點P,使得NAP8=90。，則”的最小值為（）

A.6B.5C.4D.3

21.（2024?湖南株洲?一模）在平面直角坐標系中，已知兩點0（0,0）,A（3,4）到直線/的距離分別是1與4,

則滿足條件的直線/共有（）

A.1條B.2條C.3條D.4條

22.（2024?安徽黃山二模）若圓。:/+（>-2）2=16關于直線“犬+分-12=。對稱，動點尸在直線y+6=。上，

過點尸引圓C的兩條切線尸河、PN,切點分別為M、N,則直線恒過定點Q,點。的坐標為（）

A.（1,1）B.（-1,1）C.（0,0）D.（0,12）

23.（2024?貴州畢節(jié)?一模）已知點尸在直線/：3x+4y-33=0上，過點尸作圓C:（x—l）?+丁=4的兩條切線，

切點分別為A8,則圓心C到直線A3的距離的最大值為（）

.124

A.—B.-C.1D.一

333

24.（2024?山東泰安?模擬預測）已知直線/：m—y+m+l=0Ow0）與圓。：/+產(chǎn)―4%+2y+4=0,過直線

/上的任意一點尸向圓。引切線，設切點為A5,若線段長度的最小值為名，則實數(shù)加的值是（）

121277

A.——B.——C.-D.——

5555

22

25.（2024高三?北京?強基計劃）如圖，過橢圓乙+工=1上一點加作圓f+y2=2的兩條切線，過切點的

94

直線與坐標軸于P,Q兩點，。為坐標原點，則△尸。。面積的最小值為（）

X

123

A.萬B.-C.-D.前三個答案都不對

26.（2024?黑龍江大慶?三模）已知直線/是圓C:（x-2y+（y_l）2=l的切線，并且點3（3,4）到直線/的距離是

2,這樣的直線/有（）

A.1條B.2條C.3條D.4條

27.（2024?河南?模擬預測）已知直線/:尤85戊+殍111戊=1（04戊（2兀）與圓。：（尤-2）2+卜-逐）-=4相切，

則滿足條件的直線/的條數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

二、多選題

28.（2024高三上?江蘇南京?階段練習）已知圓C：。-3）2+/=4,點M在拋物線T：丁=4尤上運動，過

點M引直線44與圓C相切，切點分別為P,Q,則下列選項中戶。|能取到的值有（）

A.2B.25/2C.2道D.275

三、填空題

29.（2024?天津南開?二模）若直線丘-y-2及+3=。與圓/+（＞+1）2=4相切，貝1］左=.

30.（2024高二上,江蘇宿遷?階段練習）已知M,N分別是圓G:Y+/-4》一4丁+7=0,圓C?:Y+/-2x=0

上動點，P是直線尤+＞+1=。上的動點，則|尸閭+|附|的最小值為.

31.（2024高三上?天津濱海新?階段練習）己知圓”:f+必一2毆=0（。＞0）與直線元+y=0相交所得圓的弦長

是2拒，若過點4（3,6）作圓u的切線，則切線長為.

32.（2024,福建福州?模擬預測）寫出經(jīng)過拋物線V=8x的焦點且和圓爐+（k1）2=4相切的一條直線的方

程.

33.（2024高三上廣東梅州,階段練習）直線x+y-2=0分別與x軸，＞軸交于A,B兩點，點P在圓

（x+2/+（y-l）2=；上，貝ILAB尸面積的取值范圍是.

34.（2024高二上?黑龍江哈爾濱?階段練習）己知圓O:犬+丁=4與圓C:f+/T+6丫-3=o相交于A,B

兩點，貝U|M|=.

35.（河北省石家莊部分重點高中2023屆高三下學期3月月考數(shù)學試題）如圖，正方形ABCD的邊長為4,

E是邊A3上的一動點，F(xiàn)GLEC交EC于點、P,且直線FG平分正方形ABCD的周長，當線段3尸的長度最

小時，點A到直線3P的距離為.

DC

Q

AEB

36.（2024?江西?模擬預測）已知圓C的方程為（x-3）2+（y-4）2=25,若直線/：3x+4尸5=0與圓C相交于4,8

兩點，則VABC的面積為.

37.（2024?河北邯鄲?二模）已知直線，：尤-y+5=。與圓。：/+/-2》一4〉一4=0交于4,8兩點，若M是圓

上的一動點，則AM4B面積的最大值是.

38.（2024?廣東廣州?三模）寫出經(jīng)過點（L0）且被圓/+y2-2x-2y+l=0截得的弦長為④的一條直線的方

程.

39.（2024高三下?江西南昌?階段練習）圓心在直線y=2x上，與x軸相切，且被直線無-y=。截得的弦長為

血的圓的方程為.

40.（2024?河南鄭州?模擬預測）已知圓。/+/一6工+5=0,直線y=g（x+l）與圓C相交于跖N兩點，則

\MN\=.

41.（2024高二下,新疆?期中）已知P是直線3x+4y+8=0上的動點，PA,P8是圓Y+/-2x-2y+1=0的

兩條切線，A,8是切點，C是圓心，那么四邊形R4cB面積的最小值為.

42.（2024高三上?福建福州?期中）已知4（%,%）,鞏工2，%）是圓。：/+/=1上兩點，若4。8=微，貝!]

1Al+%—+的最大值為.

43.（2024高三上廣東?階段練習）已知實數(shù)心了滿足：（尤+2）2+（）;-1）2=1,則|1-2x+y|的取值范圍是.

44.（2024高二上?河北石家莊,期中）已知圓C：（x+iy+y=9與直線/：（l+32）^+（l+^）y-2-4/l=0（26R）

交與A,8兩點，當|AB|最小值時，直線/的一般式方程是.

45.（2024高三下?安徽亳州?開學考試）若在圓C：爐+'2=/（廠＞0）上存在一點「，使得過點尸作圓M：

（X-2）2+/=1的切線長為血,則r的取值范圍為.

46.（2024?江蘇無錫?三模）已如尸（3,3）,“是拋物線F=4x上的動點（異于頂點），過河作圓

C:（尤-2y+y2=4的切線，切點為A,貝U|M4|+|四的最小值為.

47.（2024,四川成都?二模）若直線4:x+沖-2=0與4wy+2=0（，weR）相交于點尸，過點尸作圓

C:（x+2>+（y+2）2=l的切線，切點為則1PMi的最大值為.

48.（2024?江蘇?二模）過點尸（3,-2）且與圓C：Y+丁一2了-4>+1=0相切的直線方程為

49.（2024高二上?上海浦東新?期中）已知。也c是平面內的三個單位向量，若則,+2c|+8+2b-2c|

的最小值是.

50.（2024,河北邯鄲?一模）已知點A（0,0）,B（6,0）,符合點A,8到直線/的距離分別為1,3的直線方程

為（寫出一條即可）.

51.（2024?湖北武漢?模擬預測）已知圓。:/+9=產(chǎn)與直線3彳+分一10=0相切，函數(shù)

〃尤）=log.（2%-1）+四過定點P,過點尸作圓0的兩條互相垂直的弦AC,BD,則四邊形ABCZ）面積的最大

值為.

52.（2024高二下?廣東廣州,期末）寫出與圓（x-4y+（y+3）2=16和圓Y+y2=i都相切的一條直線的方

程.

53.（2024,福建寧德?模擬預測）已知圓C：x2+y2+2x-2y=0,直線/的橫縱截距相等且與圓C相切，則

直線/的方程為.

54.（2024高三下?上海徐匯?階段練習）若丁=4,則++卜一1|的最小值為.

55.（2024高三?全國?專題練習）點（0,0）,（3,4）到直線/的距離分別為1和4,寫出一個滿足條件的直線/

的方程：.

56.（20