中考數(shù)學必會幾何模型(含答案)

MATH微信：beijingdaxue777QQ:1456770148中考必會幾何模型1免費獲取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148專題一角平分線相關(guān)問題模型.......................................................................................................3

1角平分線相關(guān)模型........................................................................................................3

專題二8字模型與飛鏢模型............................................................................................................6

：角的8字模型..............................................................................................................6

：角的飛鏢模型..............................................................................................................8

3邊的“8”字模型......................................................................................................4邊的飛鏢模型............................................................................................................專題三半角模型.............................................................................................................................專題四將軍飲馬模型.....................................................................................................................：直線與兩定點............................................................................................................2角與定點......................................................................................................................3兩定點一定長...............................................................................................................專題五角平分線四大模型.............................................................................................................1角平分線的點向兩邊作垂線.....................................................................................2截取構(gòu)造對稱全等....................................................................................................3角平分線垂線構(gòu)造等腰三角形...............................................................................4角平分線平行線.......................................................................................................專題六截長補短輔助線模型.........................................................................................................1截長補短......................................................................................................................專題七螞蟻行程.............................................................................................................................1立體圖形展開的最短路徑........................................................................................專題八三垂直全等模型.................................................................................................................1三垂直全等模型........................................................................................................專題九手拉手模型.........................................................................................................................1手拉手........................................................................................................................專題十相似模型.............................................................................................................................1A8模型.....................................................................................................................2共邊共角型..................................................................................................................3一線三等角型..............................................................................................................4倒數(shù)型........................................................................................................................5與圓有關(guān)的簡單相似................................................................................................6相似和旋轉(zhuǎn)................................................................................................................專題十一圓中的輔助線.................................................................................................................1連半徑構(gòu)造等腰三角形............................................................................................2構(gòu)造直角三角形........................................................................................................3與圓的切線有關(guān)的輔助線........................................................................................專題十二中點四大模型.................................................................................................................1倍長中線或類中線（與中點有關(guān)的線段）構(gòu)造全等三角形...............................2.................3已知三角形一邊的中點，可考慮中位線定理.....................................................4已知直角三角形斜邊中點，可以考慮構(gòu)造斜邊中線.........................................2免費獲取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148專題一角平分線相關(guān)問題模型模型1角平分線相關(guān)模型（1，若點P是∠ABC和∠的角平分線的交點，則∠P=90°+A；（2，若點P是外角∠CBF和∠的角平分線的交點，則∠P=90°﹣∠；（3）如圖，若點P是∠ABC和外角∠的角平分線的交點，則∠P=∠．圖1圖2圖3針對訓練（2016?棗莊）如圖，在△中，，∠A=30°，E為延長線上一點，∠ABC與∠ACE的平分線相交于點D，則∠D的度數(shù)為（）．15°．17.5°．．22.5°AD的數(shù)量關(guān)系.3免費獲取版，加微信：beijingdaxue777QQ（2018?巴中）如圖，在△ABC中，BO、分別平分∠ABC、∠ACB．若∠BOC=110°，則．【分析】由解題模型一中的（1）可知，∠BOC=90°+∠A，把∠BOC=110°代入計算可得到A的度數(shù)．【詳解】∵∠BOC=90°+A，∠BOC=110°，∴90°+∠A=110°.∴∠A=40°．【小結(jié)】本題若不套用模型，需要利用三角形的內(nèi)角和定理、角平分線的定義得到∠C、A的數(shù)量關(guān)系.3.2018?1和CA1分別是△ABCBA2是∠的角平分線，CA2是∠A的角平分線，3是∠A的角平分線，CA3是∠的角平分線，若∠A=α，則∠A=．【詳解】∵AB是∠ABC的平分線，AC是∠的平分線，∴∠BC=ABC，∠ACD，又∵∠ACD=∠A+∠，∠ACD=∠BC+∠A，4免費獲取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148平分線的定義，熟記性質(zhì)然后推出后一個角是前一個角的一半是解題的關(guān)鍵。5免費獲取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148專題二8字模型與飛鏢模型模型1：角的8字模型如圖所示，AC、相交于點O，連接、．結(jié)論：∠＋∠D＝∠＋∠．模型分析證法一：∵∠是△的外角，∴∠A＋∠D＝∠AOB．∵∠是△的外角，∴∠＋∠C＝∠AOB．∴∠＋∠D＝∠＋∠．證法二：∵∠＋∠D＋∠AOD＝180°，∴∠A＋∠D180°－∠．∵∠＋∠＋∠BOC＝180°，∴∠＋∠C180°－∠BOC．又∵∠AOD＝∠BOC，∴∠＋∠D＝∠B＋∠．1）因為這個圖形像數(shù)字8，所以我們往往把這個模型稱為8字模型．28字模型往往在幾何綜合題目中推導角度時用到．模型實例觀察下列圖形，計算角度：）如圖①，∠A＋∠＋∠C＋∠D＋∠＝________；解法一：利用角的8字模型．如圖③，連接CD．∵∠是△的外角，∴∠＋∠＝∠BOC．∵∠是△的外角，∴∠1＋∠＝∠BOC．∴∠＋∠＝∠1＋∠8A＋∠＋∠ACE＋∠ADB＋∠E＝∠＋∠ACE＋∠ADB＋∠1＋∠＝∠A＋∠ACD＋∠ADC180°．解法二：如圖，利用三角形外角和定理．∵∠1是△的外角，∴∠1＝∠＋∠．∵∠2是△的外角，∴∠＝∠＋∠D．∴∠＋∠B＋∠＋∠D＋∠E＝∠＋∠1＋∠180．免費獲取版，加微信：beijingdaxue777QQ如圖②，∠＋∠＋∠C＋∠D＋∠＋∠F＝________．）解法一：如圖⑤，利用角的8字模型．∵∠是△的外角，∴∠A＋∠＝∠AOP．∵∠是△的外角，∴∠1＋∠3＝∠AOP．∴∠A＋∠B＝∠1＋∠3．①（角的8＋∠D＝∠1＋∠，∠E＋∠＝∠＋∠3．③由①＋②＋③得：∠A＋∠＋∠＋∠D＋∠＋∠＝2（∠＋∠＋∠）＝360°．解法二：利用角的8字模型．如圖⑥，連接．∵∠是△的外角，∴∠＋∠B＝∠AOE．∵∠是△的外角，∴∠＋∠2＝∠AOE．∴∠＋∠B＝∠＋∠8字模型）∴∠＋∠B＋∠＋∠ADC＋∠FEB＋∠F＝∠＋∠＋∠C＋∠ADC＋∠FEB＋∠F360360練習：1）如圖①，求：∠CAD＋∠＋∠C＋∠D＋∠＝；解：如圖，∵∠1=∠B+D，∠2=∠C+CAD，∴∠CAD+∠B+∠C+D+E=∠1+2+∠E=180°．故答案為：180°解法二：（）如圖②，求：∠CAD＋∠＋∠ACE＋∠D＋∠E＝．7免費獲取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148解：由三角形的外角性質(zhì)，知∠∠E+ACE，∠EAD=B+∠D，又∵∠∠CAD+∠EAD=180°，∴∠CAD＋∠＋∠ACE＋∠D＋∠＝180°解法二：．如圖，求：∠＋∠＋∠C＋∠D＋∠＋∠F＋∠G＋∠H＝．解：∵∠G+∠D=3，F(xiàn)+C=∠4，∠E+H=∠2，∴∠G+∠F+C+∠E+∠H=∠∠4+2，∵∠B+2+∠1=180°，∠∠5+A=180°，∴∠A+∠∠2+4+∠3=360°，∴∠A+∠∠C+∠D+∠E+∠∠G+H=360°解法二：模型2：角的飛鏢模型8免費獲取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148如圖所示，有結(jié)論：∠D＝∠＋∠B＋∠．模型分析解法一：如圖①，作射線AD．∵∠3是△的外角，∴∠＝∠B＋∠，∵∠4是△的外角，∴∠＝∠＋∠2∴∠BDC＝∠＋∠，∴∠BDC＝∠B＋∠＋∠＋∠C，∴∠BDC＝∠BAC＋∠＋∠C解法二：如圖②，連接．∵∠＋∠＋∠D180°，∴∠D＝180°－（∠＋∠4）∵∠＋∠＋∠3＋∠＋∠A180°，∴∠A＋∠＋∠＝180°－（∠＋∠）∴∠D＝∠＋∠1＋∠1）因為這個圖形像飛鏢，所以我們往往把這個模型稱為飛鏢模型．2）飛鏢模型在幾何綜合題目中推導角度時使用．模型實例如圖，在四邊形ABCD中，AM、分別平分∠和∠DCB，與交于M，探究AMC與∠、∠D間的數(shù)量關(guān)系．解答：利用角的飛鏢模型如圖所示，連接DM并延長．∵∠3是△AMD的外角，∴∠＝∠＋∠ADM，∵∠4是△CMD的外角，∴∠4＝∠＋∠CDM，∵∠＝∠3＋∠4∴∠AMC＝∠＋∠ADM＋∠CDM＋∠AMC＝∠＋∠＋∠ADC9免費獲取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148AM分別平分∠和∠DCB1，2，

22∴，∴22360B（四邊形2360B內(nèi)角和360，∴2AMC＋∠－∠ADC＝360°.2練習：．如圖，求∠A+∠B+∠C+D+E+∠F=.【答案】230°提示：∠C+E+D=EOC=115.A+B+F=BOF=115o.A+∠B+C+D+E+∠F=115+115o=230o．如圖，求∠A+∠B+∠C+D=.【答案】220°提示：如圖所示，連接AED=A+3+1，∠∠2+4+C，A+ABF+C+CDE=A+3+1+∠2+4+∠C=∠AED+∠BFC=220o模型3邊的“”字模型如圖所示，相交于點O，連接ADBC．結(jié)論AC+BD>AD+BC．10免費獲取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148模型分析∵OA+OD>ADOB+OC>BC由①+②得：OA+OD+OB+OC>BC+AD即：AC+BD>AD+BC.模型實例如圖，四邊形的對角線AC相交于點O。求證：AB+BC+CD+AD>AC+BD；AB+BC+CD+AD<2AC+2BD.證明：(1)AB+BC>AC①，CD+AD>ACAB+AD>BDBC+CD>BD④由①+++2(AB+BC+CD+AD)>2(AC+BD).即AB+BC+CD+ADAD<OA+OD①BC<OB+OC由①+②得：AD+BC<OA+OD+OB+OC．AD+BC<AC+BD.（邊的8同理可證：AB+CDAB+BC+CD+AD<模型4邊的飛鏢模型如圖所示有結(jié)論：模型分析11免費獲取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148如圖，延長交E。AB+AC=AB+AE+ECAB+AE>BE，∴C>BE+EC.①，∵BE+EC=BD+DE+EC，，∴②，由①②可得：AB+AC>BD+CD.模型實例如圖，點O為三角形內(nèi)部一點．求證：2(AO+BO+CO)>AB+BC+AC；AB+BC+AC>AO+BO+CO.證明：(1)OA+OB>ABOB+OC>BCOC+OA>AC③由①++2(AO+BO+CO)>AB+BC+AC(2)如圖，延長交E，AB+AC=AB+AE+EC，AB+AE>BE，AB+AC>BE+EC.①BE+EC=BO+OE+EC，，∴，②由①②可得：AB+AC>BO+CO.③（邊的飛鏢模型）同理可得：AB+BC>OA+OC.④，BC+AC>OA+OB.⑤由③④⑤得：2(AB+BC+AC)>2即AB+BC+AC>AO+BO+CO.．如圖，在△ABC中，DE在邊上，且BD=CE。求證：AB+AC>AD+AE.【答案】證法一：如圖①，將平移至BF延長線與相交于點G，連接DF。由平移可得，∵∥，∴∠ACE=∠，∵BD=CE∴△≌△FDB，∴DF=AE如圖，延長交G，∵AB+BG>AG，AB+BF>AG+GF①，∵AG+GF=AD+DG+GF，DG+GF>DF，AG+GF>AD+DF②，由①②可得：（飛鏢模型）AB+AC=AB+BF>AD+DF=AD+AE.∴AB+AC>AD+AE.12免費獲取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148證法二：如圖②，將平移至DF，連接，∵ACDF，∴∠ACE=∠BD=CE，∴△≌△BF=AE.OA+OD>ADOB+OF>BF②由①②得：OA+OD+OB+OF>BF+AD.AB+DF>BF+AD.8字模型）AB+AC=AB+DF>BF+AD=AE+AD.∴AB+AC>AD+AE.．觀察圖形并探究下列各問題，寫出你所觀察得到的結(jié)論，并說明理由．(1)如圖①，△中，P一點，請比較BP+PC與的大小，并說明理由．(2)(1)中的點P移至△ABC的周長與△ABC明理由．(3)圖③將(2)中的點P變?yōu)閮蓚€點P、1P，請比較四邊形2BPPC的周長與△ABC的周長的12大小，并說明理由.【答案】1）如圖①，BP+PC<AB+AC.2）△的周長小于△ABC的周長。證明：如圖②，延長交于M。在△ABM中，BP+PM<AB+AM①在△PMC中，PC<PM+MC②，由①+②得：BP+PC<AB+AC.∴△的周長小于△ABC的周長。13免費獲取版，加微信：beijingdaxue777QQ四邊形BPPC的周長小于△ABC的周長。12證法一：如圖③，分別延長、CPM，由（）知，BM+CM<AB+AC.12PP<12PMPM12+1PP+12PC<BM+CM<AB+AC.2∴四邊形BPPC的周長小于△的周長.12證法二：如圖④，做直線PP分別交AB、于、。在△12P中，1①11在△+PP+PN<AM+AN②，在△1122PNC2PC<2PN+NC③2由①②+③得：∴+1PP+12PC<AB+AC.∴四邊形2BPPC的周長小于△ABC的周長.1214免費獲取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148專題三半角模型已知如圖：①∠2=12AOB；②OA=.FB，將△O旋轉(zhuǎn)至△的位置，連接′，，可得△OEF≌△OEF′模型分析∵△≌△OAF∴∠3∠，=OF.∴∠2=12∠AOB，∴∠1∠=∠2∴∠1∠=∠2又∵OE是公共邊，∴△OEF≌△OEF.1）半角模型的命名：存在兩個角度是一半關(guān)系，并且這兩個角共頂點；2）通過先旋轉(zhuǎn)全等再軸對稱全等，一般結(jié)論是證明線段和差關(guān)系；3）常見的半角模型是90°，12060.模型實例例1已知，正方形中，∠MAN=45°，它的兩邊分別交線段CBDCM、N．1）求證：BM+DN=MN．2AH⊥H，求證：AH=AB．15免費獲取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148證明：（1ND到E，使DE=BM，∵四邊形是正方形，∴AD=AB．ADE和B∴△≌△ABM．AE=AM，∠DAE=∠∵∠MAN=45°，∴∠BAM+NAD=45°．∴MAN=EAN=45°．和∴△AMN≌△．MN=EN．BM+DN=DE+DN=EN=MN．2）由（）知，AMN≌△AEN．S=S．11即AD．22又∵MN=EN，AH=AD．即AH=AB．16免費獲取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148例2在等邊△的兩邊、AC上分別有兩點MN，D為外一點，且MDN=60°BDC=120°BD=DCMN分別在線段ABAC上移動時，BM、、之間的數(shù)量關(guān)系．1）如圖①，當DM=DN時，、NC之間的數(shù)量關(guān)系是_______________；2）如圖②，當DM≠DN時，猜想（1）問的結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明．圖①圖②1）BMNC之間的數(shù)量關(guān)系是BM+NC=MN．2）猜想：BM+NC=MN．例3如圖，在四邊形中，∠B+∠ADC=180°，AB=ADEF分別是BC延長線上的點，且∠12BAD．求證：EF=BE-FD．證明：在上截取BG=DF，連接AG．∵∠B+ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，∴∠∠ADF．17免費獲取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148△ADFB∴≌△ADFSAS∴∠∠DAFAG=AF．∴∠GAF=BAD．∴∠12∠12GAF．∴∠GAE=EAF．和中，∴≌△AEF（SAS∴EG=EF．∵EG=BE-BG，∴EF=BE-FD．跟蹤練習：1．已知，正方形ABCDM在延長線上，N在DC延長線上，∠MAN=45°．求證：MN=DN-BM．18免費獲取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148【答案】證明：如圖，在DN上截取DE=MB，連接AE，∵四邊形是正方形，∴AD=AB，∠D=ABC=90°．在和ADED∴△ABM≌△ADE．∴AM=AE，MAB=∠．∵∠MAN=45°=∠MAB+BAN，∴∠DAE+BAN=45°．∴∠EAN=90°-45°=45°=MAN．在和∴△ABM≌△ADE．∴MN=EN．∵DN-DE=EN．∴DN-BM=MN．2．已知，如圖①在Rt中，∠BAC=90°，AB=AC，點D、E分別為線段上兩動點，若∠DAE=45°，探究線段BDDE三條線段之間的數(shù)量關(guān)系．小明的思路是：把A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABE′E′D使問題得到解決．請你參考小明的思路探究并解決以下問題：（1）猜想BDDE三條線段之間的數(shù)量關(guān)系式，并對你的猜想給予證明；（2）當動點E在線段上，動點D運動到線段延長線上時，如圖②，其他條件不變，（）中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變？請說明你的猜想并給予證明．19免費獲取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148圖①圖②【答案】解答：（1）猜想：=BD+EC．證明：將A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到ABE′，如圖①∴△ACE≌△ABE′．∴BE′=EC，AE′=AE，∠C=ABE′，∠EAC=E′AB．在∵AB=AC，∴∠ABC=ACB=45°．∴∠ABC+ABE′=90°，即∠E′BD=90°．∴E′B+BD=E′D2．又∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°．∴∠E′AB+BAD=45°，即∠E′AD=45°．∴△AE′D≌△AED．∴DE=DE′．∴2=BD+EC．圖①2）結(jié)論：關(guān)系式DE=BD2+EC2仍然成立．證明：作∠FAD=BAD，且截取AF=AB，連接DF，連接FE，如圖②∴△AFD≌△ABD．∴FD=DB，∠AFD=∠．又∵AB=AC，∴AF=AC．∵∠FAE=∠FAD+DAE=∠FAD+45°，∠EAC=BAC-BAE=90°-（∠DAE-∠DAB=90°-（45°-∠DAB=45°+∠DAB，∴∠FAE=∠CAE．又∵AE=AE，20免費獲取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148∴△AFE≌△ACE．∴FE=EC，∠AFE=ACE=45°．∠AFD=∠ABD=180°-∠ABC=135°．∴∠DFE=∠AFD-AFE=135°-45°=90°．在中，DF+FE=DE．即22+EC．圖②3．已知，在等邊中，點OAC、的垂直平分線的交點，MN分別在直線、上，且∠MON=60°．（1MN分別在邊AMCN三者之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖②，當CM≠CN時，MN分別在邊AC上時，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請你加以證明；若不成立，請說明理由；（3MAC上N在AMCN、三者之間的數(shù)量關(guān)系．圖①圖②圖③【答案】結(jié)論：（1AM=CN+MN；如圖①圖①2）成立；21免費獲取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148證明：如圖②，在AC上截取AE=CN，連接OEOA、．OAC垂直平分線的交點，且為等邊三角形，OA=OC，∠OAE=OCN=30°，∠AOC=120°．又∵AE=CN，∴△OAE≌△．OE=ON，∠AOE=CON．∴∠EON=∠AOC=120°．∵∠MON=60°，∴∠MOE=MON=60°．∴△MOE≌△MON．ME=MN．AM=AE+ME=CN+MN．圖②3）如圖③，AM=MN-CN．22免費獲取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148專題四將軍飲馬模型考和競賽中經(jīng)常出現(xiàn)，而且大多以壓軸題的形式出現(xiàn)．模型1：直線與兩定點作法＋PB的最小值為當兩定點B在直線ll上找一點PPB最小．交直線lP即為所求作的點．＋PB的最小值為AB'當兩定點B在直線ll上找一點P，使得＋PB最小．B關(guān)于直線l的對稱點B，AB交直線lPP即為所求作的點．的最大值為當兩定點B在直線ll上找一點P，使得最大．AB并延長交直線l于點P，點P即為所求作的點．的最大值為AB'當兩定點B在直線lB關(guān)于直線I的對稱點B，AB并延長交直線lP，點P即為所求作的點．l上找一點P，使得最大．免費獲取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148的最小值為0當兩定點B在直線ll上找一點P，使得最?。瓵B的垂直平分線交直線lPP即為所求作的點．模型實例例1：如圖，正方形的面積是12，△ABE是等邊三角形，點E在正方形內(nèi)，在對角線上有一點PPD＋PE最小值是．解答：如圖所示，∵點BD對稱，P為與的交點時，PDPE最小，且線段的長．∵正方形的面積為12，∴其邊長為23∵△ABE為等邊三角形，∴BEAB＝23．∴PD＋PE的最小值為23．例2：如圖，已知△為等腰直角三角形，＝BC＝4，∠BCD＝15°P為上的動點，則的最大值是多少？解答：24免費獲取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148如圖所示，作點A關(guān)于的對稱點A，連接AC，連接′B并延長交于點P，則點P就是的值最大時的點，＝′．∵△ABC為等腰直角三角形，＝，∴∠90°．∵∠BCD＝15°，∴∠＝75°．、′對稱，∴AA′CD＝CA，∵∠＝∠DCA＝75°，∴∠BCA＝60°．CABC＝，∴△′是等邊三角形，∴A＝BC＝．∴的最大值為．練習．如圖，在△ABC中，BC＝2，∠＝90°，D是邊的中點，E是邊上一動點，則＋的最小值是．C作CO⊥AB于CO到COCDCAB于

E，連接CB，此時DE+CE=DE+EC=DC的值最?。B接BC，由對稱性可知∠CBE=∠CBE=45°，∴∠CBC=90°，∴BC⊥BC，

∠BCC=∠BCC=45°，∴BC=BC=2，∵D是BC邊的中點，∴BD=1，根據(jù)勾股定理可得：DC=5，故EC+ED的最小值是5．2．如圖，點C的坐標為（3，y的周長最短時，求y的值．1A的對稱點A′，連接′B交直線．AA對稱，∴AC=AC．∴AC+BC=A′C+BC．、、A′在同一條直線上時，′有最小值，即△ABC的周長有最小值．AA對稱，∴點A′的坐標為（325免費獲取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148設(shè)直線BAy=kx+b，將點B′的坐標代入得：k＝34b＝?32．34x-32．將代入函數(shù)的解析式，∴y的值為343．如圖，正方形中，AB＝7，M是DC上的一點，且DM＝3，N是上的一動點，求DN－MN的最小值與最大值．解：解：當ND=NM時，即N點DM的垂直平分線與AC的交點，|DN-MN|=0，因為|DN-MN|≤DM，當點N運動到C點時取等號，此時|DN-MN|=DM=3，所以|DN-MN|的最小值為0，最大值為3周長的最小值為P′P″點P在∠內(nèi)部，在邊上找點D，分別作點P關(guān)于的邊上找點C，使得△周長最?。畬ΨQ點P、P″，連接PP″，交于點CDC、D即為所求．PD的最小值為P′C點P在∠內(nèi)部，在邊上找點D，邊上找點C，使得PD最?。鼽cP的對稱點P′，過P′作P′⊥交于D，26免費獲取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148點CD即為所求．PC＋＋DQ的最小值為PQ′，所以四邊形PQDC周長的最小值為PQ＋PQ′點PQ在∠邊上找點分別作點P、Q關(guān)于OA、D，邊上找點C，使得四邊形PQDC的對稱點P′、Q′，連接周長最?。甈Q，分別交于點、DCD即為所求．模型實例如圖，∠°，∠內(nèi)有一定點P=.在OA上有一點Q，上R．若立△周長最小，則最小周長是多少？解答如圖，作點P分別關(guān)于、的對稱點E、F，連接，分別交OA、Q、R，連接、、、.，=．△的周長的最小值為的長.由對稱性可得∠∠POQ，∠∠，2∠°．△是正三角形．10．周長最小值為.27免費獲取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148模型2角與定點．已知，D=°，P為D內(nèi)一定點，A為上的點，B為上的點，的周長取最小值時：(1)找到A、B點，保留作圖痕跡；(2)求此時D等于多少度.如果∠θ，∠又等于多少度？（1）做點P分別關(guān)于的對稱點F，連接分別交于點BB即為所求，此時△的周長最?。ǎ玻唿cEP關(guān)于直線對稱，點FP對稱，EF∠=180°-∠=140°．∴在△中，∠E∠F=180°-140°=40°，CPA∠=40°．∴∠=100°．如果∠==180°-θ，∠E+∠F=又∵∠=2∠E=2∠F+∠=2E+∠F=2θ=180°-2θ．．如圖，四邊形中，D=°,DB=DD=°、上分別找M、N，使△周長最小，并求此時+ANM的度數(shù)．28免費獲取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148．解答如圖，作點A的對稱點，關(guān)于的對稱點，與、的交點即為所求的點MN．此時△周長最小．=110°，∴∠∠=180°-110=70由軸對稱的性質(zhì)得：∠∠，∠=∠，∠ANM=2(∠+∠)=2×70°=140°．．如圖，在x軸上找一點Cy軸上找一點D++最小，并求直線的解析式及點C、D的坐標．．解答作點A關(guān)于y軸的對稱點，點B關(guān)于x軸的對稱點B，連接B分別交x軸、y軸C、D，此時最?。蓪ΨQ性可知B，-易求得直線B的解析式為yx2，即直線的解析式y(tǒng)x2．當y0x2，∴點C當x0y2，∴點D29免費獲取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148．如圖，D=°，A、B占分別為射線、上兩定點，且=2，=4，點P、Q分別為射線、上兩動點，當P、Q運動時，線段++的最小值是多少？．解答作A點關(guān)于的對稱點B關(guān)于的對稱點BBQ，連接、OB．則AQPBAB，此時最小．由對稱可知，PB，AQ，2，OB4，MOB20．OB．作D⊥OBD，在Rt△∴1，D3∴BD413，B23∴的最小值是23．30免費獲取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148模型3兩定點一定長模型作法結(jié)論AM＋MN＋NBA

A′BdB的最小值為A"B＋dl

lMN如圖，在直線l上找M、N兩點M在左)，使得AM＋＋最"小，且＝d.將A向右平移d個單位到′，作′關(guān)于l的對稱點"，連接A"B與直線l交于點N，將點N向左平移d個單位即為MMN即為所求.AM＋＋AAM的最小值為1l1AB＋d.′22NBB如圖，1∥2，l1、2間距離為d，將A向下平移d個單位到，連接′B交直線l2于在1、2分別找M、N兩點，使點點N作⊥l1AM.點MN即為得⊥1，且＋＋最小．所求．A在xC在y軸正半軸上，且OA＝6，OC＝4，D為中點，點E、F在線段上，點E在點F左側(cè)，EF＝當四邊形的周長最小時，求點E的坐標．31免費獲取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148解答：D向右平移2個單位得到D'(22)D關(guān)于x軸的對稱點D"(22)BD"交x軸于點F點F向左平移2個單位到點EE和點FBDEF周長最小.理由：∵四邊形BDEF的周長為BDDEEF＋，與是定值.

∴＋DE最小時，四邊形BDEF周長最小，∵＋EDBF＋'BFFD"BD"設(shè)直線"的解析式為ykxbB(64)D，－2)代入，33得kb＝2kb＝－2，解得k＝b＝－，∴直線BD"的解析式為y＝－5．224令y＝，∴點F坐標為(，．∴點E坐標為(，0)．333練習．在平面直角坐標系中，矩形的頂點OAB分別在xy軸的正半軸上，(3，0)B(04)，D的中點．(1)若E上的一個動點，求△的周長最小值；(2)若E、F為邊上的兩個動點，且EF＝1，當四邊形的周長最小時，求點E、F的坐標．解答：(1)D關(guān)于x軸的對稱點D'與x軸交于點EDE的周長最?。咴诰匦沃?，＝OB＝，D為的中點，∴D(02)C(3，，D'(0，－設(shè)直線為y＝＋b(34)D'(0，－2)代入，得kb＝b＝－2，解得k＝b＝－2，∴直線為y＝x令y＝，32免費獲取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148∴點E的坐標為(1∴OE1AE＝利用勾股定理得＝13DE＝，2，∴△周長的最小值為133．(2)D向右平移1個單位得到D'(12)D關(guān)于x軸的對稱點D″(12)接″交x軸于點F，將點F向左平移1個單位到點E，此時點E和點F為所求作的點，

且四邊形CDEF周長最?。碛桑骸咚倪呅蔚闹荛L為＋DEEF＋，與是定值，

∴＋最小時，四邊形周長最小，∴DECF＝DFCFFD″CF″，

設(shè)直線″的解析式為ykxbC(34)，(1，－代入，得kb＝k＋b＝－，解得＝，b＝－．∴直線″的解析式為y＝x5，552令y＝，∴點F坐標為(0)，∴點E坐標為(，．333．村莊A和村莊B位于一條小河的兩側(cè)，若河岸彼此平行，要架設(shè)一座與河岸垂直的橋，橋址應(yīng)如何選擇，才使A與B之間的距離最短？A12B解答：設(shè)l1和l2為河岸，作BDlBB等于河寬，連接AB交l1于CC⊥l2于C，則→→→B為最短路線，即A與B之間的距離最短.33免費獲取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148專題五角平分線四大模型模型1角平分線的點向兩邊作垂線如圖，P是∠MON的平分線上一點，過點P作OM于點A，PBON于點B，則PB模型分析三角形全等創(chuàng)造更多的條件，進而可以快速找到解題的突破口模型實例1）如圖，在△中，∠＝90°，AD平分∠CAB，BC6,BD4,那么點D到直線AB的距離是解答：如圖，過點D作DEABE，∵AD平分∠CAB,＝CB＝6,BD4,DECD2，即點D到直線AB的距離是2.2）如圖，∠＝∠2，∠3＝∠4，求證：AP平分∠證明：如圖，過點P作⊥ABDPE⊥，PF⊥ACF，∵∠1＝∠，∴PD＝PE,∵∠3＝∠4,∴PEPF，∴PD＝又∵PDABPF⊥AC，∴AP平分∠BAC（角平分線的判定）34免費獲取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148練習1、如圖，在四邊形中，BCAB，ADDC,BD平分∠，求證：∠BAD＋∠BCD180°證明：作⊥于DF的延長線于F，∴∠F＝∠DEC＝90°,平分∠ABC,DF＝，又∵AD＝，∴△≌DEC,∴∠＝∠C∵∠＋∠＝180°，∴∠BAD＋∠BCD＝180°2.如圖，△的外角∠ACD∠的平分線與內(nèi)角∠的平分線相交于點P，若BPC＝40°，則∠CAP＝.解答：如圖所示，作PN于NPFBA延長線于FPM⊥AC于MBP、分別是∠和∠的角平分線，∴∠ABP＝∠∠DCP＝∠ACP，PF＝PN，∵∠BAC＝∠－∠ABC，∠BPC＝∠PCD－∠PBC(外角性質(zhì))∴∠BAC2PCD2PBC2(∠PCD－∠PBC)＝2BPC80°∴∠CAF180°－∠BAC100°，∵PFAP是∠的角平分線，∴∠CAP＝∠＝模型2截取構(gòu)造對稱全等如圖，P是∠的平分線上的一點，點A是射線OM上任意一點，在ON上截取OB＝OA,PB，則△OPB≌△35免費獲取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148模型分析等，利用對稱性把一些線段或角進行轉(zhuǎn)移，這是經(jīng)常使用的一種解題技巧模型實例（1）如圖①所示，在△中，AD是△的外角平分線，P是AD上異于點A的任意一點，試比較PB＋與＋AC的大小，并說明理由解題：PB+PCAB+AC證明：在的延長線上取點使＝AB,PE，∵AD平分∠∴∠＝∠EAD，在△與△，AE＝∠CAD＝∠APAP，∴△AEP≌△SASPE＝∵在中：PB+PEBE,BE＝AB+AE＝AB+AC，∴PB+PC＞AB+AC（2）如圖所示，AD是△的內(nèi)角平分線，其它條件不變，試比較PC－與AC－AB的大小，并說明理由解答：AC-AB>PC-PB證明在△中,在AC上取一點E,使，∴AC-AE=AB-AC=BEAD平分∠，∴∠EAP=，在△和△中∴△AEP≌△(SAS)，∴，∵在△中CE>CP-PE，∴AC-AB>PC-PB練習1.已知，在△中，∠A2B,CD是∠的平分線，16,AD＝8,求線段解：如圖在邊上截?。?，連結(jié)DE，在△和△中36免費獲取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148∴△ACD≌△ECD(SAS)ADDE，A＝∠1，∵∠A2B，∴∠12∠，∵∠1＝∠＋∠，∴∠＝∠EDB，EBB＝，EBDA8，＝ECBEACDA168242.在△中，＝AC,∠A108°,BD平分∠ABC，求證：BC＝證明：在上截?。?，連結(jié)DE，∵平分∠ABC,BEAB,BD＝∴△ABD≌△EBD(SAS)，∴∠DEB＝∠A＝108°，∴∠DEC＝180°－108°72°1ABAC，∴∠C＝∠ABC＝(180°－108°)＝36°，∴∠EDC72°，2∴∠DEC＝∠EDC，∴CE，∴＋＝ABCD，∴＝ABA＝100°,∠ABC40°,BD是∠至，使DEAD，求證：＝＋證明：在上取點，使得BFAB,DF，∵平分∠ABCBD＝∴△ABD≌△FBD，∴DFAD＝DE,ADB＝∠FDB，∴平分∠∴∠ABD20°,則∠ADB＝180°20°100°60°＝∠CDF＝180°－∠ADB－∠FDB＝60°，∴∠CDF＝∠CDE，在△和△中∴△CDECDF，∴CE＝CF，∴＝BFFCAB模型3角平分線+垂線構(gòu)造等腰三角形如圖，P是∠的平分線上一點，AP丄OP于PAP交ON于點.B,則△AOB是等腰三角形.37免費獲取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148模型分析構(gòu)造此模型可以利用等腰三角形的"三線合一”，也可以得到兩個全等的直角三角形.進而得到對應(yīng)邊.對應(yīng)角相等.這個模型巧妙地把角平分線和三線合一聯(lián)系了起來.模型實例如圖.己知等腰直角三角形中，∠A=90°,AB=AC,平分∠C￡丄BD.垂足為求證：BD=2C￡.解答：如圖，延長、交于點∵丄于BAC=90°，∴∠BAD=∴∠ABD=又∵AB=AC,∠BAD=∠CAF=90°,∴△ABD≌△∴平分∠∴∠CBE=∠FBE.又BE=BE,∴△BCE≌△BFE.∴BD=2CE.練習如圖.在△中.BE是角平分線.AD丄BE.垂足為D.求證：∠2=∠1+證明：延長AD交于∵AD⊥∴∠ADB=∠BDF=90°,∵∠ABD=FBD,∴∠2=BFD.∵∠BFD=1+∠C,∴∠2=∠1+如圖.在△中.∠ABC=3C,AD是∠的平分線,丄AD求證:1BE(ACAB).238免費獲取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148證明:交ACAD為∠的角平分線∴∠BAD=CAD.AE=AE,∴∠BAE=∠則△AEB≌△AEF，∴∠2=3.AC-AB=AC-AF=FC.∵∠ABC=3C,∴∠2+1=∠3+1=∠1+C+∠∠C.∴21=2C11

即∠1=CBF=FO=2BE.∴AB

22模型4角平分線+平行線模型分析有角平分線時.常過角平分線上一點作角的一邊的平行線.構(gòu)造等腰三角形.為證明結(jié)論提供更多的條件.體現(xiàn)了用平分線與等腰三角形之間的密切關(guān)系.模型實例解答下列問題：(1)如圖①△中，EF∥BC,點D在上,BD分別平分∠ABC、∠ACB.寫出線段與BE有什么數(shù)量關(guān)系？(2)如圖②平分∠ABC,CD平分外角∠DE//BC交AB于點E,交AC于點F與BE有什么數(shù)量關(guān)系？并說明理由.(3)如圖③BD為外角∠CBM的平分線，DE//BC交AB延長線于點E.交AC延長線于點直接寫出線段與BE有什么數(shù)關(guān)系？39免費獲取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148解答：(1)∵EF//BC,∴∠EDB=∠DBC.平分∠EBCEBD=DBC=EDB.∴EB=ED.同理：DF=FC.∴(2)EF=BE=CF平分∠BAC,∴∠ABD=DBC.又DE//BCEDB=∠DE=EB.同理可證：CF=DF(3)練習如圖.在△中,ABC和∠ACB的平分線交于點E.過點E作∥交AB于M.交AC于N點若BM+CN=9，則線段的長為.ABC的平分線相交于點E,MBE=∠EBCECN=∠ECB.MN//BC,∴∠EBC=∠MEB,NEC=∠∴∠MBE-∠MEB,NEO=ECN.∴BM=ME,EN=CN.MN=ME+EN,即MN=BM+CN.∵BM+CN=9,MN=9.2.如圖.在△中,AD平分∠BAC.點F分別在BDAD上,EF∥AB.且DE=CD,求證：EF=AC.證明：如圖，過點C作CM∥AB交AD的延長線于點∵AB∴CM∴∠3=∠4.DE=CD,5=∠6,∴△DEF≌△DCM.EF=CM.AB//CM,∴∠2=∠4.∵∠1=2,∴∠1=4.CM=AC.∴EF=AC3.如圖.梯形中,ADBC,點E在上,且AE平分∠BAD.BE平分∠ABC.求證：AD=AB-BC.40免費獲取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148證明：延長AD、交于點AD∥BC,∴∠2=∵∠1=2,∴∠1=AE平分BAD∴∵∠DEF=CEB,∴△DEF≌△CEB.∴DF=BC.AD=AF-DF=AB-BC.41免費獲取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148專題六截長補短輔助線模型模型1截長補短如圖①，若證明線段AB、CD、之間存在EF＝AB＋，可以考慮截長補短法.截長法：如圖②，在上截取EG＝AB，再證明GF＝即可.AB至HBH＝CD明AH即可.模型分析截長補短的方法適用于求證線段的和差倍分關(guān)系..該類題目中常出現(xiàn)等腰三角形、角平分線等關(guān)鍵詞句，可以采用截長補短法構(gòu)造全等三角形來完成證明過程.模型實例例：如圖，已知在△中，∠C2B，∠＝∠2.求證：＝AC.證法一，截長法：上取一點EAE＝，連接AEAC，∠1＝∠，AD＝AD，∴△ACD≌△，CDDE，∠＝∠3.∵∠＝2，∴∠32B＝∠4＋∠B，∴∠4＝∠B，DE，CDBE.ABAEBE，ABAC.42免費獲取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148證法二，補短法：如圖②，延長ACCE＝，連接DE.CE＝，∴∠4＝∠E.∵∠3＝∠＋∠E，∴∠3＝∠E.∵∠32B，∴∠E＝∠B.∵∠1＝∠，AD＝AD，∴△EAD≌△，∴AE又∵＝＋CE，∴∴＝＋.例OD平分∠AOBDCOACA＝∠.求證：AOBO＝2CO.證明：在線段AO上取一點CEAC，連接DE.CDCDDC⊥OA，∴△ACD≌△ECD，∴∠A＝∠.∵∠A＝∠，∴∠CED＝∠，180－∠CED＝180－∠，∴∠OED＝∠.OD平分∠AOB，∴∠AOD＝∠.ODOD，∴△OED≌△，OBOE，AOBOAOOEOE2CEOE＝＋＋OECE＝（CEOE）＝2CO.跟蹤練習1.BAC60AD是∠AC＝＋.求∠的度數(shù).【答案】43免費獲取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148證法一：補短AB，使BE＝.在△BE＝，∴∠＝∠BDE，∴∠ABC＝∠BDE＋∠＝2E.又∵＝＋BD，ACABBE，∴ACAE.AD是∠的平分線，∠BAC＝，∴∠EAD＝∠＝÷2300.ADAD，∴△AED≌△，∴∠＝∠C.∵∠ABC2E，∴∠＝∠C.∵∠BAC60，∴∠ABC＋∠18060＝120，∴32∠＝120，∴∠ABC800.證法二：在AC上取一點，使AFABAD是∠的平分線，∴∠BAD＝∠.ADAD，∴△BAD≌△，∴∠＝∠AFD，＝.ACABBD，AF＋FD＝，∴∠FDC＝∠C.

∵∠AFD＝∠FDC＋∠，∴∠＝∠FDC＋∠C2C.

∵∠BAC＋∠＋∠＝180，∴32∠＝120，∴∠ABC800.2.ABC＝AD分別平分∠BAC.AC＝AE.【答案】如圖，在AC邊上取點FAE＝，連接OF.∵∠ABC60，∴∠BAC＋∠ACB＝180－∠ABC＝1200.AD分別平分∠BAC、∠ACB，∴∠OAC＝∠＝D2D，∠OCA＝∠＝2，44免費獲取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148∴∠AOE＝∠＝∠OAC＋∠OCA＝∴∠AOC1800－∠＝1200.D+D2＝0，AEAF，∠EAO＝∠AO＝AO，∴△AOE≌△AOFSAS∴∠AOF＝∠AOE60，∴∠COF＝∠AOC－∠AOF60，∴∠COF＝∠.COCO平分∠ACB，∴△COD≌△COFASACD.ACAF＋CF，ACAECD，ABC＋∠BCD180分別平分∠ABC求證：AB＝.【答案】證法一：截長上取一點BF＝，連接.∵∠1＝∠ABEBEBE，∴△ABE≌△FBE，∴∠3＝∠4.∵∠ABC＋∠BCD1800，BE、分別平分∠、∠DCB，∴∠1＋∠＝12ABC＋12＝12×180＝0，∴∠BEC900，∴∠4＋∠＝0，∠3＋∠＝0.∵∠3＝∠4，∴∠＝∠6.CE＝，2＝∠，∴△CEF≌△CED，∴CF＝.BC＝＋CFAB＝BF，∴＋＝證法二：補短如圖②，延長FBFBC.∵∠1＝∠ABEBEBE，∴△BEF≌△BEC，EFEC，∠BEC＝∠.∵∠ABC＋∠BCD1800，BE、分別平分∠、∠DCB，45免費獲取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148∴∠1＋∠＝12ABC＋12＝12×180＝0，∴∠BEC900，∴∠BEF＝∠BEC＝0，∴∠BEF＋∠BEC＝180，CEF三點共線.ABCD，∴∠F＝∠FCD.EFEC，∠FEA＝∠DEC，∴△AEF≌△DEC，AF＝.BF＝＋AF，BC＝.4.ABC＝0AD平分∠交于D＝30BEAD于點E.求證：－＝2BE.【答案】延長交ACM.BE⊥AD，∴∠AEB＝∠AEM900.∵∠390－∠1，∠490－∠2，∠＝∠2，∴∠3＝∠，∴ABAM.BE⊥，∴BM2BE.∵∠ABC90，∠＝0，∴∠BAC600.ABAM，∴∠3＝∠＝0，∴∠590－∠330，∴∠5＝∠，∴CMBM，ACABCMBM＝2BE.5.如圖，△中，A＝BC，AD平分∠交于點D，CEAD交AD于點F，交ABE.求證：AD2DF.46免費獲取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148【答案】在AD上取一點G，使AGCE.CE⊥AD，∴∠AFC90，∠1＋∠ACF＝0.∵∠2＋∠ACF90，∴∠＝∠2.ACBCAG＝，∴△ACG≌△CBE，∴∠3＝∠＝，∴∠2＋∠＝0－∠3450.∵∠2＝∠＝12BAC22.5，∴∠4450－∠2＝22.5，∴∠4＝∠＝22.50.又∵CFCF，DG⊥CF，∴△CDF≌△CGF，∴DF＝GF.ADAG＋DG，∴ADCE＋2DF.6.ABCDEAB＝AEBCDE＝CDB＋∠E1800.AD平分.【答案】如圖，延長，使BF＝，連接、AC.∵∠1＋∠＝1800，∠＋∠11800，∴∠2＝∠E.ABAE，∠2＝∠BFDE，∴△ABF≌△AED，∴∠F＝∠4AF＝AD.BC＋＝，∴BCBF＝＝.又∵＝，∴△ACF≌△ACD，∴∠＝∠3.∵∠＝∠4，∴∠3＝∠，AD平分∠.47免費獲取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148專題七螞蟻行程模型1立體圖形展開的最短路徑模型分析AB的最短路徑就是展開圖中AB′的長，。做此類題日的關(guān)鍵就是，正確展開立體圖形，利用“兩點之間線段最短”或“兩邊之和大于第三邊”準確找出最短路徑。模型實例例1．有一圓柱體油罐，已知油罐底面周長是12m，高AB是5m，要從點A處開始繞油罐一周建造房子，正好到達A點的正上方B處，問梯子最短有多長？例2．如圖，一直圓錐的母線長為QA=8，底面圓的半徑，若一只小螞蟻從A點出發(fā)，繞圓錐的側(cè)面爬行一周后又回到A點，則螞蟻爬行的最短路線長是。48免費獲取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148例A處出發(fā)到B處覓食，49免費獲取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148跟蹤練習C處，求螞蟻爬行的最短距離。50免費獲取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148A點到B線如圖，則最短路程為。3．桌上有一個圓柱形無蓋玻璃杯，高為12厘米，底面周長18厘米，在杯口內(nèi)壁離杯口距離3厘米的A223厘B處時，突然發(fā)現(xiàn)了蜜糖，問小蟲至少爬多少厘米才能到達蜜糖所在的位置。51免費獲取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148O為OBC開始沿圓錐側(cè)面爬行到點A，另一只小螞蟻也從C點出發(fā)繞著圓錐側(cè)面爬行到點B，它們所爬行的最短路線的痕跡如圖所示，若沿OA剪開，則得到的圓錐側(cè)面展開圖為（）ABCD5．如圖，一只螞蟻沿著邊長為2的正方體表面從點A出發(fā)，經(jīng)過3個面爬行到點B，如果它運動的路徑是最短的，則最短距離為。52免費獲取版，加微信：beijingdaxue777QQ如圖是一個邊長為6的正方體木箱，點Q在上底面的棱上，AQ=2，一只螞蟻從P點出發(fā)沿木箱表面爬行到點Q，求螞蟻爬行的最短路線。高分別等于和和B是這個臺階的兩個相對的端點，A點上有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物。請你免費獲取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148想一想，這只螞蟻從A點出發(fā)，沿著臺階面爬到B點的最短路程是多少？54免費獲取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148專題八三垂直全等模型模型1三垂直全等模型如圖：∠D＝∠BCA＝∠E90°，BCAC.結(jié)論：RtBCD≌△CAE.模型分析形去求解.圖①和圖②就是我們經(jīng)常會見到的兩種弦圖.三垂直圖形變形如下圖③、圖④，這也是由弦圖演變而來的.例1如圖，AB⊥，⊥BCAE⊥，＝DE，求證：AB＝BC.證明：∵AEDEAB⊥BCDCBC，∴∠AED＝∠＝∠C90.∴∠＋∠AEB＝∠AEB＋∠CED90.∴∠BAE＝∠CED.55免費獲取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148在△和△BCA∴△ABE≌△ECD.AB＝，BECD.AB＋＝＋BE＝例2如圖，∠ACB＝°，ACBC，BE⊥CEAD⊥于D，AD2.5cm，BE＝0.8cm，則DE的長為多少？解答：∵BECEADCE，∴∠E＝∠ADC90.∴∠EBC＋∠BCE90.∵∠BCE＋∠ACD＝°，∴∠EBC＝∠DCA.在△和△E∴△CEB≌△ADC.∴＝DC0.8cmCE＝2.5cm.∴CECD2.50.81.7cm.例3如圖，在平面直角坐標系中，等腰Rt△有兩個頂點在坐標軸上，求第三個頂點的坐標.）如圖③，過點B作⊥x軸于點D.∴∠BCD＋∠DBC＝°.56免費獲取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148由等腰Rt△可知，BC＝，∠ACB90∴∠BCD＋∠ACO＝°.∴∠DBC＝∠ACO.在△和△∴△BCD≌△CAO.∴OA，＝.∵3，＝∴3，＝∴OD∴（－，）.2）如圖④，過點A作⊥y軸于點D.在△和△∴△ACD≌△CBO.∴OB，＝.∵（－，03）∴1，＝∴3，OD∴OD∴（2.跟蹤練習．如圖，正方形ABCD，＝CF.）AEBF2AE⊥BF.57免費獲取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148證明：1）∵四邊形ABCD是正方形，∴＝BD，∠ABC＝∠BCD90.在△和△∴△ABE≌△BCF.∴＝BF.2）∵△ABE≌△BCF.∴∠BAE＝∠CBF.∵∠ABE＝°，∴∠BAE＋∠AEB90.∴∠CBF＋∠AEB90.∴∠BGE＝°，∴⊥BF.．直線l上有三個正方形ab、ac的面積分別是5和b的面積是_____.解答：∵abc都是正方形，∴＝CD，∠ACD°.∵∠ACB＋∠DCE＝∠ACB＋∠BAC90∴∠BAC＝∠DCE.在△和△∴△ACB≌△CDE.∴＝CEBC＝.在Rt＝2＋2＝2＋22即S＝bS＋aS＝＋＝c58免費獲取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148BAC＝90AB＝ACP為BP<CPB、C作⊥于、CF于F.1）求證：＝CFBE；2P為延長線上一點，其它條件不變，則線段BECF是否存在某種確定的數(shù)量關(guān)系？畫圖并直接寫出你的結(jié)論.解答：∵BEAP，⊥AP，∴∠AEB＝∠AFC＝90.∴∠＋∠ACF＝°，∵∠BAC90°，∴∠BAE＋∠＝°，∴∠BAE＝∠ACF.在△和△∴△ABE≌△CAF.AE＝，BEAF.EF＝AEAF，EF＝－BE.2）如圖，＝BECF.理由：同（）易證△ABE≌△CAF.∴＝CFBE＝AF.∵＝AEAF，∴＝＋.ABCDAD∥BCAB⊥BCAD＝BC＝BCD＝αD為旋轉(zhuǎn)中心，將腰DCD逆時針旋轉(zhuǎn)90.1）當＝45°時，求△的面積；59免費獲取版，加微信：beijingdaxue777QQ當＝45°時，求△的面積；3°α<90的面積與α的面積Sα的關(guān)系式；若無關(guān)，請證明結(jié)論.解答：1；2；3）過點D作DGG，過點E作EF⊥交延長線于點F.∵BCDG⊥，∴∠GDF90°.又∵∠EDC90∴∠＝∠在△和△12∴△DCG≌△∴＝CG，∵BCABBC，＝，＝，∴AD＝，∴∴S＝EAD12ADEF＝∴△的面積與α大小無關(guān).5．向△的外側(cè)作正方形ABDE、正方形ACFG，過A作AH⊥于H，的反向延長線與交于點.求證：BC＝AP.60免費獲取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148解答：過點G作GMM，過點E作EN交延長線于點N.∵四邊形ACFG是正方形，∴＝AG，∠CAG90.∴∠CAH＋∠GAM＝90.又∵⊥BC，∴∠CAH＋∠ACH＝°.∴∠ACH＝∠GAM.在△和△∴△ACH≌△∴AMAHGM.同理可證△ABH≌△∴ANAHEN.∴＝GM.在△和△∴△EPN≌△GPM.∴＝MP，∴＝BHANAPPN＋APAP.61免費獲取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148專題九手拉手模型E模型1手拉手AAEADEDDBCBCBC圖①圖②圖③如圖，△ABC是等腰三角形、△是等腰三角形，AB＝AD＝AE，∠＝∠＝．結(jié)論：連接、CE，則有△≌△CAE．模型分析如圖①，＝∠－∠，∠CAE＝∠－∠．∵∠＝∠＝，∴∠＝∠CAE．在△和△CAEAC﹐CAE﹐AE﹐圖②、圖③同理可證．（）這個圖形是由兩個共頂點且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成．在相對位置變化的同時，始終存在一對全等三角形．（角形有公共頂點，類似大手拉著小手，所以把這個模型稱為手拉手模型．（）手拉手模型常和旋轉(zhuǎn)結(jié)合，在考試中作為幾何綜合題目出現(xiàn)．模型實例例1如圖，△與△都為等腰直角三角形，連接、CE，相交于點，問：C（與是否相等？（與之間的夾角為多少度？HG

O62DAE免費獲取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148解答：（＝．理由如下：∵∠ADG＝∠ADC＋∠CDG，∠CDE＝∠＋∠CDG，∠ADC＝∠EDG90°，∴∠ADG＝∠CDE．在△和△﹐CDE﹐DE﹐∴△ADE≌△CDE．＝．（）∵△ADG≌△CDE，∴∠＝∠DCE．∵∠＝∠，∴∠CHA＝∠ADC90°．與之間的夾角是90°．例2如圖，在直線的同一側(cè)作△ABD和△BCE，△ABD和△都是等邊三角形，AECD，二者交點為．D）△ABE≌△DBC；（AEDQ；（）∠DHA60°；（）△≌△DFB；GHEF（）△≌△CFB；ABC（）連接GF，GF∥；（）連接HB平分∠AHC．）∠ABE＝120°，∠CBD120°，在△ABE和△﹐DBC﹐BC﹐∴△ABE≌△DBC．（）∵△ABE≌△DBC，AE．（）△ABE≌△DBC，∴∠＝∠．63免費獲取版，加微信：beijingdaxue777QQ: