專題04 圓的方程及圓的位置關(guān)系（14大考點(diǎn)知識串講+熱考題型+專題訓(xùn)練）（【含答案解析】）

專題04圓的方程及圓的位置關(guān)系知識點(diǎn)1圓的方程1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（1）定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做圓。其中，定點(diǎn)稱為圓心，定長稱為圓的半徑。（2）確定圓的基本要素是：圓心和半徑（3）圓的方程：圓心為，半徑長為的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（4）幾種特殊位置的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程條件方程的標(biāo)準(zhǔn)形式圓心在原點(diǎn)圓過原點(diǎn)圓心在軸圓心在軸圓心在軸上且過原點(diǎn)圓心在軸上且過原點(diǎn)圓與軸相切圓與軸相切圓與兩坐標(biāo)軸都相切2、圓的一般方程（1）定義：當(dāng)時(shí)，方程叫做圓的一般方程.其中為圓心，為半徑.（2）圓的一般方程的形式特點(diǎn)：=1\*GB3①項(xiàng)的系數(shù)相同且不等于0（和的系數(shù)如果是不為1的非零常數(shù)，只需在方程兩邊同時(shí)除以這個(gè)常數(shù)即可）；=2\*GB3②不含項(xiàng)；=3\*GB3③（3）一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程關(guān)系：對方程的左邊配方，并將常數(shù)移項(xiàng)到右邊，得，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知：=1\*GB3①當(dāng)時(shí)，方程只有實(shí)數(shù)解.它表示一個(gè)點(diǎn).=2\*GB3②當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)解，因而它不表示任何圖形．=3\*GB3③當(dāng)時(shí)，可以看出方程表示以為圓心，為半徑的圓.3、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，半徑為.設(shè)所給點(diǎn)為，則位置關(guān)系判斷方法幾何法代數(shù)法點(diǎn)在圓A上或點(diǎn)在圓A內(nèi)或點(diǎn)在圓A外或4、軌跡與軌跡方程（1）軌跡方程和軌跡的定義已知平面上一動點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡方程是指點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式。軌跡是指點(diǎn)在運(yùn)動變化過程中形成的圖形，在解析幾何中，我們常常把圖形看作點(diǎn)的軌跡（集合）.“軌跡”與“軌跡方程”有區(qū)別：=1\*GB3①“軌跡”是圖形，要指出形狀、位置、大?。ǚ秶┑忍卣?；=2\*GB3②“軌跡方程”是方程，不僅要給出方程，還要指出變量的取值范圍。2、坐標(biāo)法求軌跡方程的步驟第一步建系：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；第二步設(shè)點(diǎn)：用表示軌跡（曲線）上任意一點(diǎn)的的坐標(biāo)；第三步列式：列出關(guān)于的方程；第四步化簡：把方程化為最簡形式；第五步證明：證明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)。知識點(diǎn)2直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓的位置關(guān)系判斷（1）幾何法判斷直線與圓的位置關(guān)系：直線與圓，圓心到直線的距離=1\*GB3①直線與圓相離無交點(diǎn)；=2\*GB3②直線與圓相切只有一個(gè)交點(diǎn)；=3\*GB3③直線與圓相交有兩個(gè)交點(diǎn).（2）代數(shù)法判斷直線與圓的位置關(guān)系：聯(lián)立直線方程與圓的方程，得到，通過解的個(gè)數(shù)來判斷：=1\*GB3①當(dāng)時(shí)，直線與圓有2個(gè)交點(diǎn)，，直線與圓相交；=2\*GB3②當(dāng)時(shí)，直線與圓只有1個(gè)交點(diǎn)，直線與圓相切；=3\*GB3③當(dāng)時(shí)，直線與圓沒有交點(diǎn)，直線與圓相離；2、直線與圓相交時(shí)的弦長求法：（1）幾何法：利用圓的半徑，圓心到直線的距離，弦長之間的關(guān)系，整理出弦長公式為：（2）代數(shù)法：若直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)易求出，求出交點(diǎn)坐標(biāo)后，直接用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算弦長；（3）弦長公式法：設(shè)直線與圓的交點(diǎn)為，，將直線方程代入圓的方程，消元后利用根與系數(shù)的關(guān)系得到弦長3、直線與圓相切時(shí)的切線問題（1）求過某點(diǎn)的圓的切線問題時(shí)，應(yīng)首先確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，再求切線方程。=1\*GB3①若點(diǎn)在圓上（即為切點(diǎn)），則過該點(diǎn)的切線只有一條；=2\*GB3②若點(diǎn)在圓外，過該點(diǎn)的切線有兩條，此時(shí)應(yīng)注意切線斜率不存在的情況【注意】過圓內(nèi)一點(diǎn)，不能作圓的切線。（2）求過圓上一點(diǎn)的切線方程法一：先求出切點(diǎn)與圓心的連線斜率，若不存在，則結(jié)合圖形可直接寫出切線方程；若，則結(jié)課圖形可直接寫出切線方程；若存在且，則由垂直關(guān)系知切線的斜率為，由點(diǎn)斜式寫出切線方程。法二：若不存在，驗(yàn)證是否成立；若存在，設(shè)點(diǎn)斜式方程，用圓心到直線的距離等于半徑列方程，解出方程即可。（3）過圓外一點(diǎn)的圓的切線方程法一：當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)為，則切線方程為，即由圓心到直線的距離等于半徑，即可求出的值，進(jìn)而寫出切線方程；法二：當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)為，則切線方程為，即代入圓的方程，得到一個(gè)關(guān)于的一元二次方程，由，求得，切線方程即可求出。知識點(diǎn)3圓與圓的位置關(guān)系1、圓與圓的位置關(guān)系判斷（1）幾何法：若兩圓的半徑分別為，，兩圓連心線的長為d位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示交點(diǎn)個(gè)數(shù)01210d與，的關(guān)系（2）代數(shù)法：通過兩圓方程組成方程組的公共解的個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷．消元，一元二次方程2、兩圓的公切線（1）定義：與兩個(gè)圓都相切的直線叫做兩圓的公切線，包括外公切線和內(nèi)公切線；（2）兩圓的位置關(guān)系與公切線的條數(shù)的關(guān)系位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示公切線條數(shù)4條3條2條1條無公切線（3）兩圓公切線方程的確定=1\*GB3①當(dāng)公切線的斜率存在時(shí)，可設(shè)公切線方程為，由公切線的意義（兩圓公公的切線）可知，兩圓心到直線的距離分別等于兩圓的半徑，這樣得到關(guān)于和的方程，解這個(gè)方程組得到，的值，即可寫出公切線的方程；=2\*GB3②當(dāng)公切線的斜率不存在時(shí)，要注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，觀察并寫出公切線的方程。3、兩圓公共弦所在直線方程圓：，圓：，則為兩相交圓公共弦方程.【注意】（1）若與相切，則表示其中一條公切線方程；（2）若與相離，則表示連心線的中垂線方程.考點(diǎn)1求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程【例1】（2023秋·重慶·高二?？茧A段練習(xí)）圓心為，且經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】依題意，圓心為，且經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的半徑，所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D【變式1-1】（2023秋·吉林長春·高二校考期中）圓心在軸上，并且過點(diǎn)和的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】設(shè)圓心為，由可得，解得，所以，圓心為，圓的半徑為，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D.【變式1-2】（2023秋·四川眉山·高二?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知、兩點(diǎn)，若圓以為直徑，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)閳A以為直徑，所以圓心的坐標(biāo)為，半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B.【變式1-3】（2023秋·重慶·高二?？茧A段練習(xí)）若的三個(gè)頂點(diǎn)分別是，，，則的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【答案】【解析】設(shè)圓的方程為，因?yàn)榈娜齻€(gè)頂點(diǎn)分別是，，，所以，解得，所以圓的方程為，即.【變式1-4】（2023秋·四川遂寧·高二?？茧A段練習(xí)）分別根據(jù)下列條件，求圓的方程：（1）過點(diǎn)，，且圓心在直線上；（2）過、、三點(diǎn)．【答案】（1）；（2）【解析】（1）圓心在直線上，設(shè)圓心坐標(biāo)為，圓過點(diǎn)，，則有即，解得，可得圓心坐標(biāo)為，圓的半徑，所以圓的方程為.（2）設(shè)過、、三點(diǎn)的圓的方程為，則有，解得，故所求圓的方程為.考點(diǎn)2二元二次方程與圓的關(guān)系【例2】（2023秋·浙江·高二校考階段練習(xí)）若，則方程表示的圓的個(gè)數(shù)為（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】由題意可知：，解之得，又，所以.故選：C【變式2-1】（2023秋·浙江臺州·高二?？茧A段練習(xí)）已知方程表示圓，則的取值范圍是．【答案】【解析】由題意得，，解得，故答案為：．【變式2-2】（2023秋·浙江嘉興·高二校考階段練習(xí)）若方程表示圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】由題可知：，所以【變式2-3】（2023秋·黑龍江哈爾濱·高二?？茧A段練習(xí)）若表示圓的一般方程，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【解析】因?yàn)楸硎緢A，所以，即，化簡得，解得，故答案為：【變式2-4】（2023秋·廣西河池·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）已知方程，則下列說法正確的是（）A．方程表示圓，且圓的半徑為1時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，方程表示圓心為的圓C．當(dāng)時(shí)，方程表示圓且圓的半徑為D．當(dāng)時(shí)，方程表示圓心為的圓【答案】ACD【解析】由題意，方程，可化為，若方程表示圓，則圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，中，當(dāng)時(shí)，可得，所以正確；中，當(dāng)時(shí)，此時(shí)半徑為，所以錯(cuò)誤；中，當(dāng)時(shí)，表示的圓的半徑為，所以正確；中，當(dāng)時(shí)，此時(shí)半徑大于0，表示圓心為的圓，所以正確；故選：ACD．考點(diǎn)3與圓有關(guān)的對稱問題【例3】（2023秋·北京豐臺·高二統(tǒng)考期中）已知圓關(guān)于直線對稱，則實(shí)數(shù)（）A．B．C．D．或【答案】C【解析】由題意可知，，且圓心在直線上，代入直線方程得（舍去）或.故選：C【變式3-1】（2023秋·河北保定·高二?？茧A段練習(xí)）若圓關(guān)于直線對稱，則此圓的半徑為．【答案】【解析】因?yàn)閳A關(guān)于直線對稱，所以圓心在直線上，得，得，所以，半徑為．【變式3-2】（2022·全國·高二專題練習(xí)）點(diǎn)M，N是圓＝0上的不同兩點(diǎn)，且點(diǎn)M，N關(guān)于直線x－y＋1＝0對稱，則該圓的半徑等于（）A．B．C．3D．9【答案】C【解析】圓＝0的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x＋）2＋（y＋1）2＝5＋，則圓心坐標(biāo)為（－，－1），半徑為因?yàn)辄c(diǎn)M，N在圓＝0上，且點(diǎn)M，N關(guān)于直線l：x－y＋1＝0對稱，所以直線l：x－y＋1＝0經(jīng)過圓心，所以－＋1＋1＝0，k＝4．所以圓的方程為：＝0，圓的半徑＝3.故選：C．【變式3-3】（2023秋·寧夏銀川·高二?？计谥校﹫A：關(guān)于直線對稱的圓的方程為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】圓：的圓心為，半徑為2，設(shè)關(guān)于直線對稱的對稱點(diǎn)為，則，解得.關(guān)于直線對稱的對稱點(diǎn)為，圓：關(guān)于直線對稱的圓的方程為.故選：D.【變式3-4】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）若圓和圓關(guān)于直線對稱，則直線的方程是【答案】【解析】圓的圓心為，圓的圓心為，則線段的中點(diǎn)為，因?yàn)閳A和圓關(guān)于直線對稱，所以，所以直線的方程是，即.考點(diǎn)4與圓有關(guān)的軌跡問題【例4】（2023·全國·高二專題練習(xí)）古希臘幾何學(xué)家阿波羅尼斯證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，即設(shè)，則，整理得故選：B．【變式4-1】（2022秋·內(nèi)蒙古包頭·高二統(tǒng)考期末）已知兩點(diǎn)，.若動點(diǎn)M滿足，則“”是“動點(diǎn)M的軌跡是圓”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】兩點(diǎn)，，設(shè)，由，可得，整理得，當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)為定點(diǎn)，不是圓，所以充分性不成立，當(dāng)動點(diǎn)的軌跡是圓，則，故必要性成立，所以“”是“動點(diǎn)的軌跡是圓”的必要不充分條件.故選：B【變式4-2】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)定點(diǎn)M(－3，4)，動點(diǎn)N在圓x2＋y2＝4上運(yùn)動，以O(shè)M、ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點(diǎn)P的軌跡.【答案】(x＋3)2＋(y－4)2＝4，除去兩點(diǎn)和(點(diǎn)P在直線OM上的情況).【解析】設(shè)P(x，y)，N(x0，y0)，則線段OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為，線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為.由于平行四邊形的對角線互相平分，故，，從而.N(x＋3，y－4)在圓上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.直線方程為，由，得或，所以所求軌跡為圓：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但應(yīng)除去兩點(diǎn)和(點(diǎn)P在直線OM上的情況).【變式4-3】（2023秋·新疆烏魯木齊·高二校考階段練習(xí)）已知的斜邊為AB，且.求:（1）外接圓的一般方程;（2）直角邊的中點(diǎn)的軌跡方程．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題意知，設(shè)圓心為，則，，故圓的方程為：即外接圓的一般方程為：.（2）設(shè)，由此解得：因?yàn)镃為直角，所以代入解得：即配方得：，又因?yàn)槿c(diǎn)不共線，所以綜上：.【變式4-4】（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知圓過三個(gè)點(diǎn).（1）求圓的方程；（2）過原點(diǎn)的動直線與圓相交于不同的兩點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的軌跡.【答案】（1）；（2）【解析】（1）設(shè)圓的方程為，因?yàn)閳A過三個(gè)點(diǎn)，可得，解得，所以圓的方程為，即.（2）因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，且，所以在以為直徑的圓上，以為直徑的圓的方程為，聯(lián)立方程組，解得或，所以點(diǎn)的軌跡方程為.考點(diǎn)5直線與圓的位置關(guān)系判斷【例5】（2023秋·江蘇南通·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）直線與圓的位置關(guān)系是（）A．相交B．相切C．相離D．不確定【答案】A【解析】圓的圓心，半徑，又圓心到直線的距離，所以直線與圓相交.故選：A【變式5-1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)在圓內(nèi)，則直線與圓的位置關(guān)系是（）A．相切B．相交C．相離D．不確定【答案】C【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在圓內(nèi)，則，所以圓心到直線的距離為，所以直線與圓相離.故選：C【變式5-2】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）（多選）直線與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不可能為（）A．0B．1C．2D．3【答案】ABD【解析】圓的圓心，半徑，則點(diǎn)到直線的距離，因此直線與圓相交，它們有兩個(gè)公共點(diǎn)，ABD不可能.故選：ABD【變式5-3】（2023秋·江西九江·高二?？茧A段練習(xí)）直線與圓的位置關(guān)系為.【答案】相交【解析】由得，因?yàn)榭傻媒獾?，所以直線過定點(diǎn)，又因?yàn)?，可得在圓內(nèi)，所以直線與圓總相交.【變式5-4】（2023秋·江西南昌·高二?？茧A段練習(xí)）（多選）下列直線中，與圓：相切的有（）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】圓的圓心為，半徑為，選項(xiàng)A：點(diǎn)到直線的距離，故直線與圓相切，故A正確；選項(xiàng)B：點(diǎn)到直線的距離，故直線與圓相切，故B正確；選項(xiàng)C：點(diǎn)到直線的距離，故直線與圓不相切，故C不正確；選項(xiàng)D：點(diǎn)到直線的距離.故直線與圓相切，故D正確；故選：ABD.考點(diǎn)6由直線與圓位置關(guān)系求參【例6】（2023秋·云南曲靖·高二?？茧A段練習(xí)）若直線與圓相切，則等于【答案】【解析】聯(lián)立直線方程與圓的方程得：，解得，因?yàn)橹本€與圓相切，所以，解得.【變式6-1】（2023秋·重慶·高二校聯(lián)考期中）（多選）若過點(diǎn)的直線l與圓有公共點(diǎn)，則直線l的斜率可為（）A．B．C．D．【答案】BD【解析】當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為，與無公共點(diǎn)，舍去，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)過點(diǎn)的直線l的方程為，則圓的圓心到直線l的距離，解得.故選：BD.【變式6-2】（2023秋·天津·高二?？茧A段練習(xí)）已知直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】直線可化為：，所以直線過定點(diǎn)，且斜率為.曲線可化為：，即該曲線為以為圓心，為半徑的圓的右半部分，由圖可知：當(dāng)直線與圓相切于點(diǎn)時(shí)斜率的值最大，此時(shí)，解之得，解之得，由圖分析可得.當(dāng)直線與圓相交于點(diǎn)時(shí)斜率的值最小.，故選：D【變式6-3】（2023秋·黑龍江齊齊哈爾·高二校聯(lián)考期中）已知直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】曲線表示圓在x軸的上半部分，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，，解得，當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)，，可得,所以實(shí)數(shù)取值范圍為.故選：A【變式6-4】（2023秋·浙江舟山·高二?？茧A段練習(xí)）若圓上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線l：的距離為2，則c的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，所以，半徑，過圓心作直線的垂線交圓分別于A、B兩點(diǎn)，易知，當(dāng)圓心C到的距離時(shí)可得，此時(shí)圓上恰有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線l：的距離為2，滿足題意，如圖所示，可知到的距離為：.故選：A考點(diǎn)7求圓的切線方程【例7】（2023秋·遼寧鞍山·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）過點(diǎn)作圓：的切線，切線的方程為．【答案】【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以過點(diǎn)的切線與垂直，又因?yàn)?，故切線的斜率，所以切線的方程為，即．【變式7-1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）過點(diǎn)作圓的切線，則切線的方程為.【答案】【解析】圓的圓心，∵，則點(diǎn)在圓上，即點(diǎn)為切點(diǎn)，則圓心到切點(diǎn)連線的斜率，可得切線的斜率，故切線的方程，即.故答案為：.【變式7-2】（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高二?？茧A段練習(xí)）已知圓，自點(diǎn)作圓的切線，則切線的方程．【答案】或【解析】由已知圓心為，半徑.，又，所以點(diǎn)在圓外，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線的方程為.此時(shí)，圓心到直線的距離，所以直線是圓的切線；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，則直線的方程為，整理可得，因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離，即，解得，所以切線方程為：即，綜上所述所求的切線方程為：或.【變式7-3】（2023秋·河北衡水·高二?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，點(diǎn)，圓.（1）求的取值范圍，并求出圓心坐標(biāo)；（2）若圓的半徑為1，過點(diǎn)作圓的切線，求切線的方程.【答案】（1）的取值范圍，圓心坐標(biāo)為；（2），或.【解析】（1）由，因?yàn)樵摲匠瘫硎緢A，所以有，因此的取值范圍，圓心坐標(biāo)為；（2）若圓的半徑為1，則有，當(dāng)過的切線不存在斜率時(shí)，方程為，此時(shí)，該方程無實(shí)根，不符合題意，當(dāng)過的切線存在斜率時(shí)，設(shè)為，方程為，若圓的半徑為1，則有，或，即，或，所以切線的方程為，或.【變式7-4】（2023秋·貴州·高二貴校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓的圓心在直線上，且經(jīng)過點(diǎn)和．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若自點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過軸反射后，其反射光線所在的直線與圓相切，求直線的方程．【答案】（1）；（2）或【解析】（1）因?yàn)閳A的圓心在直線上，設(shè)，由可得，解得，可知圓心，半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）取圓關(guān)于x軸的對稱的圓，即圓心，半徑，可知直線與圓相切，若直線的斜率不存在，則，此時(shí)圓心到直線的距離，不合題意；所以直線的斜率存在，設(shè)為，則，即，則，整理得，解得或，所以直線的方程為或.考點(diǎn)8與切線長有關(guān)的問題【例8】（2023秋·天津·高二?？茧A段練習(xí)）已知圓被直線截得的弦長為，若過點(diǎn)作圓的切線，則切線長為.【答案】【解析】圓，即，圓心，半徑，圓心到直線的距離為，則，解得，到圓心的距離為，故切線長為.【變式8-1】（2022秋·江蘇泰州·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）點(diǎn)在圓：上，，，則最小時(shí)，.【答案】4【解析】如圖，由題意圓：的圓心，半徑，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，即為切點(diǎn)時(shí)，最小，此時(shí)與軸平行，，.故答案為：4.【變式8-2】（2023秋·湖北荊州·高二?？茧A段練習(xí)）已知動點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，則的最小值為（）A．1B．C．D．2【答案】C【解析】由題可知圓的圓心為，半徑為，設(shè)，則，有，得，當(dāng)時(shí)，.故選：C.【變式8-3】（2023秋·廣東·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓，點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作直線與圓相切于點(diǎn)，則的周長的最小值為.【答案】/【解析】由圓知圓心，半徑，因?yàn)榕c圓相切于點(diǎn)，所以，所以，所以越小，越小，當(dāng)時(shí)，最小，因?yàn)閳A心到直線的距離為，所以的最小值為6，此時(shí)，，，故的周長的最小值為.【變式8-4】（2023·全國·高二專題練習(xí)）過圓：上一點(diǎn)作圓：的兩切線，切點(diǎn)分別為，，設(shè)兩切線的夾角為，當(dāng)取最小值時(shí)，.【答案】【解析】由題意可得，圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，則，當(dāng)取最小值時(shí)，則取得最小值，，此時(shí)，又為銳角，所以，所以，即當(dāng)取最小值時(shí)，.考點(diǎn)9切點(diǎn)弦及其方程應(yīng)用【例9】（2022秋·河南許昌·高二?？茧A段練習(xí)）過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，則．【答案】【解析】依題意，連結(jié)，記為的交點(diǎn)，因?yàn)榕c圓相切，所以，，，是的中點(diǎn)，因?yàn)?，，所以，又，所以在中，，，故在中，，所?【變式9-1】（2022秋·廣西梧州·高二?？茧A段練習(xí)）過坐標(biāo)原點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，，直線被圓截得弦的長度為．【答案】【解析】根據(jù)題意，設(shè)圓的圓心為，則，圓的半徑為1，則，，則，解可得：，故答案為：【變式9-2】（2023秋·湖南長沙·高二?？茧A段練習(xí)）過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，則直線的方程為．【答案】【解析】方法1：由題知，圓的圓心為，半徑為，所以過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，所以，所以直線的方程為，即；方法2：設(shè)，，則由，可得，同理可得，所以直線的方程為.故答案為：【變式9-3】（2023秋·全國·高二專題練習(xí)）若是直線上一動點(diǎn)，過作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則的最小值為（）A．B．3C．D．2【答案】A【解析】如下圖所示，易知且垂直平分，所以，且，由勾股定理可得，所以，即取最小值時(shí)，取得最小值；易知為圓心到直線的距離，即，所以.故選：A【變式9-4】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)為直線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為，則直線必過定點(diǎn)（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如圖，連接，，根據(jù)題意，設(shè)為直線上的一點(diǎn)，則，由于為圓的切線，則有，，則點(diǎn)、在以為直徑的圓上，以為直徑的圓的圓心為,，半徑，則其方程為，變形可得，聯(lián)立可得直線AB：，又由，則有AB：，變形可得，則有，解可得，故直線恒過定點(diǎn).故選：B.考點(diǎn)10求直線與圓的的弦長【例10】（2023秋·云南紅河·高二?？茧A段練習(xí)）直線被圓所截得的弦長為.【答案】【解析】圓的圓心，半徑，點(diǎn)到直線的距離，所以所求弦長為.故答案為：【變式10-1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知圓：，圓的弦被點(diǎn)平分，則弦所在的直線方程是．【答案】【解析】因?yàn)閳A：，所以化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：，所以圓心.又圓的弦被點(diǎn)平分，故，而直線斜率不存在，所以，由于過點(diǎn)，故直線的方程為：.【變式10-2】（2023秋·高二課前預(yù)習(xí)）（多選）已知圓的一般方程為，則下列說法正確的是（）A．圓的圓心為B．圓被軸截得的弦長為8C．圓的半徑為5D．圓被軸截得的弦長為6【答案】ABCD【解析】由圓的一般方程為，則圓，故圓心為，半徑為，則AC正確；令，得或，弦長為6，故D正確；令，得或，弦長為8，故B正確.故選：ABCD.【變式10-3】（2023秋·河南南陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知動直線與圓.則直線l被圓C所截得的弦長的最小值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】直線變形為．令解得如圖所示，故動直線恒過定點(diǎn)．而，設(shè)圓心到直線的距離為，則弦長為，故當(dāng)最大時(shí)，弦長最小，而當(dāng)垂直直線時(shí)，此時(shí)最大為，故弦長最?。钚≈禐椋蔬x：C【變式10-4】（2023秋·安徽淮南·高二?？茧A段練習(xí)）圓，過點(diǎn)作圓的所有弦中，以最長弦和最短弦為對角線的四邊形的面積是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由圓，得圓心，半徑，因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，所以經(jīng)過點(diǎn)的直徑是最長的弦，且最短的弦是與該直徑垂直的弦，如圖所示，因?yàn)?，所以由垂徑定理得，所以四邊形的面積為，故選：C考點(diǎn)11圓與圓的位置關(guān)系判斷【例11】（2023秋·浙江嘉興·高二?？茧A段練習(xí)）已知圓：與圓：，則圓與圓的位置關(guān)系為（）A．相交B．外切C．內(nèi)切D．內(nèi)含【答案】B【解析】由圓方程，得圓心為，半徑，由圓方程，得圓心為，半徑，則兩圓的圓心距為，所以圓與圓外切，故選：B．【變式11-1】（2023秋·全國·高二專題練習(xí)）圓與圓的位置關(guān)系是（）A．外離B．外切C．相交D．內(nèi)切【答案】C【解析】兩圓化為標(biāo)準(zhǔn)形式，可得與圓，可知半徑，，于是，而，故兩圓相交，故選：.【變式11-2】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)圓，圓，則圓，的位置（）A．內(nèi)切B．相交C．外切D．外離【答案】D【解析】圓，化為，圓心為，半徑為；圓，化為，圓心為，半徑為；兩圓心距離為：，，圓與外離，故選：D.【變式11-3】（2023秋·江西九江·高二?？茧A段練習(xí)）已知圓，圓，其中，那么這兩個(gè)圓的位罝關(guān)系不可能為（）A．外離B．外切C．內(nèi)含D．內(nèi)切【答案】C【解析】因?yàn)閳A的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，則，，，又因?yàn)?，所以，所以，即，故兩圓的位置關(guān)系不可能為內(nèi)含.故選：C.【變式11-4】（2023秋·江蘇連云港·高二?？茧A段練習(xí)）（多選）下列圓中與圓：相切的是（）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】變形為，圓心為，半徑為，A選項(xiàng)，的圓心為，半徑為3，故，由于，且，所以圓與不相切，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，的圓心為，半徑為3，故，由于，故圓與外切，B正確；C選項(xiàng)，的圓心為，半徑為5，故，由于，故圓與內(nèi)切，C正確；D選項(xiàng)，的圓心為，半徑為7，故，由于，故圓與內(nèi)切，D正確；故選：BCD考點(diǎn)12由圓與圓的位置關(guān)系求參【例12】（2023秋·福建三明·高二?？茧A段練習(xí)）（多選）圓與圓外切，則的值為（）A．B．C．2D．5【答案】AC【解析】圓的圓心為，半徑長為3，圓的圓心為，半徑長為2．依題意，即，解得或．故選：AC【變式12-1】（2023秋·山東菏澤·高二校考階段練習(xí)）已知圓，圓，如果這兩個(gè)圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則常數(shù).【答案】或0【解析】∵兩個(gè)圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴兩個(gè)圓內(nèi)切或外切，當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，可得，當(dāng)兩圓外切時(shí)，可得，∴或0.故答案為：或0【變式12-2】（2023秋·江西上饒·高二校考階段練習(xí)）已知圓：上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離均為，則的取值范圍是.【答案】【解析】依題意，到原點(diǎn)的距離均為的點(diǎn)的軌跡方程為圓，所以原問題可轉(zhuǎn)化為圓與圓：有兩個(gè)交點(diǎn)，又因?yàn)閳A的圓心為，半徑；圓的圓心，半徑；所以可得，即，又，所以解得；即實(shí)數(shù)的取值范圍是.【變式12-3】（2023秋·湖南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，若圓上任意一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)都不在圓上，則的取值范圍為．【答案】【解析】圓關(guān)于原點(diǎn)的對稱圓為，圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，所以，，由已知得，圓與無公共點(diǎn)，所以或，所以或，解得或，又，所以．故答案為：.【變式12-4】（2023秋·江西上饒·高二?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)，若圓O：上存在點(diǎn)A，使得線段PA的中點(diǎn)也在圓O上，則a的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設(shè)A的坐標(biāo)為，PA的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則有：，解得：，又線段PA中點(diǎn)也在圓上，所以兩圓有公共點(diǎn)，所以，解得：，解得：，故選：B.考點(diǎn)13兩圓的公共弦問題【例13】（2023秋·福建龍巖·高二?？茧A段練習(xí)）圓：與圓：的公共弦所在直線方程為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】聯(lián)立，相減可得，故選:C【變式13-1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）圓與圓相交于兩點(diǎn)，則等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由圓與圓，將兩圓方程相減整理得直線的方程：，又，即，圓心為，半徑為，所以到直線的距離為，所以.故選：B.【變式13-2】（2023秋·上海浦東新·高二?？茧A段練習(xí)）已知圓與圓交于A，B兩點(diǎn)，若直線AB的傾斜角為，則．【答案】【解析】因?yàn)閳A與圓交于A，B兩點(diǎn)，則兩圓方程相減可得，即直線方程為，又因?yàn)橹本€AB的傾斜角為，則斜率，又因?yàn)?，即，則，所以直線方程為，圓心到直線的距離為，所以.【變式13-3】（2023秋·遼寧大連·高二?？茧A段練習(xí)）已知圓與圓得公共弦所在直線恒過定點(diǎn)，而且點(diǎn)在直線上，則的最小值是.【答案】2【解析】圓與圓相減，得公共弦所在直線為，故令且，解得，所以，將代入得，由于所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故答案為：2【變式13-4】（2023秋·福建龍巖·高二?？茧A段練習(xí)）已知圓，圓的圓心在直線上，且經(jīng)過，兩點(diǎn).（1）求圓的方程.（2）求經(jīng)過兩圓的交點(diǎn)的圓中面積最小的圓的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)圓的方程為：，其圓心坐標(biāo)為，依題意，，解得，所以圓的方程為:.（2）圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，顯然，即圓與圓相交，兩圓方程相減得公共弦所在直線的方程為：，直線的方程為，即，過圓與圓的交點(diǎn)的圓中面積最小的圓即是以圓與圓的公共弦為直徑的圓，由，得所求圓的圓心為，又圓心到公共弦所在直線的距離為，因此所求圓的半徑，所以所求圓的方程為.考點(diǎn)14兩圓的公切線問題【例14】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）圓與圓的公切線的條數(shù)為（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為5；圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為3，所以兩圓的圓心距為，因?yàn)椋詢蓤A相交，所以兩圓的公切線有2條.故選：B.【變式14-1】（2023秋·陜西西安·高二?？茧A段練習(xí)）若圓與圓恰有3條公切線，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)榕c恰有3條公切線，所以與外切，由、且半徑分別為2、1，則，解得.故選：A【變式14-2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）若圓與圓恰有兩條公共的切線，則m的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，所以，半徑，由，所以，半徑為，因?yàn)閳A與圓恰有兩條公共的切線，所以這兩個(gè)圓相交，于是有，而，所以m的取值范圍為，故選：A【變式14-3】（2023秋·江西宜春·高二?？计谀﹫A與圓的公切線方程為．【答案】【解析】圓，即，得，所以故兩圓內(nèi)切，公切線只有一條，與兩圓圓心的連線即x軸垂直，由得所以切點(diǎn)為，故公切線方程為．【變式14-4】（2023秋·河南南陽·高二?？茧A段練習(xí)）（多選）圓M：，圓N：，則兩圓的一條公切線方程為（）A．B．C．D．【答案】AC【解析】由，則圓心為，半徑為；由，則圓心為，半徑為；所以，即兩圓外離，故共有4條公切線，又關(guān)于原點(diǎn)對稱，且兩圓半徑相等，則有過原點(diǎn)的兩條公切線，與平行的兩條公切線，如下圖示，設(shè)過原點(diǎn)的公切線為，則，可得或，所以公切線為或，A對，B錯(cuò)；設(shè)與平行的公切線為，且與公切線距離都為1，則，即，所以公切線為，C對，D錯(cuò).故選：AC1．（2023秋·河北石家莊·高二?？茧A段練習(xí)）圓心為且過點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】圓的半徑為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：A2．（2023秋·內(nèi)蒙古赤峰·高二?？茧A段練習(xí)）已知圓的半徑為2，圓心在軸的正半軸上，直線與圓相切，則圓的方程為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意設(shè)圓心坐標(biāo)為，因?yàn)閳A與直線相切，則，且，解得，即圓心為，半徑為，所以圓C的方程為，即．故選：D．3．（2023秋·河北·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)在圓C：外，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．B．C．或D．或【答案】C【解析】由題意得，解得或.故選：C4．（2022秋·浙江嘉興·高二?？茧A段練習(xí)）方程表示的圓（）A．關(guān)于x軸對稱B．關(guān)于y軸對稱C．關(guān)于直線對稱D．關(guān)于直線對稱【答案】D【解析】易得圓心，圓心在直線上，所以該圓關(guān)于直線對稱.故選：D5．（2023秋·吉林長春·高二?？茧A段練習(xí)）為圓上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)．則的最大值為（）A．5B．9C．8D．7【答案】D【解析】圓變形為，其圓心為，半徑為，則的最大值為.故選：D6．（2023秋·福建龍巖·高二?？茧A段練習(xí)）已知圓與圓相交，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】圓，即的圓心，半徑3，，即的圓心，半徑，圓心距等于，由兩圓相交，得，即，解得.所以a的取值范圍.故選：D.7．（2023秋·河南信陽·高二校考階段練習(xí)）（多選）判斷下列命題正確的是（）A．方程表示圓心為，半徑為的圓B．若表示圓的一般方程，則的取值范圍是C．已知直線和直線垂直，則實(shí)數(shù)