專題07 拋物線的標準方程及幾何性質(zhì)（8大考點知識串講+熱考題型+專題訓練）

專題07拋物線的標準方程及幾何性質(zhì)知識點1拋物線的定義1、拋物線定義：把平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)距離相等的點的軌跡。其中，定點F拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線。2、拋物線定義的集合語言表示：.注意事項：（1）定點F不在定直線l上，否則動點M的軌跡不是拋物線，而是過點F垂直于直線l的一條直線．（2）拋物線的定義中指明了拋物線上的點到焦點的距離與到準線的距離的等價性，故二者可相互轉(zhuǎn)化，這也是利用拋物線定義解題的實質(zhì)．知識點2拋物線的方程與幾何性質(zhì)1、拋物線的方程與幾何性質(zhì)標準方程p的幾何意義：焦點F到準線l的距離圖形范圍對稱軸焦點坐標準線方程頂點坐標離心率通徑2、焦半徑公式設拋物線上一點的坐標為，焦點為.（1）拋物線，.（2）拋物線，.（3）拋物線，.（4）拋物線，.知識點3直線與拋物線的位置關(guān)系1、直線與拋物線的位置關(guān)系相交（有兩個公共點或一個公共點）；相切（有一個公共點）；相離（沒有公共點）.以拋物線與直線的位置關(guān)系為例：（1）直線的斜率不存在，設直線方程為，若，直線與拋物線有兩個交點；若，直線與拋物線有一個交點，且交點既是原點又是切點；若，直線與拋物線沒有交點.（2）直線的斜率存在.設直線，拋物線，直線與拋物線的交點的個數(shù)等于方程組，的解的個數(shù)，即二次方程（或）解的個數(shù).①若，則當時，直線與拋物線相交，有兩個公共點；當時，直線與拋物線相切，有個公共點；當時，直線與拋物線相離，無公共點.②若，則直線與拋物線相交，有一個公共點.2、拋物線的一般弦長設為拋物線的弦，，，弦AB的中點為.（1）弦長公式：（為直線的斜率，且）.（2）,推導：由題意，知，①②由①-②，得，故，即.（3）直線的方程為.3、拋物線的焦點弦長如圖，是拋物線過焦點的一條弦，設，，的中點，過點，，分別向拋物線的準線作垂線，垂足分別為點，，，根據(jù)拋物線的定義有，，故.又因為是梯形的中位線，所以，從而有下列結(jié)論；（1）以為直徑的圓必與準線相切.（2）(焦點弦長與中點關(guān)系)（3）.（4）若直線的傾斜角為，則.（5），兩點的橫坐標之積，縱坐標之積均為定值，即，.（6）為定值.3、拋物線中點弦問題設直線與曲線的兩個交點、，中點坐標為，代入拋物線方程，，，將兩式相減，可得，整理可得：考點1拋物線的定義及幾何性質(zhì)【例1】（2023·河北邢臺·高二校聯(lián)考階段練習）（多選）關(guān)于拋物線，下列說法正確的是（）A．拋物線沒有離心率B．拋物線的離心率為1C．若直線與拋物線只有一個交點，則該直線與拋物線相切D．拋物線一定有一條對稱軸，一個頂點，一個焦點【變式1-1】（2023·黑龍江哈爾濱·高二哈師大附中?？计谥校┮阎獎狱cP(x，y)滿足，則動點P的軌跡是（）A．直線B．橢圓C．雙曲線D．拋物線【變式1-2】（2023·甘肅白銀·高二甘肅省靖遠縣第一中學?？计谀佄锞€上一點到焦點的最小距離為（）A．1B．C．D．【變式1-3】（2023·廣東云浮·高二校考階段練習）設拋物線上一點到焦點的距離為1，則點的坐標為.【變式1-4】（2023·陜西咸陽·高二?？茧A段練習）（多選）已知F為拋物線的焦點，A為拋物線上的一點，，則下列說法正確的是（）A．焦點B．準線方程C．點或D．焦點到準線的距離為4考點2利用定義求距離和差最值【例2】（2023·江西宜春·高二?？茧A段練習）已知點在拋物線上，是拋物線的焦點，點為直線上的動點，則的最小值為（）A．8B．C．D．【變式2-1】（2023·浙江嘉興·高二嘉興高級中學?？计谥校┮阎c，點為拋物線上一動點，點到直線的距離為，則的最小值為（）A．B．C．D．【變式2-2】（2023·廣東珠海·高二珠海市第二中學?？计谥校┮阎猀為拋物線C:上的動點，動點M滿足到點A(2，0)的距離與到點F(F是C的焦點)的距離之比為則|QM|+|QF|的最小值是（）A．B．C．D．4【變式2-3】（2023·山東菏澤·高二統(tǒng)考期中）設拋物線的焦點為，準線為，點為上一動點，為定點，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．準線的方程是B．的最大值為2C．的最小化為5D．以線段為直徑的圓與軸相切【變式2-4】（2023·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）已知拋物線的焦點為F，點，若點A為拋物線任意一點，當取最小值時，點A的坐標為．考點3拋物線標準方程的求解【例3】（2023·陜西西安·高二西北工業(yè)大學附屬中學校考期中）拋物線的準線與直線的距離為3，則此拋物線的方程為（）A．B．C．D．【變式3-1】（2023·陜西渭南·高二?？计谥校c到拋物線（）的準線的距離為6，那么拋物線的方程是（）A．B．C．D．【變式3-2】（2023·黑龍江·高二哈三中?？计谥校┤酎c到點的距離比它到直線的距離小1，則點的軌跡方程是（）A．B．C．D．【變式3-3】（2023·云南·高二校聯(lián)考階段練習）如果拋物線的焦點在直線上，那么拋物線的方程是（）A．B．C．D．【變式3-4】（2023·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習）已知點是拋物線的焦點，為坐標原點，若以為圓心，為半徑的圓與直線相切，則拋物線的方程為．考點4與拋物線有關(guān)的軌跡問題【例4】（2022·全國·高三專題練習）已知點，在軸上，且，則外心的軌跡的方程；【變式4-1】（2023·高二課時練習）設是定直線的法向量，定點在直線上，定點在直線外，為一動點，若點滿足，則動點的軌跡為（）A．直線B．橢圓C．雙曲線D．拋物線【變式4-2】（2023·高二課時練習）已知點P是曲線上任意一點，，連接PA并延長至Q，使得，求動點Q的軌跡方程．【變式4-3】（2022·河南南陽·高二統(tǒng)考期中）已知點到點的距離比點到直線的距離小1.（1）求點的軌跡方程；（2）求線段中點的軌跡方程.考點5直線與拋物線的位置關(guān)系【例5】（2023·河南商丘·高二商丘市實驗中學校聯(lián)考期中）已知拋物線的準線為，且與直線相切，則（）A．2B．1C．D．【變式5-1】（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·高二呼市二中?？计谥校┻^點與拋物線只有一個交點的直線有（）條.A．1B．2C．3D．4【變式5-2】（2023·上海·高二吳淞中學?？茧A段練習）過拋物線的焦點作一條直線與拋物線相交于兩點，它們的橫坐標之和等于3，則這樣的直線（）A．有且僅有一條B．有且僅有兩條C．有無窮多條D．不存在【變式5-3】（2023·高二課時練習）已知直線與拋物線有且僅有一個公共點，求實數(shù)的值．【變式5-4】（2023·高二課時練習）（多選）已知直線l過定點，則與拋物線有且只有一個公共點的直線l的方程為（）A．B．C．D．考點6拋物線的焦半徑及焦點弦【例6】（2023·云南昆明·高二云南師大附中?？茧A段練習）拋物線（）的焦點為F，點M在拋物線上，且，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N，若M為線段FN的中點，則（）A．B．4C．6D．8【變式6-1】（2023·湖南長沙·雅禮中學?？寄M預測）已知拋物線的焦點為，過且斜率大于零的直線與及拋物線的公共點從右到左依次為點、、，則（）A．B．C．D．【變式6-2】（2023·河北保定·高二定興第三中學校聯(lián)考期中）已知拋物線C：的焦點為F，準線為l，過點F且傾斜角為的直線在第一象限交C于點A，若點A在l上的投影為點B，且，則（）A．1B．2C．D．4【變式6-3】（2023·江蘇南通·高二統(tǒng)考期中）已知拋物線的焦點為，過點且斜率為的直線與交于兩點，則．【變式6-4】（2023·天津靜?！じ呷o海一中?？茧A段練習）拋物線，過焦點的弦AB長為8，則AB中點M的橫坐標為.考點7拋物線的中點弦問題【例7】（2023·貴州六盤水·高二統(tǒng)考階段練習）已知橢圓，過點，斜率為的直線與交于兩點，且為的中點，則（）A．1B．C．D．【變式7-1】（2023·山東棗莊·高二滕州市第一中學新校?？茧A段練習）直線與拋物線交于兩點，中點的橫坐標為2，則為（）A．B．2C．或2D．以上都不是【變式7-2】（2023·全國·模擬預測）已知拋物線的一條弦恰好以為中點，弦的長是，則（）A．1B．2C．3D．4【變式7-3】（2023·陜西西安·高二校聯(lián)考階段練習）已知拋物線的焦點為，是拋物線上的點，且．（1）求拋物線的方程（2）已知直線交拋物線于，兩點，且的中點為，求直線的方程．【變式7-4】（2023·廣西貴港·高二統(tǒng)考期末）已知是拋物線的焦點，是拋物線上一點，且.（1）求拋物線的方程；（2）若直線與拋物線交于兩點，且線段的中點坐標為，求直線的斜率.考點8拋物線中多邊形面積問題【例8】（2023·江西九江·高二九江一中?？计谥校┮阎獟佄锞€的焦點為，拋物線上一點橫坐標為，且點到焦點的距離為.（1）求拋物線的方程；（2）過點作直線交拋物線于點，求面積的最小值（其中為坐標原點）.【變式8-1】（2023·全國·模擬預測）已知拋物線在點處的切線方程為.（1）求拋物線的方程；（2）設，為拋物線上兩點，且，當點到直線的距離最大時，求的面積.【變式8-2】（2023·河南焦作·高二博愛縣第一中學?？计谀┮阎狾是平面直角坐標系的原點，F(xiàn)是拋物線的焦點，過點F的直線交拋物線于A，B兩點，且的重心G在曲線上.（1）求拋物線C的方程；（2）記曲線與y軸的交點為D，且直線AB與x軸相交于點E，弦AB的中點為M，求四邊形DEMG面積的最小值.【變式8-3】（2023·湖南·高二校聯(lián)考期中）橢圓：的左、右焦點分別為，.過作直線交于，兩點.過作垂直于直線的直線交于，兩點.直線與相交于點.（1）求點的軌跡方程；（2）求四邊形面積的取值范圍.【變式8-4】（2023·四川攀枝花·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線：（）的焦點為F，點在拋物線上，且的面積為（為坐標原點）．（1）求拋物線的方程；（2）過點的直線與拋物線交于、兩點，過原點垂直于的直線與拋物線的準線相交于點．設、的面積分別為、，求的最大值．1．（2023·湖北·高二校聯(lián)考階段練習）拋物線的準線方程為（）A．B．C．D．2．（2023·河北邢臺·高二校聯(lián)考階段練習）已知為拋物線上一點，點到的焦點的距離為18，到軸的距離為12，則（）A．6B．8C．10D．123．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預測）已知點為拋物線：上的動點，點為圓上的動點，設點到軸的距離為，則的最小值為（）A．4B．5C．7D．104．（2023·河南焦作·高二焦作市第一中學?？计谀┮阎c，拋物線的焦點為，射線與拋物線交于點，與拋物線準線相交于，若，則的值為（）A．B．1C．2D．35．（2023·福建莆田·高二莆田第五中學?？茧A段練習）若拋物線上任意一點到焦點的距離恒大于，則的取值范圍是（）A．B．C．D．6．（2023·吉林四平·高二統(tǒng)考期中）已知拋物線C：的焦點為，過點的直線與拋物線C交于A，B兩點，且M是的中點，則直線AB的方程為（）A．B．C．D．7．（2023·貴州貴陽·高三統(tǒng)考開學考試）直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與拋物線交于，兩點．若，則（）A．4B．C．8D．8．（2023·湖北荊州·高二沙市中學?？茧A段練習）已知拋物線的焦點為，直線與拋物線交于兩點，，線段的中點為，過點作拋物線的準線的垂線，垂足為，則的最小值為（）A．1B．C．2D．9．（2023·陜西咸陽·高二普集高級中學?？茧A段練習）（多選）已知拋物線的焦點在直線上，直線與