2024-2025學年新教材高中數(shù)學第十一章立體幾何初步11.4.2平面與平面垂直教師用書教案新人教B版必修第四冊

PAGE11-11．4.2平面與平面垂直[課程目標]1.理解二面角及其平面角的概念，能確認圖形中的已知角是否為二面角的平面角；2.理解并駕馭平面與平面垂直的定義；3.駕馭平面與平面垂直的判定定理，并能嫻熟應用；4.駕馭平面與平面垂直的性質定理，并能嫻熟應用．學問點一二面角[填一填]1．定義：平面內的一條直線把一個平面分成兩部分，其中的每一部分都稱為一個半平面．從一條直線動身的兩個半平面所組成的圖形稱為二面角，這條直線稱為二面角的棱，這兩個半平面稱為二面角的面．2．表示：以AB為棱，α和β為半平面的二面角，通常記作二面角α-AB-β.假如C和D分別是半平面α和β內的點，那么這個二面角也可記作C-AB-D.3．在二面角α-l-β的棱上任取一點O，以O為垂足，分別在半平面α和β內作垂直于棱的射線OA和OB，則射線OA和OB所成的角稱為二面角的平面角．二面角的大小用它的平面角的大小來度量，即二面角大小等于它的平面角大?。厥獾?，平面角是直角的二面角稱為直二面角．[答一答]1．確定二面角的平面角的方法有哪些？提示：方法1：(定義法)在二面角的棱上找一特殊點，在兩個半平面內分別作垂直于棱的射線．如下圖：方法2：(垂面法)過棱上一點作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個半平面產生交線，這兩條射線所成的角，即為二面角的平面角．如圖：留意：①在平面角的定義中，平面角的兩邊必需有共同的頂點且分別在兩個半平面內；平面角的兩邊必需都與棱垂直．②“特殊”兩字的作用，在于平面角的大小易于求出．學問點二面面垂直的判定定理與性質定理[填一填]1．假如兩個平面α與β所成角的大小為90°，則稱這兩個平面相互垂直，記作α⊥β.2．平面與平面垂直的判定定理與性質定理[答一答]2．面面垂直的判定定理的條件有幾個，削減一個條件定理是否還成立？提示：判定定理有兩個條件，若去掉一個條件，則定理不肯定成立．3．若兩個平面相互垂直，一條直線與一個平面垂直，那么這條直線與另一個平面的關系是什么？提示：若α⊥β，l⊥α，在β內作a與α，β的交線垂直，則a⊥α，∴a∥l.∴l(xiāng)∥β或l?β，即直線l與平面β平行或在平面β內．類型一有關概念和定理的推斷[例1]下列各命題中正確的序號有________(填序號)．(1)一條直線和一個平面平行，它就和這個平面內的任何直線平行；(2)垂直于三角形兩邊的直線必垂直于第三邊；(3)過點A垂直于直線a的全部直線都在過點A垂直于a的平面內；(4)假如三條共點直線兩兩垂直，那么其中一條直線垂直于另兩條直線確定的平面．[解析]直線與平面平行，則直線與平面內的直線的位置關系不外乎有兩種①平行，②異面，因此(1)錯．垂直于三角形兩邊的直線必垂直于三角形所在的平面，由線面垂直定義逆用，則該直線必垂直于三角形的第三邊，所以(2)對．①過一點有且只有一個平面與已知直線垂直，②過一點有且只有一條直線與已知平面垂直，依據第①個命題知：過點A垂直于直線a的平面唯一，因此，過點A且與直線a垂直的直線都在過點A且與直線a垂直的平面內，所以(3)對．三條共點直線兩兩垂直，設為a，b，c且a，b，c共點于O，∵a⊥b，a⊥c，b∩c＝O，且b，c確定一平面，設為α，則a⊥α.同理可知b垂直于由a，c確定的平面，c垂直于由a，b確定的平面．所以(4)對．[答案](2)(3)(4)處理此類問題關鍵是正確理解概念及定理所具備的條件，只有具備相應條件，才能得到相應結論.[變式訓練1]若l，m是互不相同的空間直線，α，β，γ是不重合的平面，則下列命題中是真命題的是(D)A．若l∥α，m∥α，l?β，m?β，則α∥βB．若α⊥β，l?α，則l⊥βC．若α⊥β，β⊥γ，則α⊥γD．若l⊥α，l∥β，則α⊥β解析：A中未說明l，m相交，只有直線l，m相交時，才能得到α∥β；B中l(wèi)可能在β內或與其相交、平行，故B不正確；C中平面的垂直關系不具有傳遞性，α與γ可能斜交、平行；D中若l∥β，則在β內能找到一條直線l′使l′∥l，而l⊥α，則有l(wèi)′⊥α，依據面面垂直的判定定理可得α⊥β.類型二平面與平面垂直的判定定理[例2]如圖，四棱錐P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F(xiàn)，G，M，N分別為PB，AB，BC，PD，PC的中點．(1)求證：CE∥平面PAD；(2)求證：平面EFG⊥平面EMN.[證明](1)如圖，連接CF.因為F為AB的中點，所以AF＝eq\f(1,2)AB.又CD＝eq\f(1,2)AB，所以AF＝CD.又AF∥CD，所以四邊形AFCD為平行四邊形．因此CF∥AD.又CF?平面PAD，所以CF∥平面PAD.因為E，F(xiàn)分別為PB，AB的中點，所以EF∥PA.又EF?平面PAD，所以EF∥平面PAD.因為CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD.又CE?平面CEF，所以CE∥平面PAD.(2)因為E，F(xiàn)分別為PB，AB的中點，所以EF∥PA.又AB⊥PA，所以AB⊥EF.同理可證AB⊥FG.又EF∩FG＝F，EF?平面EFG，F(xiàn)G?平面EFG，因此AB⊥平面EFG.又M，N分別為PD，PC的中點，所以MN∥CD.又AB∥CD，所以MN∥AB.因此MN⊥平面EFG.又MN?平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.本題通過空間幾何體中的平行與垂直的證明，考查了直線與平面平行、平面與平面平行的判定及性質定理，平面與平面、直線與平面垂直的判定定理等.本題對空間想象實力提出了較高要求.[變式訓練2]如圖所示，已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上隨意一點，求證：平面PAC⊥平面PBC.證明：由于AB是⊙O的直徑，∴AC⊥BC.又由于PA⊥⊙O所在的平面，BC在⊙O所在的平面內，∴PA⊥BC(線面垂直的性質定理)．∵PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC(線面垂直的判定定理)．又BC?平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC(面面垂直的判定定理)．類型三平面與平面垂直的性質定理[例3]如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求證：BC⊥AB.[證明]如圖，在平面PAB內，作AD⊥PB于點D.∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，AD?平面PAB，∴AD⊥平面PBC，又BC?平面PBC，∴AD⊥BC.又∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.又AB?平面PAB，∴BC⊥AB.證明線面垂直，一種方法是利用線面垂直的判定定理，另一種方法是利用面面垂直的性質定理.本題已知面面垂直，故可考慮面面垂直的性質定理.利用面面垂直的性質定理證明線面垂直的問題時，要留意以下三點：1兩個平面垂直；2直線必需在其中一個平面內；3直線必需垂直于它們的交線.[變式訓練3]如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，點E、F分別是棱PC和PD的中點．(1)求證：EF∥平面PAB；(2)若AP＝AD，且平面PAD⊥平面ABCD，證明AF⊥平面PCD.證明：(1)因為點E、F分別是棱PC和PD的中點，所以EF∥CD，又在矩形ABCD中，AB∥CD，所以EF∥AB，又AB?面PAB，EF?面PAB，所以EF∥平面PAB.(2)在矩形ABCD中，AD⊥CD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD?平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，所以AF?平面PAD，所以CD⊥AF，①因為PA＝AD且F是PD的中點，所以AF⊥PD，②由①②及PD?平面PCD，CD?平面PCD，PD∩CD＝D，所以AF⊥平面PCD.類型四平面與平面垂直的判定定理、性質定理的綜合應用[例4]如圖，在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F(xiàn)分別是AC，AD上的動點，且eq\f(AE,AC)＝eq\f(AF,AD)＝λ(0<λ<1)．(1)求證：無論λ為何值，總有平面BEF⊥平面ABC；(2)是否存在實數(shù)λ，使得平面BEF⊥平面ACD.[解](1)證明：∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，∴AB⊥CD.∵CD⊥BC，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.又∵eq\f(AE,AC)＝eq\f(AF,AD)＝λ(0<λ<1)，∴無論λ為何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.又∵EF?平面BEF，∴無論λ為何值，總有平面BEF⊥平面ABC.(2)假設存在λ，使得平面BEF⊥平面ACD.∵平面BEF∩平面ACD＝EF，AC⊥EF，BE?平面BEF，∴AC⊥平面BEF，∴BE⊥AC.∵BC＝CD＝1，∠BCD＝∠ABD＝90°，∠ADB＝60°，∴BD＝eq\r(2)，∴AB＝eq\r(2)tan60°＝eq\r(6)，∴AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(7)，由Rt△AEB∽Rt△ABC，得AB2＝AE·AC，∴AE＝eq\f(6,\r(7))，∴λ＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(6,7).故當λ＝eq\f(6,7)時，平面BEF⊥平面ACD.立體幾何中的探究性問題1探究條件，即探究能使結論成立的條件是什么.解答此類問題，先視察與嘗試給出條件再給出證明.2探究結論，即在給定的條件下命題的結論是什么.解答此類問題，常從條件動身，探究出要求的結論是什么.對于探究的結論是否存在問題.求解時，常假設結論存在，再找尋與條件相容還是沖突的結論.[變式訓練4]如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為a的菱形，∠DAB＝60°，側面PAD為等邊三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求證：AD⊥PB；(2)若E為BC邊上的中點，能否在棱PC上找到一點F，使平面DEF⊥平面ABCD？并證明你的結論．解：(1)證明：設G為AD的中點，連接PG，BG，BD，如圖．因為△PAD為等邊三角形，所以PG⊥AD.在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，所以△ABD為等邊三角形，又因為G為AD的中點，所以BG⊥AD.又因為BG∩PG＝G，BG，PG?平面PGB，所以AD⊥平面PGB.因為PB?平面PGB，所以AD⊥PB.(2)當F為PC的中點時，滿意平面DEF⊥平面ABCD.證明：如圖，設F為PC的中點，則在△PBC中，EF∥PB.在菱形ABCD中，GB∥DE，而PB∩GB＝B，EF∩DE＝E，PB，GB?平面PGB，EF，DE?平面DEF，所以平面DEF∥平面PGB，由(1)得，PG⊥AD，又因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG?平面PAD，所以PG⊥平面ABCD，而PG?平面PGB，所以平面PGB⊥平面ABCD，所以平面DEF⊥平面ABCD.類型五二面角問題[例5]已知Rt△ABC，斜邊BC?平面α，點A?α，AO⊥α，O為垂足，∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，求二面角A-BC-O的大?。甗分析]選特殊點O，作OD⊥BC，連接AD.若AD⊥BC，則∠ADO即為二面角A-BC-O的平面角，所以只需證明AD⊥BC即可．[解]如圖，在平面α內，過點O作OD⊥BC，垂足為點D，連接AD.設OC＝a.∵AO⊥α，BC?α，∴AO⊥BC.又∵AO∩OD＝O，∴BC⊥平面AOD.而AD?平面AOD，∴AD⊥BC，∴∠ADO是二面角A-BC-O的平面角．由AO⊥α，OB?α，OC?α，知AO⊥OB，AO⊥OC.又∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，OC＝a，∴AO＝a，AC＝eq\r(2)a，AB＝2a.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∴BC＝eq\r(AC2＋AB2)＝eq\r(6)a，∴AD＝eq\f(AB·AC,BC)＝eq\f(2a·\r(2)a,\r(6)a)＝eq\f(2\r(3),3)a.在Rt△AOD中，sin∠ADO＝eq\f(AO,AD)＝eq\f(a,\f(2\r(3),3)a)＝eq\f(\r(3),2)，∴∠ADO＝60°，即二面角A-BC-O的大小是60°.求二面角問題的關鍵是找出或作出該二面角的平面角，再把平面角放到三角形中求解.一般實行垂線法來作平面角，即過二面角的一個平面內一點作另一平面的垂線，再過垂足作棱的垂線，利用線面垂直可找到二面角的平面角或其補角.這種方法通用于求二面角的全部題目，其步驟可簡寫為“一找、二證、三求”.[變式訓練5]如圖，在四面體SABC中，若△BAC是邊長為a的正三角形，且SA⊥底面ABC，AS＝eq\f(1,2)a，求二面角A-BC-S的大?。猓涸OD是BC的中點，連接AD，SD.由△ABC是等邊三角形知AD⊥BC.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(SA⊥平面ABC,BC?平面ABC))?SA⊥BC,AD⊥BC,AD，SA?平面SAD,AD∩SA＝A))?BC⊥平面SAD，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(BC⊥平面SAD,SD?平面SAD))?SD⊥BC.∴∠ADS是二面角A-BC-S的平面角．在Rt△SAD中，tan∠ADS＝eq\f(SA,AD)＝eq\f(\f(1,2)a,\f(\r(3),2)a)＝eq\f(\r(3),3)，∴∠ADS＝30°.即所求二面角A-BC-S的大小為30°.1．經過平面α外一點和平面α內一點與平面α垂直的平面有(D)A．0個 B．1個C．多數(shù)個 D．1個或多數(shù)個解析：兩點連線垂直于α時有多數(shù)個，不垂直于α時，只有一個．2．下列命題中錯誤的是(D)A．假如平面α⊥平面β，那么平面α內肯定存在直線平行于平面βB．假如平面α不垂直于平面β，那么平面α內肯定不存在直線垂直于平面βC．假如平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那