工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換課件

第五節(jié)矩陣的初等變換一、矩陣的初等變換1二、初等矩陣四、用初等變換求矩陣的秩三、初等變換法求逆矩陣五、小結(jié)1-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換2

一、矩陣的初等變換1、引例求解線性方程組分析：用加、減消元法解上述方程組。1-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換31．上述方程組的求解方法可為消元法．

2．始終把方程組看作一個(gè)整體變形，用到如下三種變換（1）交換方程次序；（2）以不等于０的數(shù)乘某個(gè)方程；（3）一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的k倍．(與相互替換）（以替換）（以替換）1-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換43．上述三種變換都是可逆的．由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的．故這三種變換是同解變換．1-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換5

因?yàn)樵谏鲜鲎儞Q過(guò)程中，僅僅只對(duì)方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，未知量并未參與運(yùn)算．若記則對(duì)方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對(duì)矩陣B(方程組（1）的增廣矩陣）的變換．1-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換6定義1下面三種變換稱(chēng)為矩陣的初等行變換:2、矩陣的初等變換1-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換7定義矩陣的初等列變換與初等行變換統(tǒng)稱(chēng)為初等變換．

初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類(lèi)型相同．

同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號(hào)是把“r”換成“c”)．逆變換逆變換逆變換1-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換根據(jù)矩陣初等變換定義可知：對(duì)系數(shù)矩陣為非奇異方陣的線性方程組進(jìn)行一系列初等變換后可得出該方程有惟一一組解的事實(shí)，可描述為下列定理。定理1：任何非奇異方陣都可以用有限次初等行變換將其化為單位矩陣。（見(jiàn)課本25頁(yè)例題1）1-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換9定義2

由單位矩陣經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的方陣稱(chēng)為初等矩陣.三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等方陣.

矩陣的初等變換是矩陣的一種基本運(yùn)算，應(yīng)用廣泛.二、初等矩陣的概念1-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換101-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換111-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換121-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換13初等矩陣與初等變換之間的關(guān)系設(shè)第行第行1-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換141-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換151-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換161-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換171-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換18

注意:以右乘矩陣,其結(jié)果相當(dāng)與把的第列(不是列)乘加到第列(不是列)上.1-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換19

定理2設(shè)是一個(gè)矩陣，對(duì)施行一次初等行變換，相當(dāng)于在的左邊乘以相應(yīng)的階初等矩陣；對(duì)施行一次初等列變換，相當(dāng)于在的右邊乘以相應(yīng)的階初等矩陣.

定理3非奇異方陣A的逆矩陣可以表示為有限個(gè)初等陣的積。1-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換20三、初等變換法求逆矩陣

方法是：1-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換21

解例21-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換221-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換23即初等行變換1-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換24例3解1-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換251-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換261-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換27特點(diǎn)：（1）、可劃出一條階梯線，線的下方全為零；（2）、每個(gè)臺(tái)階只有一行，臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個(gè)元素為非零元，即非零行的第一個(gè)非零元．四、用初等變換求矩陣的秩

1-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換28一、矩陣秩的概念矩陣的秩1-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換291-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換30例4解1-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換定理4行階梯形矩陣的秩等于其非零行的行數(shù)。

如果我們能把一般矩陣化為行階梯形矩陣，那么該矩陣的秩就一目了然了??！1-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換32例5解1-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換331-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換34由階梯形矩陣有三個(gè)非零行可知1-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換35五、小結(jié)1.初等行(列)變換初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類(lèi)型相同．2.初等變換3.單位矩陣初等矩陣.