第01講 實數(shù)及其運算課件2025年中考數(shù)學復習

第一章

數(shù)與式

第01講

實數(shù)及其運算6大考點精講+專訓2大中考命題點+11大題型探究01考情透視·目標導航中考考點考查頻率新課標要求實數(shù)的分類數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)科學記數(shù)法平方根、立方根實數(shù)比較大小實數(shù)的相關計算★★★★★★★★★★★★★★理解有理數(shù)、無理數(shù)的概念，知道實數(shù)是由有理數(shù)和無理數(shù)組成的了解實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應；能用數(shù)軸上的點表示實數(shù)；能借助數(shù)軸理解相反數(shù)和絕對值的意義，會求實數(shù)的相反數(shù)和絕對值.會用科學記數(shù)法表示數(shù)了解平方根、算術平方根、立方根的概念,會用根號表示數(shù)的平方根、算術平方根、立方根；了解乘方與開方互為逆運算.能用有理數(shù)估計一個無理數(shù)的大致范圍；能比較實數(shù)的大小.理解乘方的意義；掌握有理數(shù)的加減、乘、除、乘方及簡單的混合運算(以三步以內為主)；理解有理數(shù)的運算律，能運用運算律簡化運算.【考情分析】實數(shù)是初中數(shù)學的基礎內容，也是必考內容，試題形式多樣，考查較多的是實數(shù)與數(shù)軸結合、實數(shù)的混合運算及科學記數(shù)法，試題難度都不大，在實數(shù)的混合運算中，注意符號和運算順序是解題的關鍵，實數(shù)的混合運算涉及的知識點較多，包含去絕對值、非零數(shù)的0次冪、負整數(shù)指數(shù)冪及特殊角的三角函數(shù)值等，每個知識點都要求準確掌握.02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究科學記數(shù)法考點三平方根、立方根考點四比較實數(shù)的大小考點五數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)考點二實數(shù)的運算考點六實數(shù)的分類考點一實數(shù)的分類1.正數(shù)與負數(shù)大于0的數(shù)叫做正數(shù)正數(shù)：小于0的數(shù)叫做負數(shù).負數(shù)：

有理數(shù)：整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù).

【補充】有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)可以轉化為分數(shù)，因此有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù).

例：分數(shù)形式

根號形式

2.有理數(shù)及分類實數(shù)的分類考點一有理數(shù)分類

你答對了嗎？實數(shù)的分類考點一3.無理數(shù)【補充】無限不循環(huán)小數(shù)不能化成分數(shù)，因此無限不循環(huán)小數(shù)不是有理數(shù).無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).常見的無理數(shù)：（1）一般的無限不循環(huán)小數(shù)如0.43241…，7.6385661…等（2）開方開不盡的數(shù)

（3）與圓周率π有關的數(shù)

（4）看似有規(guī)律循環(huán)實際上是

無限不循環(huán)的小數(shù)（5）某些三角函數(shù)，如0.1010010001（兩個1之間依次增加1個0）…如sin60°、cos20°[易錯]帶根號的數(shù)并不都是無理數(shù)，而開方開不盡的數(shù)才是無理數(shù).無理數(shù)都是無限小數(shù)，但無限小數(shù)不一定是無理數(shù)，只有無限不循環(huán)小數(shù)才是無理數(shù).【注意】實數(shù)的分類考點一4.實數(shù)及其分類實數(shù)的定義：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).實數(shù)的分類

能夠寫成分數(shù)形式實數(shù)的分類考點一

實數(shù)的分類

實數(shù)的分類考點一針對練習1．（2024·山東淄博·中考真題）下列運算結果是正數(shù)的是（

）

A

C

C

實數(shù)的分類考點一03考點突破·考法探究科學記數(shù)法考點三平方根、立方根考點四比較實數(shù)的大小考點五數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)考點二實數(shù)的運算考點六實數(shù)的分類考點一

數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)1.數(shù)軸數(shù)軸的定義：在數(shù)學中，通常用一條直線上的點表示數(shù)，這條直線叫做數(shù)軸.1）數(shù)軸是一條可以向兩端無限延伸的直線；2）數(shù)軸三要素是“規(guī)定”的，通常，我們習慣性向右為正方向，原點的位置和單位長度的大小要依據(jù)實際情況靈活選取，但是一旦選定后就不能隨意改變；3）在同一條數(shù)軸上，單位長度的大小必須統(tǒng)一，要根據(jù)實際問題靈活選取單位長度的大小.4）在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.數(shù)軸三要素原點正方向單位長度每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示補充實數(shù)與數(shù)軸上點的關系：數(shù)軸上的每一個點都表示一個實數(shù)實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應.數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)考點二2.相反數(shù)相反數(shù)只有符號不同的兩個數(shù)稱為互為相反數(shù)，相反數(shù)是成隊出現(xiàn)的性

質1）若a，b互為相反數(shù)，則a+b=0；反之，若a+b=0，則若a，b互為相反數(shù).2）一個有理數(shù)有且只有一個相反數(shù)；3）正數(shù)的相反數(shù)是負數(shù)；負數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)；0的相反數(shù)是0.熱

考幾何意義1）互為相反數(shù)的兩個數(shù)在數(shù)軸上對應的兩個點到原點的距離相等且位于原點的兩側.2）位于原點的兩側且到原點距離相等的點，所表示的兩個數(shù)互為相反數(shù).數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)考點二3.絕對值絕對值數(shù)軸上表示數(shù)a的點到原點的距離叫做a的絕對值，記為|a|．正數(shù)的絕對值是它本身0絕對值是0負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)絕對值的代數(shù)意義易混易錯3）當絕對值符號里的數(shù)的正負不能確定時，要分類討論，即將其分成大于0，小于0，等于0這三類討論1）若|a|=a（或|a|-a=0），

則a≥0，

若|a|=-a（或|a|+a=0），

則a≤0.2）任何一個有理數(shù)的絕對值都是非負數(shù)，即a取任意實數(shù)，都有|a|≥0.數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)考點二4.倒數(shù)1）0沒有倒數(shù)，倒數(shù)是本身的只有1和-1.2）若a、b互為倒數(shù)，則ab=1.3）互為倒數(shù)的兩個數(shù)必定同號（同為正數(shù)或同為負數(shù)）倒數(shù)1除以一個不等于零的實數(shù)所得的商，叫做這個數(shù)的倒數(shù)．易混易錯數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)考點二針對練習

AB

B數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)考點二針對練習

D

D

數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)考點二03考點突破·考法探究科學記數(shù)法考點三平方根、立方根考點四比較實數(shù)的大小考點五數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)考點二實數(shù)的運算考點六實數(shù)的分類考點一

科學記數(shù)法1.科學記數(shù)法把一個數(shù)A表示成a×10n的形式（其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)），這種記數(shù)法叫做科學記數(shù)法．定義類別a的確定n的確定示例|A|＞10

0＜|A|＜11≤|a|＜10n為正整數(shù)，n=小數(shù)點左移的位數(shù)n為負整數(shù)，n=小數(shù)點右移的位數(shù)a=5.5，n=6a=-5.5，n=-6科學記數(shù)法考點三①直接將像26000000、320萬這樣的較大數(shù)字用科學記數(shù)法表示；②將450km或35nm換算單位后用科學記數(shù)法表示；③根據(jù)題意，先計算，再將計算結果用科學記數(shù)法表示.【補充】1）用科學記數(shù)法表示數(shù)時，不改變數(shù)的符號，只是改變數(shù)的書寫形式而已，可以方便地表示日常生活中遇到的一些很大或很小的數(shù).2）一個負數(shù)也可以用科學記數(shù)法表示.3）科學記數(shù)法的常見類型:科學記數(shù)法考點三精確度近似數(shù)一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪一位2.近似數(shù)準確數(shù)在日常生活或生產實際中，能準確地表示一些數(shù)的量，成為準確數(shù).近似數(shù)接近準確數(shù)而不等于準確數(shù)的數(shù)，叫做這個數(shù)的近似數(shù).有效數(shù)字的概念從左邊第一位非0的數(shù)字到精確數(shù)位的所有的數(shù)字對于帶單位的數(shù)或用科學記數(shù)法表示的近似數(shù)a×10n，a的末位數(shù)字在還原后的數(shù)中是哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪一位.【補充】4.360×104有四個有效數(shù)字：4,3,6,0.例：0.012有兩個有效數(shù)字：1,2；3.6萬有兩個有效數(shù)字：3,6科學記數(shù)法考點三針對練習1．（2024·內蒙古·中考真題）2023年呼和浩特市政府工作報告中指出，我市主要經(jīng)濟指標增速達到十年來最好水平．地區(qū)生產總值完成3802億元．數(shù)據(jù)“3802億”用科學記數(shù)法表示為

．

科學記數(shù)法考點三03考點突破·考法探究科學記數(shù)法考點三平方根、立方根考點四比較實數(shù)的大小考點五數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)考點二實數(shù)的運算考點六實數(shù)的分類考點一平方根、立方根1.算術平方根

定義

1）被開方數(shù)具有非負性，即a≥0；

小結兩個重要等式：

1）

一個非負數(shù)的算術平方根的平方等于它本身

即：2）

一個數(shù)平方的算術平方根等于它本身的絕對值即：平方根、立方根考點四

正數(shù)有兩個平方根，且它們互為相反數(shù)0的平方根為0；負數(shù)沒有平方根.2.平方根定義讀作“正、負根號a”.性質平方根、立方根考點四3.立方根

1）立方根等于本身的有0和±1.2）互為相反數(shù)的兩個數(shù)，它們的立方根也互為相反數(shù).定義【補充】正數(shù)只有一個正的立方根；0的立方根是0；負數(shù)只有一個負的立方根．性質

平方根、立方根考點四平方根與立方根的區(qū)別與聯(lián)系

名稱

關系平方根立方根區(qū)別性質表示方法被開方數(shù)的取值范圍聯(lián)系轉化條件正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負數(shù)沒有平方根

正數(shù)的立方根是一個正數(shù)，0的立方根是0，負數(shù)的立方根是一個負數(shù)

平方根、立方根考點四4.常見實數(shù)的平方與立方

常見數(shù)的平方122232425262728292102149162536496481100112122132142152162172182192202121144169196225256289324361400常見數(shù)的立方1323334353637383931031827641252163435127291000平方根、立方根考點四

針對練習A2．（2023·山東·中考真題）面積為9的正方形，其邊長等于（）A．9的平方根

B．9的算術平方根

C．9的立方根

D．5的算術平方根B

±2平方根、立方根考點四03考點突破·考法探究科學記數(shù)法考點三平方根、立方根考點四比較實數(shù)的大小考點五數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)考點二實數(shù)的運算考點六實數(shù)的分類考點一比較實數(shù)的大小01正數(shù)大于0，負數(shù)小于0，正數(shù)大于負數(shù)；兩個正數(shù)比較大小，絕對值大的數(shù)大；兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的數(shù)反而??；比較實數(shù)的大小方法總結數(shù)軸比較法：實數(shù)性質法：020304根據(jù)在數(shù)軸上右邊的點表示的數(shù)大于左邊的點表示的數(shù)，結合圖形比較，這個方法適用于多個實數(shù)比較大?。蛔鞑畋容^法：作商比較法：a，b是任意兩個實數(shù)，若a-b>0，則a>b；若a-b=0，則a=b；若a-b<0，則a<b.

比較實數(shù)的大小考點五050607倒數(shù)比較法：平方比較法：特殊值法：a、b為正數(shù)，若a2>b2，則a>b.

a、b為負數(shù)，若a2>b2，則a<b.通過估算，將無理數(shù)取近似值，即可比較出這兩個實數(shù)的大小主要應用于二次根式的估值及比較含有根式的實數(shù)大小.補充記住三個常用的近似值:

比較實數(shù)的大小考點五

2．（2023·江蘇·中考真題）實數(shù)a、b在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示，

下列結論正確的是（

）

A．a＜-2 B．b＜2

C．a＞b D．-a＞b

針對練習ADC＞比較實數(shù)的大小考點五03考點突破·考法探究科學記數(shù)法考點三平方根、立方根考點四比較實數(shù)的大小考點五數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)考點二實數(shù)的運算考點六實數(shù)的分類考點一實數(shù)的運算實數(shù)的四則運算當數(shù)從有理數(shù)擴充到實數(shù)以后，實數(shù)之間不僅可以進行加、減、乘、除(除數(shù)不為0)、乘方運算，又增加了非負數(shù)的開平方運算，任意實數(shù)可以進行開立方運算.進行實數(shù)運算時，有理數(shù)的運算法則及性質等同樣適用.1.實數(shù)的加法法則1)同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；2)異號兩數(shù)相加，絕對值不相等時，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值.2.實數(shù)的減法法則減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù).實數(shù)的運算考點六3.實數(shù)的乘法法則4.實數(shù)的除法法則5.運算順序1）兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；2）任何數(shù)同0相乘，都得0.1）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；2）0的任何正整數(shù)次冪都是0；3）負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù).1）除以一個不為0的數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)；2）0除以任何不為0的數(shù)，都得0.先進行乘方和開方運算，再算乘除，最后算加減，如果遇到括號，則先進行括號里的運算.【補充】實數(shù)的運算考點六類別表示加法交換律加法結合律乘法交換律乘法結合律乘法分配律6.運算律易混易錯①先算乘方，再算乘除，最后算加減；②有括號先算括號里面的，再算括號外面的；先算小括號，再算中括號，最后算大括號．1.有理數(shù)的運算定律在實數(shù)范圍內都適用，常用的運算定律有加法結合律、加法交換律、乘法交換律、乘法結合律、乘法分配律．2.在實數(shù)混合運算中不注意運算順序導致結果錯誤，所以要牢記運算順序避免出錯：實數(shù)的運算考點六

針對練習

方法指導

（2）先計算括號里的，再把除法運算化為乘法運算，最后約分即可．（1）先根據(jù)絕對值、零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪、立方根的運算法則計算，再根據(jù)有理數(shù)的加減運算法則計算即可；方法指導實數(shù)的運算考點六

針對練習方法技巧解題的關鍵：

根據(jù)零指數(shù)冪和負整數(shù)指數(shù)冪運算法則，二次根式性質，特殊角的三角函數(shù)值，準確計算

實數(shù)的運算考點六04題型精研·考向洞悉正負數(shù)的意義題型01實數(shù)的基礎命題點一無理數(shù)的識別題型02科學記數(shù)法題型03無理數(shù)的估算題型04實數(shù)的大小比較題型05實數(shù)與數(shù)軸題型06平方根、立方根題型07

方法指導解題的關鍵：在一個事件中，規(guī)定一個量為正，則表示相反意義的量為負，正負數(shù)表示一對相反的意義的量命題點一

實數(shù)的基礎題型01正負數(shù)的意義規(guī)定：海平面以上為正，

則：

海平面以下為負命題點一

實數(shù)的基礎題型01正負數(shù)的意義

2．（2024·河北·中考真題）如圖顯示了某地連續(xù)5天的日最低氣溫，

則能表示這5天日最低氣溫變化情況的是（

）A． B．C． D．

AA常見的無理數(shù)：

方法技巧帶根號的數(shù)并不都是無理數(shù)，而開方開不盡的數(shù)才是無理數(shù).易錯無理數(shù)都是無限小數(shù)，但無限小數(shù)不一定是無理數(shù)，只有無限不循環(huán)小數(shù)才是無理數(shù).注意命題點一

實數(shù)的基礎題型02無理數(shù)的識別

命題點一

實數(shù)的基礎題型02無理數(shù)的識別AD、0.13133是有理數(shù)，不符合題意；解

析

解

析方法技巧解題的關鍵：會求解一個數(shù)的算術平方根，立方根，確定無理數(shù)，再利用概率公式求解簡單隨機事件的概率

A命題點一

實數(shù)的基礎題型02無理數(shù)的識別實數(shù)分類與概率結合題

解

析分數(shù)無理數(shù)循環(huán)小數(shù)整數(shù)有限小數(shù)無理數(shù)整數(shù)

∵7個數(shù)中有2個無理數(shù)∴無理數(shù)有2個用科學記數(shù)法表示數(shù)時，確定a，n的值是關鍵①當原數(shù)絕對值大于10時，則n的值等于原數(shù)中整數(shù)部分的位數(shù)減1；②當原數(shù)絕對值小于1時，n為負整數(shù)，n的值等于原數(shù)中第一個非零數(shù)字前面所有零的個數(shù)的相反數(shù)（包括小數(shù)點前面的零）.

3）用科學記數(shù)法表示帶單位的大數(shù)的技巧：1）a是一個整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，即1≤|a|＜10；2）確定n的兩種方法：將數(shù)字用科學記數(shù)法表示時，小數(shù)點移動的位數(shù)，即為10的指數(shù)的絕對值.【小結】具體方法為命題點一

實數(shù)的基礎題型03科學記數(shù)法方法技巧

BC命題點一

實數(shù)的基礎題型03科學記數(shù)法【例1】【例2】

B命題點一

實數(shù)的基礎題型03科學記數(shù)法【變式】

方法技巧

解析：C命題點一

實數(shù)的基礎題型04無理數(shù)的估算方法技巧

【例2】（2024·河北·中考真題）已知a，b，n均為正整數(shù)．

解析：

命題點一

實數(shù)的基礎題型04無理數(shù)的估算1）兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的數(shù)反而??；2）將實數(shù)在數(shù)軸上表示出來，左邊的數(shù)小于右邊的數(shù)；3）作差或作商法：作差后與0進行比較，作商后與1進行比較；5）乘方法：符號相同的兩個根式，利用乘方法來比較大小.

實數(shù)比較大小的常用方法

常見4）估算法：命題點一

實數(shù)的基礎題型05實數(shù)的大小比較方法技巧

方法技巧

C【解析】

命題點一

實數(shù)的基礎題型05實數(shù)的大小比較

命題點一

實數(shù)的基礎題型05實數(shù)的大小比較解：

拋物線與實數(shù)比較結合題。利用拋物線性質確定出關于m的關系式

命題點一

實數(shù)的基礎題型05實數(shù)的大小比較【例1】（2024·內蒙古赤峰·中考真題）如圖，數(shù)軸上點A，M，B分別表示數(shù)a，a+b，b，若AM>BM，則下列運算結果一定是正數(shù)的是（

）A．a+b B．a-b C．ab D．a-b

【解析】A命題點一

實數(shù)的基礎題型06

實數(shù)與數(shù)軸1．（2024·山東青島·中考真題）實數(shù)a，b，c，d在數(shù)軸上對應點的位置如

圖所示，這四個實數(shù)中絕對值最小的是（

）A．a

B．b C．c D．dC命題點一

實數(shù)的基礎題型06

實數(shù)與數(shù)軸

A．點A

B．點B

C．點C

D．點DC3．（2023·遼寧大連·中考真題）如圖，在數(shù)軸上，OB=1，

過O作直線l⊥OB于點O，在直線l上截取OA=2，且A在

OC上方．連接AB，以點B為圓心，AB為半徑作弧交直線

OB于點C，則C點的橫坐標為

．

利用勾股定理求出半徑AB的值

12

3

命題點一

實數(shù)的基礎題型07

平方根、立方根【解】方法技巧一個正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)

A命題點一

實數(shù)的基礎題型07

平方根、立方根

C【解析】

04題型精研·考向洞悉非負性的應用題型01實數(shù)的運算命題點二實數(shù)的簡單運算題型02實數(shù)的混合運算題型03與實數(shù)有關的新定義問題題型04常見的三種非負數(shù)2）一個實數(shù)的偶次方(主要是二次方)，即a2，a4等

方法技巧二次根式是初中階段常見的三種非負數(shù)之一1）一個實數(shù)的絕對值，即|a|；

D【解】實數(shù)的偶次方二次根式實數(shù)的絕對值

命題點二

實數(shù)的計算題型01非負性的應用

命題點二

實數(shù)的計算題型01非負性的應用【變式】

再根據(jù)非負數(shù)相加等于0的條件得出方程組

【解】命題點二

實數(shù)的計算題型01非負性的應用

12

解題關鍵方法技巧C

【解析】

有理數(shù)的加減乘除、乘方的運算法則，正確掌握運算法則進行計算和判斷命題點二

實數(shù)的計算題型