2024-2025學年年七年級數(shù)學人教版下冊專題整合復習卷4.3.2 角的比較和角平分線(含答案)-

2024-2025學年年七年級數(shù)學人教版下冊專題整合復習卷4.3.2角的比較和角平分線(含答案)-4.3.2角的比較和角平分線【知能點分類訓練】知能點1角的大小比較1．觀察圖1，用“<”號把∠AOD，∠BOD，∠COD連結起來：∠______<∠______<∠_______．(1)(2)(3)2．如圖2所示，把上邊的圖形沿AB翻折后得到下邊的圖形，則有三對角對應相等，這三對角分別為__________．3．在∠AOB的內(nèi)部任取一點C，作射線OC，則一定存在（）．A．∠AOB>∠AOCB．∠AOB>∠BOCC．∠BOC>∠AOCD．∠AOC>∠BOC4．用一幅三角板可以畫出的角共有（）．A．三個銳角，一個直角，兩個鈍角，一個平角B．四個銳角，一個直角，三個鈍角，一個平角C．五個銳角，一個直角，五個鈍角，一個平角D．五個銳角，一個直角，四個鈍角，一個平角5．如圖3所示，如果∠AOD>∠BOC，那么下列說法正確的是（）．A．∠COD>∠AOBB．∠AOB>∠CODC．∠COD=∠AOBD．∠AOB與∠COD的大小關系不能確定6．如圖所示，比較∠α與∠β的大?。茳c2角的運算及角的平分線7．如圖所示，OC，OD分別是∠AOB，∠AOC的平分線，且∠COD=25°，則∠AOB為（）．A．100°B．120°C．135°D．150°8．如圖所示，OE平分∠BOC，OD平分∠AOC，∠BOE=20°，∠AOD=40°,求∠DOE的度數(shù)．9．已知一條射線OA，若從點O再引兩條射線OB和OC，使∠AOB=50°，∠BOC=10°，求∠AOC的度數(shù)．10．如圖所示，∠AOB=70°，∠COD=80°，求∠AOD-∠BOC的度數(shù)．11．如圖所示，BD平分∠ABC，BE分∠ABC成2：5的兩部分，∠DBE=27°，求∠ABC的度數(shù)．12．如圖所示，OD，OE分別是∠AOC和∠BOC的平分線，∠AOD=45°，∠BOE=25°，求∠AOB的度數(shù)．解：∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC（已知），∴∠AOC=2∠AOD，∠BOC=2________（），∵∠AOD=40°，∠______=25°（已知），∴∠AOC=2×40°=80°（等量代換），∠BOC=2×_____°=______°，∴∠AOB=________°．【綜合應用提高】13．在下列說法中，正確的個數(shù)是（）．①鐘表上九點一刻時，時針和分針形成的角是平角;②鐘表上六點整時，時針和分針形成的角是平角;③鐘表上十二點整時，時針和分針形成的角是周角;④鐘表上差一刻六點時，時針和分針形成的角是直角;⑤鐘表上九點整時，時針和分針形成的角是直角14．如圖所示，OB，OC是∠AOD內(nèi)任意兩條射線，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠MON=α，∠BOC=β，試用α，β表示∠AOD．15．如圖所示，將書面折過去，該角頂點A落在A′處，BC為折痕，BD為∠A′BE的平分線，則∠CBD等于多少度？試著說明其中的道理．16．如圖所示，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，∠MON=90°，∠BOC=26°，求∠AOD的度數(shù)．【開放探索創(chuàng)新】17．如圖是蹺蹺板圖，橫板CB通過點O，且可以繞點O上下轉動，如果∠OAC=90°，∠ACO=30°，問小孩玩蹺蹺板時：（1）在空中劃過怎樣的線？（2）上下最多可以轉動多少度？【中考真題實戰(zhàn)】18．（鎮(zhèn)江）α，β是兩個鈍角，計算（α+β）的值，甲、乙、丙、丁四名同學算出了四種不同的答案，分別為24°，48°，76°，86°，其中只有一個答案是正確的，則正確的答案是（）．A．86°B．76°C．48°D．24°19．（黑龍江）如圖所示，將一副三角板疊放在一起，使直角的頂點重合于點O，則∠AOC+∠DOB的度數(shù)為_______．答案:1．CODBODAOD2．∠CAB=∠C′AB，∠CBA=∠C′BA，∠C=∠C′3．A4．C5．B（點撥：因為∠AOD與∠BOC中都包含∠BOD，所以都減去它，不等式仍成立，∵∠AOD>∠BOC，∴∠AOD-∠BOD>∠BOC-∠BOD，即∠AOB>∠COD）6．略7．A（點撥：∵OD為∠AOC的平分線，∴∠AOD=∠COD=25°，∴∠AOC=50°，又∵OC為∠AOB的平分線，∴∠AOB=100°）8．解：∵OE平分∠BOC，∴∠BOE=∠COE，∵OD平分∠AOC，∴∠AOD=∠COD．又∵∠BOE=20°，∠AOD=40°，∴∠COE=20°，∠COD=40°，∴∠DOE=∠COE+∠COD=20°+40°=60°．9．解：有兩種情況：第一種情況：如答圖①所示：∠AOC=∠AOB+∠BOC=50°+10°=60°①②第二種情況：如答圖②所示：∠AOC=∠AOB-∠BOC=50°-10°=40°答：∠AOC的度數(shù)為60°或40°．10．150°（點撥：∠AOD-∠BOC=∠AOB+∠COD=80°+70°=150°）11．解：設∠ABC=α，則∠ABD=，∠ABE=α，∵∠DBE=∠ABD-∠ABE．∴-α=27°．得α=126°．答：∠ABC=126°．12．∠BOE角平分線定義BOE255013013．D（點撥：①④錯誤）14．2α-β[點撥：∠BOM+∠CON=∠MON-∠BOC=α-β，由平分線得2（∠BOM+∠CON）=∠AOB+∠COD，∴∠AOD=2（α-β）+β=2α-β]15．解：∠CBD=90°，由折線的過程可知，∵∠A′BC=∠A′BA，∠A′BD=∠A′BE，∴∠CBD=∠A′BC+∠A′BD=（∠A′BA+∠A′BE）=×180°=90°．16．解：∵OM平分∠AOB，ON平分∠COD，設∠AOM=∠MOB=x，∠CON=∠NOD=y，∵∠MON=90°，∠BOC=26°，∴∠NOC+∠BOC+∠BOM=90°，∴x+y+26°=90°，∴x+y=64°．而∠AOD=2x+2y+26°=2×64°+26°=154°．17．（1）一段圓?。?）60°18．C[點撥：∵α，β為兩個銳角，∴180°<α+β<360°，30°<（α+β）<60°，故選C]19．180°（點撥：∵∠AOC=90°+∠BOC①，∠DOB=90°-∠BOC②，①+②得∠AOC+∠DOB=180°）4.3.3余角和補角◆回顧歸納1．如果兩個角的和等于90°，就說這兩個互為______，其中一個角是另一個角的________．2．如果兩個角的和等于180°，就說這兩個角互為________，即其中一個角是另一個角的_________．3．等角的補角______，等角的余角_______．4．方位角：一般地以正北或（正南）為基準，描述物體的運動_______，表示方向的角為_______，在航海，勘探測繪中經(jīng)常用到方位角．◆課堂測控測試點1余角和補角1．已知∠α=50°，則∠α的補角等于______度．2．已知∠1=40°，則∠1的余角為_____度．3．已知∠α與∠β互余，且∠α=15°，則∠β的補角為______度．4．如圖1所示，∠AOC=90°，∠AOB=∠COD，則∠BOD=______度．圖1圖2圖3圖45．下列說法不正確的是（）A．任意兩直角互補B．任意兩銳角互余C．同角或等角的補角相等D．同角或等角的余角相等6．一個角的余角和它的補角的比是3：7，則這個角為（）A．30°B．22.5°C．45°D．60°7．下列結論正確的個數(shù)為（）①互余且相等的兩個角是45°②銳角的補角是鈍角③銳角沒有余角，鈍角沒有補角④兩個鈍角不可能互補A．1個B．2個C．3個D．4個8．如圖2所示，∠AOE=∠EOB=∠DOC=90°，則下列說法不正確的是（）A．∠1與∠2，∠3與∠4互為余角B．∠4=∠3，∠2=∠4C．∠1與∠4，∠2與∠3互為余角D．∠1=∠3，∠2=∠49．（閱讀理解題）如圖3所示直線AB與CD相交于的點O，那么∠1=∠2嗎？試說明理由．解答：∵直線AB與CD交于一點O，∴∠1+∠3=180°（補角定義），∠2+∠3=180°（補角定義），∴∠1=180°-∠3（等式變形）．∠2=180°-∠3（等式變形）．∴∠1=∠2（）．以上敘述中，∠1+∠3為什么是180°呢？________，閱讀后完成上述填空．測試點2方位角10．如圖4所示，（1）射線OA表示________的方向;（2）OB表示______方向或________方向;（3）OC表示南_______方向．11．如圖5所示，下列說法中錯誤的是（）圖5A．圖（1）的方位角是南偏西20°B．圖（2）的方位角是西偏北60°C．圖（3）的方位角是北偏東45°D．圖（4）的方位角是南偏西45°12．如圖6所示，下列說法錯誤的是（）A．OA的方向是北偏西22°B．OB方向是西南方向C．OC的方向是南偏東60°D．OD的方向是北偏東60°圖6圖713．（教材變式題）如圖7，由方位角畫出方位射線．（1）射線OA，南偏西10°;（2）射線OB，北偏東75°;（3）射線OC，東南方向（即南偏東45°）．◆課后測控1．135°是_______角，36°是_____角，90°是______角．2．互余且相等的兩個角，它們的補角為______．3．已知∠1=70°，∠2是∠1的補角，則180°-∠2=______．4．若角α與角β互補，且α-β=30°，則=_______．5．一個角的余角比它的補角的還少40°，則這個角_______．6．輪船航行到B處測得小島A的方向為北偏東32°，那么從A觀測到B處的方向為（）A．東偏南68°B．南偏西32°C．南偏西68°D．東偏南32°7．如圖8所示，∠α>∠β，且∠β與（∠α-∠β）關系為（）A．互補B．互余C．和為45°D．和為22.5°圖8圖98．如圖9所示，O為直線AB上一點，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，則圖中互余的角為（）A．1對B．2對C．3對D．4對9．如圖所示，一艘船從A點出發(fā)，沿東北方向航行至B，再從B點出發(fā)沿南偏東15°方向航行至C點，則∠ABC等于多少？◆拓展創(chuàng)新10．（原創(chuàng)題）如圖所示，某測裝置有一枚指針，原來指向南偏西50°，把這枚指針按順時針方向旋轉90°．（1）現(xiàn)指針所指的方向為________．（2）圖中互余的角有幾對？并指出這些角？答案:回顧歸納1．余角，余角2．補角，補角3．相等，相等4．方向，方位角課堂測控1．130（點撥：∠α的補角為180°-50°=130°）2．50（點撥：∠1的余角為90°-40°=50°）3．105（點撥：∠β=75°，180°-75°=105°）4．90（點撥：∠BOD=∠AOC）5．B6．B7．C（點撥：①②④正確）8．B（點撥：∠3不一定等于∠4）．9．等量代換，∠1+∠3可以看成是以點O為頂點的OD，OC為邊的平角．10．（1）北偏東60°（2）北偏西45°，北偏西（3）南偏東10°11．B12．D（點撥：OD是北偏東30°）13．如圖答-8所示．課后測控1．鈍，銳，直2．135°（點撥：這個角為45°，180°-45°=135°）3．70°（點撥：180°-110°=70°）4．105°5．30°（點撥：90°-α=（180°-α）-40°）6．B7．B（點撥：∠α-∠β+∠β=（∠α+∠β）90°）8．D（點撥：四對，∠MOC+∠CON=90°，∠AOM+∠BON=90°，∠AOM+∠CON=90°，∠MOC+∠BON=90°）9．∠ABC=60°拓展創(chuàng)新10．（1）西偏北40°（2）4對，∠EOA與∠AOD，∠AOD與∠BOD，∠BOD與∠BOC，∠BOC與∠AOE4.3.3余角和補角【知能點分類訓練】知能點1互為余角、互為補角的概念與性質1．已知：如圖1所示，AB是直線，∠BOC=∠AOC=90°，OD，OE是射線，則圖中有_____對互余的角，______對互補的角．(1)(2)(2)2．已知β為α角的補角，γ為α的余角，則β-γ=_______．3．已知互余的兩個角的差是20°，則這兩個角的度數(shù)分別為______和_____．4．如圖2所示，已知∠1>∠2，那么∠2與（∠1-∠2）之間的關系是（）．A．互補B．互余C．和為45°D．和為22.5°5．一個角是80.39°，則其余角的補角是_______（用度、分、秒表示）6．在下列說法中，正確的是（）．A．一個銳角的余角比這個角大;B．一個銳角的余角比這個角小C．一個銳角的補角比這個角大;D．一個銳角的補角比這個角小7．（1）若一個角的余角與它的補角的和為210°，則這個角等于______．（2）若一個角的補角與這個角的余角的度數(shù)之比是3：1，則這個角等于_____．8．若∠α和∠β互為余角，則∠α和∠β的補角之和是（）．A．90°B．180°C．270°D．不能確定9．一個x°銳角的補角比它的余角（）．A．大90°B．小90°C．大x°D．小x°10．如圖3所示，O為直線AB上一點，ON平分∠BOC，OM平分∠AOC，那么圖中互余的角共有（）．A．2對B．3對C．4對D．6對知能點2方位角的意義11．甲看乙的方向是北偏東40°，則乙看甲的方向是（）．A．南偏東50°B．南偏東40°C．南偏西40°D．南偏西50°12．如圖所示，（1）射線OA表示的方向是________；（2）射線OB表示的方向是________；（3）射線OC表示的方向是________．13．如圖所示，OA表示北偏東30°方向的一條射線，依照這條射線，畫出表示下列方向的射線．（1）南偏東25°；（2）北偏西60°；（3）東南方向．【綜合應用提高】14．一個角的余角比這個角的補角的還小10°，求這個角的余角及這個角的補角．15．如圖所示，A地和B地都是海上觀測站，從A地發(fā)現(xiàn)它的北偏東60°方向有一不明物體，同時，從B地發(fā)現(xiàn)這個不明物體在它的北偏東30°方向，試在圖中確定這個不明物體的位置．16．如圖所示，若已知∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，問：（1）∠1與∠3是什么關系？為什么？（2）若要∠2與∠4相等，則∠1與∠4要滿足什么關系？為什么？【開放探索創(chuàng)新】17．如圖甲所示，∠AOB，∠COD都是直角．（1）試猜想∠AOD與∠COB在數(shù)量上是相等，互余，還是互補的關系，你能用推理的方法說明你的猜想是否合理嗎？（2）當∠COD繞點O旋轉到圖乙的位置時，你原來的猜想還成立嗎？【中考真題實戰(zhàn)】18．（北京海淀）已知∠AOB=40°，OC是∠AOB的平分線，則∠AOC的余角等于_____．19．（湘西）下列命題：①若∠1+∠2=90°，則∠1與∠2互為余角;②若∠A+∠B=180°，則∠A與∠B互為鄰補角;③120°的角和60°的角都是補角;④同角的余角相等;⑤由兩條射線組成的圖形叫做角.正確的命題是（）．A．①③B．②⑤C．③④D．①④20．（益陽）如圖所示，小明從A點出發(fā)向北偏西40°方向走500米到達B點，小林從A點出發(fā)向北偏東20°方向走500米到達C點，下列說法正確的是（）．A．小明在出發(fā)地南偏東40°方向500米處;B．小明在出發(fā)地南偏東20°方向500米處C．小明在小林南偏西80°方向500米處D．小林在小明北偏東10°方向500米處答案:1．23（點撥：∠AOE與∠EOC，∠BOD與∠COD互余；∠AOE與∠BOE，∠BOD與∠AOD，∠AOC與∠BOC互補）2．90°（點撥：β+α=180°①，γ+α=90°②，①-②得，β-γ=90°）4．B[點撥：∠2+（∠1-∠2）=（∠1+∠2）=×180°=90°]5．170°23′24″（點撥：一個角的余角的補角比它大90°，即170.39°，再化成度、分、秒的形式）6．C7．（1）30°（2）45°8．C[點撥：∵∠α+∠β=90°，∴（180°-∠α）+（180°-∠β）=360°-（∠α+∠β）=360°-90°=270°]9．A[點撥：補角=180°-x°，余角90°-x°，∴（180°-x°）-（90°-x°）=180°-x°-90°+x°=90°，故選A]10．C（點撥：由∠BON=∠CON，∠AOM=∠COM知∠CON+∠AOM=×180°=90°，即∠CON和∠AOM互余，∴∠CON與∠COM互余，∠BON與∠COM互余）11．C（點撥：甲看乙和乙看甲的方向相反，但角度不變，故選C）12．（1）北偏西30°（2）南偏西45°（即西南方向）（3）南偏東15°13．略14．解：設這個角為x°，則這個角的余角為（90-x）°，這個角的補角為（180-x）°，根據(jù)題意，得90-x=（180-x）-1090-x=60-x-10x=40x=60則90-x=30°，180-x=120°．答：這個角的余角是30°，補角是120°．15．如圖所示，圖中點C即為不明物的位置．16．（1）∠1=∠3，根據(jù)同角的余角相等．（2）∠1與∠4互余，根據(jù)同角的余角相等．17．解：（1）∠AOB=∠COD=90°，∵∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠BOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=90°+90°=180°，∴∠AOD和∠BOC互補．（2）∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOD+∠BOC=360°-∠AOB-∠COD=360°-90°-90°=180°，∴∠AOD與∠BOC互補．18．70°（點撥：利用角平分線求出∠AOC=20°，再求余角）19．D20．C.4.3.3余角和補角【知能點分類訓練】知能點1互為余角、互為補角的概念與性質1．已知：如圖1所示，AB是直線，∠BOC=∠AOC=90°，OD，OE是射線，則圖中有_____對互余的角，______對互補的角．(1)(2)(2)2．已知β為α角的補角，γ為α的余角，則β-γ=_______．3．已知互余的兩個角的差是20°，則這兩個角的度數(shù)分別為______和_____．4．如圖2所示，已知∠1>∠2，那么∠2與（∠1-∠2）之間的關系是（）．A．互補B．互余C．和為45°D．和為22.5°5．一個角是80.39°，則其余角的補角是_______（用度、分、秒表示）6．在下列說法中，正確的是（）．A．一個銳角的余角比這個角大;B．一個銳角的余角比這個角小C．一個銳角的補角比這個角大;D．一個銳角的補角比這個角小7．（1）若一個角的余角與它的補角的和為210°，則這個角等于______．（2）若一個角的補角與這個角的余角的度數(shù)之比是3：1，則這個角等于_____．8．若∠α和∠β互為余角，則∠α和∠β的補角之和是（）．A．90°B．180°C．270°D．不能確定9．一個x°銳角的補角比它的余角（）．A．大90°B．小90°C．大x°D．小x°10．如圖3所示，O為直線AB上一點，ON平分∠BOC，OM平分∠AOC，那么圖中互余的角共有（）．A．2對B．3對C．4對D．6對4.3.3余角和補角【知能點分類訓練】知能點1互為余角、互為補角的概念與性質1．已知：如圖1所示，AB是直線，∠BOC=∠AOC=90°，OD，OE是射線，則圖中有_____對互余的角，______對互補的角．(1)(2)(2)2．已知β為α角的補角，γ為α的余角，則β-γ=_______．3．已知互余的兩個角的差是20°，則這兩個角的度數(shù)分別為______和_____．4．如圖2所示，已知∠1>∠2，那么∠2與（∠1-∠2）之間的關系是（）．A．互補B．互余C．和為45°D．和為22.5°5．一個角是80.39°，則其余角的補角是_______（用度、分、秒表示）6．在下列說法中，正確的是（）．A．一個銳角的余角比這個角大;B．一個銳角的余角比這個角小C．一個銳角的補角比這個角大;D．一個銳角的補角比這個角小7．（1）若一個角的余角與它的補角的和為210°，則這個角等于______．（2）若一個角的補角與這個角的余角的度數(shù)之比是3：1，則這個角等于_____．8．若∠α和∠β互為余角，則∠α和∠β的補角之和是（）．A．90°B．180°C．270°D．不能確定9．一個x°銳角的補角比它的余角（）．A．大90°B．小90°C．大x°D．小x°10．如圖3所示，O為直線AB上一點，ON平分∠BOC，OM平分∠AOC，那么圖中互余的角共有（）．A．2對B．3對C．4對D．6對知能點2方位角的意義11．甲看乙的方向是北偏東40°，則乙看甲的方向是（）．A．南偏東50°B．南偏東40°C．南偏西40°D．南偏西50°12．如圖所示，（1）射線OA表示的方向是________；（2）射線OB表示的方向是________；（3）射線OC表示的方向是________．13．如圖所示，OA表示北偏東30°方向的一條射線，依照這條射線，畫出表示下列方向的射線．（1）南偏東25°；（2）北偏西60°；（3）東南方向．【綜合應用提高】14．一個角的余角比這個角的補角的還小10°，求這個角的余角及這個角的補角．15．如圖所示，A地和B地都是海上觀測站，從A地發(fā)現(xiàn)它的北偏東60°方向有一不明物體，同時，從B地發(fā)現(xiàn)這個不明物體在它的北偏東30°方向，試在圖中確定這個不明物體的位置．16．如圖所示，若已知∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，問：（1）∠1與∠3是什么關系？為什么？（2）若要∠2與∠4相等，則∠1與∠4要滿足什么關系？為什么？【開放探索創(chuàng)新】17．如圖甲所示，∠AOB，∠COD都是直角．（1）試猜想∠AOD與∠COB在數(shù)量上是相等，互余，還是互補的關系，你能用推理的方法說明你的猜想是否合理嗎？（2）當∠COD繞點O旋轉到圖乙的位置時，你原來的猜想還成立嗎？【中考真題實戰(zhàn)】18．（北京海淀）已知∠AOB=40°，OC是∠AOB的平分線，則∠AOC的余角等于_____．19．（湘西）下列命題：①若∠1+∠2=90°，則∠1與∠2互為余角;②若∠A+∠B=180°，則∠A與∠B互為鄰補角;③120°的角和60°的角都是補角;④同角的余角相等;⑤由兩條射線組成的圖形叫做角.正確的命題是（）．A．①③B．②⑤C．③④D．①④20．（益陽）如圖所示，小明從A點出發(fā)向北偏西40°方向走500米到達B點，小林從A點出發(fā)向北偏東20°方向走500米到達C點，下列說法正確的是（）．A．小明在出發(fā)地南偏東40°方向500米處;B．小明在出發(fā)地南偏東20°方向500米處C．小明在小林南偏西80°方向500米處D．小林在小明北偏東10°方向500米處答案:1．23（點撥：∠AOE與∠EOC，∠BOD與∠COD互余；∠AOE與∠BOE，∠BOD與∠AOD，∠AOC與∠BOC互補）2．90°（點撥：β+α=180°①，γ+α=90°②，①-②得，β-γ=90°）4．B[點撥：∠2+（∠1-∠2）=（∠1+∠2）=×180°=90°]5．170°23′24″（點撥：一個角的余角的補角比它大90°，即170.39°，再化成度、分、秒的形式）6．C7．（1）30°（2）45°8．C[點撥：∵∠α+∠β=90°，∴（180°-∠α）+（180°-∠β）=360°-（∠α+∠β）=360°-90°=270°]9．A[點撥：補角=180°-x°，余角90°-x°，∴（180°-x°）-（90°-x°）=180°-x°-90°+x°=90°，故選A]10．C（點撥：由∠BON=∠CON，∠AOM=∠COM知∠CON+∠AOM=×180°=90°，即∠CON和∠AOM互余，∴∠CON與∠COM互余，∠BON與∠COM互余）11．C（點撥：甲看乙和乙看甲的方向相反，但角度不變，故選C）12．（1）北偏西30°（2）南偏西45°（即西南方向）（3）南偏東15°13．略14．解：設這個角為x°，則這個角的余角為（90-x）°，這個角的補角為（180-x）°，根據(jù)題意，得90-x=（180-x）-1090-x=60-x-10x=40x=60則90-x=30°，180-x=120°．答：這個角的余角是30°，補角是120°．15．如圖所示，圖中點C即為不明物的位置．16．（1）∠1=∠3，根據(jù)同角的余角相等．（2）∠1與∠4互余，根據(jù)同角的余角相等．17．解：（1）∠AOB=∠COD=90°，∵∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠BOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=90°+90°=180°，∴∠AOD和∠BOC互補．（2）∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOD+∠BOC=360°-∠AOB-∠COD=360°-90°-90°=180°，∴∠AOD與∠BOC互補．18．70°（點撥：利用角平分線求出∠AOC=20°，再求余角）19．D20．C.4.3.3余角和補角【知能點分類訓練】知能點1互為余角、互為補角的概念與性質1．已知：如圖1所示，AB是直線，∠BOC=∠AOC=90°，OD，OE是射線，則圖中有_____對互余的角，______對互補的角．(1)(2)(2)2．已知β為α角的補角，γ為α的余角，則β-γ=_______．3．已知互余的兩個角的差是20°，則這兩個角的度數(shù)分別為______和_____．4．如圖2所示，已知∠1>∠2，那么∠2與（∠1-∠2）之間的關系是（）．A．互補B．互余C．和為45°D．和為22.5°5．一個角是80.39°，則其余角的補角是_______（用度、分、秒表示）6．在下列說法中，正確的是（）．A．一個銳角的余角比這個角大;B．一個銳角的余角比這個角小C．一個銳角的補角比這個角大;D．一個銳角的補角比這個角小7．（1）若一個角的余角與它的補角的和為210°，則這個角等于______．（2）若一個角的補角與這個角的余角的度數(shù)之比是3：1，則這個角等于_____．8．若∠α和∠β互為余角，則∠α和∠β的補角之和是（）．A．90°B．180°C．270°D．不能確定9．一個x°銳角的補角比它的余角（）．A．大90°B．小90°C．大x°D．小x°10．如圖3所示，O為直線AB上一點，ON平分∠BOC，OM平分∠AOC，那么圖中互余的角共有（）．A．2對B．3對C．4對D．6對知能點2方位角的意義11．甲看乙的方向是北偏東40°，則乙看甲的方向是（）．A．南偏東50°B．南偏東40°C．南偏西40°D．南偏西50°12．如圖所示，（1）射線OA表示的方向是________；（2）射線OB表示的方向是________；（3）射線OC表示的方向是________．13．如圖所示，OA表示北偏東30°方向的一條射線，依照這條射線，畫出表示下列方向的射線．（1）南偏東25°；（2）北偏西60°；（3）東南方向．【綜合應用提高】14．一個角的余角比這個角的補角的還小10°，求這個角的余角及這個角的補角．15．如圖所示，A地和B地都是海上觀測站，從A地發(fā)現(xiàn)它的北偏東60°方向有一不明物體，同時，從B地發(fā)現(xiàn)這個不明物體在它的北偏東30°方向，試在圖中確定這個不明物體的位置．16．如圖所示，若已知∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，問：（1）∠1與∠3是什么關系？為什么？（2）若要∠2與∠4相等，則∠1與∠4要滿足什么關系？為什么？【開放探索創(chuàng)新】17．如圖甲所示，∠AOB，∠COD都是直角．（1）試猜想∠AOD與∠COB在數(shù)量上是相等，互余，還是互補的關系，你能用推理的方法說明你的猜想是否合理嗎？（2）當∠COD繞點O旋轉到圖乙的位置時，你原來的猜想還成立嗎？【中考真題實戰(zhàn)】18．（北京海淀）已知∠AOB=40°，OC是∠AOB的平分線，則∠AOC的余角等于_____．19．（湘西）下列命題：①若∠1+∠2=90°，則∠1與∠2互為余角;②若∠A+∠B=180°，則∠A與∠B互為鄰補角;③120°的角和60°的角都是補角;④同角的余角相等;⑤由兩條射線組成的圖形叫做角.正確的命題是（）．A．①③B．②⑤C．③④D．①④20．（益陽）如圖所示，小明從A點出發(fā)向北偏西40°方向走500米到達B點，小林從A點出發(fā)向北偏東20°方向走500米到達C點，下列說法正確的是（）．A．小明在出發(fā)地南偏東40°方向500米處;B．小明在出發(fā)地南偏東20°方向500米處C．小明在小林南偏西80°方向500米處D．小林在小明北偏東10°方向500米處答案:1．23（點撥：∠AOE與∠EOC，∠BOD與∠COD互余；∠AOE與∠BOE，∠BOD與∠AOD，∠AOC與∠BOC互補）2．90°（點撥：β+α=180°①，γ+α=90°②，①-②得，β-γ=90°）4．B[點撥：∠2+（∠1-∠2）=（∠1+∠2）=×180°=90°]5．170°23′24″（點撥：一個角的余角的補角比它大90°，即170.39°，再化成度、分、秒的形式）6．C7．（1）30°（2）45°8．C[點撥：∵∠α+∠β=90°，∴（180°-∠α）+（180°-∠β）=360°-（∠α+∠β）=360°-90°=270°]9．A[點撥：補角=180°-x°，余角90°-x°，∴（180°-x°）-（90°-x°）=180°-x°-90°+x°=90°，故選A]10．C（點撥：由∠BON=∠CON，∠AOM=∠COM知∠CON+∠AOM=×180°=90°，即∠CON和∠AOM互余，∴∠CON與∠COM互余，∠BON與∠COM互余）11．C（點撥：甲看乙和乙看甲的方向相反，但角度不變，故選C）12．（1）北偏西30°（2）南偏西45°（即西南方向）（3）南偏東15°13．略14．解：設這個角為x°，則這個角的余角為（90-x）°，這個角的補角為（180-x）°，根據(jù)題意，得90-x=（180-x）-1090-x=60-x-10x=40x=60則90-x=30°，180-x=120°．答：這個角的余角是30°，補角是120°．15．如圖所示，圖中點C即為不明物的位置．16．（1）∠1=∠3，根據(jù)同角的余角相等．（2）∠1與∠4互余，根據(jù)同角的余角相等．17．解：（1）∠AOB=∠COD=90°，∵∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠BOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=90°+90°=180°，∴∠AOD和∠BOC互補．（2）∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOD+∠BOC=360°-∠AOB-∠COD=360°-90°-90°=180°，∴∠AOD與∠BOC互補．18．70°（點撥：利用角平分線求出∠AOC=20°，再求余角）19．D20．C.4.3.3余角和補角1、的余角是，的補角是；2、一個角為（n<90），則它的余角為，補角為；3、和都是的補角，則；4、如果，則的關系是，理由是；5、如果和互補，且＞，則下列表示的余角的式子中正確的有（）①②③④A、①②③B、①②④C、①③④D、②③④6、讀句畫圖并填空：（1）畫平角AOB，畫射線OC，再分別畫、的角平分線OD、OE;（2）圖中，，，∴==；（3）圖中互補的角有對，互余的角有對；7、和互補，且求和的度數(shù)。8、一個角的余角比它的補角的還少，求這個角的度數(shù)。9、若和互余，且：=7：2，求、的度數(shù)。10、如圖，已知，比大，OB是的平分線，求的度數(shù)。知能點2方位角的意義11．甲看乙的方向是北偏東40°，則乙看甲的方向是（）．A．南偏東50°B．南偏東40°C．南偏西40°D．南偏西50°12．如圖所示，（1）射線OA表示的方向是________；（2）射線OB表示的方向是________；（3）射線OC表示的方向是________．13．如圖所示，OA表示北偏東30°方向的一條射線，依照這條射線，畫出表示下列方向的射線．（1）南偏東25°；（2）北偏西60°；（3）東南方向．【綜合應用提高】14．一個角的余角比這個角的補角的還小10°，求這個角的余角及這個角的補角．15．如圖所示，A地和B地都是海上觀測站，從A地發(fā)現(xiàn)它的北偏東60°方向有一不明物體，同時，從B地發(fā)現(xiàn)這個不明物體在它的北偏東30°方向，試在圖中確定這個不明物體的位置．16．如圖所示，若已知∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，問：（1）∠1與∠3是什么關系？為什么？（2）若要∠2與∠4相等，則∠1與∠4要滿足什么關系？為什么？【開放探索創(chuàng)新】17．如圖甲所示，∠AOB，∠COD都是直角．（1）試猜想∠AOD與∠COB在數(shù)量上是相等，互余，還是互補的關系，你能用推理的方法說明你的猜想是否合理嗎？（2）當∠COD繞點O旋轉到圖乙的位置時，你原來的猜想還成立嗎？【中考真題實戰(zhàn)】18．（北京海淀）已知∠AOB=40°，OC是∠AOB的平分線，則∠AOC的余角等于_____．19．（湘西）下列命題：①若∠1+∠2=90°，則