2024屆物理一輪復(fù)習(xí)講義第1講 曲線運(yùn)動 運(yùn)動的合成與分解含答案

2024屆物理一輪復(fù)習(xí)講義

第四章

DISIZHANG曲線運(yùn)動萬有引力與宇宙航行

第1講曲線運(yùn)動運(yùn)動的合成與分解

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解物體做曲線運(yùn)動的條件及運(yùn)動性質(zhì)。2.理解合運(yùn)動與分運(yùn)動的

概念，會用運(yùn)動的合成與分解處理小船渡河、關(guān)聯(lián)速度等問題。

夯實(shí)必備知識

速度質(zhì)點(diǎn)在某一點(diǎn)的速度方向是沿曲線在這一點(diǎn)的

方向切線方向

曲

線運(yùn)動做曲線運(yùn)動的物體，速度的左回時刻在改變,

運(yùn)性質(zhì)所以曲線運(yùn)動是變速運(yùn)動

動

物體的加速度方向跟速度方向不在

同一條直線上

合外力方向跟速度方向不在同一條

直線上

2.

基本廠（運(yùn)動的合成｝-C知分運(yùn)動求合運(yùn)動

概念

-f運(yùn)動的分解］-已知合運(yùn)動求分運(yùn)動

運(yùn)

分解可以根據(jù)運(yùn)動的實(shí)際效果分解.也可以采用正交

動原則「分解

的

合

遵循—位移、速度、加速度都是矢最.它們的合成與分解

成極函一都遵循平行四邊形定則

與

分

解

合運(yùn)動和分運(yùn)動經(jīng)歷的時間相等,即

合

運(yùn)月每時性L同時開始、同時進(jìn)行、同時停止

動

與

分

運(yùn)布豆國一一個物體同時參與兒個分運(yùn)動，各分運(yùn)

動

的-^■^一動獨(dú)立進(jìn)行,不受其他運(yùn)動的影響

系

關(guān)

各分運(yùn)動的規(guī)律登加起來與合運(yùn)動的

等效性

規(guī)彳*有完全相同的效果

1.思考判斷

（1）速度發(fā)生變化的運(yùn)動，一定是曲線運(yùn)動。（X）

（2）做曲線運(yùn)動的物體的加速度一定是變化的。（義）

（3）兩個分運(yùn)動的時間一定與它們的合運(yùn)動的時間相等。（J）

（4）合運(yùn)動的速度一定比分運(yùn)動的速度大。（X）

（5）只要兩個分運(yùn)動為直線運(yùn)動，合運(yùn)動一定是直線運(yùn)動。（X）

⑹分運(yùn)動的位移、速度、加速度與合運(yùn)動的位移、速度、加速度間均滿足平行

四邊形定則。（J）

2.如圖1所示，高速攝像機(jī)記錄了一名擅長飛牌、射牌的魔術(shù)師的發(fā)牌過程，虛

線是飛出的撲克牌的軌跡，則圖中撲克牌所受合外力F與速度。關(guān)系正確的是

)

圖1

答案A

研透核心考點(diǎn)

考點(diǎn)一曲線運(yùn)動的條件和軌跡分析

1.曲線運(yùn)動中速度方向、合力方向與運(yùn)動軌跡之間的關(guān)系

（1）速度方向與運(yùn)動軌跡相切。

⑵合力方向指向曲線的“凹”側(cè)。

（3）運(yùn)動軌跡一定夾在速度方向和合力方向之間。

2.速率變化的判斷

千闔T物體的速率增大）

合力方向與速

物體的速率減小）

度方向的夾角TWH

-（￥用一1物體的速率不變）

例1（多選）（2023?河北唐山高三期末）在珠海舉行的第13屆中國航展吸引了全世

界的軍事愛好者。如圖2,曲線ah是一架飛機(jī)在蛻直面內(nèi)進(jìn)行飛行表演時的軌

跡。假設(shè)從〃到人的飛行過程中，飛機(jī)的速率保持不變。則沿曲線時運(yùn)動時，

飛機(jī)（）

圖2

A.所受合力方向豎直向下

B.所受合力大小不等于0

C.飛機(jī)豎直分速度變大

D.飛機(jī)水平分速度保持不變

答案BC

解析飛機(jī)做曲線運(yùn)動，所受合力方向指向軌跡的凹側(cè)，則合力方向不一定豎直

向下，選項(xiàng)A錯誤；飛機(jī)做曲線運(yùn)動，加速度不為零，則所受合力大小不等于0,

選項(xiàng)B正確；飛機(jī)的速率保持不變，則向下運(yùn)動時豎直分速度變大，水平分速

度減小，選項(xiàng)C正確，D錯誤。

跟蹤訓(xùn)練

1.（2023?河南鄭州高三月考）一個質(zhì)點(diǎn)受兩個互成銳角的恒力B和B作用，由靜

止開始運(yùn)動，若運(yùn)動過程中保持二力方向不變，但Fi突然增大到Fi+AF,則質(zhì)

點(diǎn)以后（）

A.繼續(xù)做勻變速直線運(yùn)動

B.在相等時間內(nèi)速度的變化量一定相等

C.可能做勻速直線運(yùn)動

D.可能做變加速曲線運(yùn)動

答案B

解析當(dāng)后突然增大到Q+△/瞬間，合力的大小和方向發(fā)生了變化，此時合力

與速度的方向不在同一條直線上，質(zhì)點(diǎn)將做曲線運(yùn)動，接下來合力的大小和方向

再次保持不變，加速度再次保持不變，因此質(zhì)點(diǎn)一定做勻變速曲線運(yùn)動，在相等

時間內(nèi)速度的變化量一定相等，故B正確。

考點(diǎn)二運(yùn)動的合成與分解

1?合運(yùn)動的性質(zhì)判斷

工…4人變化：非勻變速運(yùn)動

加速度（或合外力4丁卡與什、擊、一小

I不變：勻變速運(yùn)動

加速度（或合外力）［共線：直線運(yùn)動

方向與速度方向［不共線：曲線運(yùn)動

加速度（或合外力）為0：勻速直線運(yùn)動

2.兩個直線運(yùn)動的合運(yùn)動性質(zhì)的判斷

依據(jù)：看合初速度方向與合加速度（或合外力）方向是否共線。

兩個互成角度的分運(yùn)動合運(yùn)動的性質(zhì)

兩個勻速直線運(yùn)動勻速直線運(yùn)動

一個勻速直線運(yùn)動、一個勻變速直線運(yùn)動勻變速曲線運(yùn)動

兩個初速度為零的勻加速直線運(yùn)動勻加速直線運(yùn)動

如果0臺與。臺共線，為勻變速

直線運(yùn)動

兩個初速度不為零的勻變速直線運(yùn)動

如果。合與。合不共線，為勻變

速曲線運(yùn)動

例2如圖3所示，當(dāng)運(yùn)動員從直升機(jī)上由靜止跳下后，在下落過程中將會受到

水平風(fēng)力的影響，下列說法中正確的是（）

圖3

A.風(fēng)力越大，運(yùn)動員下落時間越長，運(yùn)動員可完成更多的動作

B.風(fēng)力越大，運(yùn)動員著地時的豎直速度越大，有可能對運(yùn)動員造成傷害

C.運(yùn)動員下落時間與風(fēng)力無關(guān)

D.運(yùn)動員著地速度與風(fēng)力無關(guān)

答案C

解析運(yùn)動員同時參與了兩個分運(yùn)動，豎直方向和水平方向的運(yùn)動，兩個分運(yùn)動

同時發(fā)生，相互獨(dú)立，則水平方向的風(fēng)力大小不影響豎直方向的運(yùn)動，即

落地時間不變，選項(xiàng)A錯誤，C正確；不論風(fēng)速大小，運(yùn)動員著地時的豎直速

度不變，但水平風(fēng)速越大，水平方向的速度越大，則落地的合速度越大，故B、

D錯誤。

跟蹤訓(xùn)練

2.(2022?江蘇南京模擬)雨滴在空中以4m/s的速度勻速豎直下落，某同學(xué)打傘以

3m/s的速度勻速向西急行，如果希望雨滴垂直打向傘的截面，則傘柄應(yīng)指的方

向?yàn)?已知sin37o=0.6,cos37°=0.8)()

A.向西傾斜，與豎直方向成53。角

B.向西傾斜，與豎直方向成37。角

C.向東傾斜，與豎直方向成37。角

D.向東傾斜，與豎直方向成53。角

答案B

解析如圖所示，以傘面為參考系，雨滴同時有水平向東和豎直向下的分速度，

3

則有tan0=不解得。=37。，可知傘柄應(yīng)指的方向?yàn)橄蛭鲀A斜，與豎直方向成37。

角，B正確，A、C、D錯誤。

-____^3m/s

\；,傘面

4柄

考點(diǎn)三小船渡河模型

1.船的實(shí)際運(yùn)動：是隨水漂流的運(yùn)動和船相對靜水的運(yùn)動的合運(yùn)動。

2.三種速度：船在靜水中的速度。瞑水流的速度。水、船的實(shí)際速度以

3.兩類問題、三種情景

當(dāng)船頭方向垂直河岸時，渡河

渡河時間最短一■:

:時間最短,最短時間rmin=—

如果。傅水，當(dāng)船頭方向與

TH上游河岸夾角0滿足v船cos0

立.」=。水時，合速度垂直于河岸，

渡河位移最短，等于河寬d

渡河位移最短

如果v船V。水,當(dāng)船頭方向（即

V船方向）與合速度方向垂直

、、/時，渡河位移最短，等于血水

4.分析思路

例3（多選）（2023?河北邙鄲高三期末）2021年夏天，中國多地出現(xiàn)暴雨，導(dǎo)致洪澇

災(zāi)害。在某次救援演習(xí)中，一沖鋒舟勻速橫渡一關(guān)兩岸平直、水流速度不變的河

流，當(dāng)沖鋒舟船頭垂直河岸航行時，恰能到達(dá)止對岸卜游600m處；若沖鋒舟船

頭保持與河岸成30。角向上游航行時，則恰能到達(dá)正對岸，已知河水的流速大小

為5m/s,下列說法正確的是（）

A.沖鋒舟在靜水中的速度大小為10m/s

B.河的寬度為4（）0仍in

C.沖鋒舟在靜水中的速度大小為當(dāng)叵m/s

D.河的寬度為600V5m

答案BC

解析沖鋒舟恰能到達(dá)正對岸時，在靜水中速度0吊與水的流速。水的合速度垂直

于河岸，則有。靜cos30。=。水，解得。*=當(dāng)叵m/s,故A錯誤，C正確；當(dāng)沖

鋒舟船頭垂直河岸航行時，恰能到達(dá)正對岸下游600m處，由于船在垂直河岸方

向和沿河岸方向都是勻速運(yùn)動，所以兩個方向的位移之比等于兩方向的速度之

比，即巴=F，式中S指沿河岸方向的位移，為600m,d指河寬，可解得d=

40Mm,故B正確，D錯誤。

跟蹤訓(xùn)練

3.如圖4所示，河水由西向東流，河寬為800m,河中各點(diǎn)的水流速度大小為

。水，各點(diǎn)到較近河岸的距離為x,。水與x的關(guān)系為。水=^N（m/s）（x的單位為

m）,讓小船船頭垂直河岸由南向北渡河，小船劃水速度大小恒為。船=4m/s,則

下列說法正確的是（）

匕:1-

小800m上*

圖4

A.小船渡河的軌跡為直線

B.小船在河水中的最大速度是5m/s

C.小船在距南岸200m處的速度小于在距北岸200m處的速度

D.小船渡河的時間是160s

答案B

解析小船在南北方向上為勻速直線運(yùn)動，在東西方向上先加速，到達(dá)河中間后

再減速，速度與加速度不共線，小船的合運(yùn)動是曲線運(yùn)動，選項(xiàng)A錯誤；當(dāng)小

船運(yùn)動到河中間時，東西方向上的分速度最大，。水=3m/s,此時小船的合速度

最大，最大值。m=5m/s,選項(xiàng)B正確；小船在距南岸200m處的速度等于在距

北岸20（）m處的速度，選項(xiàng)C錯誤；小船的渡河時間，="=竽s=200s,選

加”

項(xiàng)D錯誤。

考點(diǎn)四繩（桿）端速度分解模型

1.模型特點(diǎn)

與繩（桿）相連的物體運(yùn)動方向與繩（桿）不在一條直線上，沿繩（桿）方向的速度分量

大小相等。

2.分解原則

合運(yùn)動一繩（或桿）拉物體的實(shí)際運(yùn)動速度u

上解

沿繩（或桿）的分速度P”

分運(yùn)動一

與繩（或桿）垂直的分速度小

3.常見模型

模型EI繩端速度分解模型

例4（多選）如圖5所示，不可伸長的輕繩，繞過光滑定滑輪C,與質(zhì)量為〃7的物

體A連接，A放在傾角為0的光滑斜面上，繩的另一端和套在固定豎直桿上的物

體3連接，連接物體8的繩最初水平。從當(dāng)前位置開始，使物體B以速度。沿

桿勻速向下運(yùn)動，設(shè)繩的拉力為FT,在此后的運(yùn)動過程中，下列說法正確的是

)

A.物體A做加速運(yùn)動B.物體A做勻速運(yùn)動

C/T小于mgsin0D.FT大于〃zgsin9

答案AD

解析由圖可知繩端的速度。維=osina,與B的位置有關(guān)，因?yàn)?為勻速運(yùn)動,

B下降過程中。變大，。雎變大，因此物體A做加速運(yùn)動，F(xiàn)T大于mgsin仇故A、

D正確，B、C錯誤。

跟蹤訓(xùn)練

4.質(zhì)量為m的物體P置于傾角為Oy的固定光滑斜面上，輕細(xì)繩跨過光滑定滑輪

分別連接著P與小車，尸與滑輪間的細(xì)繩平行于斜面，小車以速率。水平向右做

勻速直線運(yùn)動，當(dāng)小車與滑輪間的細(xì)繩和水平方向成夾角仇時（如圖6）,下列判

斷正確的是（）

圖6

A.P的速率為v

B.戶的速率為OCOS02

C.繩的拉力等于/〃gsin0\

D.繩的拉力小于mgsin0\

答案B

解析將小車的速度〃沿繩子方向和垂直于繩子方向正交分解，如圖所示，物體

。的速度與小車沿繩子方向的速度相等，則有。P=ocos02,故B正確，A錯誤；

小車向右運(yùn)動，02減小，。不變，所以勿逐漸變大，說明物體P沿斜面向上做

加速運(yùn)動。對物體P受力分析可知，物體尸受到豎直向下的重力，垂直于斜面

向上的支持力，沿繩向上的拉力FT,沿斜面和垂直于斜面方向建立正交軸，沿

斜面方向由牛頓第二定律可得可得尸r>mgsin4，故C、D

錯誤。

模型閃桿端速度分解模型

例5（2023?湖北武漢高三期末）活塞帶動飛輪轉(zhuǎn)動可簡化為如圖7所示的模型：圖

中A、B、。三處都是轉(zhuǎn)軸，當(dāng)活塞在水平方向上移動時，帶動連桿運(yùn)動,

進(jìn)而帶動0B桿以。點(diǎn)為軸轉(zhuǎn)動。若某時刻活塞的水平速度大小為V,連檸AB

與水平方向夾角為a,A8桿與OB桿的夾角為￡,此時8點(diǎn)做圓周運(yùn)動的線速

度大小為（)

圖7

osina0cosa優(yōu)osavsina

B..〃D.77

A，sinPsin。,cosCOSP

答案B

解析設(shè)3點(diǎn)做圓周運(yùn)動的線速度大小為4,此速度為B的實(shí)際速度，根據(jù)運(yùn)

動的合成與分解，可以分解為沿桿方向的分速度和垂直桿方向的分速度，如圖,

71

沿桿方向的分速度為O5=UCOS\P—引2=i/sin成，A點(diǎn)速度為水平方向的。，根據(jù)

運(yùn)動的合成與分解，可以分解為沿桿方向的分速度和垂直桿方向的分速度，如上

圖，沿桿方向的分速度為IM=OCOS%又有二者沿桿方向的分速度相等，即

"sin/?=PCOSa,

跟蹤訓(xùn)練

5.如圖8所示，長為勺直桿一端可繞固定軸O無摩擦轉(zhuǎn)動，另一端靠在以水平

速度。勻速向左運(yùn)動、表面光滑的豎直擋板上，當(dāng)直桿與啜直方向夾角為?時,

直桿端點(diǎn)A的線速度為（

v

A-sin^B.usin0c?高D.ocos6

答案c

解析將直桿端點(diǎn)A的線速度進(jìn)行分解，如圖所示，由圖中的幾何關(guān)系可得

選項(xiàng)正確，、、錯誤。

ro=~J、~＜/7,CABD

提升素養(yǎng)能力

（限時：40分鐘）

A級基礎(chǔ)對點(diǎn)練

對點(diǎn)練1曲線運(yùn)動的條件和軌跡分析

1.（2022?廣東深圳模擬）一輛汽車在水平公路上轉(zhuǎn)彎，沿曲線由M向N行駛，速

度逐漸增大。圖中分別畫出了汽車轉(zhuǎn)彎時受到的合力F的四種方向，可能正確

的是（)

A

答案B

解析一輛汽車在水平公路上轉(zhuǎn)彎，沿曲線由例向N行駛，合力廠指向曲線彎

曲的凹側(cè)，由M向N行駛時速度逐漸增大，合力”需與速度成銳角，綜合來看,

B是可能的，B正確。

2.（2023?浙江杭州高三月考）“落葉球”是足球比賽中任意球的一種踢法，如圖1

所示，這是某運(yùn)動員主罰任意球時踢出快速旋轉(zhuǎn)的“落葉球”在空中運(yùn)動的軌跡

跟正常飛行軌跡相比，“落葉球”會更早地向下落回地面。對“落葉球”在聒亍

過程中的分析正確的是（）

正常軌跡

圖1

A.“落I“球”在空中的運(yùn)動軌跡是對稱的

B.“落葉球”更早下落是因?yàn)樵谶\(yùn)動過程中受到了指向軌跡內(nèi)側(cè)的空氣作用力

C“落葉球”的更早下落是因?yàn)樵谶\(yùn)動過程中受到了沿切線方向的空氣阻力

D.“落葉球”在最高點(diǎn)的瞬時速度為零

答案B

解析“落葉球”是快速旋轉(zhuǎn)的球，所以在空中的軌跡是不對稱的，A錯誤；根

據(jù)做曲線運(yùn)動的條件知，“落葉球”的更早下落是因?yàn)樵谶\(yùn)動過程中受到了指向

軌跡內(nèi)側(cè)的空氣作用力，C錯誤，B正確；“落葉球”在最高點(diǎn)的豎直速度為零，

水平速度不為零，所以瞬時速度不為零，D錯誤。

對點(diǎn)練2運(yùn)動的合成與分解

3.如圖2所示，一熱氣球在勻加速豎直向上運(yùn)動的同時隨著水平氣流向右勻速運(yùn)

動，若設(shè)豎直向上為），軸正方向，水平向右為x軸正方向，則熱氣球?qū)嶋H運(yùn)動的

軌跡可能是（）

圖2

ABCD

答案B

解析氣球水平向右做勻速運(yùn)動，豎直向上做勻加速運(yùn)動，則合加速度豎直向上,

所受合力豎直向上，軌跡向上彎曲，故B正確。

4.一小型無人機(jī)在高空中飛行，將其運(yùn)動沿水平方向和豎直方向分解，水平位移

x隨時間，變化的圖像如圖3甲所示，豎直方向的速度仍隨時間f變化的圖像如

圖乙所示。關(guān)于無人機(jī)的運(yùn)動，下列說法正確的是（）

圖3

A.0?2s內(nèi)做勻加速直線運(yùn)動

B.r=2s時速度大小為小m/s

C.2?4s內(nèi)加速度大小為1m/s2

D.0?4s內(nèi)位移大小為10m

答案B

解析對無人機(jī)，0?2s內(nèi)，由題圖甲知，水平方向做勻速直線運(yùn)動，由題圖乙

知，豎直方向做勻加速直線運(yùn)動，則0?2s內(nèi)做勻加速曲線運(yùn)動，故A錯誤；

水平方向速度大小為“=1m/s,，=2s時豎直方向速度大小為s.=2m/s,貝］，=

2s時速度大小為？=\'*+蟾=小m/s,故B正稿；2?4s內(nèi)水平方向、豎直方

向均做勻速直線運(yùn)動，加速度大小為0,故C錯誤；0?4s內(nèi)水平方向位移大小

為x=4m,豎直方向位移大小為y=；X2X2m+（4—2）X2m=6m,則位移大

小為s=、f+y2=2行m,故D錯誤。

對點(diǎn)練3小船渡河模型

5.（2023?福建福州模擬）洪水無情人有情，每一次重大搶險救災(zāi)，都有子弟兵的身

影。如圖4所示，水速為0,消防武警駕駛沖鋒舟行駛，若沖鋒舟沿與平直河岸

成30。角的線路把被困群眾從A處送到對岸安全地8處，采取以最小速度和最短

時間兩種方案行駛，則兩種方案中沖鋒舟的最小速度小和以最短時間行駛沖鋒

舟的速度S之比為（）

A.1：2B.1:小C.2:黃D.小：2

答案D

解析沖鋒舟以最小速度S和最短時間分別從A到從沖鋒舟最小速度切垂直

于A8連線，有oi=osin30。，最短時間行駛時沖鋒舟速度。2垂直于水平河岸，

有s=iHan30°,可知—=cos30°=華，故選項(xiàng)D正確。

6.(2022?四川成者/美擬)一條平直小河的河水由西向東流，水流速度的大小為。水

=4m/s,讓小船船頭垂直河岸由南向北渡河，已知小船在垂直河岸方向運(yùn)動的

規(guī)律滿足犬=6/—().()5巴且小船剛好到達(dá)河對岸，則關(guān)于小船在渡河的這段時間

內(nèi)的運(yùn)動情況，下列說法正確的是()

A.小船渡河的軌跡為直線

B.小船在河水中40s時的速度為由m/s

C.小船在河水中40s時的位移為160m

D.小船到達(dá)河對岸時沿河岸方向運(yùn)動的位移為240m

答案D

解析由題意可知，在這段時間內(nèi)小船沿河岸方向做勻速直線運(yùn)動，垂直河岸方

2

向做勻減速直線運(yùn)動，減速運(yùn)動的初速度加=6m/s,加速度。=—0.1m/s0這

段時間小船所受合力垂直河岸，與速度不共線，小船做曲線運(yùn)動，故A錯誤；

由。=a)+。/,可得，=40s時垂直河岸方向的速度為2m/s,根據(jù)平行四邊形定

則求得合速度為2小in/s,故B錯誤；由x=6r-().()5尸，求得，=4()s時小船垂

直河岸方向的位移為160m,此時沿河岸方向的位移為160m,由平行四邊形定

則求得合位移為16Mm,故C錯誤；由。=%+“可得，垂直河岸方向的速度

為0時經(jīng)過的時間為60s,小船沿河岸方向運(yùn)動的位移為x沿河岸水f=240m,

故D正確.

對點(diǎn)練4繩(桿)端速度分解模型

7.(2023?福建福州高三月考)如圖5所示，一輛貨車?yán)每邕^光滑定滑輪的輕質(zhì)纜

繩提升一箱貨物，已知貨箱的質(zhì)量為M,貨物的質(zhì)量為〃7,貨車以速度。向左做

勻速直線運(yùn)動，重力加速度為g,則在將貨物提升到圖示的位置時，下列說法正

確的是()

圖5

A.纜繩中的拉力FT大于(M+Mg

B.貨箱向上運(yùn)動的速度大于O

C.貨箱向上運(yùn)動的速度等于高

C7

D.貨箱處于失重狀態(tài)

答案A

解析將貨車的速度進(jìn)行正交分解，如圖所示，曰于繩子不可伸長，貨箱和貨物

整體向上運(yùn)動的速度和貨車速度沿著繩子方向的分量相等，故切=DCOS。，則貨

箱向上運(yùn)動的速度小于。，故B、C錯誤；由于。不斷減小，cose增大，故vi

增大，所以貨箱和貨物整體向上做加速運(yùn)動，加速度向上，故拉力H大于（M+

機(jī)）g,則貨箱處于超重狀態(tài)，故A正確，D錯誤。

8.如圖6,甲、乙兩光滑小球（均可視為質(zhì)點(diǎn)）用輕直桿連接，乙球處于粗糙水平

地面上，甲球緊靠在粗糙的豎直墻壁上，初始時輕桿豎直，桿長為4m。施加微

小的擾動，使得乙球沿水平地面向右滑動，當(dāng)乙球距離起點(diǎn)3m時，下列說法正

確的是（）

圖6

A.甲、乙兩球的速度大小之比為?。?

B.甲、乙兩球的速度大小之比為3幣：7

C.甲球即將落地時，乙球的速度與甲球的速度大小相等

D.甲球即將落地時，乙球的速度達(dá)到最大

答案B

解析設(shè)輕桿與豎直方向的夾角為仇則。I在沿桿方向的分量為切〃=O1COS仇

書

。2在沿桿方向的分量為S/，=02sin。，而圖示位置時，有COS9=￥，

sin0=點(diǎn)解得此時甲、乙兩球的速度大小之比為藍(lán)=斗，選項(xiàng)A錯誤，B正確;

當(dāng)甲球即將落地時，有。=90。，此時甲球的速度達(dá)到最大，而乙球的速度為零,

選項(xiàng)C、D錯誤。

B級綜合提升練

9.（2022?山東臨沂模擬）如圖7,某河流中水流速度大小恒為s,A處的下游C處

4

有個漩渦，漩渦與河岸相切于8點(diǎn)，漩渦的半徑為r,A8=y。為使小船從A點(diǎn)

出發(fā)以恒定的速度安全到達(dá)對岸，小船航行時在靜水中速度的最小值為（）

AB

B翔

答案B

解析根據(jù)題意得tan?=5,解得9=37。，小船航行時在靜水中速度的最小值

為。2=visin20,解得。2=行切，故B正確。

A%B

10.如圖8所示，甲、乙兩船在同一條河流中同時開始渡河，M、N分別是甲、乙

兩船的出發(fā)點(diǎn)，兩船頭與河岸均成。角，甲船船頭恰好對準(zhǔn)N點(diǎn)的正對岸P點(diǎn),

經(jīng)過一段時間乙船恰好到達(dá)P點(diǎn)，如果劃船速度大小相等，且兩船相遇不影響

各自的航行，下列判斷正確的是（）

MN

圖8

A.甲船也能到達(dá)正對岸

B.甲船渡河時間一定短

C.兩船相遇在NP直線上的某點(diǎn)（非P點(diǎn)）

D.渡河過程中兩船不會相遇

答案C

解析甲船航行的方向與河岸成a角，水流速度水平向右，故合速度一定不會垂

直河岸，即甲船不能垂直到達(dá)對岸，故A錯誤；在垂直河岸方向上，。用=osina,

。乙=osina,故渡河時間，甲=f=羔//乙=《=羨三,所以兩船渡河時間相

0甲l/blll（X。乙l/olll（X

等，因?yàn)樵诖怪焙影斗较蛏系姆炙俣认嗟?，又是同時出發(fā)的，故兩船相遇在NP

直線上的某點(diǎn)（非尸點(diǎn)），故B、D錯誤，C正確。

11.（2022?江蘇南京模擬）如圖9所示，豎直平面內(nèi)放一直角桿MOM桿的水平部

分粗糙，動摩擦因數(shù)4=0.2,桿的豎直部分光滑。兩部分各套有質(zhì)量均為1kg

的小球A和8,A、8球間用細(xì)繩相連。A球在水平拉力戶的作用下向右做速度

大小為2m/s的勻速運(yùn)動。^=I0m/s2,那么在該過程中（）

A.拉力尸為恒力,大小為4N

B.A球所受的摩擦力為恒力，大小為4N

C.B球向上做速度大小為2m/s的勻速運(yùn)動

D.B球向上做加速運(yùn)動，當(dāng)OA=3m,08=401時:8球的速度為1.5m/s

答案D

解析設(shè)某時刻細(xì)繩與豎直方向的夾角為。，如圖甲，因繩子不可伸長，所以有

VAsin0=VBCOS0,化簡得O8=iMtan0,在運(yùn)動過程中，繩子與豎直方向的夾角一

直在增大，所以B球的速度一直增大，選項(xiàng)C錯誤；當(dāng)OA=3m,O3=4m時,

B球的速度6=2x(m/s=1.5m/s,選項(xiàng)D正確;

分別對A、4受力分析如圖乙，根據(jù)前面分析有。3=0ManO,由數(shù)學(xué)知識可知8

球的速度增加的越來越快，即加速度越來越大，設(shè)8球的加速度大小為。，這時

繩的拉力的豎直分量為FTCOS0=mg-\~ma,對A球有FNI=FTCOS0+mg=2mg+

ma,則摩擦力衣=〃尺1=〃(2/咫+〃也)，由于。變化，則A球所受的摩擦力不為

恒力，選項(xiàng)B錯誤；由于4球勻速運(yùn)動,所以拉力/=R+pTsin0=〃(2mg+〃⑷

+尸rsinO,由于。和。不斷變化，則拉力廠不是恒力，選項(xiàng)A錯誤。

乙

12.(2023?廣東廣州高三〃練)質(zhì)量m=2kg的物體在光滑水平面上運(yùn)動，其在相

互垂直的犬方向和y方向的分速度“和辦隨時間變化的圖像如圖10甲、乙所示,

求：

圖

(1)物體所受的合力大?。?/p>

(2)物體的初速度大?。?/p>

(3)0?4s內(nèi)物體的位移大小;

(4)力=8s時物體的速度大小:

(5)物體運(yùn)動軌跡的表達(dá)式。

答案(1)1N(2)3m/s(3)中\(zhòng)所m(4)5m/s(5)y=^(m)

解析(1)物體在x方向的加速度大小z=0

在y方向的加速度大小生、=力=().5m/s2

2

故合加速度為a=ay=0.5m/s

根據(jù)牛頓第二定律得/合=m。=1No

(2)由題圖可知如)=3m/s,30=0

所以物體的初速度大小為。0=80=3m/s0

(3)0?4s內(nèi)物體在x、y方向上位移分別為

x\=v.^h=\2m,yi=；a)r?=4m

所以0?4s內(nèi)物體的位移

si=、x?+y?=4#^m,

(4)f2=8s時，物體在以y方向上速度分別為

Vx2=V.XG=3m/s,Vy2=ciyt2=4m/s

所以此時物體的速度大小為

。2=、品+碇2=5m/s。

,1.

(5)由y=-jayt-,vx=3m/s

aj=0.5m/s2,聯(lián)立可得產(chǎn)治(m)。第2講拋體運(yùn)動

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解平拋運(yùn)動、斜拋運(yùn)動的概念及運(yùn)動性質(zhì)。2.掌握拋體運(yùn)動的規(guī)

律，會用運(yùn)動的合成與分解的方法處理拋體運(yùn)動。3.會運(yùn)用平拋運(yùn)動的規(guī)律處

理類平拋問題。

夯實(shí)必備知識

1.

將物體以?定的初速度沿水平方向拋出,物體只

定義

在重力作用下的運(yùn)動

_TjZ7^_平拋運(yùn)動是加速度為q的勻變速曲線運(yùn)動，運(yùn)動軌

_跡是拋物線

平

拋廠(1)水平方向：勻速宜線運(yùn)向

研究運(yùn)動的合

運(yùn)

方法成與分解工(2)豎直方向：自由落體運(yùn)動

動

(1)速度與時間的關(guān)系

基本

規(guī)律

(2)位移與時間的關(guān)系

水平方向:x%6合大?。?=后京

2.

將物體以初速度《斜向上方或斜向下方拋出.物體

一只在重力作用下的運(yùn)動

一

般

斜拋運(yùn)動是加速度為4的包變逑曲線運(yùn)動.運(yùn)動軌

的

跡是拋物線

拋

體勻速在線運(yùn)動以斜上拋運(yùn)動為例.

運(yùn)

水平—t\=t?ucos8如圖所示

動方向

x=(v(tcos0)t

基本

規(guī)律勻變速自線運(yùn)動

豎直_i，,=%sin8-gf

方向

r=t\/sin5gt2

1.思考判斷

(1)以一定初速度水平拋出的物體所做的運(yùn)動就是平拋運(yùn)動。(X)

(2)做平拋運(yùn)動的物體的速度方向時刻在變化，加速度方向也時刻在變化。(X)

⑶做平拋運(yùn)動的物體的初速度越大，水平位移越大。(X)

（4）做平拋運(yùn)動的物體的初速度越大，在空中飛行時間越長。（X）

（5）若不計(jì)空氣阻力，從同一高度平拋的物體，在空中飛行時間相等。（J）

（6）做平拋運(yùn)動的物體在任意相等的時間內(nèi)速度的變化量是相同的。（J）

2.第24屆冬奧會于2022年2月4日在北京隆重開幕。若冬奧會跳臺滑雪比賽運(yùn)

動員從平臺飛出后可視為平拋運(yùn)動，現(xiàn)運(yùn)動員甲以一定的初速度從平臺飛出，軌

跡為圖1中實(shí)線①所示，質(zhì)量比甲小的運(yùn)動員乙以相同的初速度從平臺同一位置

飛出，不計(jì)空氣阻力，則運(yùn)動員乙的運(yùn)動軌跡應(yīng)為圖中的（）

圖1

A.①B.②C.③D.?

答案A

研透核心考點(diǎn)

考點(diǎn)一平拋運(yùn)動基本規(guī)律的應(yīng)用

1.飛行時間

由知，下落的時間取決于下落高度人與初速度。。無關(guān)。

2.水平射程

x=vg=voy咪,即水平射程由初速度必和下落高度h共同決定。

3.速度改變量

因?yàn)槠綊佭\(yùn)動的加速度為恒定的重力加速度g,所以做平拋運(yùn)動的物體在任意相

等時間間隔加內(nèi)的速度改變量是相同的，方向恒為豎直向下，如圖

所示。

4.兩個重要推論

(1)做平拋

運(yùn)動的物體在任意時刻的瞬時速度的反向延長線一定通過此時水平位移的中點(diǎn),

即初=當(dāng)，如圖所示。

(2)做平拋運(yùn)動的物體在任意時刻任意位置處，有tan0=2tan呢

角度II單物體的平拋運(yùn)動

例1(2022?廣東卷，6)如圖2所示，在豎直平面內(nèi)，截面為三角形的小積木懸掛

在離地足夠高處.一玩具槍的槍口與小積木上尸點(diǎn)等高且相距為當(dāng)玩具子彈

以水平速度。從槍口向P點(diǎn)射出時，小積木恰好由靜止釋放，子彈從射出至擊

中積木所用時間為人不計(jì)空氣阻力。下列關(guān)于子彈的說法正確的是()

A.將擊中P點(diǎn)，1大于與

B.將擊中P點(diǎn)，/等于與

C.將擊中尸點(diǎn)上方，，大于§

D.將擊中「點(diǎn)下方，7等于9

答案B

解析由題意知槍口與P點(diǎn)等高，子彈和小積木在豎直方向上均做自由落體運(yùn)

動，當(dāng)子彈擊中積木時子彈和積木的運(yùn)動時間相同，根據(jù)〃=%巴可知下落高

度相同，所以將擊中尸點(diǎn)；初始狀態(tài)子彈到尸點(diǎn)的水平距離為L,子彈在水平方

向上做勻速直線運(yùn)動，有故B正確。

跟蹤訓(xùn)練

1.（2023?湖北武漢月考）用圖3甲所示的裝置研究平拋運(yùn)動，在水平桌面上放置一

個斜面，每次都讓小鋼球從斜面上的同一位置由靜止?jié)L下，滾過桌邊后鋼球便做

平拋運(yùn)動打在豎直墻壁上，把白紙和復(fù)寫紙貼在墻上，就可以記錄小鋼球的落點(diǎn)。

改變桌子和墻的距離，就可以得到多組數(shù)據(jù)。已知四次實(shí)驗(yàn)中桌子右邊緣離墻的

距離分別為10cm、20cm、30cm、40cm,在白紙上記錄的對應(yīng)落點(diǎn)分別為A、

B、C、D,如圖乙所示，B、C、。三點(diǎn)到A點(diǎn)的距離之比為（）

?A

?B

?c

?D

乙

圖3

A.4：9：16B.3：8：15

C.3：5：7D.1：3：5

答案B

解析根據(jù)平拋運(yùn)動規(guī)律得x=00f,〃=*尸，可知運(yùn)動時間之比力：尬：：白=

1：2：3：4,豎直方向運(yùn)動距離之比歷：hi：加：h4=\：4：9：16,則B、C、

D三點(diǎn)到A點(diǎn)的距離之比（出一加）：（，一點(diǎn)）：（加一加）=3：8：15,故B正確。

角度見多物體的平拋運(yùn)動

例2如圖4所示，4、8兩點(diǎn)在同一條豎直線上，4點(diǎn)離地面的高度為368點(diǎn)

離地面的高度為2力。將兩個小球分別從A、B兩點(diǎn)水平拋出，它們在。點(diǎn)相遇,

。點(diǎn)離地面的高度為〃。已知重力加速度為g,貝U（）

AQ~?

圖4

A.兩個小球一定同時拋出

B.兩個小球一定同時落地

C.兩個小球拋出的時間間隔為（2一也八

D.兩個小球拋出的初速度之喘若

答案C

解析平拋運(yùn)動在豎直方向上做自由落體運(yùn)動，由力=/產(chǎn)，得，=\/5,由于人

到。的豎直高度較大，所以從A點(diǎn)拋出的小球運(yùn)動時間較長，應(yīng)A先拋出；它

們在。點(diǎn)相遇時A的豎直方向速度較大，離地面的高度相同，所以4小球一定

先落地，故A、B錯誤；由1=\/￡得兩個小球拋出的時間間隔為。=以一/8=

，故C正確；由x=vot得。0=,x相等,

則小球A、3拋出的初速度之比?=,故D錯誤。

跟蹤訓(xùn)練

2.如圖5所示，x軸在水平地面上，y軸在豎直方向。圖中畫出了從），軸上沿x

軸正方向水平拋出的三個小球。、人和c的運(yùn)動軌跡。不計(jì)空氣阻力，下列說法

正確的是（）

M和b的初速度大小之比為第：1

B4和h在空中運(yùn)動的時間之比為2：1

C.〃和c在空中運(yùn)動的時間之比為明：1

D.a和c的初速度大小之比為2：1

答案C

解析根據(jù)，=4段可知。和人在空中運(yùn)動的時間之比為也：1;根據(jù)。=:可知

。和人的初速度大小之比為1:V2,選項(xiàng)A、B錯誤；根據(jù)，=4自可知。和c

在空中運(yùn)動的時間之比為啦：1,根據(jù)。=，可知。和c的初速度大小之比為

也：1,選項(xiàng)C正確，D錯誤。

考點(diǎn)二類平拋運(yùn)動

1.受力特點(diǎn)

物體所受合力為恒力，且與初速度的方向垂直。

2.運(yùn)動特點(diǎn)

在初速度。。方向做勻速直線運(yùn)動，在合力方向做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動,

加速度。=聯(lián)。

3.求解方法

（1）常規(guī)分解法：將類平拋運(yùn)動分解為沿初速度方向的勻速直線運(yùn)動和垂直于初

速度方向（即沿合力方向）的勻加速直線運(yùn)動，兩分運(yùn)動彼此獨(dú)立，互不影響，且

與合運(yùn)動具有等時性。

⑵特殊分解法：對于有些問題，可以過拋出點(diǎn)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，將加速

度分解為。八的，初速度分解為“、vyt然后分別在x、y方向列方程求解。

例3（2023?浙江杭州高三專練）據(jù)悉，我國已在陜西省西安市的閻良機(jī)場建立了一

座航空母艦所使用的滑跳式甲板跑道，用來讓飛行員練習(xí)在航空母艦上的滑跳式

甲板起飛。如圖6所示的AOB為此跑道縱截面示意圖，其中AO段水平，OB為

拋物線，O點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，拋物線過O點(diǎn)的切線水平，03的水平距離為尤

豎直高度為某次訓(xùn)練中，觀察戰(zhàn)機(jī)（視為質(zhì)點(diǎn)）通過03段時，得知戰(zhàn)機(jī)在水

平方向做勻速直線運(yùn)動，所用時間為3則戰(zhàn)機(jī)離開8點(diǎn)的速率為（）

B

仃

：y

A

圖6

A."B)

口++4f

答案D

解析戰(zhàn)機(jī)的運(yùn)動軌跡為拋物線，則＞=\尸，解得。=些則8點(diǎn)的豎

直速度viy=2ay=^-；則戰(zhàn)機(jī)離開B點(diǎn)的速率為v尸正不風(fēng)=、J$+爺=

7尸+4)2

V1,故D正確。

跟蹤訓(xùn)練

3.如圖7所示的光滑斜面長為/,寬為小傾角為仇一物塊(可看成質(zhì)點(diǎn))沿斜面

左上方頂點(diǎn)P水平射入，恰好從底端。點(diǎn)離開斜面，試求：(重力加速度為g)

⑴物塊由尸運(yùn)動到。所用的時間/；

(2)物塊由P點(diǎn)水平射入時的初速度g的大??；

(3)物塊離開Q點(diǎn)時速度的大小Po

答案⑴QsinOQ)叭I21⑶N21

解析(1)沿斜面向下，有

mgsin0=ma

l=^at2

聯(lián)立解得『北為

(2)沿水平方向，有b=vot

vo=^=lr\l^°

(3)物塊離開Q點(diǎn)時的速度大小

/一,、//(/+")gsin。

v=y]vn-\-Cat)~=八'---------------

27

考點(diǎn)三斜拋運(yùn)動

1.斜拋運(yùn)動的射高和射程

⑴斜拋運(yùn)動的飛行時間—=等=軍誓。

OO

（2）射IWJ：h—2g—2g°

ME八2vosin^cos0posin26...皿八..

（3）射程：5-uocosO-i------------一一--,對于給定的。o,當(dāng)〃一45。時，射

OO

程達(dá)到最大值，Smax=^。

2.逆向思維法處理斜拋運(yùn)動

對斜上拋運(yùn)動從拋出點(diǎn)到最高點(diǎn)的運(yùn)動，可逆過程分析，看成平拋運(yùn)動，分析完

整的斜上拋運(yùn)動，還無根據(jù)對稱性求解某些問題。

例4（2023?浙江杭州模擬）如圖8所示，某同學(xué)將質(zhì)量相同的二個物體從水平地面

上的A點(diǎn)以同一速率沿不同方向拋出，運(yùn)動軌跡分別為圖上的1、2、3。若忽略

空氣阻力，在三個物體從拋出到落地過程中，下列說法正確的是（）

圖8

A.軌跡為1的物體在最高點(diǎn)的速度最大

B.軌跡為3的物體在空中飛行時間最長

C軌跡為1的物體所受重力的沖量最大

D.三個物體單位時間內(nèi)速度變化量不同

答案C

解析根據(jù)斜上拋運(yùn)動的對稱性可知，物體在最高點(diǎn)的速度為平拋運(yùn)動的初速

度，由力=%尸和X=C'Of得加二丫'，^,可得。01<次）2<。03,即軌跡為3的物體

在最高點(diǎn)的速度最大，故A錯誤；由〃=上尸知，斜拋的總時間為f總=2h2/11

>/n>/n,可得軌跡為1的物體在空中飛行時間最長，故B錯誤；重力的沖量為

lG=，ngf,則軌跡為1的物體所受重力的沖量最大，故C正確；三個物體均做斜

上拋運(yùn)動，由加，=0&可知，單位時間內(nèi)速度變化量相同均為g,故D錯誤。

跟蹤訓(xùn)練

4.（多選）在籃球比賽中，投籃的投出角度太大和太小，都會影響投籃的命中率。

在一次投籃表演中，郭同學(xué)在空中一個漂亮的投籃，籃球以與水平面成45。的傾

角準(zhǔn)確落入籃筐，這次跳起投籃時，投球點(diǎn)和籃筐正好在同一水平面上，設(shè)投球

點(diǎn)到籃筐距離為9.8m,不考慮空氣阻力，g取10m/s2。則（）

圖9

A.籃球出手的速度大小為7m/s

B.籃球在空中運(yùn)動的時間為1.4s

C.籃球進(jìn)筐的速度大小為772m/s

D.籃球投出后的最高點(diǎn)相對地面的豎直高度為2.45m

答案BC

解析籃球在空中做敘拋運(yùn)動，設(shè)出手時速度為。，從拋出到入篋，籃球運(yùn)動的

總時間為f=2.045,水平位移x=比os45。?入聯(lián)立解得，=1.4s,v=7啦m/s,

g

由對稱性可知，進(jìn)筐時速度大小也為76m/s,故A錯誤，B、C正確；由拋出

到最高點(diǎn)，豎直高度力=會迎芳土2q=245m,但最高點(diǎn)相對地面的豎直高度要

大于2.45m,故D錯誤。

素養(yǎng)能力

（限時：40分鐘）

A級基礎(chǔ)對點(diǎn)練

對點(diǎn)練1平拋運(yùn)動基本規(guī)律的應(yīng)用

1.（多選）（2022?天津河西區(qū)模擬）以速度。。水平拋出一小球，如果從拋出到某時刻

小球的豎直分位移與水平分位移大小相等，則以下判斷正確的是（）

A.此時小球的豎直分速度大小等于水平分速度大小的2倍

B.此時小球的速度大小為4uo

C.此時小球的速度方向與位移方向相同

2vo

D.小球運(yùn)動的時間T

答案AD

解析根據(jù)題意可得加=全巴小球的運(yùn)動時間為，=斗，小球的豎直分速度大

小為Vy=gt=2vot即豎直分速度大小等于水平分速度大小的2倍，故A、D正確;

此時小球的速度大小為°=、加+送=弱oo,故B錯誤：速度與水平方向的夾角

正切值為tana=￥=2,位移與水平方向夾角的正切值為tan0=^~=I,顯然。聲仇

即小球的速度方向與位移方向不同，故C錯誤。

2.（2023?廣東深圳一模）環(huán)保人員在一次檢查時發(fā)現(xiàn)，某廠的一根水平放置的排污

管正在向廠外的河道中滿口排出污水，如圖1所示。環(huán)保人員利用手上的卷尺測

出這根管道的直徑為10cm,管口中心距離河水水面的高度為80cm,污水入河

道處到排污管管口的水平距離為120cm,重力加速度g取10m/s2,則該管道的

排污量（即流量一單位時間內(nèi)通過管道某橫截面的流體體積）約為（）

A.24L/sB.94L/sC.236L/sD.942L/s

答案A

解析根據(jù)平拋運(yùn)動規(guī)律有Zo,a=%而，解得。=3m/s,根據(jù)流量的定義

/八2

有。=7，而?“，解得。=0.024HTVS=24L/s,故A正確，B、C、

D錯誤。

3.如圖2所示，某一小球以加=20m/s的速度水平拋出，在落地之前經(jīng)過空中A、

B兩點(diǎn)。在A點(diǎn)小球速度方向與水平方向的夾角為45。，在8點(diǎn)小球速度方向與

水平方向的夾角為60。（空氣阻力忽略不計(jì)，g取lOm/s"。以下判斷中正確的是

)

即

飛薩

圖2

A.小球經(jīng)過A點(diǎn)時豎直方向的速度為2（八。m/s

B.小球經(jīng)過A、8兩點(diǎn)間的時間為/=2（小一l）s

C.4、B兩點(diǎn)間的高度差〃=45m

D.A、B兩點(diǎn)間的水平位移相差（4加一20加

答案B

解析根據(jù)平行四邊形定則知IM,V=DO=2