函數(shù)與圖象復(fù)習(xí)課件

函數(shù)與圖象復(fù)習(xí)函數(shù)與圖象是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容。通過函數(shù)的概念，我們可以描述現(xiàn)實(shí)世界中的各種關(guān)系。函數(shù)的圖象可以直觀地展示函數(shù)的性質(zhì)，例如單調(diào)性、奇偶性、周期性等。什么是函數(shù)？函數(shù)是將一個(gè)集合中的元素對(duì)應(yīng)到另一個(gè)集合中的元素的規(guī)則。函數(shù)接收輸入，根據(jù)規(guī)則進(jìn)行處理，并輸出結(jié)果。對(duì)于每一個(gè)輸入，函數(shù)只能對(duì)應(yīng)一個(gè)輸出。函數(shù)可以表示為映射關(guān)系。將輸入映射到唯一的輸出。函數(shù)的性質(zhì)定義域函數(shù)定義域是所有自變量的集合，是函數(shù)能夠接受的值的范圍。函數(shù)的定義域決定了函數(shù)圖像的橫軸范圍。值域函數(shù)值域是所有因變量的集合，是函數(shù)輸出的值的范圍。函數(shù)的值域決定了函數(shù)圖像的縱軸范圍。單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性描述了函數(shù)值隨自變量變化的趨勢(shì)。單調(diào)遞增的函數(shù)圖像向上傾斜，單調(diào)遞減的函數(shù)圖像向下傾斜。奇偶性奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱。奇函數(shù)的圖像和偶函數(shù)的圖像具有不同的對(duì)稱性。函數(shù)的表示1解析式使用數(shù)學(xué)表達(dá)式來表示函數(shù)，例如y=2x+1或f(x)=x2。2圖像在坐標(biāo)系中，將函數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連接起來形成的曲線。3表格列出函數(shù)的自變量和因變量的值，可以直觀地展示函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。4文字描述使用語言文字來描述函數(shù)的規(guī)律，例如“y是x的兩倍加1”。函數(shù)的運(yùn)算1函數(shù)的加減法兩個(gè)函數(shù)相加減得到新的函數(shù)，其定義域?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)定義域的交集。2函數(shù)的乘法兩個(gè)函數(shù)相乘得到新的函數(shù)，其定義域?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)定義域的交集。3函數(shù)的除法兩個(gè)函數(shù)相除得到新的函數(shù)，其定義域?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)定義域的交集，并且分母函數(shù)不能為零。4函數(shù)的復(fù)合將一個(gè)函數(shù)作為另一個(gè)函數(shù)的自變量，得到新的函數(shù)，其定義域需要滿足復(fù)合條件。函數(shù)的分類按定義域分類函數(shù)可以根據(jù)定義域的類型進(jìn)行分類，例如實(shí)數(shù)函數(shù)、復(fù)數(shù)函數(shù)、向量函數(shù)等。例如，定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)稱為實(shí)數(shù)函數(shù)。按值域分類函數(shù)也可以根據(jù)值域的類型進(jìn)行分類，例如實(shí)值函數(shù)、復(fù)值函數(shù)、向量值函數(shù)等。例如，值域?yàn)閷?shí)數(shù)集的函數(shù)稱為實(shí)值函數(shù)。按表達(dá)式分類根據(jù)函數(shù)表達(dá)式中包含的運(yùn)算類型，可以將函數(shù)分為代數(shù)函數(shù)、超越函數(shù)、分段函數(shù)等。按性質(zhì)分類函數(shù)還可以根據(jù)其性質(zhì)進(jìn)行分類，例如單調(diào)函數(shù)、奇偶函數(shù)、周期函數(shù)、有界函數(shù)等?；境醯群瘮?shù)指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，值域?yàn)檎龑?shí)數(shù)。圖像過點(diǎn)(0,1)，且隨著自變量的增大，函數(shù)值單調(diào)遞增。對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)定義域?yàn)檎龑?shí)數(shù)，值域?yàn)槿w實(shí)數(shù)。圖像過點(diǎn)(1,0)，且隨著自變量的增大，函數(shù)值單調(diào)遞增。三角函數(shù)三角函數(shù)定義域?yàn)閷?shí)數(shù)，值域?yàn)閇-1,1]。圖像具有周期性和對(duì)稱性。多項(xiàng)式函數(shù)多項(xiàng)式函數(shù)定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，圖像通常為連續(xù)曲線。指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)的基本形式為y=a^x(a>0且a≠1)，其中a為底數(shù)，x為指數(shù)。指數(shù)函數(shù)的圖像是一個(gè)單調(diào)的曲線，當(dāng)a>1時(shí)，圖像單調(diào)遞增；當(dāng)0對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，其基本形式為y=logax(a>0且a≠1)，其中a為底數(shù)，x為真數(shù)。對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像也是一個(gè)單調(diào)的曲線，當(dāng)a>1時(shí)，圖像單調(diào)遞增；當(dāng)0三角函數(shù)定義和表示三角函數(shù)是描述三角形邊角關(guān)系的函數(shù)。常見的三角函數(shù)有正弦(sin)、余弦(cos)和正切(tan)。單位圓單位圓是研究三角函數(shù)的重要工具，它將角度與三角函數(shù)值建立起對(duì)應(yīng)關(guān)系。性質(zhì)和應(yīng)用三角函數(shù)具有周期性、對(duì)稱性等重要性質(zhì)，在物理、工程等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。反三角函數(shù)定義反三角函數(shù)是三角函數(shù)的反函數(shù)，例如反余弦函數(shù)，其定義域?yàn)閇-1,1]，值域?yàn)閇0,π]。性質(zhì)反三角函數(shù)具有奇偶性、單調(diào)性、周期性等性質(zhì)，可用于求解三角方程和三角不等式。應(yīng)用反三角函數(shù)廣泛應(yīng)用于物理學(xué)、工程學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)等領(lǐng)域。復(fù)合函數(shù)函數(shù)的嵌套復(fù)合函數(shù)是指一個(gè)函數(shù)的輸出作為另一個(gè)函數(shù)的輸入。復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式通常表示為f(g(x))，其中g(shù)(x)是內(nèi)函數(shù)，f(x)是外函數(shù)。實(shí)際應(yīng)用復(fù)合函數(shù)在物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。反函數(shù)1定義如果函數(shù)y=f(x)的定義域和值域分別為D和R，那么對(duì)于R中的每一個(gè)值y，在D中恰好對(duì)應(yīng)一個(gè)值x，使得y=f(x)，則稱y=f(x)的反函數(shù)為x=f-1(y)。2性質(zhì)反函數(shù)圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱；反函數(shù)的定義域和值域分別為原函數(shù)的值域和定義域；反函數(shù)的單調(diào)性與原函數(shù)相同。3求解求解反函數(shù)的步驟：交換x和y，然后解出y關(guān)于x的表達(dá)式，即得到反函數(shù)。函數(shù)的圖像函數(shù)的圖像是在平面直角坐標(biāo)系中，以自變量為橫坐標(biāo)，因變量為縱坐標(biāo)，描繪所有函數(shù)值對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所形成的圖形。函數(shù)的圖像可以直觀地展現(xiàn)函數(shù)的變化規(guī)律，以及函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、奇偶性、周期性等。函數(shù)圖像在數(shù)學(xué)研究中扮演著重要的角色，通過圖像可以更加深入地理解函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用。函數(shù)圖像的性質(zhì)對(duì)稱性對(duì)稱性是指函數(shù)圖像關(guān)于某一點(diǎn)或某直線對(duì)稱。例如，偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。單調(diào)性單調(diào)性是指函數(shù)圖像在某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞增或單調(diào)遞減的。例如，當(dāng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于零時(shí)，函數(shù)圖像在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增。極值函數(shù)的極值是指函數(shù)圖像在某個(gè)局部范圍內(nèi)取得最大值或最小值。例如，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零，且導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)附近發(fā)生變化，則該點(diǎn)可能為極值點(diǎn)。漸近線漸近線是指函數(shù)圖像當(dāng)自變量趨于無窮大或某一個(gè)值時(shí)，無限接近于某一條直線或曲線。例如，當(dāng)函數(shù)的極限存在時(shí)，函數(shù)圖像可能存在水平漸近線。函數(shù)圖像的平移1水平平移向左平移向右平移2垂直平移向上平移向下平移函數(shù)圖像平移是指將函數(shù)圖像沿坐標(biāo)軸方向移動(dòng)一定距離。水平平移是指將函數(shù)圖像沿橫軸方向移動(dòng)，垂直平移是指將函數(shù)圖像沿縱軸方向移動(dòng)。函數(shù)圖像的伸縮縱向伸縮將函數(shù)圖像沿縱軸方向拉伸或壓縮，得到新的函數(shù)圖像。例如，y=f(x)的圖像沿縱軸方向拉伸或壓縮k倍，得到新的函數(shù)圖像y=kf(x)。橫向伸縮將函數(shù)圖像沿橫軸方向拉伸或壓縮，得到新的函數(shù)圖像。例如，y=f(x)的圖像沿橫軸方向拉伸或壓縮k倍，得到新的函數(shù)圖像y=f(x/k)。伸縮的組合將函數(shù)圖像同時(shí)沿縱軸和橫軸方向拉伸或壓縮，得到新的函數(shù)圖像。例如，y=f(x)的圖像沿縱軸方向拉伸k倍，沿橫軸方向壓縮k倍，得到新的函數(shù)圖像y=kf(x/k)。函數(shù)圖像的對(duì)稱1軸對(duì)稱關(guān)于某一條直線對(duì)稱2中心對(duì)稱關(guān)于某一個(gè)點(diǎn)對(duì)稱3奇偶性奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱函數(shù)圖像的對(duì)稱性是重要的性質(zhì)之一，可以通過觀察函數(shù)圖像來判斷。函數(shù)的極值和單調(diào)性11.極值的概念函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的最大值或最小值被稱為函數(shù)的極值，極值點(diǎn)是函數(shù)取得極值時(shí)的自變量的值。22.單調(diào)性的概念函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上，如果自變量的值增大時(shí)，函數(shù)的值也隨之增大，則稱函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上是單調(diào)遞增的。33.極值與單調(diào)性的關(guān)系函數(shù)的極值點(diǎn)通常出現(xiàn)在函數(shù)的單調(diào)性發(fā)生變化的地方，也就是導(dǎo)數(shù)為零或?qū)?shù)不存在的地方。44.求極值和單調(diào)性的方法求極值和單調(diào)性的方法主要包括求導(dǎo)數(shù)、判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)號(hào)、分析函數(shù)圖像等。函數(shù)的周期性周期函數(shù)對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得對(duì)于定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)x，都有f(x+T)=f(x)成立，則稱f(x)為周期函數(shù)。周期函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)重復(fù)出現(xiàn)，圖像形狀完全相同。周期滿足上述條件的最小正數(shù)T稱為函數(shù)f(x)的周期，也稱為最小正周期。周期函數(shù)的周期可以是任何非零實(shí)數(shù)，但不一定是正數(shù)。函數(shù)的奇偶性奇函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，滿足f(-x)=-f(x)。偶函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，滿足f(-x)=f(x)。判斷方法將x替換為-x，觀察函數(shù)表達(dá)式是否滿足奇函數(shù)或偶函數(shù)的定義。函數(shù)的有界性有界函數(shù)函數(shù)值在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，始終保持在一定的范圍之內(nèi)，則稱該函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上有界。無界函數(shù)如果函數(shù)值在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，可以無限增大或無限減小，則稱該函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上無界。上界和下界函數(shù)值在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的最大值稱為該函數(shù)的上界，最小值稱為下界。有界性與圖像有界函數(shù)的圖像在一定區(qū)間內(nèi)不會(huì)超出某個(gè)特定的范圍，而無界函數(shù)的圖像則沒有這個(gè)限制。函數(shù)的漸近線水平漸近線當(dāng)x趨向正無窮或負(fù)無窮時(shí)，函數(shù)的值無限接近于某個(gè)常數(shù)，該常數(shù)對(duì)應(yīng)的直線稱為水平漸近線。當(dāng)x趨向正無窮或負(fù)無窮時(shí)，函數(shù)的值無限接近于某個(gè)常數(shù)，該常數(shù)對(duì)應(yīng)的直線稱為水平漸近線。垂直漸近線當(dāng)x趨向某個(gè)特定值時(shí)，函數(shù)的值無限接近于正無窮或負(fù)無窮，該特定值對(duì)應(yīng)的直線稱為垂直漸近線。當(dāng)x趨向某個(gè)特定值時(shí)，函數(shù)的值無限接近于正無窮或負(fù)無窮，該特定值對(duì)應(yīng)的直線稱為垂直漸近線。曲線與直線相交的性質(zhì)1交點(diǎn)個(gè)數(shù)曲線與直線可能相交于一個(gè)點(diǎn)，多個(gè)點(diǎn)，或者不相交。2交點(diǎn)坐標(biāo)交點(diǎn)坐標(biāo)滿足曲線和直線的方程。3斜率關(guān)系在交點(diǎn)處，曲線的切線斜率等于直線的斜率。4應(yīng)用曲線與直線相交的性質(zhì)可以用來求解方程組，確定函數(shù)的極值點(diǎn)等。函數(shù)的定積分面積定積分可以用來計(jì)算曲線與坐標(biāo)軸圍成的面積。體積定積分可以用來計(jì)算旋轉(zhuǎn)體積。功定積分可以用來計(jì)算物體在力場中的功。概率定積分可以用來計(jì)算隨機(jī)變量的概率。微分中值定理羅爾定理函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間上可導(dǎo)，且兩端點(diǎn)函數(shù)值相等，則存在一點(diǎn)使得導(dǎo)數(shù)為零。拉格朗日中值定理函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間上可導(dǎo)，則存在一點(diǎn)使得導(dǎo)數(shù)等于該區(qū)間兩端點(diǎn)函數(shù)值之差與區(qū)間長度之比?？挛髦兄刀ɡ韮蓚€(gè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間上可導(dǎo)，則存在一點(diǎn)使得兩函數(shù)在該點(diǎn)導(dǎo)數(shù)之比等于兩函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值之差之比。導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用物理學(xué)導(dǎo)數(shù)在物理學(xué)中有廣泛應(yīng)用，例如求解運(yùn)動(dòng)學(xué)問題，計(jì)算加速度和速度等。工程學(xué)導(dǎo)數(shù)在工程學(xué)中用于優(yōu)化設(shè)計(jì)，例如找到最優(yōu)尺寸和形狀，提高效率和性能。經(jīng)濟(jì)學(xué)導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中用于分析經(jīng)濟(jì)變化，例如預(yù)測(cè)價(jià)格波動(dòng)和評(píng)估投資回報(bào)率。導(dǎo)函數(shù)的幾何意義切線斜率導(dǎo)數(shù)f'(x)在x點(diǎn)的值表示曲線y=f(x)在點(diǎn)(x,f(x))處的切線的斜率。函數(shù)圖像與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)在函數(shù)圖像上的幾何意義是切線的斜率。在函數(shù)圖像上，每一點(diǎn)都有唯一的一條切線，切線的斜率就是該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值。導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性密切相關(guān)。導(dǎo)數(shù)為正，則函數(shù)單調(diào)遞增；導(dǎo)數(shù)為負(fù)，則函數(shù)單調(diào)遞減。導(dǎo)數(shù)為零，則函數(shù)可能取得極值。導(dǎo)數(shù)與函數(shù)凹凸性導(dǎo)數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)可以用來判斷函數(shù)的凹凸性。二階導(dǎo)數(shù)為正，則函數(shù)圖像向上凹；二階導(dǎo)數(shù)為負(fù)，則函數(shù)圖像向下凹。二階導(dǎo)數(shù)為零，則函數(shù)圖像可能存在拐點(diǎn)。曲線的凹凸性與拐點(diǎn)凹凸性函數(shù)圖像的凹凸性是指函數(shù)圖像在某個(gè)區(qū)間內(nèi)是向上彎曲還是向下彎曲。拐點(diǎn)拐點(diǎn)是指函數(shù)圖像的凹凸性發(fā)生變化的點(diǎn)，即從向上彎曲變?yōu)橄蛳聫澢驈南蛳聫澢優(yōu)橄蛏蠌澢狞c(diǎn)。判定可以通過判斷函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來判定曲線的凹凸性，如果二階導(dǎo)數(shù)大于零則為凹，小于零則為凸，等于零則可能為拐點(diǎn)。應(yīng)用凹凸性與拐點(diǎn)在函數(shù)圖像的繪制、函數(shù)的極值、函數(shù)的單調(diào)性等方面都有重要的應(yīng)用。常見初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與其自身成正比，導(dǎo)數(shù)公式為：y'=