導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用教案

1.3.3導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【學(xué)習(xí)要求】1．了解導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用．2．掌握利用導(dǎo)數(shù)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際生活中的優(yōu)化問(wèn)題．【學(xué)法指導(dǎo)】1．在利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中體會(huì)建模思想．2．感受導(dǎo)數(shù)知識(shí)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用，自覺(jué)形成將數(shù)學(xué)理論與實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合的思想，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．1．在經(jīng)濟(jì)生活中，為使經(jīng)營(yíng)利潤(rùn)最大、生產(chǎn)效率最高，或?yàn)槭褂昧ψ钍　⒂昧献钌?、消耗最省等，需要尋求相?yīng)的最佳方案_或最佳策略．這些都是最優(yōu)化問(wèn)題．2．求實(shí)際問(wèn)題的最大(小)值，導(dǎo)數(shù)是解決方法之一．要建立實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型．寫(xiě)出實(shí)際問(wèn)題中變量之間的函數(shù)關(guān)系y＝f(x)，然后再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值.題型一面積、體積的最值問(wèn)題例1如圖所示，現(xiàn)有一塊邊長(zhǎng)為a的正方形鐵板，如果從鐵板的四個(gè)角各截去一個(gè)相同的小正方形，做成一個(gè)長(zhǎng)方體形的無(wú)蓋容器．為使其容積最大，截下的小正方形邊長(zhǎng)應(yīng)為多少？解設(shè)截下的小正方形邊長(zhǎng)為x，容器容積為V(x)，則做成的長(zhǎng)方體形無(wú)蓋容器底面邊長(zhǎng)為a－2x，高為x，于是V(x)＝(a－2x)2x,0<x<eq\f(a,2).即V(x)＝4x3－4ax2＋a2x,0<x<eq\f(a,2).實(shí)際問(wèn)題歸結(jié)為求V(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)))上的最大值點(diǎn)．為此，先求V(x)的極值點(diǎn)．在開(kāi)區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)))內(nèi)，V′(x)＝12x2－8ax＋a2.令V′(x)＝0，即令12x2－8ax＋a2＝0.解得x1＝eq\f(1,6)a，x2＝eq\f(1,2)a(舍去)．x1＝eq\f(1,6)a在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)))內(nèi)，x1可能是極值點(diǎn)．且當(dāng)0<x<x1時(shí)，V′(x)>0；當(dāng)x1<x<eq\f(a,2)時(shí)，V′(x)<0.因此x1是極大值點(diǎn)，且在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)))內(nèi)，x1是唯一的極值點(diǎn)，所以x＝x1＝eq\f(1,6)a是V(x)的最大值點(diǎn)．即當(dāng)截下的正方形邊長(zhǎng)為eq\f(1,6)a時(shí)，容積最大．小結(jié)求幾何體的面積或體積的最值問(wèn)題，關(guān)鍵是分析幾何體的幾何特征，選擇適當(dāng)?shù)牧拷㈥P(guān)于面積或體積的目標(biāo)函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)求解．跟蹤訓(xùn)練1已知矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)位于x軸上，另兩個(gè)頂點(diǎn)位于拋物線(xiàn)y＝4－x2在x軸上方的曲線(xiàn)上，求這個(gè)矩形面積最大時(shí)的邊長(zhǎng)．解如圖，設(shè)矩形邊長(zhǎng)AD＝2x(0<x<2)，則AB＝y(tǒng)＝4－x2(y>0)，則矩形的面積S＝2x(4－x2)(0<x<2)，即S＝8x－2x3，S′＝8－6x2，令S′＝0，解得x1＝eq\f(2\r(3),3)，x2＝－eq\f(2\r(3),3)(舍去)．當(dāng)0<x<eq\f(2\r(3),3)時(shí)，S′>0；當(dāng)eq\f(2\r(3),3)<x<2時(shí)，S′<0；∴當(dāng)x＝eq\f(2\r(3),3)時(shí)，S取得最大值，此時(shí)S最大值＝eq\f(32\r(3),9)，即矩形邊長(zhǎng)分別為eq\f(4\r(3),3)，eq\f(8,3)時(shí)，矩形面積最大．題型二強(qiáng)度最大、用料最省問(wèn)題例2橫截面為矩形的橫梁的強(qiáng)度同它的斷面高的平方與寬的積成正比．要將直徑為d的圓木鋸成強(qiáng)度最大的橫梁，斷面的寬度和高度應(yīng)是多少？解如圖所示，設(shè)斷面寬為x，高為h，則h2＝d2－x2.橫梁的強(qiáng)度函數(shù)f(x)＝kxh2(k為強(qiáng)度系數(shù)，k>0)，所以f(x)＝kx(d2－x2)，0<x<d.在開(kāi)區(qū)間(0，d)內(nèi)，令f′(x)＝d(d2－3x2)＝0.解方程d2－3x2＝0，得兩個(gè)根x＝±eq\f(\r(3),3)d，其中負(fù)根沒(méi)有意義，舍去．當(dāng)0<x<eq\f(\r(3),3)d時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)eq\f(\r(3),3)d<x<d時(shí)，f′(x)<0.因此，在區(qū)間(0，d)內(nèi)只有一個(gè)極大值點(diǎn)x＝eq\f(\r(3),3)d.所以f(x)在x＝eq\f(\r(3),3)d取最大值，就是橫梁強(qiáng)度的最大值．此時(shí)h＝eq\r(d2－x2)＝eq\f(\r(6),3)d.即當(dāng)寬為eq\f(\r(3),3)d，高為eq\f(\r(6),3)d時(shí)，橫梁的強(qiáng)度最大．小結(jié)最大流量、最大強(qiáng)度、最大功率等，要注意不同的問(wèn)題背景，計(jì)算式子也會(huì)有相應(yīng)的區(qū)別．要結(jié)合問(wèn)題本身的特點(diǎn)，根據(jù)題目的條件(或是已知的式子)進(jìn)行．為了解決問(wèn)題，可能要引入多個(gè)字母，在求導(dǎo)的過(guò)程中，一定要分清哪些是變量，哪些是常量，只有這樣才能保證有的放矢．跟蹤訓(xùn)練2挖一條隧道，截面擬建成矩形上方加半圓，如果截面積為20m2，當(dāng)寬為多少時(shí)，使截面周長(zhǎng)最小，用料最省？解如圖，設(shè)半圓的半徑為r，矩形的高為h，則截面積S＝2rh＋eq\f(πr2,2)＝20，截面周長(zhǎng)C＝2r＋2h＋πr＝2r＋eq\f(20－\f(πr2,2),r)＋πr＝2r＋eq\f(20,r)－eq\f(πr,2)＋πr＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(π,2)))r＋eq\f(20,r)，記C(r)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(π,2)))r＋eq\f(20,r)，則C′(r)＝2＋eq\f(π,2)－eq\f(20,r2).令C′(r)＝0，得r＝2eq\r(\f(10,4＋π))時(shí)，周長(zhǎng)C最?。磳挒?eq\r(\f(10,4＋π))時(shí)，截面周長(zhǎng)最小，用料最省．題型三省時(shí)高效、費(fèi)用最低問(wèn)題例3如圖所示，一海島駐扎一支部隊(duì)，海島離岸邊最近點(diǎn)B的距離是150km.在岸邊距點(diǎn)B300km的點(diǎn)A處有一軍需品倉(cāng)庫(kù)．有一批軍需品要盡快送達(dá)海島．A與B之間有一鐵路，現(xiàn)用海陸聯(lián)運(yùn)方式運(yùn)送．火車(chē)時(shí)速為50km，船時(shí)速為30km，試在岸邊選一點(diǎn)C，先將軍需品用火車(chē)送到點(diǎn)C，再用輪船從點(diǎn)C運(yùn)到海島，問(wèn)點(diǎn)C選在何處可使運(yùn)輸時(shí)間最短？解設(shè)點(diǎn)C與點(diǎn)B的距離為xkm，則運(yùn)輸時(shí)間T(x)＝eq\f(\r(1502＋x2),30)＋eq\f(300－x,50)，0≤x≤300.因?yàn)?eq\r(1502＋x2))′＝eq\f(x,\r(1502＋x2))，所以T′(x)＝eq\f(x,30\r(1502＋x2))－eq\f(1,50).令T′(x)＝0，則有5x－3eq\r(1502＋x2)＝0，5x＝3eq\r(1502＋x2)，25x2＝9(1502＋x2)．解此方程，得x＝±eq\f(\r(9×1502),4)＝±eq\f(3×150,4)＝±112.5.舍去負(fù)值，取x＝x0＝112.5.因?yàn)門(mén)(0)＝eq\f(150,30)＋eq\f(300,50)＝11，T(300)≈11.2，T(112.5)＝eq\f(\r(1502＋112.52),30)＋eq\f(187.5,50)＝10，而10是11,11.2和10中的最小者，所以x＝x0＝112.5是最小值點(diǎn)．所以點(diǎn)C選在與點(diǎn)B的距離為112.5km處，運(yùn)輸時(shí)間最?。〗Y(jié)路程最短、運(yùn)輸費(fèi)用最省問(wèn)題，實(shí)質(zhì)就是路程、時(shí)間、速度三者的關(guān)系問(wèn)題，建立在時(shí)間與速度的基礎(chǔ)上產(chǎn)生路程，根據(jù)路程產(chǎn)生運(yùn)輸費(fèi)用最少或是油耗最?。绢}運(yùn)算較麻煩，重點(diǎn)訓(xùn)練復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則．跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，設(shè)鐵路AB＝50，BC＝10，現(xiàn)將貨物從A運(yùn)往C，已知單位距離鐵路費(fèi)用為2，公路費(fèi)用為4，問(wèn)在A(yíng)B上何處修筑公路至C，可使運(yùn)費(fèi)由A至C最?。拷庠O(shè)M為AB上的一點(diǎn)，且MB＝x，于是AM上的運(yùn)費(fèi)為2(50－x)，MC上的運(yùn)費(fèi)為4eq\r(102＋x2)，則由A到C的總運(yùn)費(fèi)為p(x)＝2(50－x)＋4eq\r(100＋x2)(0≤x≤50)．p′(x)＝－2＋eq\f(4x,\r(100＋x2))，令p′(x)＝0，解得x1＝eq\f(10\r(3),3)，x2＝－eq\f(10\r(3),3)(舍去)．當(dāng)x<eq\f(10\r(3),3)時(shí)，p′(x)<0；當(dāng)x>eq\f(10\r(3),3)時(shí)，p′(x)>0，∴當(dāng)x＝eq\f(10\r(3),3)時(shí)，取得最小值．即當(dāng)在離點(diǎn)B距離為eq\f(10\r(3),3)的點(diǎn)M處修筑公路至C時(shí)，貨物運(yùn)費(fèi)最省．題型四利潤(rùn)最大問(wèn)題例4某商品每件成本9元，售價(jià)為30元，每星期賣(mài)出432件．如果降低價(jià)格，銷(xiāo)售量可以增加，且每星期多賣(mài)出的商品件數(shù)與商品單價(jià)的降低值x(單位：元，0≤x≤30)的平方成正比，已知商品單價(jià)降低2元時(shí)，一星期多賣(mài)出24件．(1)將一個(gè)星期的商品銷(xiāo)售利潤(rùn)表示成x的函數(shù)；(2)如何定價(jià)才能使一個(gè)星期的商品銷(xiāo)售利潤(rùn)最大？解(1)設(shè)商品降低x元時(shí)，多賣(mài)出的商品件數(shù)為kx2，若記商品在一個(gè)星期的銷(xiāo)售利潤(rùn)為f(x)，則依題意有f(x)＝(30－x－9)·(432＋kx2)＝(21－x)·(432＋kx2)，又由已知條件24＝k·22，于是有k＝6，所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,30]．(2)根據(jù)(1)，有f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12)．當(dāng)x變化時(shí)，f(x)與f′(x)的變化狀態(tài)如下表：故x＝12時(shí)，f(x)達(dá)到極大值．因?yàn)閒(0)＝9072，f(12)＝11664，所以定價(jià)為30－12＝18(元)能使一個(gè)星期的商品銷(xiāo)售利潤(rùn)最大．小結(jié)解決此類(lèi)有關(guān)利潤(rùn)的實(shí)際應(yīng)用題，應(yīng)靈活運(yùn)用題設(shè)條件，建立利潤(rùn)的函數(shù)關(guān)系，常見(jiàn)的基本等量關(guān)系有(1)利潤(rùn)＝收入－成本；(2)利潤(rùn)＝每件產(chǎn)品的利潤(rùn)×銷(xiāo)售件數(shù)．跟蹤訓(xùn)練4某商場(chǎng)銷(xiāo)售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷(xiāo)售量y(單位：千克)與銷(xiāo)售價(jià)格x(單位：元/千克)滿(mǎn)足關(guān)系式y(tǒng)＝eq\f(a,x－3)＋10(x－6)2，其中3<x<6，a為常數(shù)．已知銷(xiāo)售價(jià)格為5元/千克時(shí)，每日可售出該商品11千克．(1)求a的值；(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷(xiāo)售價(jià)格x的值，使商場(chǎng)每日銷(xiāo)售該商品所獲得的利潤(rùn)最大．解(1)因?yàn)閤＝5時(shí)，y＝11，所以eq\f(a,2)＋10＝11，所以a＝2.(2)由(1)可知，該商品每日的銷(xiāo)售量y＝eq\f(2,x－3)＋10(x－6)2，所以商場(chǎng)每日銷(xiāo)售該商品所獲得的利潤(rùn)f(x)＝(x－3)[eq\f(2,x－3)＋10(x－6)2]＝2＋10(x－3)(x－6)2，3<x<6.從而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．于是，當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化狀態(tài)如下表：由上表可得，x＝4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,6)內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)．所以，當(dāng)x＝4時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值，且最大值等于42.答當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)格為4元/千克時(shí)，商場(chǎng)每日銷(xiāo)售該商品所獲得的利潤(rùn)最大.課堂練習(xí)：1．方底無(wú)蓋水箱的容積為256，則最省材料時(shí)，它的高為(A)A．4B．6C解析設(shè)底面邊長(zhǎng)為x，高為h，則V(x)＝x2·h＝256，∴h＝eq\f(256,x2)，∴S(x)＝x2＋4xh＝x2＋4x·eq\f(256,x2)＝x2＋eq\f(4×256,x)，∴S′(x)＝2x－eq\f(4×256,x2).令S′(x)＝0，解得x＝8，∴h＝eq\f(256,82)＝4.2．某銀行準(zhǔn)備新設(shè)一種定期存款業(yè)務(wù)，經(jīng)預(yù)算，存款量與存款利率的平方成正比，比例系數(shù)為k(k>0)．已知貸款的利率為0.0486，且假設(shè)銀行吸收的存款能全部放貸出去．設(shè)存款利率為x，x∈(0,0.0486)，若使銀行獲得最大收益，則x的取值為多少？解：依題意，得存款量是kx2，銀行支付的利息是kx3，獲得的貸款利息是0.0486kx2，其中x∈(0,0.0486)．所以銀行的收益是y＝0.0486kx2－kx3(0<x<0.0486)，則y′＝0.0972kx－3kx2.令y′＝0，得x＝0.0324或x＝0(舍去)．當(dāng)0<x<0.0324時(shí)，y′>0；當(dāng)0.0324<x<0.0486時(shí)，y′<0.所以當(dāng)x＝0.0324時(shí)，y取得最大值，即當(dāng)存款利率為0.0324時(shí)，銀行獲得最大收益．3．統(tǒng)計(jì)表明：某種型號(hào)的汽車(chē)在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量y(升)關(guān)于行駛速度x(千米/時(shí))的函數(shù)解析式可以表示為y＝eq\f(1,128000)x3－eq\f(3,80)x＋8(0<x≤120)．已知甲、乙兩地相距100千米，當(dāng)汽車(chē)以多大的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？解當(dāng)速度為x千米/時(shí)時(shí)，汽車(chē)從甲地到乙地行駛了eq\f(100,x)小時(shí)，設(shè)耗油量為h(x)升，依題意得h(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,128000)x3－\f(3,80)x＋8))×eq\f(100,x)＝eq\f(1,1280)x2＋eq\f(800,x)－eq\f(15,4)(0<x≤120)，h′(x)＝eq\f(x,640)－eq\f(800,x2)＝eq\f(x3－803,640x2)(0<x≤120)．令h′(x)＝0，得x＝80.因?yàn)楫?dāng)x∈(0,80)時(shí)，h′(x)<0，h(x)是減函數(shù)；當(dāng)x∈(80,120)時(shí)，h′(x)>0，h(x)是增函數(shù)，所以當(dāng)x＝80時(shí)，h(x)取得極小值h(80)＝11.25(升)．因?yàn)閔(x)在(0,120]上只有一個(gè)極小值，所以它是最小